Quale angolo di lancio massimizza la gittata? (ottimizzazione con moto parabolico)

Bene ragazzi, abbiamo visto nel video precedente un po' quali sono gli step per fare l'ottimizzazione, ok, di una quantità Q che dipende da dei parametri P e che dipende da una variabile V. È come sempre, però, gli step che oggi sono un po' difficili, quindi adesso semplicemente io vi pongo un problema che risolveremo utilizzando questi cinque step, così vediamo come si fa.

Il problema è di natura fisica. Di solito i problemi di ottimizzazione sono di natura fisica o di natura geometrica, e quelli fisici, secondo me, sono ancora più belli perché risolvono i problemi ancestrali che venivano fatti tre anni fa senza niente, di cui non si capiva il motivo.

Lo ragazzi, non è questo. Noi abbiamo un corpo, un cannone, tra l'altro le ho anche descritto qua, che spara sempre con, spara con una velocità iniziale fissa. In questo caso fa 15, ma a me non interessa, nel senso che io ho semplicemente dico che la velocità iniziale vale V zero ed è fissa. Cosa vuol dire che V zero è fissa? Che questo è un parametro, non è una variabile. Ok, quindi immaginiamo che abbiamo un cannone che spara con una certa velocità. Punto. In questo caso di 15 gradi, ma non ci interessa, quindi io non inserirò mai il dato di 15 gradi, di 15 metri al secondo, scusate. E poi vi chiedo: trova il valore massimo della gittata potendo cambiare l'angolo, o meglio, trova il valore dell'angolo che massimizza la gittata e poi trova anche quanto vale la gittata massima.

Quindi capite che la variabile con cui io posso giocare è l'angolo. Ok, allora andiamo quindi nella nostra idea di segnare quanto vale questo angolo che, come potete vedere, andiamo a variare. Ok, quindi l'angolo alfa sarà una nostra, anzi, le variabili, ce n'è soltanto uno, quindi sarà la nostra variabile. E io chiedo di massimizzare che cosa? La gittata.

Allora, che cos'è la gittata? Così ci capiamo, è la distanza orizzontale, quindi in questo caso sarebbe di 20 metri, ok, che c'è tra la posizione iniziale del, della pallina che si lancia e quella finale. Allora, vedete, l'idea è che io nella mia testa faccio tanti esperimenti e mi chiedo qual è il valore dell'angolo che la nostra variabile, che permette di massimizzare la gittata. Ad esempio, sicuramente 40 gradi, una gittata più grande. E ovviamente si troverà probabilmente che per 45 gradi, un po' per simmetria, la gittata sarà massima. Ma come si fa matematicamente a dimostrare? Perché se l'angolo è molto alto, ovviamente va molto in alto. Se l'angolo è molto grosso, l'altezza massima sarà molto elevata, nella gittata sarà piccola. Ecco, la ragazza, è la vostra idea, punto, è di fare infinite prove su alfa e trovare quale angolo massimizza la gittata. Quindi la mia idea è che la mia quantità da massimizzare è la gittata. La gittata è la quantità da ottimizzare, quindi in questo caso da massimizzare.

Quindi l'idea, ok, andiamo a vedere qual è il punto 1. L'idea è di trovare quanto vale la gittata che, come parametro, ha la velocità iniziale perché fissa e come variabile, l'angolo. L'angolo, ragazzi, è variabile. Io non ho mai variato la velocità, è un parametro fisso. Questa, ragazzi, è l'idea e devo trovarla. Ok, e come parametri mi posso permettere V zero e come variabile mi posso permettere alfa. Quindi, ragazzi, il problema adesso diventa fisico, nel senso che io per trovare la formula della gittata mi devo rifare alle, e questo è il problema di chi fa la quinta, si dimentica le cose di seconda, il moto parabolico. Quindi io adesso vado velocemente sul moto parabolico.

Ok, allora per quanto riguarda il moto parabolico, l'idea è che la X di T è un moto rettilineo uniforme, mentre la Y di T è un moto rettilineo uniformemente accelerato. Quindi la X di T è X zero più V zero X per il tempo. La Y di T è Y zero più V zero Y T e poi ci sarebbe più un mezzo A T quadro. Solo che l'accelerazione fa meno 9,8, poi c'è un mezzo e quindi provare per credere, viene una cosina del genere. Ma attenzione, ragazzi, che io devo trovare la gittata.

Allora, che cos'è la gittata? La gittata è questa, quindi G grande, che quindi rappresenta, diciamo, la, la scissa di questo punto finale. No, a questo punto ha come XC e come ordinata zero. Niente, quindi l'idea è che adesso devo sostituire ciò che posso, ciò che so, nel senso che la X di T, la X, essendo la scissa del punto finale, è davvero la gittata. La Y corrisponde all'altezza finale che è zero. Zero Y zero, visto che il corpo parte dall'origine, a zero e zero. Quindi poi vedete che diventa molto facile. V zero X, attenzione, V zero X è la X, questa qua è la componente orizzontale e quindi è V zero per il coseno di alfa. Ecco, ragazzi, dove entra la nostra variabile, entra qui dentro. Mentre V zero Y è V zero per il seno di alfa.

