Transcription
Ciao ragazzi, bentornati in questo video tappabuchi. Vi ricordo che i video tappabuchi sono video temporanei in sostituzione delle lezioni vere e proprie che verranno svolte. Temporanei non vuol dire che verranno tolti, vuol dire che per adesso, finché non c'è la lezione vera e propria, questo è il materiale di riferimento sull'argomento che trovate sul canale. Questo tappabuchi è dedicato alle equazioni di Maxwell, il punto di arrivo massimo per l'elettromagnetismo. Prima di cominciare, però, vi ricordo di iscrivervi al canale e seguirmi su Twitch. Inoltre, vi ricordo che ho anche un canale in inglese, iscrivetevi anche a quello. Lasciate commenti, lasciate mi piace, aiutate a far girare il sacro algoritmo di YouTube. Inoltre, se i video vi sono d'aiuto, se le lezioni vi aiutano un po' a superare le difficoltà con la fisica, se volete potete lasciare una mancia su Tipster, trovate il link in descrizione. Anche solo un euro fa veramente la differenza. Adesso, però, si parte.
Dunque, equazioni di Maxwell. Prima cosa da dire: non le ha scritte veramente Maxwell. Si chiamano equazioni di Maxwell perché Maxwell è quello che le ha messe insieme, e questa è la vera figata. Sono tutte equazioni che, in realtà, già conoscete. Maxwell ha fatto un riassunto di tutte le equazioni più importanti sul campo elettrico, sul campo magnetico, e le ha messe insieme. Ha visto che quattro equazioni erano quelle che effettivamente descrivevano al meglio il campo elettrico, il campo magnetico. Da queste sono quelle fondamentali. Quindi, lui, che cosa ha fatto? Le ha scritte tutte, le ha lette: "Queste sono le mie equazioni". A onor del vero, ha aggiunto anche un pezzettino all'ultima, poi lo vediamo, però preparatevi perché le conoscete già tutte.
Prima di partire in quarta con vedere singolarmente ogni equazione di Maxwell, una raccomandazione: ci sono un sacco di modi diversi di scrivere queste equazioni. Io adesso ve le propongo in ordine di difficoltà crescente, quindi partiamo dal livello proprio base, che è quello più semplice, più intuitivo, forse quello che avete anche visto di più, e poi man mano vi dirò come si fa a riscriverle in modi sempre più articolati, in teoria anche più utili e completi, che però a volte rendono impossibile utilizzarla per fare i calcoli.
La prima equazione di Maxwell è quella che voi già conoscete come il teorema di Gauss per il campo elettrico. Che cosa diceva il teorema di Gauss per il campo elettrico? Che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica elettrica totale contenuta dentro quella superficie. Cosa vuol dire questa roba? Se volete un discorso più approfondito, andate a vedere il mio video sul teorema di Gauss, lo trovate qui in alto a destra o link in descrizione. Il significato di questa roba è: se ci avete la solita carichina, per esempio, prendiamo il singolo elettrone e gli costruite attorno una superficie chiusa, cosa vuol dire? Lo mettete dentro una gabbia, praticamente, della forma che volete. Io adesso magari vi faccio una gabbia sferica, però potete farlo anche a forma di patata aliena viola e va benissimo lo stesso. Il flusso del campo elettrico attraverso questa superficie dipende da quanta carica c'è dentro. Il flusso indica quante linee di campo entrano ed escono dalla superficie. Quindi, queste linee viola, immaginatevi che siano il campo elettrico, quante ne entrano, quante ne escono, dipende dalla carica che c'è all'interno. Quindi, il teorema di Gauss, in pratica, al di là della formula, flusso, Q, eccetera eccetera, è la formula che vi descrive la forma del campo elettrico. Tutte quelle cose che avete studiato all'inizio, inizio di elettrostatica, quindi le cariche positive sono quelle che mettono il campo, il campo va verso le cariche negative, la forma del campo è così e cosà, son tutte conseguenze del teorema di Gauss. È quello che riassume un po' tutta la parte iniziale di elettrostatica, le informazioni di base sul campo elettrico.
