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En este vídeo hablaremos sobre el cálculo del dominio y el ámbito. Recordemos que el dominio corresponde a las x y el ámbito corresponde. Para calcular el ámbito de una función, se debe sustituir los elementos del dominio. Recordemos entonces que si me dan las pre imágenes o me dan el dominio, lo que hago es sustituir para encontrar el ámbito.
Ahora, ¿qué pasa si me piden calcular el ámbito, el dominio si me dan para calcular el dominio? Entonces tengo el ámbito y lo que hago es que cada elemento del ámbito lo voy a igualar con el criterio de la función para encontrar el dominio. Vean el, en este caso, les dejo para que verifiquen ustedes cuál es el dominio, el dominio y el ámbito de la función. En este caso, note que el dominio siempre va a ser el conjunto de de partida y el como mínimo va a ser el conjunto de llegada. Que el dominio entonces va a ser menos 1, 1, 2. El convenio va a ser todo lo real. Pero cómo hago para sacar el ámbito. Es simplemente hacer la sustitución de cada valor del dominio en el criterio de la función, es decir, calcular la imagen de -1, calcula la imagen de 1 y calcular la imagen de 2. Específicamente, los que ustedes verificar que el ámbito de las funciones 0, 6 y 9.
Ahora vamos a hablar sobre el dominio máximo de una función. En este caso, considere lo siguiente. Sea F una función de variable real donde vamos a tener una función que va de un conjunto A hacia los reales. Evidentemente, recordemos que el conjunto A debe de pertenecer a los reales y vamos a definir dos dos polinomios P y Q de variable real y N como un número natural. Vamos a decir entonces los siguientes casos en relación al dominio máximo de una función. Recordemos que anteriormente vimos que para calcular el dominio, lo que debo hacer es tomar cada elemento del ámbito e igualarlo.
Ahora bien, ¿qué pasa si solamente me dan el criterio? Entonces, vamos a ver el caso 1. Si la función es polinomial, el dominio máximo siempre van a ser todos los reales.
Caso 2. Si la función es algebraica, específicamente lo que tengo que hacer es encontrar las restricciones del denominador y entonces lo voy a notar como todos los reales menos los valores que hacen que se me indefina la fracción algebraica asociada a la función, es decir, todos los valores que hacen que el denominador sea cero.
Ahora tenemos el caso 3. El caso 3 corresponde si la raíz, si la raíz es de índice par. Si la raíz es de índice par, lo que hago es tomar, tomar el argumento o el subradical y lo hago siempre mayor o igual que cero. Esto es si solamente tengo la raíz de índice par.
Ahora el caso 4. El caso 4 si la raíz de índice par está en el denominador, lo que hago es tomar el interior, en términos coloquiales, toma el interior del radical y lo hago mayor que cero.
Y el caso 5. En este caso, si la raíz es de índice impar en el numerador, siempre va a ser como dominio máximo todos los reales. Si estuviera en el denominador, por ejemplo, que tuviéramos hipotéticamente lo siguiente: Q de X entre la raíz de 12 N más uno entre P de X. Este es un caso particular. Lo que hago entonces es tomar P de X y lo hago distinto de cero. Es como si estuviéramos aplicando el caso 1.
Ahora vamos a ver los siguientes ejemplos. Vean que me dan la función F de X igual al criterio de X entre X - 1. La función es fraccionaria y note sé que el denominador está compuesto por un polinomio que en este caso es X - 1. Entonces, lo que hago es tomar X menos 1 y lo hago distinto de cero. Despejo la X y note y puede llegar que mi restricciones de que es distinto de uno. Por lo tanto, van a ser todos los reales distinto de uno como dominio máximo.
