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Bueno, sigamos con esta. Vamos a otro ejercicio más. El siguiente dice:
La señora Portillo preparan tortas utilizando hornos, que es el capital, y su tiempo, que es el trabajo. Si el precio de cada horno es de 200 pesos y el precio de su trabajo es de 20 pesos, la pregunta dice: calcule cuál es la máxima cantidad de tortas que puede producir con 600 pesos.
Si la función de producción es... bueno, nos da la función de producción que es esta que está acá: Q = K * L al cuadrado. El precio del trabajo es de 20 pesos, el precio del capital o el interés es de 200 pesos, y nos dice que tiene un total de 600 pesos para gastar en capital y trabajo. Y la idea es encontrar el máximo nivel de producción posible. O sea, este es un ejercicio al contrario de con el que terminamos el video anterior. Este es un ejercicio de maximizar producción sujeto a un nivel de costos. Nuevamente, o sea, lo que estamos buscando podríamos ir graficando porque la iso costo la conocemos. O sea, las todas las combinaciones del capital y de trabajo que se pueden comprar las conocemos.
Acá, si destina absolutamente toda la plata, o sea, los 600 pesos, a comprar solo capital, va a poder comprar 3 como máximo, o sea, 600 dividido 200. Y si destina los 600 pesos enteritos a comprar horas-hombre o trabajo, va a poder contratar 30 en total, que serían los 600 divididos... Ahí está. Entonces, le dice costos y lo que estamos buscando es dónde se puede alcanzar con el seso costal o cuánta más lejos del origen, que sería el máximo nivel de producción posible que podríamos alcanzar dada nuestra limitación presupuestaria, diríamos, dados los 600 pesos que puede mostrar de costo. Y eso se produce precisamente en un punto de tangencia. O sea, que la primera condición siempre que vamos a cumplir es la de condición de tangencia. O sea, que el cociente de productividad es marginales sea igual al cociente de precios. Nuevamente, como como siempre.
Se podría hacer un análisis previo de para dónde va a ir la respuesta. Noten que dado como aparece la caída L en la función de producción, podríamos decir el hecho de que la L esté elevada a la 2 y la K a la 1, podríamos decir que el trabajo es el doble de productivo que el capital. Y no solamente que es el doble de productivo del trabajo que el capital por esto por cómo aparece en la función de producción, sino que si vemos los precios de los factores de producción en el mercado, sale 20, sale 10 veces menos, o sea, sale 10 veces menos el trabajo que el capital. Y es el doble de productivo. O sea, que la respuesta va a dar que va a consumir 20 veces más trabajo que el capital, o el capital va a ser un veinteavo del trabajo. O sea, uno puede anticipar para dónde va la respuesta antes de hallarla.
Pero bueno, como dijimos, la primera condición es que se cumpla el punto de tangencia. Siempre va a ser esta la primera condición a cumplir. La productividad marginal del trabajo, que es la derivada de esta función con respecto a L, nos da 2KL. La productividad marginal del capital nos da L al cuadrado, que es la derivada de esta función pero con respecto a K. Si armamos la condición de equilibrio, nos queda de esta manera: 2KL sobre L al cuadrado es igual a 20 sobre 200, lo mismo que un décimo. Y acá podríamos simplificar este cuadrado con la L de arriba y nos queda de esta manera. Si yo después paso esta L que está acá dividiendo, la pasan a multiplicar, y este 2 que está multiplicando lo paso a dividir, va a quedar en definitiva que K es igual a un veinteavo de L, que era lo que había dicho, o L es igual a 20K. Que se podría haber despejado al revés, pero lo que ya habíamos dicho, que va a consumir 20 veces menos capital que trabajo, porque el trabajo es el doble de importante y sale 10 veces más barato. O sea, que el doble de importante y diez veces más barato, a consumir el 20 veces más trabajo que capital, que eso es lo que me está diciendo esto que está acá.
La segunda condición. Si la segunda condición, como es un ejercicio de maximizar producción sujeto a un nivel de costos, o sea, que la segunda condición va a ser de que se gasten los 600 pesos. O sea, que 600 pesos tiene que ser igual a el salario, que es de 20 por la cantidad de trabajo, más el interés, que es de 200 por la cantidad de capital. Pero en vez de poner capital, ponemos lo que nos había dado la condición anterior, o sea, que el capital era un veinteavo de L, para que me quede solo por despejar el L. Va a quedar solo por despejar el L. De tocar 20L y 10L de este lado, o sea, serían 30L en total. Si despejan el L de esta función, le va a quedar que la cantidad óptima de trabajo a contratar es de 20 unidades, que es este numerito acá. Este 20. Este sería el óptimo de trabajo. Y obviamente, este 20 lo reemplazo en la función que obtuvimos anteriormente y me da que la cantidad óptima de capital es de 1, que es este valor que está acá. Y acá acabamos de hallar la cantidad óptima de capital y de trabajo a contratar, que con 600 pesos lograr el máximo nivel de producción.