Seconda equazione di Maxwell. Questa, in realtà, la conoscete, perché ve l'hanno probabilmente raccontata, però è probabile che non la sappiate come una formula, magari sì. Questa è il teorema di Gauss, ma per il campo magnetico. La formula è questa: il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è uguale a zero, sempre. Cosa vuol dire questa roba? Vuol dire che le linee del campo magnetico sono sempre chiuse, cioè non hanno un punto di partenza o un punto di arrivo. Prendiamo il caso più semplice: il filo con la corrente. Prendete un filo dritto con la corrente all'interno, come è fatto il campo magnetico? Le linee sono delle circonferenze attorno al filo, quindi sono delle linee chiuse che non hanno un punto di origine. Questa cosa vale anche per altre forme del campo magnetico. Poi ci sono dei casi, è vero, qualcuno dimostra dicendo: "Ehi, però quel caso, tipo il campo magnetico terrestre, in realtà non è proprio chiuso". È vero, ci sono dei casi in cui non sono chiuse, però in quelli più comuni che trovate a scuola o all'università, le linee di campo sono sempre chiuse. Il significato di avere le linee di campo chiuse, in realtà, è un po' più sottile. Cioè, cosa vuol dire che le linee di campo sono chiuse? Che cosa mi dice di importante? Mi dice che non esistono le cariche magnetiche. Cosa sono le cariche magnetiche? Sono quelle cose da cui ha origine il campo magnetico. Il campo magnetico non nasce da nessun punto preciso. Poi, questa in realtà è una diatriba vecchia come il mondo, perché c'è qualcuno che sostiene: "No, in realtà le cariche magnetiche esistono, semplicemente non le abbiamo ancora trovate". In alcuni casi, qualcuno dice: "La Terra le ha incontrate". Per ora, non c'è nessuna conferma del fatto che esistano effettivamente. Occhio, però, perché quando iniziate a studiare il campo magnetico, di solito cosa fanno? Vi fanno vedere come una delle prime robe il campo magnetico della calamita, no? Calamita, polo nord e polo sud, e voi vedete questa meraviglia con il campo magnetico che esce dal polo nord ed entra nel polo sud, quindi vedete una roba del genere. E allora dite: "Ma, mi stai prendendo in giro? Quindi non era il campo magnetico esce dal polo nord, quindi parte dal polo nord e rientra nel polo sud?". Occhio, il polo nord e polo sud non sono l'equivalente stretto della carica positiva, della carica negativa. Perché dov'è il trucco? Dentro la calamita, le linee di campo in realtà continuano e si chiudono. Quindi, all'esterno sembrano aperte, ma in realtà sono sempre e comunque chiuse. Quindi, le linee del campo sono chiuse. Questo è quello che vi dice il teorema di Gauss del campo magnetico.
Seconda equazione di Maxwell. La terza equazione di Maxwell, anche questa la conoscete già. È una di quelle che vi fa probabilmente disperare di più, ed è la formula dell'induzione, la legge di Faraday-Neumann. Il delta V indotto in un circuito è uguale a meno la variazione del flusso del campo magnetico attraverso quel circuito nel tempo. Qual è il significato di questa formula? Questa è la formula che vi lega il campo elettrico al campo magnetico. In particolare, vi dice che un campo magnetico che cambia nel tempo è in grado di generare un campo elettrico. E anche qua, lo so, cosa stai pensando: "Assi della storia, peccato che in questa formula io il campo elettrico non lo vedo, ma dove sta scritto che il campo elettrico si genera?". Il campo magnetico, pincopallo, in questa formula. In questa formula è vero che non c'è scritto esplicitamente il campo elettrico, però la parte a sinistra è una parte relativa al campo elettrico. Il delta V è una differenza di potenziale, quindi questa è roba relativa a campi elettrici. Infatti, il potenziale V, avete studiato con il campo elettrico lungo il campo magnetico. Mentre la parte destra è quella che vi parla della variazione del campo magnetico. Che legame c'è tra il delta V e il campo elettrico vero e proprio? Allora, se andate a rivedervi la nostra lezione sul campo elettrico e quella sul potenziale, vi ricordate sicuramente che in realtà delta V, comunque il potenziale e il campo elettrico sono in realtà due facce della stessa medaglia. Qual è il concetto del tool? Molto semplicemente, le cariche elettriche creano delle deformazioni attorno a sé, che sono il campo elettrico. Quello che noi chiamiamo campo elettrico è la deformazione dello spazio prodotta dalle cariche. Di solito si dice che le cariche positive creano delle deformazioni tipo "montagnetta" verso l'alto, le cariche negative creano dei "buchi", una roba del genere. Questa roba, il campo elettrico, per essere più precisi, però, dovremmo dire che il campo elettrico è l'inclinazione di queste