Ejercicios Oligopolio - Parte 1

Hola, en esta oportunidad vamos a hacer unos ejercicios de oligopolio. Un par al final del vídeo de oligopolio hay ejercicios de oligopolio. Aparte, se explica el tema. Se lo explica principalmente con un ejercicio, pero bueno, vamos a hacer algunos adicionales.

Dice, supongo un mercado con la configuración de un duopolio. La función de demanda del mercado está por la siguiente función. Bueno, ayuda en la función de demanda, donde q va a ser la sumatoria de las cantidades de la empresa 1 más la empresa 2. Bueno, el precio del mercado, q1 y q2, había claras las cantidades que producen las empresas 1 y 2 respectivamente. Ambas empresas operan con una función de costo similar, o sea que ambas tienen la misma estructura de costos.

Calcule el precio de equilibrio, cantidad total producida, cantidad individual producida y beneficios de cada empresa. Así, en este caso, sería cada uno de los ejemplos que vimos en la teoría: Cournot, Stackelberg, Bertrand y Colusión, o sea, los cuatro modelitos que vimos en la parte teórica.

Vamos a empezar con Cournot. Antes de empezar a resolver cualquier por cualquier método, yo lo que pretendo, lo que me gusta que hagan mis alumnos, es que obtengan primero todos los datos, la información inicial relevante como para empezar por resolver cualquier cosa. Sea Cournot, Stackelberg, Bertrand, Colusión, más que nada para el tema de Cournot y Stackelberg, los datos iniciales, ordenarlos de una manera que me sean útiles para usarlos después.

Nos dieron la función demanda. Esa función demanda tiene una inversa, o sea que la de vuelta. Yo tengo la inversa de la demanda, sería 90 menos un quinto de q, para q es la cantidad de la empresa 1 más la cantidad de la empresa 2. Por lo tanto, yo podría reemplazar esa q ya por q1 y q2, después distribuir y me queda directamente la función inversa elevándose a la función precio, pero ya con expresada en términos de la cantidad de la empresa 1 y la cantidad de la empresa 2, que me va a venir bien porque de esa manera es como la voy a estar utilizando del doble ratito.

Y después, por otro lado, los costos, que en este caso eran empresas con costos iguales. La empresa del costo total de la empresa 1 era 2 por q1, y el total de la empresa 2, 2 por q2. A partir de la función de costes, yo podría sacar el costo marginal, que también lo voy a estar necesitando más adelante. Rodado también calculo los dos costos marginales, en este caso sería igual a ambos, son dos.

Una vez que tengo esto, a esto lo que yo llamo la información necesaria como para resolver cualquier cosa que se presente. No, esto yo, por lo menos, aconsejo que lo hagan antes de empezar a resolver cualquier cosa. Ahora sí, ya podemos empezar por el punto A. Comencemos entonces.

El primero, el punto es el modelo de Cournot. Resolver el ejercicio según el modelo de Cournot. La teoría de todo esto, las características, la han visto la parte teórica. Yo voy a resolver los ejercicios directamente sin explicar nada, nada. Lo que hacíamos era agarrar, agarrar una empresa. Agarramos la empresa uno, por ejemplo, podríamos empezar por la dos, por la que quiere, que la que queremos. En este caso, el hecho de que tengan costos marginales igual, la misma estructura de costo, va a simplificar todo el análisis, ¿no? Porque lo que tenemos que buscar de entrada era la función de reacción de cada empresa. Y al ser enfrentarse a la misma demanda y tener los mismos costos marginales, eso hace que la curva de reacción, la función de reacción, sea la misma para ambas empresas. Por lo tanto, voy a buscar la función de reacción de la empresa 1 y la de la empresa 2 va a ser lo mismo, cambiando le los subíndices a las cantidades y ya está.

Lo que hacíamos era entonces buscar la función de reacción a la empresa 1. Para eso, primero teníamos que encontrar el ingreso total de la empresa 1, para obtener el ingreso marginal de la empresa 1, para para igualar su ingreso marginal al costo marginal, que es la regla universal. Y a partir de ahí encontrábamos la función de reacción.