Allora, noi dobbiamo trovare la gittata. Quanto vale la gittata in funzione di, vedete, come parametro V zero e come variabile alfa? Questo cosa vuol dire che il tempo non deve esserci, ok? Non c'entra niente il tempo perché, come dove trovare la gittata in funzione di quelle due cose? Libri. E allora viene G uguale, allora zero, quindi viene V zero per il coseno di alfa per T. E sotto viene zero uguale a, allora sotto, tra l'altro, questo termine non c'è, quindi posso, tra l'altro, raccogliere una T e viene V zero seno alfa meno 4,9 T. Avrei potuto tenere il 4,9 come G mezzi, ok, però va bene, potrei 9, dai, lo faccio per farvi capire anche un'altra cosa, però 4,9 era semplicemente, ragazzi, la metà, erano 81 diviso. Lo metto per un motivo. Ecco, se io voglio trovare la gittata, sotto devo azzerare, diciamo, i due termini.

Allora, come sta zero nei due termini? O T fa zero, il che però non ha molto significato, no? Perché mi sono chiesto quando il corpicino è sul pavimento. Allora, o quando sei all'inizio, ma è una risposta che non mi va bene. E quindi mi va bene, ragazzi, l'altra, cioè il tempo in cui tu arrivi con la pallina per terra vale due. Viene 2 V zero seno alfa fratto G. Questo è il tempo in cui tu arrivi. Tempo, passo per raggiungere la gittata. Quindi semplicemente, ragazzi, su questo tempo lo sostituisco qui e la gittata viene a te. Guardate, V zero per il coseno di alfa per il tempo, 2 V zero seno alfa, avete le variabili, come escono, fratto G piccolo. Siamo ancora al punto 1. Poi altri punti sono facili, però al punto 1, ragazzi, è trovare quanto vale la gittata.

Allora, quindi la gittata quanto vale? Ecco, qui bisogna sapere un minimo, tra l'altro, di di goniometria, perché hai visto che c'è seno alfa e coseno alfa. È intelligente ricordarsi le formule di duplicazione, perché 2 seno alfa per coseno alfa è il seno di due alfa. Questa cosa mi sarebbe molto, perché così diventa V zero alla seconda, perché viene V zero per V zero per il seno di due alfa fratto G. Abbiamo trovato la gittata, quindi in funzione, come parametri, vedete che sono fissi, V zero e G, tanto gira sempre 9,81, che fai cambiare i pianeti, e come variabile c'è soltanto alfa. Quindi adesso il nostro scopo, adesso che abbiamo, vedete, la gittata che dipende solo da parametri fissi V zero e G e da una sola cosa che può variare, mentre che il tempo era un'altra cosa che non si sapeva se era un parametro o una variabile, intorno ne ha nessuno dei due. Adesso possiamo andare con il punto 2. Vedete che il tempo è scomparso, ragazzi.

Il punto 2 qual è? Allora, il punto 2 è fare, se non sbaglio, la derivata. Quindi devo derivare la gittata che dipende solo da alfa rispetto ad alfa. Allora, visto che l'ho scritta in questo modo, è molto facile, perché devo fare la derivata di V zero alla seconda seno di due alfa fratto G. Allora, attenzione, i parametri sono delle costanti, quindi cosa vuol dire che escono tutte e devo semplicemente fare la derivata del seno di due alfa. Quindi fra derivata al seno di 2x, tra che viene il coseno di 2 alfa per la derivata di 2 alfa, cioè la derivata di 2x che è due. Game. Questa quantità fa due. Se lo metto qui davanti e vado avanti. Questi, ragazzi, è come vedete, il coseno di due alfa. Bene, o la derivata.

Il punto 3 è il punto che gli studenti perdono, cioè la mia variabile tra cosa può stare? Ragazzi, quest'angolo tra cosa può stare? L'angolo può stare tra, vedete, al massimo può fare 90 e al minimo può fare, quindi lo permette, ma l'idea è che può fare zero. Ok, stiamo tra 0 e 90. Quindi voi dovete capire che cosa è questa cosa, un po' di più difficile. La mia variabile tra cosa può stare? Allora, qui, allora l'angolo può stare tra 0 e 90 gradi. Dovete capire esercizio per esercizio quanto può fare. Poi ne facciamo anche qualcuno con la geometria e capite come si fa a gestire.