deformazioni, mentre il potenziale è l'altezza di queste deformazioni. Quindi, per esempio, se siete, che ne so, in questo punto qua, il dislivello tra quel punto e il livello base non deformato, diciamo, questo è il potenziale, questo è V, mentre l'inclinazione che ha quella deformazione in quel punto, quello è campo elettrico. In questo senso, rappresenta la stessa roba, cioè entrambe queste cose vi parlano, vi dicono che cos'è questa deformazione, come è fatta in giro per lo spazio. Quindi, in realtà, dire delta V o dire E, cambia poco. Come faccio, però, a scrivere effettivamente meglio? Qua arriva il salto matematico, cioè c'è una formula matematica che vi lega il delta V al campo elettrico in generale. Qua, di solito, a scuola la si piglia per buona. All'università, purtroppo, a meno che non stiate facendo un corso di fisica particolarmente tosta, avanzato, l'idea è che la circuitazione del campo elettrico è uguale a delta V lungo quel percorso. Allora, cosa vuol dire sta roba? Perché parlo di percorso? Che cos'è la circuitazione? Anche qua c'è un video apposta che abbiamo fatto sulla circuitazione del campo elettrico, è lo stesso video del teorema di Gauss. Andatelo a rivedere. In soldoni, la circuitazione è quella quantità che vi permette di valutare se il campo elettrico gira lungo un percorso che avete scelto. Quindi, per esempio, che ne so, esempio classico della legge di Faraday-Neumann: sono le spire che sono quadrate, tonde, a seconda della forma. La circuitazione vi dice se il campo elettrico gira lungo questa spira. Quindi, per esempio, un campo elettrico fatto così avrà una buona circuitazione, perché effettivamente è fatto da vettori che girano lungo la spira. Se invece volete vedere un campo che ha una circuitazione pessima, può essere una roba fatta così. Avete sempre la spira, un campo invece che è fatto in questo modo avrà una circuitazione molto bassa, se non zero, perché non gira, semplicemente si allontana dal centro della spira. Quindi, in realtà, la circuitazione del campo è uguale a delta V. Come si calcola la circuitazione? C'è una formula, tecnicamente, ma è una formula con un integrale, e la vediamo dopo nella versione un po' più avanzata delle equazioni di Maxwell. Per adesso, vi interessa questo: quindi, la legge di Faraday-Neumann diventa circuitazione del campo elettrico uguale a meno variazione del flusso del campo magnetico nel tempo. Cosa ci ha guadagnato da scriverla così? Che perlomeno adesso c'è scritto campo elettrico da qualche parte. Quindi, c'è un legame sotteso tra campo elettrico e campo magnetico. Cosa vi dice, in pratica, questa formula? Cioè, cosa dobbiamo portarci a casa? L'idea è: se c'è un campo magnetico che cambia nel tempo, perché questa è la cosa importante, deve cambiare, meglio, il suo flusso deve cambiare, in automatico voi vi potete aspettare un campo elettrico che si genera, che avrà una certa circuitazione, cioè che gira. Vi faccio un esempio: l'esempio che, in realtà, anche qua già conoscete. Questa è tutta roba già vista, semplicemente è detta in modo diverso, da una nuova prospettiva. L'esempio classico è: punto, la spira quadrata. Avete la vostra bella spinetta quadrata che sta lì a far niente, non c'è corrente, non c'è nulla, è un pezzo di metallo. E all'improvviso, le accendete un campo magnetico, pan così. Questo campo magnetico, però, ha una particolarità: è un campo magnetico in aumento, cioè non è semplicemente che vale, non so, 2, 3, 4, 5 Tesla, è in costante aumento. Questo che cosa provoca? Provoca un aumento del flusso attraverso la spira del campo e, quindi, per la legge di Faraday-Neumann, questa cosa crea un delta V e, quindi, crea un campo elettrico. Come fatto sto campo elettrico? È fatto così, in questo caso, cioè, manco a dirlo, è un campo elettrico che gira all'interno della spira. Per questo c'è di mezzo la circuitazione, perché sto a fare gira. Ora, questo è un esempio estremamente specifico, nel senso che se prendete altre situazioni, magari non è così evidente vedere che c'è un campo che in un qualche modo gira. È un esempio che ho preso proprio ad hoc, però per darvi l'idea, cioè, variare un campo magnetico può creare un campo elettrico, che si dice campo elettrico indotto. Che cosa fa sto campo elettrico dentro la spira? È lui che fa girare la corrente dentro la spira, perché quando avete studiato la legge di Faraday-Neumann, vi hanno detto: "Questa roba serve per far comparire delle correnti dentro i circuiti". Come fanno le correnti a girare? E perché si crea un campo elettrico? Infatti, eccolo qua. Quindi, abbiamo rivisto la stessa roba che avete già studiato, ma dalla prospettiva del campo elettrico, più che della corrente.