¿Y de cuánto es ese máximo nivel de producción? Lo único que hay que hacer es agarrar y reemplazar en la función de producción por los valores de K y L que acabamos de obtener. Y me dice que lo máximo que se puede producir con 600 pesos, esta función de producción y teniendo en cuenta que los precios de los factores son estos, es 400 unidades. O sea, que hemos alcanzado la iso cuanta de 400. Hay que... el gráfico completito de la situación de equilibrio.
El punto B. Son puntos teóricos. Los que siguen a continuación dice el punto B: "El punto calculado pertenece al sendero de expansión. Justifique." Bueno, esto lo hemos explicado en la parte teórica lo que era el sendero de expansión. Y como vieron, la parte teórica del sendero de expansión muestra todas las combinaciones óptimas, o sea, todas las combinaciones óptimas de capital y de trabajo para cada nivel de producción. Y efectivamente, o sea, para producir 400 unidades, la mejor combinación de capital y de trabajo, o sea, la más barata, sería una unidad de capital y 20 de trabajo, que es lo que acabamos de hacer. Por lo tanto, por supuesto que es del sendero. Este esta combinación de capital y trabajo pertenece al sendero de expansión porque es un óptimo. Y el sendero de expansión está compuesto por todos los óptimos. No hay una manera más barata de producir 400 unidades que contratando una de capital y 20 de trabajo, dadas, dada el enunciado inicial. No. Entonces, ahí quedó contestado el punto B.
Y por último, el punto C dice: "La señora Portillo afirma que si duplica la cantidad de hornos y utiliza el doble de tiempo, puede producir el doble de tortas. ¿Es cierto esto? Justifique utilizando los conceptos económicos correspondientes."
Bueno, esto está relacionado, gente, con los rendimientos a escala. Había... hay otro gráfico, otro video donde se explica teóricamente el tema de los rendimientos a escala de las funciones. Y lo que está suponiendo la señora Portillo, por lo que dicen, o ella dice que si duplica hornos y tiempos, o sea, si duplica capital y de trabajo, obtiene el doble de producción. Que eso querría decir que ella supone que la función de producción que tiene tiene rendimientos constantes a escala. Pero lo cierto es que no es así. Es falso esto que está diciendo la señora Portillo. Porque la función que tiene, la función está, esta función de producción tiene rendimientos crecientes a escala. Y eso lo podrían comprobar de... bueno, yo les dije en el video de rendimientos a escala, les toman dos maneras de poder calcular los rendimientos a escala que tiene una función. Una era el método de utilizarla para multiplicar cada factor por un lambda y fijarse después de despejar a qué queda elevado. Si hacen ese método, que lo explico, o sea, multiplicamos K por lambda, L por lambda, después sacamos factor, cosas, despejamos lambda y que nos quede a lambda multiplicado por la función original, van a ver que si hacen esto, al lambda va a quedar elevado a la 3. Si lambda va a quedar de esta manera, y que el lambda ya quedó la 3 significa que tiene rendimientos crecientes a escala. Repito, esto lo explico en el video de rendimientos a escala. Pero también otra forma más sencilla de hacerlo es: ya sabíamos que con 20 unidades de trabajo y una de capital se producían 400 unidades. Si duplicamos los factores, como dice la señora Portillo, o sea, si usamos 40 de trabajo y 2 de capital, reemplacen por 2 y por 40 la función de producción y no les va a dar 400, 800, que sería el doble. Le da 3200. O sea, 8 veces aumenta la cantidad producida. Por lo tanto, esto claramente tiene rendimientos crecientes a escala, no como pensaba la señora Portillo, que ya pensaba que tenía rendimientos constantes a escala por lo que estaba diciendo.
Hagamos un último ejercicio sobre este tema. Este está estando interesante porque es un ejercicio donde mezcla el corto plazo con largo plazo. Dice: "Suponga que la empresa Suárez Médica, dedicada a la producción de objetos de arte, contrata tanto capital como trabajo en sus procesos productivos. La tecnología de producción puede representar mediante la siguiente función." Y nos da una función de producción. Esto significa nada más que esta parte que está acá significa que la cantidad total producida es función de L y K contratado, no es otra cosa que eso. El precio por unidad de trabajo es de 3000, mientras que por unidad de capital es de 60.000. Si el objetivo de la empresa es producir 40.000 unidades del bien, ¿cuál será el menor costo posible en el que debe incurrir para lograrlo? Gráfica.
