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IFDS Workshop–A Learning Theory for Autoregressive Chain-of-Thought

Paul G. Allen School47:09

Transcription

那么,我们的下一位演讲者是内森·克罗,他是丰田技术学院的教授,同时在芝加哥大学兼职。他之前是特克农学院的教员,他在麻省理工学院做了博士后。我不需要列出你今天早上发布的那些主要成就,我有点,是的。>> 发布,是的,发布也是,是的。嗯,是的,纳蒂是华盛顿大学的好朋友,他经常来访,是的,期待你的最新研究。

谢谢。谢谢,艾登。谢谢邀请我。很高兴能来到这里。那么,我将要谈论一些关于其他回归模型和语言生成的工作。这基于两篇论文。一篇是纯理论论文,有很多作者,但我主要想强调尼尔米德,他才是真正做了所有工作的学生。另一篇是主要基于实证的论文,同样有几位合著者,但主要是钦沙,他真正地把这个项目组织起来并完成了工作。

正如我所提到的,其中一篇是纯理论性的,我们将真正尝试为理解这种自回归思维链过程奠定理论基础,我稍后会定义它。我们将看到,我这样做的主要动机,以及我们将看到的结果,将直接导致一种启发,或者说重新发现,或者说引导我们关注为什么注意力机制是如此自然。然后,这两个部分仍然只是理论,并且重新审视现有事物。我们将看到,一旦我们以这种方式理解事物,它将自然而然地导致对自回归过程的另一个修改,我将在最后提到,它具有非常好的实证效益。嗯,在整个过程中,我们将介绍这些人,我很好奇有多少人能认出这三个人。三分之二。是的。好的。那么我们将介绍第三个人。你们也会认识第三个人。好的。

那么,嗯,很好。那么,思维链,我确信你们都以前见过这个,但你知道我们有这样一个过程,它一次生成一个标记。问题是,如果我们只有一个问题,然后我们立即想要生成答案,这对于机器来说可能非常困难,对你们来说也是如此。但是,如果我们有问题,然后我们生成一堆标记,这些标记可以帮助我们思考整个过程,那么我们就能得到正确的答案。我们可以在像这样的问题上,甚至更复杂的问题上得到答案,这些问题真的,我的意思是,我不认为你们中的任何人能回答。我的意思是,这里的细节并不重要。我的意思是,你认为你可以很快说服自己,你可以在一次尝试中回答这个问题,你真的需要这种思维链。所以,让我们把我们这里有的东西形式化,假设每个人都以前见过思维链,让我们尝试形式化它。所以在思维链过程中,重要的是我们有一个生成器,一个下一个标记生成器,这是我们的基础生成器。它的作用是它接收一个字符串并生成一个标记,即下一个标记。我们使用它的方式是,我们把输入喂给它,然后我们每次都迭代地应用它,我们应用我们的函数,然后附加结果。好的。然后再次应用并附加,再应用并附加,再应用并附加。所以形式上,每次我们定义t步后的输出,或者最初它只是输入。在t+1步之后,我们取t步后的输入,并附加对该输入应用函数的结果。好的。这清楚吗?好的。这是,是的,确定性的还是?>> 是的,所以这里我们把所有东西都看作,好问题。所以这里我们把所有东西都看作是确定性的。你可以把h看作,你可以把h看作是随机的,然后整个事情都是随机的。现在,就这次演讲而言,把h看作是确定性的。好的。

所以对于任何函数h,我可以定义coot。所以coot是从输入到整个字符串的映射,我称之为思维链。但我们真正关心的是答案,我们认为答案是最后出现的东西,形式上就是最后一个标记。好的。所以最后一个比特,特别地,对于任何基础生成器h,我们也可以考虑它所隐含的相应端到端函数,这只是一个从输入到最后一个比特的函数。好的,所以它又是一个从字符串到单个标记的函数。好的,但它不仅仅是应用一次函数,而是多次应用函数。

嗯,现在给定一个预测器的基类,你可以把它想象成,例如,所有Transformer的类。你可以问,我能用Transformer做什么?你真正想问的不是,如果我把Transformer看作一个序列到标记的函数,我能用它做什么。我真正想做的不是只应用一次它能做什么,而是我拥有这个生成器的基类,比如具有不同参数的Transformer,我真正关心的类是这个思维链类,即从输入到思维链的所有映射的类,更重要的是这个端到端类,即通过取任何Transformer并映射它而得到的所有映射的类。所有这一切的关键是,我们一遍又一遍地应用相同的函数,相同的h。对吧?把它想象成你选择的一个Transformer,而不是每一步都为Transformer使用不同的参数设置。你选择参数,对吧?这决定了你所知道的Transformer的类别。这个基类,嗯,手写体H,是你可以通过所有不同参数设置得到的Transformer。你为Transformer选择一个单一的参数设置,对吧?你设置权重,然后你现在固定权重,你使用相同的权重,相同的生成器h来生成这里的每一步。所以这个过程是时间不变的,这对我们来说至关重要。好的。