Quarta equazione di Maxwell. Abbiamo la legge di Ampère, che è un po' l'equivalente della precedente, ma per il campo magnetico. Che cosa vi dice? Che la circuitazione di B è uguale a mu zero per la corrente concatenata. Allora, cosa vuol dire sta roba? Vuol dire questa cosa qua: se avete una corrente, prendiamo il solito filo, filo dritto, percorso la corrente, volete sapere che cosa succede attorno a questo filo, la legge di Ampère vi dice: "Attorno al filo, in qualunque punto, vi mettete qua, per quel punto deve passare una linea di campo magnetico chiusa attorno alla corrente". Quindi, per esempio, per il filo sappiamo che le linee di campo sono circolari e sono chiuse in questo modo, centrate attorno al filo. Questa è la legge di Ampère. Corrente concatenata vuol dire che attraversa la superficie delimitata da questa linea di campo, da questo percorso. Vedete che nomino spesso la cosa del percorso? Di solito il percorso è la forma della linea di campo in questi casi. Quindi, corrente concatenata significa che attraversa la superficie delimitata dalla linea di campo che avete scelto. Questa legge di Ampère, che cosa vi dice anche qua, in soldoni, a livello pratico, a che cosa serve? È la legge che vi descrive l'origine del campo magnetico. Qual è l'origine del campo magnetico? Le correnti. Prima roba che vi dicono quando studiate il campo magnetico: "No, il campo magnetico si, quello delle calamite, eccetera eccetera, ma viene anche dalle correnti". Ed è qui che il signor Maxwell entra a gamba tesa e ci mette il suo contributo. Infatti, questa formula, Maxwell aveva notato, non funziona in tutti i casi, cioè non è proprio vero che la circuitazione di B è sempre mu zero per I. Infatti, c'è una situazione dove è palese che sta roba non funziona. La situazione è una cosa che probabilmente avete anche già studiato, ovvero i circuiti RC. Che cos'è un circuito RC? È un circuito formato da un generatore, una resistenza e un condensatore. Anzi, facciamolo un po' più largo, così vediamo bene che cosa di particolare al circuito RC. Il circuito RC, quando lo accendete, cioè quando collegate la batteria che permette alla corrente di scorrere, che cosa fa? Carica il condensatore. Cioè, voi accendete questo coso, comincia a scorrere corrente qua dentro. Questa corrente porta cariche positive su una delle due armature del condensatore e contemporaneamente le porta via dall'altra armatura, che si carica negativamente. Quindi, c'è corrente durante la fase di carica che scorre all'interno del circuito. Anche qui, se avete dei dubbi esistenziali su come funzionano i circuiti RC, ho un video apposito sul canale, andatevelo recuperare. Maxwell nota questa cosa: "Ma allora, finché c'è corrente che scorre nel circuito, attorno ai fili del circuito c'è un campo magnetico". Questa cosa, niente di strano, si sapeva benissimo che era così. Quindi, attorno ai vari fili si forma un campo magnetico, perché se c'è una corrente, c'è un campo magnetico, è automatico. Dove ci aspettiamo che non ci sia invece un campo magnetico? L'unico punto del circuito dove non c'è corrente, ovvero tra le armature del condensatore. Maxwell va a vedere e: "Porca vacca, il campo magnetico lì c'è lo stesso!". Quindi, tra le armature del condensatore c'è comunque un campo magnetico, anche se lì dentro non scorre corrente. Perché questa cosa va contro la legge di Ampère? Perché la legge di Ampère, in soldoni, mi diceva: "Il campo magnetico gira attorno alle correnti". Peccato che lì, in mezzo, correnti non ce ne sono. Allora Maxwell pensa: "Cosa c'è tra le due armature che può creare quel campo magnetico? Non è che possa uscire fuori dal nulla". Tra le due armature non c'è corrente, però, visto che una armatura è positiva e l'altra negativa, lì dentro c'è un campo elettrico. Non è un campo elettrico qualsiasi, quello è un campo elettrico in aumento, perché in aumento? Perché il condensatore si sta caricando. La carica positiva aumenta sempre di più, la carica negativa aumenta sempre di più, quindi il campo elettrico aumenta. E qui arriva la pensata geniale di Maxwell: il campo elettrico in aumento equivale a una corrente, cioè produce lo stesso effetto, crea un campo magnetico. Visto che il campo elettrico in aumento corrisponde a una corrente, gli dà un nome e chiama questa roba "corrente di spostamento". La corrente di spostamento, quindi, non è altro che un campo elettrico variabile nel tempo che ha