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Chicas, chicos, acabamos con el video de resumen de eh series. Una serie no es más que una suma con infinita cantidad de términos y simbólicamente la vamos a representar de esta manera, donde ZM va a ser el término genérico.
Para que nos ubiquemos y tengan un ejemplo muy sencillo, consideren esta serie, consideren la sumatoria de todos estos términos. Insisto, infinita cantidad de términos. Por ser una suma que tiene infinita cantidad de términos, por supuesto, no podemos efectivamente sumarlos. No terminaríamos nunca en la calculadora de eh sumar. De cualquier manera, vamos a hablar de suma de una serie.
Primero vamos con algo más sencillo. Se llama suma parcial de la serie a la suma de un número determinado de términos. Es decir, la suma parcial SN n va a ser la suma de los n primeros términos de la serie. Pero insisto, hay que tener en cuenta que por tratarse la serie de una suma que tiene infinitos términos, en realidad nunca la vamos a a poder sumar efectivamente.
Es importante destacar qué es el Z subm. Z subm es el término genérico, como decíamos. Y en el caso de este ejemplo simple que tenemos acá, lo podríamos escribir como 1 sobre 10 a la m, y es el que nos describe qué forma van tomando cada uno de los términos. En este caso, por supuesto, en la medida que le vamos dando valores enteros positivos a m. Si m vale 1, nos queda un décimo y tenemos el primer término de la serie. Si m vale 2, tenemos 1 sobre 10² y nos queda 0,01, segundo término de la serie. Y así sucesivamente, dándole valores a m, vamos encontrando los distintos términos que van componiendo esta serie.
Tenemos que hacer una clasificación muy importante entre series convergentes y series divergentes. Las series que vamos a utilizar efectivamente son las series convergentes. Si esa suma parcial de la que hemos hablado tiene límite para n que tiende a infinito y a ese límite lo representamos con la letra S mayúscula, decimos que la serie entonces es convergente. Ese valor S mayúscula se denomina entonces la suma o el valor de la serie. Y simplemente vamos a decir, vamos a escribir esto en forma simbólica. ¿Por qué digo en forma simbólica? Porque recuerden, efectivamente nunca podemos hacer la suma porque contiene infinitos términos, pero sí nos podemos dar cuenta de que esa suma existe y de que tiene un determinado valor. Si por el contrario esa suma no existe, la serie no es convergente y recibe la la caracterización de ser una serie divergente.
Este ejemplo que tenemos acá, todos nos damos cuenta que si imaginamos esa suma infinita que no podemos hacer, el resultado sería 0,111 y así unos indefinidamente, y eso es un noveno. Es decir, la suma de esta serie, el valor S mayúscula de esta serie sería un noveno. Pero es algo que podemos intuir, que podemos deducir calculando el límite y repito por última vez, no efectivamente haciendo la suma porque sería imposible dado que tiene infinita cantidad de términos.
Una serie particular que nos va a interesar y que la vamos a utilizar bastante es la que se denomina serie geométrica. Serie geométrica tiene esta forma y es aquella que se obtiene eh donde cada término es el anterior multiplicado por una constante. La constante recibe el nombre de razón y en este caso la estamos simbolizando con la letra Q. Fíjense, el segundo término se obtiene del primero multiplicando por Q. El tercer término se obtiene del anterior del segundo multiplicando por Q, y así sucesivamente.
Podemos demostrar que esta serie geométrica es divergente si el módulo de Q es mayor o igual a 1. Y por el contrario es convergente si el módulo de Q es menor a 1. Y no solo eso, sino que podemos demostrar que la suma de la serie en el caso que sea convergente es igual a 1 sobre 1 - q.
Como dijimos que vamos a utilizar únicamente las series convergentes, tenemos que tener una manera de dada una serie determinar si converge o no. Y acá tenemos algunos algunos criterios, algunas pruebas que nos permiten en muchos casos determinar la convergencia o no de una serie.