现在,嗯,现在我们理解了这一点,我们可以问一些问题,比如我们能学得多好,好的。嗯,所以我们在这里定义学习在两种不同的设置中,一种是标准的PAC学习概念。嗯,我有一个从输入到输出的函数,或者说这里的输入到我的答案,你给我一堆输入和答案的例子,我需要找到它们之间的映射。再次,我将要学习生成器。所以我将假设我的类中存在某个生成器实现了这个端到端映射,我想要学习它。是的,凯文有问题。

>> 我有一个非常天真的问题。这里的思维链有什么特别之处吗,还是它只是一个自回归模型?思维链在自回归模型之上增加了什么?>> 所以对我来说,思维链意味着你采用这个自回归过程,然后你观察,你映射,你映射很多步,然后你只看最后的东西。这就是我定义的思维链。好的。那么,>> 这回答了你的问题吗?好的。所以,我只是,我的意思是,也许如果你想得到,但然后考虑定义,也许我一般认为自回归就是当你拥有,没有什么特别之处,但只是最后一个答案,输入,最后一个答案,你拥有一些一直持续的东西。对我来说,我真正拥有的是一个从输入到答案的映射,比如你知道7329的平方根是多少,答案是我不知道答案是什么。好的。嗯,但你回答这个问题的方式就是通过这个自回归过程,好的,是的,你。

>> 还有一个非常愚蠢的问题,所以h接受可变长度的输入。>> 是的。>> 所以我有点,我想澄清你所说的时间不变性是什么意思,因为在某种程度上它可能会在不同的上下文中做不同的事情。>> 对,所以罗布想作弊。>> 根据我的定义,他是被允许的。好的。所以罗布指出的,你可以用各种方式解决的问题是,既然我说时间不变性与任何步骤都是相同的,但实际上,输入是一个从字符串到输出的函数。这是定义非常明确的。好的。你可以以一种方式定义这些函数,它们做的第一件事是查看字符串的长度,然后根据一堆不同的东西进行分支。好的。嗯,但我们对那种作弊的函数不感兴趣。特别是,对我来说重要的一点是,一旦我给你类H,即假设类H,它就不会包含以那种方式作弊的函数。所以你只会从中选择一个单一的函数。重要的是你选择一个单一的函数并反复使用。这应该像,你会看到一个简单的函数,例如,如果我限制你是一个Transformer。好的。所以Transformer你可以把它看作一个可变长度输入到输出的函数。你选择一个单一的参数设置。是吗?>> 我明白了。所以我的意思是,我不太确定我是否完全理解,但不知何故,它如何处理最近的标记并不取决于有多少。>> 不,不,不,所以我必须定义,我必须定义一个从字符串到下一个标记的函数。我可以定义一堆这样的函数。我的意思是,我们将看到一些例子,其中最明显的例子你应该记住的是Transformer。所以一个具有固定参数的Transformer,我认为这是Transformer非常重要的一点。它是一个从可变长度字符串到下一个标记的函数,至少是我们使用它的方式。所以用相同的参数,它可以接受不同输入的字符串,并且它内部没有这种分支。它就像自然地时间不变,对吧?但你说得对,你可以定义假设类。你可以定义那些感觉不太时间不变的假设类。这样可以吗?所以某种程度上架构会。>> 实际上是的,但在这里形式上,问题是,好的,让我稍后再回到这个问题。因为,嗯,你可以定义一个非时间不变的,而且已经有人这样做了。好的。所以也许我会,好的,嗯,这与此相关,让我为了回答罗布,先跳到这里,然后再回去。所以有一个类似的过程,由马利克以一种非时间不变的方式研究过,一个非常类似的问题。所以我们也要问的问题是,我给你假设类,我给你生成器的基类,现在告诉我学习这个端到端的复杂性是什么。好的。你可以问完全相同的问题。但是现在当你这样做的时候,当你说你将这样做的方式是每一步你都将从h中选择一个不同的函数。好的。那会导致非常不同的答案。好的。因为在这种非时间不变的分析中,一些复杂性必须随着链的长度而扩展,因为你每一步都必须选择不同的参数设置。你必须学习所有这些参数。而我们这里的重点是,我们想要避免这种与思维长度成线性关系的扩展。我们想要拥有不依赖于,或者只有非常弱的算法依赖于思维长度或思维时间的复杂性。这有道理吗?好的,很好。

>> 大T是固定的吗?时间是固定的吗?>> 嗯,这取决于你想怎么看。嗯,所以我可以定义它。你知道它在这里是为每个T定义的,对吧?嗯,重点是我们想要得到不依赖于t的复杂性,好的,所以你想要得到一个只依赖于h的属性而不依赖于t的复杂性,我们稍后会看到,好的。相反,你可以,但是回到这里,你可以考虑两种不同的学习模型,一种是,在两种情况下你都想做同样的事情,你想要学习如何回答问题,你只关心从输入到输出的映射,问题是我有什么训练数据。所以在端到端学习中,我只有问题和答案的例子,好的,输入和最终输出。而在思维链学习中,我有m个例子,但这些m个例子是整个思维过程的。好的。所以我拥有更多类型的训练数据。我仍然只需要学习我关心的事情,那就是得到最后的东西。但我得到了更多的训练数据。好的。那大概可以给你更多的数据。所以,好的。

