Transcription
Hola y bienvenidos a otro vídeo de Mate Fácil. En este vídeo voy a resolver el ejercicio que les dije al final del vídeo anterior sobre el método de Newton-Raphson. Si no han visto el vídeo anterior, los invito a que lo vean para que ustedes intenten hacer este ejercicio antes de ver este vídeo.
Lo que nos pide es resolver esta ecuación algebraica de quinto grado, encontrar una solución con una precisión de ocho cifras decimales. Para hacer esto, primero debemos fijarnos que en nuestra ecuación todos los términos los tengamos del lado izquierdo y que entonces tengamos esto igual a cero. Si hubiera algún otro término aquí en el lado derecho, primero lo pasamos al lado izquierdo para que nos quede la ecuación igual a cero.
Bueno, y lo siguiente que vamos a hacer es aplicar esta fórmula que es la del método de Newton-Raphson. Pero en esta fórmula nosotros vemos que hay una función. Bueno, pues esta función va a ser la que nosotros tengamos aquí del lado izquierdo, es decir, que en nuestro caso f(x) es igual a x⁵ - x - 1. Bueno, necesitamos también una primera aproximación para esta ecuación, es decir, un número que vamos a tomar como punto de partida que sea una solución aproximada. Para encontrar esa solución aproximada, podemos empezar graficando, por ejemplo, esta función o podemos empezar sustituyendo algunos valores y viendo en cuál valor o entre cuáles valores la función cambia de signo.
Por ejemplo, en nuestro caso, si sustituimos el cero en la función, nos quedaría 0⁵ - 0 - 1, que nos da finalmente -1. Si sustituimos el 1, también al hacer las operaciones obtenemos como resultado -1. Si sustituimos el 2, al hacer todas las operaciones obtenemos como resultado 29 positivo. Como este es un polinomio, es una función continua y el teorema de valor intermedio nos dice que entre el 1 y el 2 debe haber un número para el cual la función valga 0, ya que para el 1 nos da un resultado negativo y para el 2 ya nos da un resultado positivo. Así que hay algún valor entre el 1 y el 2 que resuelve esta ecuación, es decir, hay una solución entre x = 1 y x = 2. Esta es una manera de darnos cuenta de eso.
Otra forma hubiera sido hacer la gráfica de esta función y al hacer la gráfica, lo que nosotros estamos buscando es en qué valor de x la función vale 0. Eso geométricamente significa la intersección de la gráfica de la función con el eje x. Aquí tenemos el eje x y vemos que la intersección con el eje x ocurre aquí, un poco después del 1, entre el 1 y el 2. Entonces, esto es consistente con lo que les mencionaba por aquí, que debe haber una solución entre el 1 y el 2. Bueno, y aquí gráficamente vemos que la intersección está más cerca del 1 que del 2, por lo que el 1 es una buena aproximación para esta ecuación. Así que vamos a empezar con esa aproximación y vamos a llamarle x₁. A partir de aquí, vamos a ir obteniendo mejores aproximaciones para las de esta ecuación. Entonces, x₁ vale 1.
Ahora queremos una segunda aproximación que es x₂. Eso lo vamos a obtener sustituyendo en esta fórmula, pero para sustituir en esta fórmula, fíjense que también necesitamos la derivada de la función, que es lo que tenemos aquí en el denominador. Así que vamos a derivar primero nuestra función. La derivada es 5x⁴ - 1. Ahora sí, para obtener la segunda aproximación, es decir, x₂, usamos esta fórmula y en donde aparece xn es donde vamos a sustituir nuestra primera aproximación, que es x₁. Así que por eso aquí pongo x₁ - f(x₁) / f'(x₁). Y ahora vamos a sustituir el valor.
Entonces, aquí en x₁ vamos a colocar un 1. Y aquí en f(x₁) tenemos que calcular primero el valor de la función, es decir, f(x₁) que es lo mismo que f(1). Se obtiene sustituyendo el 1 en cada x, que es aquí 1⁵ - 1 - 1. Al hacer las operaciones nos queda como resultado -1. También hay que sustituir en la derivada para colocarlo aquí en el denominador, f'(x₁) que es lo mismo que f'(1). Se obtiene sustituyendo el 1 en la x, así que es 5 * 1⁴ - 1, que nos da como resultado 4. Bueno, sustituimos entonces estos valores en esta expresión y obtenemos lo siguiente: la segunda aproximación x₂ es igual a 1 - f(x₁) que como ya vimos vale -1, sobre f'(x₁) que como ya vimos es 4. Y ahora hay que realizar estas operaciones. Aquí menos por menos nos da más, luego 1 entre 4 nos queda 0.25 y finalmente sumamos 1 + 0.25, eso nos da 1.25.
