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Vamos a calcular ahora. Vamos a resolver un problema en el que vamos a obtener qué es la decisión del monopolista. Vamos a ver cómo toma sus decisiones el monopolista.
Bueno, el planteamiento del problema lo tenéis ahí indicado. Partimos de un monopolista que tiene esta función de costes. La cantidad que produzca el monopolista, pues el coste que le genera será las unidades que produce q, q al cuadrado partido por 2 + 5q + 5. Y este monopolista se enfrenta a una determinada demanda que, de nuevo, pues la que tenéis ahí indicada. La cantidad que están dispuestos a comprar los consumidores será igual a 10 menos el precio partido por 2.
Y lo que nos pide el problema es que obtengamos, pues la decisión del monopolista. Cuál será el precio y la cantidad que va a elegir, así como que calculemos los beneficios que obtiene. Finalmente, nos pide también que representemos gráficamente, eh, la decisión del monopolista.
Bueno, pues vamos a ello. ¿Qué es, eh, qué es lo que va a hacer el monopolista? Pues el monopolista va a producir la la cantidad que maximice sus beneficios. ¿Cómo maximiza sus beneficios el monopolista? Pues como sabemos, la decisión óptima que tomaría un monopolista al maximizar sus beneficios será producir la cantidad que haga que su ingreso marginal se iguale a su coste marginal.
Bueno, pues vamos a hallar ingreso marginal y coste marginal. Empezamos hallando coste marginal, que el coste marginal del monopolista, pues será la derivada de su función de costes respecto de la cantidad. Bueno, pues tenéis ahí que es q al cuadrado partido por 2 + 5q + 5 el coste total. Si eso lo derivamos respecto de la cantidad, q al cuadrado partido por 2, el cuadrado pasa multiplicando, nos queda 2 * q partido por 2, que esto se simplifica a q + 5q, esto nos queda como + 5 y el 5, pues se va. Ese es el coste marginal del monopolista.
Vamos a hallar ahora el ingreso marginal. El ingreso marginal, como sabemos, es la derivada del ingreso total. Por tanto, tenemos que el ingreso marginal será la derivada del ingreso total del monopolista respecto de la cantidad. ¿Qué ocurre? Que no tenemos el ingreso total. Para hallar el ingreso total, para hallar el ingreso total, ¿qué es el ingreso total? Pues el ingreso total será el precio que consigue el monopolista al vender las q unidades por q, por las unidades.
No, pues ingresos totales, el precio al que vende por las unidades que produce. De nuevo, lo que ocurre es que no tenemos el precio. Este precio que tenéis aquí lo obtenemos de la función de demanda, no, hallando la función inversa de demanda. Si esa es la función de demanda, pues haciendo unas operaciones nos queda que p partido por 2 será igual a 10 menos q, pasando la q al otro lado y el p, no, cambiando la q y el p de sitio. Y de aquí, pues sacamos que la función inversa de demanda será igual a 20 menos 2q.
No, pues el dos de aquí, pues pasa multiplicando al otro lado. Y por tanto, lo que nos queda es que el ingreso total será 20 menos 2q multiplicado por q, es decir, será, eh, 20q menos 2q al cuadrado. Este es el ingreso total que tiene el monopolista.
Vamos a calcular su ingreso marginal. El ingreso marginal será, eh, la derivada de esa expresión respecto de q. Bueno, pues 20q, la derivada es 20. Menos 2 por q al cuadrado queda menos 4q.
Bueno, el óptimo del monopolista resultará de igualar el coste marginal al ingreso marginal. El q + 5, ese q + 5 = a 20 menos 4q. Vamos a comprobar que está bien. Q + 5 = 20 menos 4q. Si lo igualamos, pues de ahí despejamos y lo que nos queda es que 5q es igual a 15. Y obtenemos la cantidad elegida por el monopolista, que será de tres unidades. El 5 pasa dividiendo, 15 / 5, 3. Y esa es la cantidad óptima para el monopolista.
Eso es con la cantidad. Con la que el monopolista maximiza sus beneficios. ¿Cuál será el precio que ponga el monopolista? Pues el precio que esté dispuesto a pagar la demanda por esa cantidad. Teníamos que la función inversa de demanda era 20 menos 2q. Y por tanto, el precio del monopolista, el precio que obtendrá el monopolista si sustituimos la q por 3, pues nos queda que será 14.
Bueno, ya tenemos la cantidad del monopolista, tenemos el precio del monopolista, que es 20 menos 2 por 3. Vamos a hallar, por último, el beneficio que obtiene el monopolista en esta situación. El beneficio que obtiene el monopolista, que depende de la cantidad, pues será el p de q por q menos su función de coste total. Bueno, el precio es 14, la cantidad es 3. Y su coste total será, eh, q al cuadrado, que es 3, 3 al cuadrado partido por 2 + 5 por 3 + 5. Bueno, 14 por 3 es 42. Menos 3 al cuadrado, 9, 4 y 5, eh, 15 + 5 es 20. Pues menos 24,5. Y esto, pues será igual a 17,5, que serán los beneficios que tendrá el monopolista.
Bueno, pues ya tenemos la cantidad que produce el monopolista, el precio al que vende el monopolista y los beneficios que obtiene el monopolista. Por último, nos pedía el ejercicio que representáramos gráficamente esta situación.
Bueno, pues lo que vamos a hacer va a ser en un eje, vamos a representar como siempre aquí en el horizontal la cantidad y en el eje vertical el precio. Vamos a representar la función de, en primer lugar, la función de demanda y la función de coste marginal. La función de demanda, cuando el precio es de cero, la cantidad es de 10. Cuando la cantidad es de cero, es porque el precio es de 20. Bueno, pues esta es la función de demanda. Aquí tenemos la función de demanda, la cantidad de demanda.
Después tenemos la función de coste marginal. Si recordáis, la función de coste marginal que la teníamos aquí era q + 5. La función de coste marginal q + 5, eh, que cuando la cantidad es de cero, pues el coste marginal es de 5 y luego pues creciente. Esta será la función de coste marginal.
¿Cuál es la decisión del monopolista? Igualar el coste marginal al ingreso marginal. ¿Cuál es la función de ingreso marginal? Bueno, luego también la teníamos aquí calculada la función de ingreso, eh, de ingreso marginal. La tenemos aquí, es 20 menos 4q. Cuando la cantidad es cero, sale del 20. Como una función de demanda, cuando el ingreso, el ingreso marginal será cero para una cantidad de cinco, que estará por aquí. Y esto es lo que hace la función de ingreso marginal.
¿Cuál es la cantidad que produce el monopolista? Pues la cantidad que iguale el coste marginal al ingreso marginal. Esta cantidad de aquí, que hemos calculado y que era de tres. Esa es la cantidad óptima para el monopolista, tres unidades. ¿Cuál es el precio al que vende el monopolista? Pues el el precio que esté dispuesto a pagar la demanda por esas tres unidades, es decir, nos subimos aquí para arriba a la función de demanda y vemos que el precio que está dispuesto a pagar la demanda por tres unidades es de 14. Y este será el óptimo del monopolista, una producción de tres a un precio de 14.