所以,嗯,所以让我们看看,嗯,如果我现在问的问题是,我告诉你一些关于H的复杂性的信息。这些学习PS的复杂性是什么?所以我能告诉你的最简单的事情可能是H是有限基数的。好的。有限基数也确实是我们认为我们使用的所有类都是有限基数的,因为你知道,如果你使用一个有D个参数的类,那么你实际上只有像D个参数的某个东西。所以对数基数大约是d,因为你用比特表示你的参数,而大型类实际上是有限基数的,对数基数与参数数量成比例。问题是,嗯,一个非常简单的,我甚至不好意思称之为观察结果是,这个端到端类的基数,即你可以实现的端到端函数的数量,受到你可以实现的生成器数量的限制,因为每个生成器只实现这些端到端类中的一个,对吧?所以我们立即可以,嗯,我们可以立即根据生成器类的复杂性来限制端到端类的复杂性。好的,所以特别地,如果我们的类基于d个参数,那么我们学习这个端到端事物所需的样本数量只与d成比例,对吧,在低基数下,独立于我们采取的步骤数量。好的。所以这可能回答了这里的一些问题,如果没有时间不变性,情况就不会是这样。没有时间不变性,我们必须有h1、h2和h3,并且会得到参数数量乘以t的比例。好的,这清楚吗?这也许是这里最简单也是迄今为止最重要的观察结果。时间不变性让你避免了对t的这种依赖,这正是我们在这里要看到的重点。好的,顺便说一下,我们也可以问其他复杂性度量会发生什么。

所以如果我们,你不喜欢离散化事物,你没有,你实际上有一些幻想,你正在使用实数而不是比特,并且你想要根据你的生成器类的VC维数来限制事物,因为有人为你分析了Transformer的VC维数,或者使用我们稍后会再次看到的某个线性类,我们分析了VC维数,那么你就可以问,好的,我知道生成器类的VC维数,但那不是我关心的,我关心的是端到端类的复杂性。那么我是否得到相同的,我的意思是,相同类型的依赖关系,我能否根据生成器类的复杂性找到端到端类的复杂性。结果发现答案实际上是否定的。好的,所以你可以,但会有一个额外的t因子。好的,所以即使基类的VC维数是d,端到端类也可以有与时间线性相关的VC维数。好的。

嗯,所以是的,我们可以得到一个界限,但这有点令人失望,因为我们的全部目的就是避免与t成比例的扩展。所以我们在这里已经看到事情有点棘手,而且不太明显。顺便说一句,我们在这里确实看到了思维链学习的好处,即用完整数据进行学习。所以这就是复杂性。如果你只用端到端示例进行学习,你需要与思维时间线性相关的示例数量,我的意思是,对于某些类,示例数量与思维时间线性相关。结果表明,如果使用思维链学习,如果你实际匹配了整个思维链,如果你能访问中国式的思维链,那么你就可以,嗯,那么现在你确实得到了,如果基类是最近的h,你确实得到了一个几乎独立于类型的复杂性,好的。嗯,你也可以问,好的,如果情况是这样,那么基数和VC维数之间是否存在某种东西?所以你知道,低基数就足够了,VC维数在某种意义上在这里不够。是否存在比基数更弱但仍然足以独立或几乎独立于时间进行限制的东西?答案是肯定的。结果表明,Littlewood-Paley维数就足够了。我在这里不会再多谈。如果你感兴趣,我建议你阅读这篇论文。我在这里想关注的不是样本复杂性,而是计算复杂性,因为这才是我们将在端到端学习和coot学习之间看到巨大差异的地方。我应该说,从我的角度来看,我不相信实数。我的意思是,局部基数对我来说已经足够了。我的意思是,那是局部性,是参数的数量,对我来说已经足够了。好的。

嗯,好的。所以在计算复杂性方面,我们现在可以问你,好的,我如何实现这些学习规则?我的意思是,我在这里的端到端学习规则是找到一个生成器,它能匹配所有我的,你知道的,端到端,这是一个很好的拟合,它能匹配我所有的答案。而coot现在我有了所有这些中间步骤,我想要匹配所有这些中间步骤,所以看起来这实际上更难,就像有更多东西要匹配,但结果发现它实际上更容易,因为如果我拥有整个思维链,那么我所要做的就是分别匹配每一步,而分别匹配每一步与匹配生成器将要做的事情是相同的。所以我可以将拟合思维链数据的问题简化为只为生成器本身拟合数据的问题,就像erm生成器一样。所以特别地,如果生成器类,比如说我有一个高效的算法来拟合它。我的意思是,拟合生成器类本身很容易,就像一个纯粹的监督式位置生成器类,没有任何自回归或思维链之类的东西。那么进行思维链学习也容易。所以这在计算上,嗯,在形式上也是计算的。如果拟合时间充足,那么端到端也是多项式时间。是的。

嗯,嗯,也许我不太明白,但我们最终会比较这样一种情况:你拥有完整的轨迹观测。>> 比如长度t。>> 比如t倍的。>> 不不,这里有两个不同的参数,m是你拥有的问题数量,t是你思考每个问题的时间。所以在两种情况下,你都有m个问题,每个问题你都思考了m个t步。问题是,区别在于,对于这m个问题中的每一个,当你学习时,比如,好的,我可能认为好的,而你是学习者,对于这m个问题中的每一个,我只是给你问题和答案,还是对于这m个问题,我给你问题,整个长度为t的思考过程和答案。>> 但为了公平比较,我们不应该让那些给出答案的,比如t倍的答案,也许运行问题吗?