Bueno, a ver, gente, esto es un ejercicio de minimizar costos sujeto a un nivel de producción, porque nos dice la cantidad que desean. Los datos iniciales son la función de producción, el precio del trabajo, el precio del capital y la cantidad que se quiere producir. O sea, este es un ejercicio de minimizar costos sujetos a un nivel de producción. Nuevamente, podríamos sacar algunas conclusiones. El trabajo es 20 veces más barato y... [aplausos] y rinde el doble, diríamos, que el capital, porque está el doble. Si el capital aún, o sea, que va a consumir 40 veces más de trabajo que de capital. Resolvamos. Es un ejercicio, como dijimos, de lo que queremos hacer es encontrar el óptimo de producir 40.000 unidades. Ya no nos dice que tenemos que producir 40.000 unidades y tenemos que encontrar dónde, cómo se pueden producir esas 40.000 unidades de la manera más barata posible. Dónde está la manera más barata posible es donde la iso cuanta de 40.000 se hace tangente a la iso costo más cercana al origen que podemos obtener. Eso sucede en un punto de tangencia. O sea, que la primera condición va a ser siempre la misma. No voy a repetir siempre lo mismo. O sea, tenemos que sacar primero las productividades marginales. La productividad marginal del trabajo es... nos da 20LK, que es la derivada de esta función con respecto a L. La productividad marginal del capital, que es la derivada de esta función con respecto al capital, nos da 10L al cuadrado. Y con esto, ya teniendo las productividades marginales, armamos el cociente de productividades marginales tiene que ser igual al cociente de precios, a salarios sobre interés. De este lado da un 20 a 2, se simplifican. Y acá simplifico también este 10 se va con el 2020 y se transforma en un 2. La L esta desaparece con el cuadrado de acá abajo, entonces me queda de esta manera. Y si hace un pasaje de términos y termina despejando K, despejando el L en este caso, de despejar K, nos queda que K es igual a un 40 de L. O sea, en el óptimo va a consumir 40 veces menos capital que trabajo, o 40 veces más de trabajo que capital, lo mismo. K es igual a un 40 de L.
La segunda condición que tenemos que cumplir es que quiere producir 40.000 unidades. Por lo tanto, sabemos que Q va a tener que ser 40.000. O sea, que Q va a ser igual a esto que está acá. Este, esta es la función de producción. Ahora, también tiene que ser igual a 10L al cuadrado K. En medio poner K, reemplazamos la K por lo que obtuvimos en la condición anterior para poder después todo expresado en términos de L. Y aquí vamos a poder despejar L. Fíjense que va a quedar de esta manera. Después este un cuarto va a pasar a dividir o va a pasar a multiplicar por 4, lo mismo. Y después el 13 este pasa como raíz cúbica. Y en definitiva, va a quedar que la cantidad óptima de L a contratar es 54,28. Y terán. Se apartan los trabajadores. Así todo acá, siempre en economía, todo se respetan las comas. Aparte, esto puede ser tranquilamente horas hombre. O sea, y si es factible que se necesitan 54,28 horas hombre. Y bueno, está la cantidad óptima de capital y de trabajo, 54,28. Y si reemplazamos este valor aquí adentro, me da la cantidad óptima de capital, que la cantidad de capital va a ser 1,35. Si reemplazamos los valores acá, esto lo que acabamos de hallar el óptimo. Podríamos sacar cuánto estamos gastando también para sacar el costo. O sea, de cuánto es ese mínimo costo total. Simplemente reemplazando la función de costo. De la función de costo es el precio del trabajo por la cantidad de trabajo más el precio de capital por la cantidad de capital. Me da que el mínimo costo de producir las 40.000 unidades, dado estos datos iniciales, el mínimo costo de producir las 40.000 unidades, 244.300 pesos. Casi que con este valor podríamos completar y terminar de armar el gráfico bien, porque si esto lo que está gastando, si toda la plata, toda esta plata la destina a comprar capital, va a poder comprar como máximo 4,07. Que sería este número dividido 60.000, que es lo que sale cada unidad de capital. Y si gasta toda esta plata, toda esta plata en trabajo, va a poder comprar como máximo 81,43, que sería este número dividido 3000, que es el precio de los trabajadores. Y ahí quedó la respuesta de para el punto A.
