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La invención del cálculo a finales del siglo XVII por parte de Newton y Leibniz ha sido uno de los grandes logros de la humanidad. Supuso un salto cualitativo en el tipo y complejidad de problemas que pudieron abordarse y acabó por convertirse en la lengua vehicular de todas las ciencias.
Ambos basaron su construcción del cálculo en el uso adecuado de las cantidades infinitamente pequeñas, lo que hizo que el nuevo cálculo fuese rápidamente calificado de infinitesimal. Si quieres averiguar cómo se gestó y cuáles fueron las principales diferencias entre ambos puntos de vista, quédate conmigo que te lo cuento. Soy Ricardo del Campo y esto es El Axioma del Infinito.
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A ver, amor.
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Este es el segundo vídeo de una serie sobre el cálculo y lo vamos a dedicar a la fase de descubrimiento que tuvo lugar en el último tercio del siglo XVII.
1. Los creadores del cálculo infinitesimal
Puede decirse que todos los antecedentes del cálculo previo a Newton y Leibniz son una ingente casuística de métodos heurísticos aplicados a problemas geométricos específicos que se resuelven mediante técnicas de "ad hoc", obteniéndose multitud de resultados particulares que, si los traducimos al lenguaje moderno, muestran que los conceptos fundamentales del cálculo ya hacían acto de presencia en ellos de alguna manera, pero de forma tan fragmentada que solo se referían a problemas individuales y no a teorías generales.
Newton y Leibniz son considerados los creadores del cálculo porque extrajeron las ideas que subyacen a estos métodos y las materializaron en dos conceptos generales, o llamados derivada e integral, independientes del contexto geométrico y del campo de aplicación concretos. Desarrollaron un simbolismo propio y unas reglas formales de cálculo para su correcta manipulación que unifican las técnicas de resolución y convierten los métodos en algoritmos. Y reconocieron el carácter inverso de ambos tipos de procesos, reduciendo derivación e integración a operaciones inversas una de la otra. Este resultado es tan importante que hoy en día nos referimos a él como el Teorema Fundamental del Cálculo.
Por supuesto, los términos derivada e integral no son los que ellos emplearon. Para Newton, la derivada era una razón de cambio o flujo y por eso la llamó "fluxión". Para Leibniz, era una razón de diferencias infinitesimales y por eso la llamó "cociente diferencial".
Leibniz descubrió el cálculo hacia 1675 y fue el primero en publicar sus resultados. Sin embargo, Newton ya había hecho sus primeros descubrimientos unos diez años antes. El problema es que no los publicó hasta mucho más tarde, pero se sabe que sus manuscritos circulaban entre sus colaboradores más cercanos antes de que Leibniz publicase nada. Por eso la invención del cálculo se le suele atribuir a él.
2. El cálculo de Newton
Newton desarrolló tres versiones distintas de su cálculo. Una primera versión que entregó a su maestro Barrow en 1669 (publicada en 1711) empleando infinitesimales y que puede considerarse el escrito fundacional del cálculo. Una segunda versión escrita hacia 1671 y publicada en 1736 donde las derivadas son introducidas como "fluyentes". Y una tercera versión escrita en 1676 y publicada en 1704, en la que Newton fundamenta su cálculo en lo que él llama "razones primera y última de incrementos evanescentes".
¿Por qué la elección de tres versiones de su cálculo y por qué no publicó rápidamente su descubrimiento? Hay varios motivos, pero en primer lugar, es bastante claro que Newton no estaba completamente satisfecho con las justificaciones matemáticas del cálculo, porque era consciente de la "divinidad" teórica de los infinitesimales. A Newton le daba pánico que sus obras pudieran ser criticadas y por eso reformuló varias veces sus teorías tratando de conseguir una fundamentación cada vez más rigurosa del cálculo.