Esta es una solución, es exacta para esta ecuación, pero ahora vamos a obtener una mejor aproximación que es x₃. Volviendo a aplicar esta fórmula, pero ahora en xn vamos a sustituir este valor de x₂ que obtuvimos. Entonces, vamos a volver a usar esta fórmula, ahora para obtener x₃. Entonces, aquí en xn sustituimos en la aproximación que acabamos de obtener, que es x₂. Así que vamos a calcular x₂ - f(x₂) / f'(x₂). Bueno, igual que antes, tenemos que calcular entonces el valor de la función en x₂, es decir, el valor de la función en 1.25. Así que hay que sustituir aquí y nos quedaría 1.25⁵ - 1.25 - 1. Y al hacer esas operaciones nos queda este número de aquí. Como nos pedía resolver esta ecuación con ocho cifras decimales, por eso aquí estamos tomando ocho cifras decimales. Bueno, y para la derivada, lo mismo, hay que sustituir este valor 1.25 en la x de aquí de la derivada, así que es 5 * 1.25⁴ - 1. Hacemos las operaciones y nos queda este número de aquí. Entonces, sustituimos en la expresión y obtenemos esto de aquí. Ahora hay que realizar estas operaciones, primero la división, luego a este número le restamos lo que nos quedó de la división y el resultado es este número. Esta es una mejor aproximación para la solución de esta ecuación. A esta le vamos a llamar x₃.
Y así podemos continuar el procedimiento. Ahora vamos a calcular x₄. Entonces, ahora xn es x₃ y tenemos que volver a calcular la función en x₃ y la derivada en x₃, que nos da estos resultados de aquí. Aquí ya los invito a que ustedes lo verifiquen, que estos son los resultados que se obtienen. Luego hacemos las operaciones y obtenemos este resultado. Este es x₄. Así continuamos el procedimiento y obtenemos este valor para x₅, este valor para x₆. Y vamos viendo que en cada paso hay menos cambios. Por ejemplo, antes, desde el principio, siempre hemos tenido un 1 punto y algo, pero en x₂ teníamos 1.25. En x₃ ya vemos 1.17. Este 1 de aquí se mantiene en todas las demás. Pero luego en x₄ el 7 cambia por 6 y vemos que se mantienen todas las demás. Cada vez vamos obteniendo más precisión. Este 7 se mantiene también. Luego vemos que ahora es el 3 y el 0 el que se mantiene.
Si calculamos nuevo x₇, obtendremos de hecho el mismo resultado que x₆. Así que si ahora calculáramos x₈, como vamos a sustituir el mismo valor que x₆, vamos a obtener el mismo valor otra vez. Es decir, que ahora este valor se mantiene completamente. Todos los dígitos de aquí se mantienen, por lo que podemos asegurar que esta es la solución con una precisión de 8 cifras decimales.
En el siguiente vídeo vamos a ver cómo podemos calcular raíces como esta de aquí, la raíz sexta de 2, utilizando el método de Newton-Raphson. Para hacer esto, básicamente lo que haremos es lo siguiente: vamos a llamarle x a la raíz sexta de 2, entonces queremos encontrar el valor de x. Aquí nosotros podemos quitar esta raíz sexta pasándola como exponente 6 al lado izquierdo, así que nos queda que x⁶ es igual a 2. Y luego, si pasamos este 2 restando al lado izquierdo, podemos aplicar el método de Newton-Raphson a esta ecuación de sexto grado. Entonces, el procedimiento a seguir es el mismo que vimos en este vídeo, en realidad, pero lo que estaremos obteniendo al final es una aproximación para la raíz sexta de 2. Los invito a que ustedes intenten hacerlo y en el siguiente vídeo les mostraré el procedimiento completo para que verifiquen su respuesta.
Si te gustó este vídeo, apóyame regalándome un like, suscríbete a mi canal y comparte mis vídeos. Y también quiero agradecer a todas las personas que me han apoyado a través de Patreon. Muchas gracias a todos por su gran apoyo.