Ahora vamos con el ejemplo 87. Tengo X + 3 entre X cuadrado menos 25. Es fraccionaria. Lo que hago entonces es resolver o factorizar al máximo para encontrar los dos posibles valores que hagan que mi función se indefina. Note sé que en este caso a través de una diferencia de cuadrados y a través de resolver una ecuación cuadrática va a llegar a que X es igual a 5 o que X es igual a menos 5. Estos dos valores son los que tengo que sacar del dominio. ¿Por qué? Porque tengo que sacarlos porque si yo vengo y hablo con la función original se me indefina. Entonces, el dominio máximo van a ser todos los reales menos los valores de 5 y menos 5.
Ahora note y que tengo el ejemplo 88 y quiero que analicen el ejemplo 88. Llevarán duda en particular al ejemplo 88 del ejemplo 88 a la sesión de clase porque aquí abordaremos con mayor profundidad este ejemplo. Lo que tenemos que hacer es tomar y analizar lo siguiente. Vean que tengo la raíz cuadrada de X menos 1 entre X más 1 X menos 2. Tomo el interior del radical y lo hago mayor o igual que cero. Específicamente, voy a empezar a sacar los ceros. ¿Cuál es el cero específicamente para X menos 1? X = 1. Y saco las restricciones. ¿Cuáles son las restricciones? X distinto de -1 porque note sé que específicamente el primer factor del denominador si hace cero en -1 y X igual a 2 porque el segundo factor se hace cero en dos.
Montamos una tabla de signos y aquí específicamente tomes un detalle a continuación. Una vez que todo está factorizado, entonces voy a colocar el numerador X menos 1, X más 1 como el primer factor del denominador y X menos 2 como el segundo factor del denominador y nótese que acá tengo la el criterio de la función, güey, bueno, o el interior del criterio de la función, de acuerdo. Entonces, voy a colocar ahora los las raíces y las restricciones en recta numérica. Arranco siempre con menos uno. Vean que mi primera restricción es menos uno, luego mi primera en raíces 1, mi restricción sería 2 y ahora tengo hacia más infinito.
Ahora X menos 1, ¿dónde se hace cero en uno? De acuerdo. Entonces, coloquialmente pregúntese lo siguiente: ¿Qué valor o qué signo tiene la X adelante? Como la X es positiva, entre comillas, todo lo que está antes de su cero es negativo, entonces negativo y negativo y todo lo que esté después de su cero va a ser positivo. Entonces, de una dosis positivo y de dos a más infinito es positivo.
Ahora X más 1. Pregúntese, ¿dónde está su cero? Su cero está en menos 1. Ahora pregúntale al signo, ¿cuál es el signo de la X positivo o negativo? Y observe que es positivo, entre comillas, entonces todo lo que está antes de su cero es negativo. Entonces, desde menos infinito menos uno es negativo y de lo que está desde menos infinito en adelante va a ser positivo.
X menos 2, ¿dónde se hace cero? Este en dos. Entonces, todo lo que está antes de su cero, si la X es positiva, entre comillas, va a ser negativo. Entonces, negativo, negativo, negativo, negativo, negativo hasta llegar al 2 y todo lo que está después del 2 es más infinito.
Y ahora lo que hago es simplemente ley de signos hacia abajo: menos por menos más, más por menos menos, por más menos, menos por menos más, más por más más, más por menos menos, más por más más, más por más más. Y nótese que mi condición inicial era específicamente todos los valores que sean mayores o iguales a cero, es decir, que sean positivos. Recordemos que si restricciones no se incluye este valor, entonces, ¿cuáles intervalos nos dieron positivo? Nótese que nos dieron positivo desde desde menos 1 a 1 y de 2 hacia más infinito. Entonces, vengo y coloco desde menos 1 a 1 y 12 más infinito.
Ahora, ¿por qué el menos 1 va a ir abierto? Porque no puede incluirlo, por eso lo coloco abierto. Tengo que colocarlo abierto. Menos 1 no puede estar dentro del dominio de la función porque si no me indefina. Desde menos 1, 1 con el 1 no tengo problema porque no me indefina, entonces va cerrado. Unido desde 2 abierto porque 2 va abierto porque me indefina y recordemos que los infinitos siempre van abiertos.