我不知道什么是公平,对吧?我的意思是,嗯,你知道,我正在比较的是这个,对吧?我的意思是,你可以说,我,所以你,你我认为你所说的是,在某种意义上,如果我拥有完整的思维链,我就拥有更多我的,你知道的,更多数据,我的硬盘更大,对吧?而你想要比较的是,我能用相同大小的数据文件做多少事情。好的,你说得对,所以,好的,在这种情况下,你可以,所以这也许就是为什么,嗯,你在这里说得到一个t因子可能并不那么令人惊讶。好的,也许,也许好的。嗯,但是,嗯,当我们得到,所以也许,所以让我们把这个放在一边,因为我想谈谈计算复杂性,在这里你会看到这不是问题,因为我的主张是,对于计算复杂性,即使在这里,如果你能正确实现拟合,你也可以在多项式时间内完成。那么,如果你只有端到端数据,即使生成器类非常容易拟合,比如生成器类非常简单,但拟合这个端到端数据在计算上可能是棘手的,比如你知道你不能在多项式时间内完成。所以这不是拥有t倍更多时间或数据或其他任何东西的问题。好的。你只是完全被困住了。好的。是的。

>> 嗯,我以为这种端到端拟合是人们实际在做的事情,而且确实如此。我们一直在解决棘手的问题。事实上,我想明天你和其他人可能会告诉我们如何做到这一点。嗯,但是,不,你说得对。嗯,所以这个端到端,嗯,N所说的是,嗯,好的,让我告诉大家,确保大家都在同一页面上,对吧?所以这,这,这所说的是,嗯,这真正帮助我的是,如果我只有问题和答案,那么拟合起来非常困难,因为我必须猜测中间的思考过程是什么,那非常困难,好的。现在确实有很多工作,我的意思是,我认为DeepMind通常被认为是这项工作的先驱,但我认为以前也有人做过,现在有很多关于精确地做这件事的工作,以及在没有思维链的情况下,主要使用强化学习技术进行学习,对吧?而这所说的是,这通常是棘手的,这是一个难题,好的。嗯,我们有时成功的事实,你知道,只是有一些特别的东西让它成功,我认为明天会有很多关于如何做到这一点的演讲。所以你可以把这看作一个基础,嗯,就像提供基础,解释,你知道,为什么在某种程度上,这是一个最坏情况下的难题,就像必须发生一些特别的事情,我认为有很多非常特别的事情我们明天可以谈论。哦,是的,>> 我的演讲不是关于这个,但 >> 好的,但其他人我认为明天会。>> 直觉上,我认为如果我想做最大似然估计(MLE),我基本上需要积分掉。>> 是的,变量。>> 对,你可以那样想,所以你拥有所有这些链,有很多潜在变量,你必须把它们积分掉,那就像最坏情况下的棘手问题,好的。然后你知道,你可以考虑各种采样技术,但它们,你知道,它们不保证总是有效,好的,很好,那么我该怎么做,好的。

>> 就像问题中的n,就像m一样,或者当你提到多项式nt时,就像。>> n是什么?n是什么?那里没有n,n是打字错误,抱歉。>> 我不知道n是什么,嗯,n,哦,我知道n是什么,嗯,n是什么,让我们暂时忽略它。我的意思是,我想我知道n是什么,那是因为一旦你将事物形式化为多项式时间,你就会有像问题复杂性的索引,关于事物如何扩展,比如,你知道,暂时非正式地忽略它,好的。

嗯,好的,所以,嗯,好的,所以当我说它很难时,我的意思是它在哪些情况下很难?所以它很难,你知道,对于某些类来说它很难,也许最容易描述的类是所有最容易研究的类,比如当你想研究任何东西时,总是从线性类开始,在这种情况下是线性回归,线性分类。所以让我们把我们的基类设为迭代的类,嗯,线性阈值类。所以我每次做的就是,我的标记只是一个二进制字母表,标记只是比特,每次我都有一个线性函数。所以回到罗布的问题,这是一个固定的线性函数。我只是用零填充,如果我没有足够的输入。我将线性函数应用于我到目前为止的上下文的后缀,我得到一个线性阈值。我得到一个新的比特,那就是我的新比特。这是最简单的事情,而且在可实现设置中,这很容易用你的感知器或LP学习,它是LP可行性问题,或者你喜欢解决你的分类问题的任何其他方式。好的。所以coot问题很容易。我们也理解为这些样本复杂性,但这并不是你在这里想关注的。重点是,你在这里可以证明的是,即使对于这个非常简单的类,端到端问题也是可证明的难题。好的。你不能,在关于学习的密码学假设下,嗯,几乎,几乎存在单向函数,嗯,或者在某些密码学假设下,你可以证明它,嗯,嗯,你没有任何多项式时间算法可以实际完成这个端到端任务。所以所有这些我们明天将要了解的RN方法,在最坏情况下都会失败。好的。