gli stessi effetti di una corrente. Per essere più precisi, la corrente di spostamento, a livello di formule, è epsilon zero per la variazione del flusso del campo elettrico nel tempo. Quindi, qui arriva la correzione di Maxwell alla legge di Ampère, che infatti si chiama in realtà legge di Ampère-Maxwell. "Holt re mi zero per la corrente concatenata". Bisogna qui aggiungere: "più mi zero epsilon zero delta phi di E fratto delta T". Questo pezzettino qua, aggiunto da Maxwell, tiene conto del fatto che anche i campi elettrici possono creare campi magnetici. Quindi, questa ultima legge, ultima equazione di Maxwell, cosa ci dice? Ci sta dicendo che i campi magnetici nascono sia dalle correnti, sia dai campi elettrici variabili. Non è necessario che il campo elettrico sia in aumento, anche un campo elettrico in diminuzione produce lo stesso effetto, l'importante è che vari. Se rimane fisso, il campo magnetico sparisce. Questa era una spiegazione molto intuitiva sul perché Maxwell ha fatto la correzione. Volendo, si può anche vedere in modo un po' più tecnico e matematico. Adesso vediamo esattamente qual è stato il ragionamento che Maxwell ha fatto. Non è che è semplicemente andato lì e ha visto se c'erano campi magnetici, poi ci ha avuto la pensata geniale di notte. Maxwell è andato un po' di più con i piedi di piombo e ha ragionato anche sulle formule.
Adesso vi ridisegno la zona solo del condensatore, così ci capiamo. Questa è il condensatore del circuito di prima, quindi qua dentro c'è il famoso campo elettrico che sta aumentando per colpa della corrente che arriva da sopra e che se ne va sotto. Maxwell che cosa ha fatto? Ha provato a utilizzare la formula della legge di Ampère non corretta e ha visto che la cosa non tornava. Ha fatto cioè questa formula così: è paradossale, perché diciamo, prima la circuitazione di B lungo un percorso chiuso, non è altro che un modo di dire che modo di dire che esistono linee di campo magnetico chiuse che girano. Quindi, sappiamo che sono delle linee di campo fatte così. Questo è il vostro percorso chiuso, per esempio, qua ho preso una circonferenza all'interno del condensatore. Il problema stava nello scegliere nel modo corretto la corrente concatenata da utilizzare secondo la legge di Ampère, perché la definizione di corrente concatenata è una corrente che attraversa una superficie delimitata dal percorso chiuso, cioè una superficie delimitata dalla linea di campo del campo magnetico. E uno dice: "Quanti superfici?". Perché ci siano? C'è una superficie sola, che è questa qua. In quella superficie non c'è nessuna corrente, le correnti di lì non ci passano e quindi non c'è nessuna corrente concatenata. E non è così semplice, perché in matematica, quando parliamo di superficie delimitata da una curva, non intendiamo soltanto quella piatta. Potete anche prendere una superficie, tra virgolette, "gonfia" o con delle gobbe, l'importante è che si appoggi sul percorso chiuso che avete scelto, sulla linea di campo. Quindi, per esempio, immaginatevi, quindi, di soffiare all'interno del percorso chiuso di questo anello e di poter gonfiare la superficie. Che cosa succede? Che create una sorta di bolla fatta così. Questa bolla ha una superficie. Ecco, questa superficie è comunque considerata una superficie che si delimita, delimitata dalla linea di campo che avete scelto. Che differenza c'è tra questa superficie a forma di bolla e quella di prima? Che questa superficie passa attraverso la corrente. Quindi, se prendete questa superficie, effettivamente c'è una corrente concatenata e la legge di Ampère prevede un certo risultato. Se invece, come superficie, prendete l'altra, quella piatta, quindi, per intenderci, questa qua, lì non c'è nessuna corrente concatenata e, di conseguenza, la legge di Ampère dà un'altra risposta. Questo è paradossale, cioè la stessa equazione non può darvi due risultati diversi, non può prevedere due prove diverse a seconda di come vi gira voi al mattino di scegliere le superfici, perché il percorso chiuso l'avete già fissato. E quindi, questa roba funzionare per qualunque superficie. Qui sta l'inghippo, cioè che Maxwell capisce: "Manca un pezzo nell'equazione che tiene conto del fatto che quando prendo la superficie piatta, effettivamente lì in mezzo succede qualcosa". E quindi, che aggiungiamo la corrente di spostamento, che è mi zero epsilon zero per la variazione del flusso del campo elettrico nel tempo.