Una de esas pruebas es que si la serie es convergente, el límite del término genérico para n que tiende infinito tiene que ser igual a cero. Esta es una condición necesaria, pero no suficiente para la convergencia de la serie. Es decir, en realidad esta condición nos permite determinar la no convergencia de una serie. Porque si vemos que esto no se cumple, es decir, el término genérico no tiende a cero para n que tiene infinito, la serie no será convergente, será divergente. Ahora, por el contrario, si el término genérico tiende a cero, la serie puede o no ser convergente. Es decir, el término genérico tienda a cero, como digo, es condición necesaria para la convergencia. Si no se cumple, nos asegura que no es convergente, pero si se cumple, no nos asegura que sea convergente. Tenemos que utilizar algún otro criterio adicional para determinar la convergencia.
En definitiva, lo primero que hay que mirar en una serie es si el término genérico tiende a cero, porque si no lo hace directamente es divergente. Si tiende a cero, tenemos que buscar la manera de demostrar si esa serie, que puede ser convergente efectivamente lo es. Y para determinarlo tenemos dos criterios. Podemos calcular este límite, el límite de el cociente, el perdón, del del módulo del cociente de el término genérico en el denominador y el término genérico en la posición que sigue en el numerador. Todo eso para n que tiende infinito. O bien el límite para n que tiende infinito de la raíz enésima de el módulo del término genérico. Le llamamos L a esos dos límites, a cualquiera de ellos. Normalmente vamos a utilizar uno solo y no ambos.
Entonces, si ese valor de L es menor a 1, podemos asegurar que la serie es convergente. Si ese valor de L es mayor a 1, podemos asegurar que la serie es divergente. Y el único caso donde nos va a quedar duda es cuando el L da uno, porque en tal caso este criterio no nos sirve para determinar si la serie converge o diverge. Es decir, este criterio cuando L es uno no es concluyente respecto a el carácter que tiene la serie.
Un tipo especial de serie es la que llamamos serie de potencias. La serie de potencias, de nuevo, es una suma infinita de de infinita cantidad de términos, pero que tiene una forma muy especial y es la que ustedes ven acá. Tiene un término independiente y luego en cada uno de los términos aparece un coeficiente, el A que aparece aquí, aparece una variable, la z, y una constante, la z sub0. Como decimos, z es un valor variable, es decir, esto representa una función de la variable z. Los A son constantes, en general, pueden ser constantes complejas y se denominan los coeficientes de la serie. Y z0 también es una constante que, como vemos, aparece en todos los términos, salvo en el primero y se denomina el centro de la serie.
Y acá tienen ustedes dos ejemplos eh con distinto centro de dos series de potencia. En el que ven a la izquierda, el centro de la serie es cero, es decir, el z sub0 vale cero. Y en el en el segundo ejemplo que ven aquí, el centro de la serie es -3. Como aparece la variable Z, a diferencia de las series que comentábamos hasta recién, que eran numéricas, en las series que estábamos comentando hasta recién, cada uno de los términos era un valor numérico en tanto y en cuanto le fuéramos asignando valor al índice de la serie, al m que mencionábamos hace un ratito o al n, eran valores numéricos asignándole ese valor, valor sucesivo al m. Acá, por más que le asignamos valores sucesivos a la variable n, en este caso, cada término de la serie no es numérico, aparece la variable Z involucrada.
En conclusión, no podemos hablar de que esta serie de potencias, cualquiera de ellas, sea o no convergente, porque va a depender la convergencia del valor que le asignemos a Z. Como decimos, esto representa una función de la variable Z y por lo tanto habrá valores de Z que la harán convergente y habrá valores de Z que la harán divergente. Los valores de Z que la hacen convergente se ubican en una región del plano que se llama campo de convergencia de la serie.
Se puede demostrar que el campo de convergencia de una serie de potencias es siempre un círculo, tiene forma de círculo, con centro en el valor Z0 de la serie y de un radio determinado R. Todos los valores de Z que estén dentro de ese círculo harían convergente a la serie. Es decir, si reemplazamos en la serie de potencias a la Z por un valor cualquiera de los que están dentro de ese círculo, la serie se transforma en numérica y en convergente. Si en cambio reemplazamos en en la serie de potencias a la Z por un valor que esté fuera del círculo, la serie se transforma en numérica, pero divergente.