El método de las "fluyentes" puede verse como un primer intento de eliminar los infinitesimales. En él, las cantidades están generadas por el movimiento continuo, por eso las llama "fluyentes". La variable tiempo se convierte implícitamente en una variable independiente universal de la que dependen todas las fluyentes y la usa para justificar la definición de las funciones como las velocidades instantáneas de las fluyentes. A esta idea de "fluyente" le pareció a Newton suficientemente intuitiva y que no necesitaba ser definida con una mayor precisión. Con esta terminología, la pendiente de la recta tangente de la curva se puede expresar como el cociente o razón de las "fluxiones". De esta forma, aparentemente, hemos eliminado toda referencia a los infinitesimales, pero solo era una apariencia puramente estética. A la hora de hacer los cálculos, como no hay ninguna definición formal que aplicar de límite, Newton tenía que recurrir a los infinitesimales de las fluyentes, solo que él los llama "momentos" y los representa de la siguiente forma:
$$ \frac{o \dot{x}}{o} $$
donde $o$ es entendido como un incremento infinitesimal de tiempo. Lo único que hemos hecho ha sido sustituir los infinitesimales geométricos estáticos por infinitesimales temporales. Y la teoría de las "razones últimas" puede interpretarse como una teoría cinemática de límites, con la que trata de rellenar el vacío que dejó en el trabajo anterior, definiendo las fluyentes como el límite de un cociente de cantidades que tienden a anularse, cantidades evanescentes, donde el concepto de límite de Newton está construido a partir de la intuición mecánica del movimiento. Como decía el propio Newton: "Aquellas razones últimas con las que cantidades evanescentes desaparecen no son en realidad razones de cantidades últimas, sino límites a los que pueden aproximarse tanto que su diferencia es menor que cualquier cantidad dada". Como vemos, la definición del límite en Newton es meramente descriptiva y no operacional. Sirve para justificar las "fluxiones", pero para calcularlas, seguirá teniendo que recurrir a los infinitesimales.
Por otra parte, Newton consideraba el cálculo como una herramienta para conseguir otros fines, para él aún más importantes y quizá por eso no le dio la trascendencia que merecía. En ese momento, estaba mucho más centrado en esclarecer el comportamiento de la luz y de la gravedad. De hecho, el cálculo fue el aliado que permitió a Newton culminar su obra cumbre, "Los Principios Matemáticos de la Filosofía Natural", publicada en 1687, y que le inmortalizaría para siempre, elevándolo a la categoría de genio, de mito, de leyenda. Los "Principios" están considerados como la obra científica más importante de todos los tiempos, pues en ellas se establecen los fundamentos de la mecánica universal con los que es capaz de deducir las tres leyes que Kepler había obtenido experimentalmente, explicar el movimiento de la Luna y las mareas, la precesión de los equinoccios, el achatamiento de la Tierra por los polos, calcular la masa del Sol respecto de la Tierra, etc. A partir de ese momento, quedará claro que en todas partes del universo los procesos obedecen a las mismas leyes naturales inexorables. No hay diferencia entre la fuerza que hace caer una manzana al suelo y la fuerza que hace que los planetas orbiten alrededor del Sol. Una verdadera revolución para la época, solo comparable a la que este realizaría a principios del siglo XX con el descubrimiento de la relatividad. Por eso Newton y Einstein son considerados los dos mayores genios de toda la historia de la humanidad.
Newton murió el 20 de marzo de 1727 y fue integrado con grandes honores en la Abadía de Westminster, junto a los grandes hombres de Inglaterra.
3. El cálculo de Leibniz
Gottfried Leibniz fue un pensador profundo y polifacético. Dicen que fue el último genio universal, después de él solo hubo especialistas. Fue jurista, ingeniero, inventor, historiador, bibliotecario, filósofo, lógico y, por supuesto, matemático, y en todas estas áreas realizó contribuciones muy importantes. Sirvió como cortesano a tres gobernantes de la Casa de Brunswick durante casi 30 años, lo que le permitió disponer de tiempo y dinero suficientes para dedicar a sus proyectos intelectuales personales.
Leibniz descubrió el cálculo a finales del año 1675, como demuestran los manuscritos originales de su investigación que se conservan en el Archivo Leibniz de Hannover, pero no los publicó hasta 1684 y 1686.
La concepción de Leibniz del cálculo es muy distinta de la de Newton. El enfoque de Leibniz es puramente algebraico, no cinemático. Recordemos que para Leibniz el concepto central es el de "fluxión", que él entiende en cierto modo como un límite. Leibniz, sin embargo, no consideró nunca la derivada como un límite. El concepto central del cálculo de Leibniz es el de "diferencial". Para Leibniz, la diferencial de una variable $x$, $dx$, era un incremento infinitesimal de dicha variable y lo denotaba así. De este modo, cuando las coordenadas $x$, $y$ de un punto $P$ de una curva eran incrementadas diferencialmente a otro punto $P'$, al ser un incremento infinitesimal, la pendiente de la recta tangente viene dada por la tangente de este triángulo característico, o sea, por el cociente de sus catetos. Y el diferencial de área debajo de la curva viene dada por el área de este rectángulo más el área de dicho triángulo. Ahora bien, como el área del triángulo es un diferencial de segundo orden, podemos despreciarla. Por ello, Leibniz consideró la derivada como un cociente de diferenciales y la integral como una suma de infinitos rectángulos diferenciales de altura.