Vamos a seguir con el punto B. El punto B dice: "Suponga que la empresa realiza la contratación óptima de factores para producir 40.000 unidades, o sea, lo que acabamos de calcular recién. Y luego, a corto plazo, decide incrementar la producción a 50.000 unidades. ¿Cuánto contratará de capital y de trabajo? ¿Cuál será el costo de producir estas 50.000 unidades pero a corto plazo?"
Si sumamos que ya la empresa venía trabajando con 54,28 unidades de trabajo, 1,35 unidades de capital, produciendo de manera eficiente y óptima, de la mejor manera posible, de la más barata, las 40.000 unidades. Pero en el corto plazo tiene que salir a producir 50.000 unidades. Lo que me está planteando primero, que estamos hablando, es lo que tenemos que tener en cuenta que en el corto plazo vamos a suponer que el capital es fijo. O sea, la empresa no puede modificar la cantidad de capital. Si seguimos con la ideología esta de que el capital es el factor que suponemos fijo en el corto plazo y el trabajo es el único factor variable. La empresa lo que debería hacer es ver si manteniendo la cantidad de capital fijo, porque no la puede cambiar, cuántos cuánto trabajo debería contratar para lograr ese nivel de producción de 50.000 unidades. Gráficamente, lo que estamos hablando es de lo siguiente, que lo que queremos es alcanzar ahora la iso cuanta de 50.000 unidades, pero no podemos cambiar la cantidad de capital. Por lo tanto, vamos a tener que mantener la de 1,35 y ver cuánto trabajo vamos a tener que contratar para lograr ese nivel de producción. Vamos a tener que hacer es simplemente agarrar la función de producción. Sabemos que va a tener que ser 50.000 unidades lo que queremos producir. Y en la función de producción, donde diga capital, directamente lo reemplazamos por ese número que no podemos modificar, que es 1,35. Y fíjense que directamente lo único que queda por hacer es despejar el L. O sea, listo, despejo L y me dice que la cantidad que debería contratar, manteniendo fija la cantidad de capital, lo que se debería contratar de trabajo son 60,69 unidades de trabajo para lograr ese nivel de producción de 50.000 unidades en el corto plazo.
Fíjense, noten que en realidad, contratando estas cantidades de capital y de trabajo, si arman la función de costo, me dice que va a estar gastando esta empresa 263.500 y pico de pesos en producir las 50.000 unidades. Y la pregunta hace, me dice, me está preguntando, pero ¿están minimizando costos? ¿Está en un óptimo? Está en un óptimo la empresa. Claramente no va a estar en un óptimo, porque si ustedes trazan la iso costo que pasa por ese punto, que va a ser paralela a la original porque los precios no cambiaron, van a ver que va a ser esta verde la iso costo y claramente no está en un punto de tangencia. Y si no está en un punto de tangencia, no va a ser un óptimo nunca. Vamos a lograr un óptimo en el corto plazo. O sea, si tenemos que cambiar, siempre cuando tenés que cambiar el nivel de producción, existe una combinación óptima de capital y de trabajo, pero que consta de cambiar tanto la cantidad de capital como de trabajo. Si en el corto plazo nunca llegamos, en el corto plazo, si tenemos que cambiar de golpe la cantidad producida, no vamos a lograr un óptimo porque uno de los factores no lo vamos a poder cambiar y no vamos a estar dentro del sendero de expansión. Ustedes, o sea, este sería el gráfico así quedaría la contestación de la pregunta B y C. Que claramente no está minimizando costos porque no hay un punto de tangencia, está atravesando la iso costo a la iso cuanta, si quieren, eso se lo dejo para ustedes. Le dejo la respuesta, pero el óptimo de producir 50.000 unidades se logra a largo plazo, cuando podemos modificar los dos recursos. Ese óptimo, ese óptimo sería de 58,48 unidades de trabajo y 1,462 unidades de capital, que sería justo acá, se lograría. Y lo marqué, que es cuando hay una recta iso costo tangente a la iso cuanta de 50.000. Esto que está acá queda como ejercicio para ustedes ver cómo tuve esto. Lo obtuve obviamente de la misma manera que resolvimos el punto A, no solamente que cambiando por 50.000 acá donde dice 40.000. Pero esa sería las cantidades óptimas. Pero fíjense que la cantidad óptima para producir 50.000 unidades consiste en también modificar la cantidad de capital. O sea, lo óptimo no era salir a contratar tanto trabajo, sino que lo óptimo era contratar un poquito más de trabajo y un poco más de capital. Pero eso se puede hacer solo en el largo plazo, no en el corto, porque en el corto vamos a suponer que el capital es constante de 1,35, que era la situación inicial. Espero que hayan entendido.