嗯,好的。那么现在所有这些,嗯,硬度结果是如何产生的,哦,我应该说,嗯,我还想,哦,也许我应该,抱歉,顺序。好的。我还想指出,这里这个类,再次回到我提到的马利克的工作。嗯,那么这个硬度结果是如何运作的呢?所有这些硬度结果的运作方式是,为了证明某事是困难的,我必须向你展示这个类非常强大。所以简单来说,什么是强大的?我能向你展示如何将任何有界深度电路嵌入为线性阈值。所以对于任何有界深度电路,我实际上可以给你一个线性预测器,通过迭代这个线性预测器来计算有界深度电路。好的。所以如果你能学习迭代线性预测器,你就能学习有界长度电路。这是一个非常强大的类,嗯,在标准密码学假设下是不可学习的。好的。

所以当我告诉你这样的结果时,你可能会想,好吧,我把它表述为一个负面结果,但也许它实际上是一个正面结果,因为我刚刚告诉你,即使是线性阈值也实际上非常强大。它们可以有效地实现任何有界深度电路。好的。所以也许我们应该把它看作一个积极的结果。但你可能会说,嗯,你知道,它有多强大?我只能嵌入,我只能处理有界深度电路,而且这里的依赖关系L是电路的深度。你可以看到,我需要的线性预测器的长度,嗯,我需要的线性预测器的维度,与电路的深度呈指数级增长。这就是为什么你只能处理有界深度电路。所以如果你想把它看作一个模拟结果,它实际上是一种非常弱的模拟结果。嗯,它足以得到硬度结果,但作为一个积极结果来说有点弱,你不能想,哦,也许我可以加强它,好的,也许实际上我不知道,也许你可以,好的。嗯,但我会说这是一场输掉的游戏,好的,你不需要加强它,因为这并不是我们想要的。事实上,如果你想学习的是电路,有一个更直接的方法,那就是你会去看一个马尔结果,它研究的是这个的非时间不变版本,它在每一步都使用不同的线性变换,那么你就可以实现任何深度的任何电路,而且你需要的参数数量基本上对应于电路的大小。就像它将与电路的大小呈线性关系。你可以做得比构造更紧密一些。好的。

这里的主要原因是,这里发生的事情是,电路本质上是非时间不变的。它们没有时间,但它们不像同质的。它们不像统一的。每一个门都做着非常不同的事情。那里没有什么重复出现的东西。所以这正是我们不想用这些时间不变或回归过程来捕捉的。我们想要关注的实际上不是电路,而是那些具有更多时间不变性的东西。所以我要告诉你们的是我这里最深层的幻想。好的?嗯,这才是我想学习的。我是认真的。我的意思是,这就是我处理机器学习的方式。那么我真正想学习的是什么。所以最终我想学习任何可描述的东西,对吧?任何东西,这是一个非常广泛的类别。嗯,但问题是它实际上是可学习的,因为任何你可以用s比特字符等写出任何类型描述的东西,那么对数基数就只有s,我只需要s个数据来学习它,好的,所以这非常强大。特别是,想想描述事物,嗯,即使你可以学习任何可描述的东西,嗯,更有用的是你会谈论程序,因为如果你真的想自动化事物,而不是我想学习而不是设计或编程,如果某个函数可以被描述但不能实际实现。谁会在乎学习它呢?所以我只是想与程序竞争,这是一种特定的描述,对吧?所以凯文作为一个专家程序员可以编写的任何程序,我都不需要编写。好的,我不需要,因为我可以直接学习它,而且我学习它所需的数据量与凯文程序的长度呈线性关系。好的。嗯,所以这是一个非常强大的结果。好的。好的。

嗯,所以唯一的问题是,你知道学习不会止步于此的原因。如果我们只关心统计学,它确实会止步,唯一的问题是这在计算上是不可行的。我不能,就像当我说我能学习时,我可以通过枚举所有m上的程序来学习,那甚至不是可计算的。好的,即使我以某种方式限制它们,也许它有点可计算,但它不是可处理的。好的。