Aquí, en realidad, ni siquiera empleó nunca estos términos. Él llamó "cálculos diferenciales" o "cálculos de diferencias" a la parte del cálculo que se ocupa del estudio de las tangentes y "cálculos sumatorios" o "cálculo de sumas" a la que se ocupa de los problemas de cuerdas. Además, se dio cuenta de que ambas operaciones eran inversas, que es lo que hoy conocemos como Teorema Fundamental del Cálculo, y tuvo la brillante idea de introducir un símbolo nuevo que ayudaba a formalizar este hecho: es el símbolo que aún hoy en día usamos para la integral, con forma de S caligráfica, que Leibniz empleó como abreviatura de la palabra "suma".
Sin lugar a dudas, el mayor éxito de Leibniz fue su audaz notación, tan vinculada a los conceptos del cálculo, que posee una fuerza heurística increíble e hizo que su cálculo fuese más fácil de manejar y de transmitir y se extendiese rápidamente por toda Europa. De hecho, su lenguaje y notación, muy superior a la de Newton, fueron los que se acabaron imponiendo y han resistido hasta nuestros días. Fíjate, por ejemplo, cómo con la notación de Leibniz se entiende mejor qué son las "fluxiones" de Newton, pues podemos expresarlas como derivadas temporales.
Los hermanos Bernoulli fueron los primeros en darse cuenta de la verdadera potencia y utilidad del cálculo que había descubierto Leibniz y lo emplearon para resolver dos de los problemas más importantes de la época que se habían resistido hasta entonces: el problema de la "cuerda colgante" (qué forma quiere de modo natural una cuerda sostenida solo en sus extremos; no es la parábola, es una curva nueva llamada catenaria) y el problema de la "braquistócrona" (qué trayectoria de descenso libre sin fricción es la más rápida para bajar de un punto a otro; no es la recta, es otra curva llamada cicloide invertida). Además, es en este trabajo en el que se emplea por primera vez el término "integral". Los hermanos Bernoulli fueron los que ayudaron a difundir las ideas de Leibniz a todo el mundo. De hecho, el primer libro de cálculo diferencial fue publicado en 1697 por el Marqués de L'Hôpital y hoy se sabe que los resultados publicados pertenecen a su maestro Johann Bernoulli.
Leibniz, en desgracia cuando el príncipe elector Jorge Luis de Brunswick se convirtió en el rey Jorge I de Gran Bretaña en 1714, Jorge I prohibió a Leibniz acompañarle a Londres hasta que hubiera completado el libro sobre la historia de la familia Brunswick que le había encargado su padre casi treinta años antes. Leibniz murió el 14 de noviembre de 1716. A su entierro solamente asistió su secretario personal. Seguramente sus jefes se habrían quedado satisfechos con que Leibniz hubiera entregado un breve libro popular sobre la historia de la Casa de Brunswick, pero cuando los escritos de Leibniz se publicaron en el siglo XIX, se descubrió que llevaba escrito tres volúmenes. Moraleja: el exceso de perfeccionismo puede ser tan peligroso como su defecto.
4. El conflicto por la paternidad del cálculo
El cálculo de Leibniz se extendió rápidamente por toda Europa, salvo en Inglaterra, donde se seguía usando el cálculo de Newton. Esto a Newton debió hacerle poca gracia. Se dio cuenta de que, aunque era bien mentado al cálculo, su descubrimiento podría quedar oscurecido e incluso olvidado para la posteridad bajo la sombra del de Leibniz. Empezaron a filtrarse desde Inglaterra rumores infundados que acusaban a Leibniz de haber plagiado las ideas de Newton. Con el supuesto fin de esclarecer la paternidad del cálculo, la Royal Society realizó una investigación que terminó otorgando a Newton la prioridad en el descubrimiento, sin ni siquiera escuchar la versión de los hechos de Leibniz. Claro que igual influyó ligeramente el hecho de que el presidente de la Royal Society en ese momento era el propio Newton. O sea, que Newton actuó a la vez como acusador, fiscal y juez.
Los famosos manuscritos de Leibniz, en los que se puede observar cómo fue el proceso de descubrimiento, se encontraron y estudiaron mucho más tarde. Hoy en día, no queda prácticamente ninguna duda de que ambos inventaron el cálculo de manera independiente. Las versiones de ambos, aunque equivalentes, son conceptualmente distintas. De hecho, Newton descubrió su cálculo a partir de la derivada, mientras que Leibniz llegó a su descubrimiento a través de la integral. Si bien Newton fue el primero en inventarlo, Leibniz lo redescubrió por su cuenta, y el lenguaje y la notación que usamos hoy en día se debe a él.
5. Epílogo
¿Quieres saber qué pasó con los infinitesimales y qué matemáticos realizaron la labor de fundamentar el cálculo rigurosamente? Pues no te pierdas la próxima entrega de esta saga sobre la evolución histórica del cálculo. Por mi parte, esto es todo por ahora.
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