E queste erano le quattro leggi di Maxwell. Adesso ce le riscriviamo tutte e quattro, così le vediamo per bene vicine. Eccole qua. Non sono un bello spettacolo, sono obiettivamente brutte, e so che state già pensando: "Oddio, chissà che esercizi devo farci, ma come faccio?". Ci sono i flussi e le circuitazioni. Ragazzi, non si fanno gli esercizi con le equazioni di Maxwell. Li avete già fatti. Nel senso che quando stavate facendo il campo elettrico, avete fatto i vostri esercizi con il teorema di Gauss, la prima. Quando avete fatto l'induzione elettromagnetica, avete usato la terza, per esempio, che è la legge di Faraday-Neumann, e così via. Non è che si fanno ulteriori esercizi nuovi. Se proprio volete, c'è qualche esercizio sulla corrente di spostamento, ma niente di più. Cioè, sta roba, voi lo sapete già usare. Spesso non si usa così, cioè difficile che uno vi faccia utilizzare proprio le equazioni di Maxwell con le circuitazioni, i flussi. Sono brutte da utilizzare. Vi faccio notare che il campo elettrico, il campo magnetico, qua dentro non compaiono mai esplicitamente, sono sempre dentro un flusso o dentro una circuitazione. Riassumendo, che cosa vogliono dire?
Il flusso del campo elettrico uguale a Q fratto epsilon zero. La prima equazione vi dice che il campo elettrico nasce dalle cariche elettriche.
La seconda vi dice che non esistono cariche magnetiche e che le linee di campo del campo magnetico sono chiuse.
La terza vi dice che un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico.
E l'ultima, invece, vi dice che il campo magnetico è prodotto dalle correnti oppure da un campo elettrico che cambia nel tempo.
Questa è la versione più semplice delle equazioni di Maxwell. Adesso vediamo come riscriverle in versione un pochino più avanzata. Se siete amici o scientifico, per esempio, questa scrittura di solito non è sufficiente, vi richiedono qualcosa di un po' di più. Anche se siete all'università, come si fanno riscrivere, tra virgolette, meglio? E con meglio intendo dire in un modo che permette di utilizzarle in più situazioni. Allora, dovremmo fare tre cose: la prima è riscrivere il flusso dei vari campi nel modo giusto, cioè che cos'è il flusso? Il flusso in generale, facciamolo qua sopra, è l'integrale attraverso una superficie chiusa del campo per l'elemento di superficie dS. Se questa scrittura vi crea dei problemi esistenziali o degli ictus, vi dovete andare a vedere il mio video sul teorema di Gauss del campo elettrico, dove spiega esattamente da dove salta fuori sta roba. Per il campo magnetico è uguale, semplicemente sostituite B al posto di E. Seconda cosa: la circuitazione del campo elettrico e del campo magnetico, la riscriviamo come va scritta, cioè come un integrale. È un integrale lungo un percorso chiuso nel campo per dl. Nello stesso video dove spiego il flusso, spiego anche la circuitazione. Ultima cosa: i vari delta phi su delta T, li andiamo a sostituire con delle derivate nel tempo, perché altrimenti abbiamo a che fare solo con quantità medie, invece vogliamo le quantità esatte. Quindi, i vari delta su delta T diventeranno delle d su dt. Ok, come diventano le equazioni di Maxwell con questi piccoli miglioramenti?