嗯,所以这,嗯,嗯,所以这有点不像我想要得到一些我可以学习并且是可处理的东西。而且请注意,这里虽然输出是不可处理的,因为凯文可能写了一个非常短的程序,但它需要三倍指数级的时间,所以学习它也没有意义,因为即使我成功学习了,我也不会去实现它。所以我可以妥协的是学习那些不仅程序短,而且运行时间短的东西。所以现在游戏是这样的。如果凯文能写出在时间t内运行的东西,好的,那么我就可以学习它。嗯,我可以在与程序长度成比例的时间内学习它。我肯定可以在与程序运行时间成比例的时间内学习它。好的。所以,嗯,嗯,优势在于现在我们的复杂性要好得多,因为这个问题实际上是NP难的。抱歉,不是,它是NP完全的,NP完全是个好消息,因为特别是它意味着它是NP。好的,所以如果P等于NP,我实际上可以做到这一点。好的,所以这很好。嗯,如果P不等于NP,那么,嗯,我仍然有点问题,但并非一切都失去了,因为我可以在时间T内计算的任何东西,我也可以在大小为T的电路中实现。嗯,这意味着我可以用大小为T的神经网络来实现。所以如果我,嗯,如果我正在学习一个神经网络的输入,我真正做的是学习所有大小为t的函数,我真正做的是学习所有大约在时间t内可学习的函数,好的。而且我真的相信这是神经网络如此伟大的真正原因,因为它们是通用的,它是一种学习任何东西的方式,嗯,任何可以在时间t内完成的事情,好的。当然,我可以在最坏情况下做到,但至少我可以尝试,比如枚举短程序就像一个失败的事业,因为它不可微分,而这个至少是可微分的,好的。而且我再次认为这得到了历史的支持,即使我没有一分钟的时间,我认为这里的历史,你将不得不向你解释,我以前有这些图片,嗯,所以我为什么把香农放在这里?我的意思是,我希望每个人都认出这是香农,我为什么把香农放在这个语境中?他与此有什么关系?没有人,这不是通信,好的。所以香农的硕士论文,好的,本质上告诉我们,就是告诉我们,你知道,任何我想要实现的任何函数,我想要计算的任何函数,我都可以用电路来实现,好的,这与神经网络并没有太大不同,好的。几年后,麦卡洛克和皮茨,嗯,他们非常了解香农的工作,嗯,他们思考的是生物学上可行的计算模型,而不是电子上可行的计算模型,并写了一篇漂亮的逻辑论文,介绍了神经网络。再次,神经网络被非常明确地引入作为一种计算模型,说看,任何我们可以计算的东西,好的,我们都可以用神经网络来计算,其定义与我们现在拥有的非常接近。所以神经网络的整个基础就是作为计算模型,好的。这些,这两个的唯一问题是它们都是离散的计算模型,嗯,而且,嗯,嗯,嗯,我认为指出,嗯,我们放弃了麦卡洛克-皮茨模型,因为它们是离散的,我们无法优化它们。好的。然后当然,解决方案是使它们连续化。好的。一旦我们使它们连续化,我们就可以使用梯度下降。这就是我们现在正在做的事情。好的。所以我认为这才是神经网络正确的历史观。好的。

所以,嗯,很好。所以这,嗯,嗯,这很好。但现在的问题是,请注意,有了这个,我们拥有的样本复杂性必须与运行时间成比例。但原则上,样本复杂性不必与运行时间成比例。它必须与程序的长度成比例,而程序的长度可以比运行时间短得多。凯文可以编写非常短但运行时间长得多的程序。我们说,好的,我们不希望它以三倍指数时间运行,那没关系。但是如果凯文写了一个程序,比如150个字符,并且运行时间是n的平方,其中n是输入长度。好的,为什么我的学习时间要与n的平方成比例,而不是常数?为什么它要依赖于运行时间?好的,所以我们真正应该问的是这类,嗯,这类既短又运行时间少的程序。我们希望的是,学习时运行时间复杂性可能取决于程序的运行时间,因为我们必须尝试它或做些什么,但样本复杂性原则上仍然应该只取决于程序的长度。好的。那么我们该怎么做呢?所以这正是我想要学习的,嗯,而且,嗯,嗯,我的主张是,这是我们可以用这种时间不变模型做到的事情,这确实应该是我们的目标。天哪。这应该是我们使用自回归模型的目标,因为我们看到,自回归模型的关键在于,我们可以让它们的样本复杂性独立于计算步骤的数量,即它们思考所需的时间。好的。

所以,嗯,我们在这里的目标是构建一个简单的生成器类,好的,它实际上可以学习任何长度为s并在时间t内运行的程序,其复杂性主要取决于s而不是t。好的。所以我们可以考虑我们的线性类,嗯,并快速过一遍。你可以告诉一个线性类,简单的线性类是许多问题的解决方案,但在这里它不是解决方案,它们不够强大,你可以很容易地证明它,嗯,但有没有不同的类?嗯,我跳过那个,只是问,你知道,有没有不同的类?所以这是我们的目标,这个雷达,我们能否设计一个生成器类,它有三点我想要的:首先,我希望如果我使用这个生成器类并进行t步的自回归或思维链,它能够模拟任何在时间t内运行的程序,所以类的复杂性必须与s成比例,而迭代次数必须与t成比例。好的。也许允许你考虑对数因子。你稍后会看到我不需要它们。好的。

嗯,而且我需要它,所以拟合这个生成器类很容易。所以这个生成器类,拟合生成器类本身很容易。然后我知道拟合这个思维链也很容易,然后我就可以实际地、可处理地学习任何在时间t内运行、长度为s的程序,以及样本数量。所以它只取决于这个,嗯,嗯,与程序长度呈线性关系。好的。这是可能的。所以不难看出,至少使用合成生成器类,这是可能的。在这个生成器类中,我们基本上会使用我们的思维链来模拟图灵机。所以思维链的每一个步骤,每一个标记,都会编码图灵机的一个计算步骤,比如我们处于什么状态,t在哪里,嗯,机器的当前状态是什么,磁带上的当前标记是什么,以及我们是向右移动还是向左移动,好的。而生成器类基本上是,对于每台机器,他们可以定义一个生成器,这个生成器只是把到目前为止的所有计算历史都放在它的脑子里,它可以模拟图灵机,现在它可以打开计算步骤。所以它所做的就是模拟图灵机,作为大小为S的图灵机与这个生成器类之间的一一对应。好的。