Punto 4, pongo la mia derivata uguale a zero. Quindi faccio 2 V zero alla seconda fratto G per il coseno di due alfa uguale a zero. Allora, ovviamente queste quantità zero non possono farlo e quindi l'unica possibilità è che il coseno di due alfa faccia zero. Qui bisogna un attimo ricordarsi quando è che il coseno fa zero. Allora, il coseno di un angolo fa zero benissimo, il coseno fa zero qui e fa zero qui, quindi fa, diciamo, zero a 90 gradi e ha in realtà, va bene, potrei mettere meno 90 gradi, va bene, mettiamolo pi greco mezzi e meno più pi greco mezzi. Qui sto ragionando in gradi, non ragiono radianti, ma va bene. Quindi, ragazzi, quand'è che il coseno di due alfa fa zero? Quando, attenzione, due alfa fa 90 gradi e poi ci devo mettere la mia periodicità, tanto le soluzioni le trovo ogni volta che faccio più k a 180 gradi. Questo, ragazzi, è due alfa, ok? Quindi alfa che cosa sarà? 45 gradi più k 90 gradi. Ho diviso per due. Ed ecco che esce fuori il magico 45 gradi, che ne avevamo già un supposto estremo avere questi valori. Ok, quindi questi, ragazzi, ho trovato, diciamo, i punti per cui potrei, per cui ho i miei punti stazionari. Ok, sono questi qua.

E adesso faccio il punto 5 per andare a vedere invece una cosa un po' più importante. Questo poi vedremo, più si potrebbe anche non fare il punto 5 in modo intelligente. Comunque, l'idea è che si basta fare 2 V zero alla seconda fratto G per il coseno di due alfa maggiore di zero. Ok, ed ancora una volta basta fare il coseno di due alfa, porlo maggiore di zero. Quando, ragazzi, che il coseno è positivo? Allora, qui il coseno fa zero, qui il coseno fa uno, quindi il coseno risulta positivo se ti muovi da meno 90 gradi fino a 90 gradi, ok? Se ti muovi così, così, il coseno risulta positivo. Quindi il risultato è che due alfa è compreso, ok, tra meno 90. Adesso sì che devo scrivere meno 90 più 2k pi greco e 90. Sì, più k 360. Scusate, perché adesso sto usando i gradi, quindi viene più k 360. Qui, mentre che in questo esercizio, cioè c'è la traduzione, la goniometria, c'è molto parabolico, ci sono le derivate, abbastanza interessante.

Quindi cosa bene, alfa compreso tra, divido per due, meno 45 più k 180 e 45 più k 180. Allora, l'esercizio è finito praticamente, perché adesso vado a fare la mia tabella dei segni integrata con il dominio. Cioè, io adesso mi chiedo quando è che la derivata è positiva. Allora, quali sono gli alfa possibili? E allora, ad esempio, meno 45, poi cosa 45, valore che qui, però poi avrei anche, ad esempio, meno 45 più se k fa uno, meno 45 più 280, che fa 135, e poi ad esempio avrei 45, quindi qui 225. Poi di quale avrei altri meno 45 meno 180, solo che tutti questi valori, ragazzi, a noi non se ne frega niente, perché il dominio che era il punto 3 è che l'angolo deve essere compreso tra 0 e 90. Quindi poi la pubblicità noi a distruggiamo, perché il dominio che va sempre messo ci dice: guarda che tu non puoi lanciare con un angolo più piccolo di zero o più grande di 90. E la derivata risulta positiva da meno 45 a più 45, e poi risulterebbe positiva tipo dopo 103. Qui, però, chi se ne frega di di sei fuori. E quindi dopo risulta negativa, tra l'altro, 45 gradi. Ok, risolve il punto 4, c'è a 45 gradi, vedete, è soluzione, quindi crea davvero un punto stazionario.

Quindi poi alla fine 45 gradi sarà la nostra soluzione. Ma adesso vi dico un po' come si fa. C'è, ovviamente, questo è G primo. Adesso trovo la gittata. Allora, la gittata, quindi, diciamo, se la storia derivata è positiva, la funzione è crescente. Se la derivata è negativa, la funzione è decrescente. Quindi, visto che 0, poi 90 sono valori compatibili, noi adesso dobbiamo andare a trovare il valore della gittata quando è massima. Allora, vedete che la gittata è massima quando l'angolo è di 45 gradi, che è quello che avevamo visto in modo abbastanza intuitivo. E per trovare, ok, quindi diciamo il valore dell'angolo del parametro che massimizza la gittata, viene 45 gradi. E se io voglio trovare il valore della gittata massima, cosa devo fare? E io ho la gittata in funzione di alfa, che era V zero alla seconda per il seno di due alfa, il tutto fratto G, non la derivata, la mia funzione. E allora, visto che l'angolo che massimizza il tutto è di 45 gradi, viene V zero alla seconda per il seno di due che moltiplica 45 gradi, il tutto fratto G. Ovviamente, 2 per 45 gradi fa 90 gradi, il seno di 90 gradi fa uno. E quindi, ragazzi, una formula che vi hanno sempre detto e non si è probabilmente mai capito il perché, la gittata, il valore massimo della gittata vale V zero alla seconda fratto G. E questo è il risultato. Ok, vedete, non dipende più da alfa. Ok, quindi la gittata massima, ok, parametrizzata dalla velocità iniziale e da G, vale V zero alla seconda fratto G e si ottiene con alfa uguale a 45 gradi.