La prima è che l'integrale del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica all'interno di quella superficie fratto epsilon zero. Teorema di Gauss, semplicemente in forma integrale.
La seconda: l'integrale attraverso una superficie chiusa del campo magnetico in dS è uguale a zero. Teorema di Gauss del campo magnetico.
Terza: l'integrale lungo un percorso chiuso del campo elettrico in dl è uguale a meno la derivata dell'integrale attraverso una superficie chiusa del campo magnetico in dS. Roba era il flusso in origine. Questa è la legge di Faraday-Neumann.
L'ultima: l'integrale lungo un percorso chiuso del campo magnetico in dl è uguale a mi zero per la corrente concatenata più mi zero epsilon zero derivata nel tempo dell'integrale attraverso la superficie chiusa di E in dS. Sono le stesse identiche roba di prima, il significato è lo stesso, sono semplicemente scritte con gli integrali, non con i flussi e con le circuitazioni con i loro simboli. Solo una raccomandazione qua, ragazzi, importantissima: vedete che gli integrali hanno scritto sotto un piccolo S, un piccolo gamma. S è la superficie chiusa che avete scelto, gamma il percorso chiuso. E ricordatevi che c'è sempre un legame molto stretto tra gamma e S, cioè gamma è il percorso chiuso che racchiude o che delimita S. Cioè, la cosa che stava dicendo prima per la quarta equazione di Maxwell, che se avete un percorso chiuso, una linea di campo chiusa fatta in questo modo, quindi questo sarebbe il vostro gamma, la superficie è racchiusa da questa prova, potrebbe essere questa, questa S, oppure una qualunque superficie a bolla, quindi una roba del genere, basta che si appoggia su gamma. Questo a livello intermedio. A livello pratico, cosa vi cambia? Ci faccio più calcoli? Ci piace. Però, in linea di principio, si, potete usarle di più queste formule, ma non ci fate mezzo esercizio, se non quelli che avete già fatto. Quindi, non vi preoccupate di penne, che cosa vi viene richiesto poi in esame, verifica, interrogazione, eccetera eccetera.
Adesso, però, vediamo il livello pro, cioè come si scrivono, almeno io, le equazioni di Maxwell. C'è infatti un ulteriore modo di scriverle. Il teorema di Gauss del campo elettrico diventa nel livello massimo: divergenza del campo elettrico uguale a rho fratto epsilon zero. Rho è la densità di carica elettrica. Mentre il teorema di Gauss del campo magnetico è: divergenza del campo uguale a zero. Cosa vogliono dire questi simboli? Questa roba qui, quindi il simbolo di delta al contrario con il puntino del prodotto scalare, questa roba si chiama divergenza, ed è un'operazione che voi fate al vostro campo elettrico, magnetico, e vi indica quanto quel campo tende ad allontanarsi da un certo punto che voi avete scelto. È un po' l'equivalente, diciamo, il cugino del flusso, però con un volume predefinito. Allo stesso modo, cosa succede alla terza e alla quarta? Diventano: rotore di E, il fantastico rotore che fa impazzire tanta gente, uguale a meno derivata del campo magnetico nel tempo. E il rotore di B uguale a mi zero J più mi zero epsilon zero derivata di E in dt. Anche qua, un paio di chiarimenti: questa J è la densità di corrente, non è più semplicemente la corrente. Mentre questo fantastico coso che vi trovate qua davanti, quindi simbolo di delta al contrario con l'X del prodotto vettoriale, questa roba è l'operazione che si chiama rotore. Che cos'è il rotore? Indica quanto il campo gira. Anche questo è un po' l'equivalente della circuitazione, praticamente, ma scritto in un altro modo. Qual è la comodità di questa scrittura? Se uno sa utilizzarla, è che non utilizza gli integrali, ma sono tutte derivate. Infatti, la divergenza, in realtà, non è altro che una somma di derivate. Il rotore, anche lui, in realtà, è un vettore composto da derivate. Pure qua, non ci fate gli esercizi a cuor leggero con questa roba. È la versione migliore delle equazioni di Maxwell. Se siete al liceo, questa roba vi sembra arabo, non vi preoccupate, è assolutamente normale. Non dovrete utilizzarla, però, per darvi un'idea di dove si può arrivare, questo è il meglio del meglio delle equazioni di Maxwell.