嗯,让我明确地写下这个生成器类。嗯,再次,它的作用是,这个类形式上只是一个从标记序列到下一个标记的映射。对吧?所以它必须接收描述计算的标记序列。现在要进行下一步计算,你必须弄清楚两件事。首先,你必须弄清楚你在磁带上的位置,因为标记只告诉你你移动到哪里。对吧?所以这很容易。你只需把所有的移动加起来,你就知道你在磁带上的位置了。好的。然后你必须弄清楚磁带上实际写了什么。所以要看磁带上写了什么,你必须回到计算中最后一步,它在那个位置写了东西,并弄清楚他们写了什么。好的?所以你在这里就是这么做的。好的?你找到我上次写入当前位置的时间,现在我知道了磁带符号。我知道我的状态,我就可以执行图灵机的下一个状态。好的。

我为什么,嗯,好的?所以首先我的主张是这满足我的要求,我的意思是,我很容易,这非常非常真实,我只是很容易看到这实际上具有正确的复杂性,只与字符串机器一样大,它非常容易拟合,嗯,而且它可以模拟所有东西,这正是我想要的。但我想要强调的是,我想稍微看一下这个,让我们看看这个,我在这里描述的,我如何实现它?对于那些熟悉注意力机制的人来说,我希望是所有人,这基本上就是我在这里需要的注意力机制,因为这里发生的事情,这种查找和所有这些都是局部操作,这里我必须查看其他标记的唯一事情,主要的事情是这个操作,我必须找到我上次在当前位置写入的地方,这正是一个注意力操作。我将我写入的所有位置用作键,我想要读取的位置用作查询,以及我写入的值。好的。所以非正式地,那可能是一个硬性注意。这里可能还有一点注意力用于计算位置。也许我需要统一注意力。再次,这里是离散的。我把它写成硬性,所以是离散注意力。但现在我们要做的,是从麦卡洛克-皮茨模型转向辛顿,并使其连续化而不是,嗯,你看我把它做成了连续的而不是离散的。这样我就可以计算梯度。我的意思是,但这所有这些细节都不那么有趣。如果你想了解更多关于这些细节,关于一旦你把事情连续化,就像把事情连续化是一个错误,然后你必须担心更多,然后一堆作者担心所有这些细节,并展示了如何用连续注意力来做到这一点。好的。

所以,嗯,嗯,很好。所以现在我们看到,我们所做的是从图灵和麦卡洛克-皮茨模型(这是一种非均匀模型,如电路)转向。好的。然后我们只能在与时间成比例的情况下学习,我们真的必须关注图灵的时间,而图灵的主要思想是现在我们有一个统一的模型,我们只关心程序的长度,机器的长度,而不是计算时间。所以到目前为止我没有任何新东西。我只是可能对现有事物提供了一个新的视角。我只是在用Transformer做思维链。好的。但现在你可能会问以下问题。长度,上下文长度,磁带的长度呢?好的。所以那有点像我们的记忆。但请注意,即使凯文如此勤奋编写的程序非常节省内存,使用了少量内存,我将需要的上下文长度,我将需要上下文。