Se puede demostrar que podemos calcular qué tamaño tiene ese círculo, es decir, podemos calcular el valor del radio de ese círculo. Y para ello tenemos que hacer alguno de estos dos límites. Cuidado que acá no estamos haciendo el mismo límite que hacíamos hace un ratito para calcular convergencia o divergencia. Acá no estamos involucrando a todo el término de la serie, sino simplemente a los coeficientes. Pero calculado cualquiera de estos dos límites, el valor de r, el radio de ese círculo de convergencia es 1 / L.
En particular, si el L nos dio cero, eso significa que el radio va a ser infinito y la serie converge para cualquier valor de Z que adoptemos. Por el contrario, si el L nos dio infinito, la serie solamente converge para el valor Z0. Insisto, cuidado con estos dos límites porque si bien tienen un aspecto similar al que hace un ratito mostramos para determinar si la serie converge o diverge, en realidad lo que estamos calculando es totalmente diferente. Hace un ratito lo que decíamos es que lo único que nos importaba del L que calculábamos es si era mayor o menor a uno. ¿Recuerdan? Si era menor a uno, la serie convergía y si era mayor a uno, la serie era divergente. Acá no es eso lo que nos importa, sino que nos importa efectivamente el valor de L, porque su número, el valor de L, determina cuánto vale R.
Decíamos hace un ratito que la serie de potencia representan funciones y efectivamente para eso las vamos a utilizar. Vamos a a ver que determinadas funciones, en realidad la la mayoría de las funciones que nos interesan se pueden representar a través de un desarrollo en serie de potencias con lo que conocemos como serie de Taylor. Es decir, si f de z es una función analítica dentro de cierto dominio y z0 es un punto cualquiera de ese dominio, entonces podemos representar esa función fz con una serie de potencias que tiene esta forma, donde fíjense en cada uno de los términos aparece la función o sus derivadas sucesivas valorizadas en ese punto particular Z0.
En en una forma muy especial la serie de Taylor si Z0 vale cero, recuerden, Z0 puede ser cualquier punto, en particular cero y en tal caso la serie de Taylor recibe el nombre de serie de McLaury. Y lo que ven acá ustedes son ejemplos de desarrollos en serie de Taylor. En realidad los que ven como ejemplo son todos desarrollos con centro en cero, es decir, que serían series de McLurin, pero estamos utilizando esta fórmula genérica que ven acá arriba, desarrollos de distintas funciones que conocemos.
¿Cómo lo hemos encontrado esos desarrollos? Simplemente aplicando esta fórmula. Es decir, hemos tomado la función que queremos, hemos hallado sus derivadas sucesivas y las hemos valorizado en un punto en particular, en este caso en cero. Y hemos encontrado aplicando esta fórmula, ese desarrollo en serie para cada una de las eh funciones que ustedes ven acá. Vamos a trabajar bastante con esto en la práctica, así que simplemente este es una especie de machete, un recordatorio de muchos desarrollos en serie que vamos a utilizar, pero van a ver que en la práctica vamos a trabajar demostrando cómo se pueden encontrar estos desarrollos en serie y otros que este nos van a dar bastante trabajo en los en los problemas.
Por último, existe otro tipo de serie que vamos a utilizar este mucho menos que la serie de Taylor, pero que se la queremos mencionar, que son las que se conocen como serie de Laurent, si analítica, pero ahora ya no cierto contorno C1, como decíamos antes, para la serie Taylor, sino en una corona que está limitada por un lado por el contorno C1, pero por dentro por el contorno C2. Es decir, si tenemos una función que es analítica en la zona que ustedes ven pintada de celeste acá, pero que no es analítica en la zona que está acá en el interior, la zona blanca, concretamente no es analítica en el punto Z0, también podemos encontrar un desarrollo en serie de esa función, pero va a ser un desarrollo en serie diferente al que encontrábamos hace un ratito.
¿Por qué motivo? Esencialmente porque como ustedes ven acá, este desarrollo en serie va a tener términos donde el z - z0 no aparece en el numerador, sino que aparece en el denominador. También va a tener términos donde está en el numerador, pero a esos que eran todos los términos que tenía la serie de Taylor que mencionábamos recién, se le agregan otros términos donde el z - z0 aparece en el denominador. Con eso suficiente para este resumen.