Adesso, prima di concludere, voglio farvi un'osservazione finale sulle equazioni di Maxwell, ma per farlo ve le devo riscrivere nella forma base. Eccole qua, tornate all'origine. Ho solo lasciato le derivate, ma non per altro, tanto non cambia nulla. Allora, guardiamo in particolare la terza e la quarta. Che cosa ci dice? Vedere tutte e quattro le equazioni di Maxwell insieme: non c'è modo di slegare il campo elettrico dal campo magnetico. Tradotto: se avete un campo elettrico, in particolare se avete un campo elettrico che cambia nel tempo, non ci sono santi, avrete anche un campo magnetico. Se avete un campo magnetico che cambia nel tempo, non ci sono santi, vi compare anche un campo elettrico. I due viaggiano sempre insieme, non riuscite a separarli. È impossibile avere, per esempio, un campo magnetico variabile senza avere un campo elettrico. Questo è il motivo per cui spesso vi dicono questa frase: "Per cui il campo elettrico e il campo magnetico, in realtà, sono due facce della stessa medaglia, sono le manifestazioni del campo elettromagnetico". E siccome verranno messe insieme con un nome solo, si presume che voi avete capito tutto in automatico. Allora, capiamoci meglio su questa cosa. In che senso queste due insieme vi formano il campo elettromagnetico? Non vuol dire che in realtà sono la stessa cosa e per sbaglio li abbiamo chiamati con nomi diversi. In realtà, non proprio. Uno stesso oggetto, una stessa entità, che però a volte si comporta in un modo, a volte in un altro. No, occhio. Il campo elettrico è una roba, il campo magnetico è un'altra. Però, visto che si presentano sempre insieme, diciamo che sono il campo elettromagnetico. Tanto, se c'è uno, c'è pure l'altro. Inutile che uno sta lì a menarcela dicendo: "È qui, c'è il campo elettrico e poi c'è il campo magnetico". Lo sappiamo che se c'è uno, c'è pure l'altro. E allora diciamo: "Qui c'è un campo elettromagnetico". Vi faccio un esempio: cenone di Natale, 24 sera, arrivano i vostri cugini. C'è il cugino grande, chiamiamolo Pippo, e c'è la cuginetta piccola, chiamiamo la Fuga. Ora, voi sapete che loro due arrivano sempre in coppia, cioè se arriva uno, oppure l'altro, arrivano gli zii in compagnia. E quindi sono pure due cugini. Non c'è modo di averli singolarmente. Però questo non vuol dire che sono lo stesso essere. Non è una specie di mix fatto, che ne so, con la testa di uva, un braccio di Pippo, robe strane. Sono due entità distinte che però si presentano insieme. Come facciamo a capire che sono entità distinte? Perché tecnicamente lavorano in modo diverso. Il campo elettrico ha certe proprietà, il campo magnetico ha le altre. Per esempio, il campo magnetico ha degli effetti sulle correnti, il campo elettrico ne ha degli altri. Anche qui, c'è qualcuno che magari mi obietta dicendo: "Non è vero, si può dimostrare con la relatività che l'effetto del campo magnetico viene dal campo elettrico". Ragazzi, è verissimo, però a livello pratico, per noi che dobbiamo fare gli esercizi e non è passare gli esami, non fatevi troppe pippe mentali. Il campo elettrico e il campo magnetico sono due robe distinte, vanno studiate separatamente perché lavorano in modo separato. Poi, visto che tanto si presentano insieme, le chiamiamo campo elettromagnetico.
E anche per questo tappabuchi è tutto, ragazzi. Ricordatevi di iscrivervi al canale, seguirmi su Twitch, Instagram, TikTok, Facebook, tutti i social. Se i video vi sono d'aiuto, potete lasciare una mancia su Tipster per contribuire a sostenere il canale. Anche soltanto l'equivalente di un caffè per noi fa la differenza. Ricordati che puoi riscattare delle live personalizzate su Twitch, trovi tutto su Tipster, il link è in descrizione. Noi ci vediamo alla prossima.