将线性增长,因为每次我认为我必须写下我唯一的思考方式就是写作。好的,我必须边想边写,所以,嗯,我将需要上下文长度是磁铁代码内存。一个自然的问题是,我能节省这方面的成本吗?所以,特别是,如果我有一个嗯,呃,嗯,嗯,嗯,嗯,如果我实际上想与凯文写的一个专业凯文程序竞争,该程序的长度是样本复杂度 s,运行时间是 t,只使用 m 内存,我能否做到这一点,其上下文长度某种程度上只取决于 m 而不是 t。好的。所以,使用标准的思维链,我做不到。好的。嗯,但一旦你这样想,它就直接激发了如何做到这一点,因为当你嗯,当你思考时,你不是像图灵机那样思考,或者你编程,你不是编程图灵机,我希望,而且你们大多数人可能不会在 1954 年的 fortran 中编程,所以 1954 年的 fortran 确实是这样运作的,而当时在 1950 年左右出现的重大发明是堆栈。好的,所以堆栈的想法是什么?所以这是克劳斯·斯莫尔·萨缪尔森,他在此之前基本上发明了堆栈。所以堆栈的想法是什么?对吧?你在计算时在堆栈上写东西,但然后你清空堆栈。你写,然后你删除东西,对吧?所以你可以做很多中间计算。你可以调用子程序,但当你完成它时,你可以删除子程序的所有内存。你也可以这样工作。当你想到某事时,你会想到某事,但当你完成思考后,你可以擦掉黑板。你可以用一个非常小的黑板进行大量的思考。你思考,然后你擦掉,然后你思考,然后你擦掉。你只保留最终结果,而不是中间计算。所以你可以做的是,我们可以非常容易地修改自回归思维链生成以支持这一点。我们通过引入三个特殊标记来实现这一点。好的。呃,我们将称之为“分隔”和“返回”。好的。发生的情况是,这些只是你可以发出的三个标记。但每次你看到这个模式。好的。所以每次我们进行自动生成时,我们都会看到这个模式,特别是每次我们遇到“返回”时,我们就会删除“调用”和“分隔”之间的所有内容。好的。所以你可以把它看作是 T 是程序或子程序的中间计算,A 是你的答案。好的。嗯,所以,你知道,我们有这是标准的回归,但现在我们还有一个额外的,我们做的是,而不是仅仅“生成”和“附加”,我们做的是“生成”和“附加”,然后“减少”,然后“生成”和“附加”,然后“减少”,然后“生成”和“附加”,然后“减少”。如果你执行一个步骤,如果“返回”什么都不做。如果有“返回”,它会找到前面的“分隔”和“调用”,然后擦掉中间的部分。好的。所以这就是为什么我们称之为铅笔,因为你不仅可以用铅笔写,还可以用橡皮擦,你还可以擦掉中间的东西。好的。嗯,让我跳过这个例子。呃,和呃,嗯,你知道,我在这里解决一些约束满足问题。嗯,我尝试了一些东西,我称之为 whatever,当我有一个“返回”时,我所做的是,就像从上下文中剪掉一样,然后我可以继续,即使它返回,所以也许从这里会更清楚,哦,它在哪里,这里,这就是我用标准的思维链所做的,它会很长,但用铅笔,我的思维链,发出的总标记数是相同的,但它永远不会变长,所以这是一个思维链的例子,另一个例子,我只是把它放上去,让 Zade 更开心,这样他就不会打断我,是爱因斯坦谜题,你们中的一些人可能熟悉。再次,这基本上是一个自然语言问题,约束满足问题。我必须检查所有设置,但一旦我完成了检查,我就可以删除我所有的中间计算,使用我的铅笔。好的。而且,通过使用这个,我可以非常显著地缩短思维链,通过,你知道,巨大的倍数。好的。嗯,和呃,这使我能够呃,呃,让我跳过理论结果,直接进入实验。这确实,呃,所以我也能更快地做事情,因为我节省了标记。但主要的事情是,我可以在更大的问题上获得很高的准确性。所以这是使用标准思维链和铅笔的比较。你可以看到,用铅笔,我可以用,你知道,用标准的思维链,一旦问题变得有点太大,准确性就开始下降。但用铅笔,我可以一直做到非常大的问题。而且,在爱因斯坦谜题中,我也能处理,呃,呃,具有相当小模型的,问题要大得多。所以这里你看到的是,这是针对小问题的。所以对于小问题,我也可以用标准的思维链来处理,但我,你知道,主要的影响是模型的大小,上下文的大小,我可以做得更小。好的,让我在这里总结一下,而不问所有这些精彩的开放性问题,你稍后可以问我,呃,并总结一下我们在这里看到的内容。嗯,我们再次看到了理论工作,就像试图真正为自回归奠定基础。所以我们可以确切地问所有这些问题,Ang 正在询问,比如展示,建立端到端通常很难,现在你可以给我各种条件,在这些条件下它很容易,比如如果我确实有,也许你可以问一些我跳过的问题,你可以问很多有趣的问题,现在以一种正式的方式,比如,如果我有很多端到端监督,少量的思维链监督,这容易还是难?如果我对思维链有统计信息,因为通过预训练,这会使它变得容易吗?现在你可以以一种正式的方式问这个问题,这为你提供了一个坚实的理论基础,而且我们也可以通过这个镜头来理解 Transformer 和自回归生成,计算模型,我强烈认为这是思考这些事情的绝对正确的方式,一旦我们以计算模型的角度思考,它就直接激发了用这些擦除机制来增强它们,这使我们能够,呃,呃,在经验上也更好地解决自然问题。我远远超过时间了,所以请原谅我,谢谢。 [掌声] 一个问题 >> 我们之前有很多问题,所以我不觉得那么糟糕,但是,呃,一个难题,实际上没有人想,我们有两个问题,没有人想成为唯一一个问问题的人,没关系,是的 >> 我只是在想,我们谈论的是,你知道,使用 RL 与这里的难度结果,我猜 RL 的观点,这与你关于思考不同类型数据等的开放性问题有关,对吧?所以我想 RL 的成功解释是,如果你从零开始学习,并且你没有那些合作数据,得到那些中间标记是几乎不可能的事,但 >> 但实际上我们有预训练 >> 对 >> 比如预训练实际上启动了,初始化了 RL,在中间可能发生的事情上有很好的覆盖,这有助于,RL 真的只是在做最后的微调,你严重依赖于,你知道 >> 完全正确,完全正确,所以你可以,你可以在这个模型中正式化它,就像你说的,就像你说我没有,我没有确切的合作数据,但我有,如果我有很多,我有端到端数据,确切的端到端数据和统计合作数据,比如,你知道,现在我可以确切地正式化它,并问它是否很难,并获得覆盖率的度量,我认为再次,也许你的工作,我的意思是,我知道,我认为明天 Dean 会谈论这个。呃,所以,是的,我认为其他人,也许我不记得明天的整个阵容,但我想,是的 >> 所以我们谈论了如何使这些东西可微分,那就是注意力 >> 那么,这个 >> 生成附加减少是如何的,它是训练的 >> 所以,好的,完全没问题,好的,好的,不,好的,好的,所以,事情是,这个,这个减少步骤,所以这是,这是非常重要的,也许我明白了,事情是,铅笔是完全正交的。呃,我想我有一张幻灯片,我跳过了,但呃,呃,好的,所以铅笔是完全正交的,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,呃,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