Entonces, acá el ingreso total de la empresa a 1 va a ser P por q1, o sea, el precio por la cantidad que venda la empresa 1. Ahora, el precio lo reemplazábamos por todo lo que era la función precio y después, una vez que reemplazamos el precio, distribuimos y me queda el ingreso total de la empresa 1. Es lógico que dentro del ingreso total de la empresa uno aparezca las cantidades de la empresa 2 y con un signo negativo, porque eso quiere decir que cuanto más unidades lleve la otra empresa, el precio va a quedar más bajo y el ingreso total de la empresa 1, obviamente, se va a ver afectado.

Acá se acabamos la derivada, hacíamos el ingreso marginal, derivábamos y obteníamos el ingreso marginal de la empresa 1. Este ingreso marginal es el que vamos a igualar el costo marginal, que en este caso es sencillo, porque es de 2 nada más. El costo marginal, igualamos entonces a 2 y despejamos q1. Este término, este 90, lo paso ya al otro lado a restar, me queda menos 88, pero el signo también lo vuelvo, después me llevo el signo también para el otro lado. Por lo tanto, queda más 88 menos un quinto al cuadrado de q2, menos un quinto de q2, porque repito, me llevé el signo también. Este signo que está acá, y después tengo que pasar este dos quintos a dividir al otro lado, voy a multiplicar por cinco medios, es lo mismo, y me termina quedando la función de reacción de la empresa 1.

Esta es la función de reacción de la empresa 1. Es a la función de reacción que me dice cuánto debería llevar la empresa uno para cada cantidad que lleve la otra empresa. Y obviamente tiene que tener un signo negativo acá. Hay una relación inversa, diría, monto de la cantidad que lleva una empresa y el óptimo que debe llevar la otra empresa. Lo hemos explicado ya en la parte A.

Ahora deberíamos hacer lo mismo para la empresa 2, pero no lo vamos a hacer, porque en realidad, al tener la misma estructura de costos, la función de reacción de la otra empresa va a ser lo mismo que la de la 1, pero con los subíndices cambiados. Pero yo podría decir, bueno, la función de reacción de la otra empresa es donde dice q2 pongo q1, donde dice q1 pongo 2, va a la misma función de reacción. O sea, que esto me simplifica bastante los pasos, ¿viste?

No, ahora lo que teníamos que hacer era, bueno, acá hay un gráfico aproximado. Suponemos el gráfico de las funciones de reacción. Recuerden que para para graficar la función de reacción uno es fácil, porque esta es la ordenada al origen 220 y después tiene pendiente un medio, quiere decir 220, que decir que va pendiente medios significa baja uno y se desplaza dos. Si llega a bajar 220, se va a desplazar 240, o sea, el doble. Por lo tanto, va a cortar al otro eje en 440. Y para poder graficar esta, lo que tiene que hacer es despejar q1 de acá, o sea, para poder graficar esta función en este gráfico, siempre va a ser al revés. En el caso en el caso de que tengan los mismos costos marginales, va a ser al revés que la curva de reacción de la empresa a uno, no, la de la dos va a ser al revés que la de la uno. Si la uno salía de 220 y llegaba a 440, la de la dos va a salir de 440 y va a llegar a 220. Pero si no, la manera correcta de graficar la es despejar de acá, dar vuelta esta función y podríamos despejar la, graficar la correctamente.

Tenemos que buscar el equilibrio q1, q2, porque eso es lo que estamos buscando, que es donde se cortan ambas curvas de reacción. Para eso, lo que hago es meter una función de reacción adentro de la otra, que es lo mismo que igualar, en realidad, o sea, agarro q1, esta función de reacción, y donde diga q2, le enchufó lo que es la función de reacción a la otra empresa. Por lo tanto, ahí me va a quedar todo el término de q1. Lo único que toca hacer acá al principio, distribuir, se tengo que despejar q1, que es lo único que queda por hacer. O sea, que acá queda distribuir, me queda menos 110, acá queda un medio, o negativo por un medio negativo, me queda un cuarto positivo de q1. Después paso este menos un cuarto al otro lado a restar, me quedan menos tres cuartos y despejo q1 y me termina dando que la cantidad óptima que debería llevar al mercado la empresa uno es 146,6.

Y reemplazando en la función de reacción de la otra empresa, me dice que obviamente, en este caso, como tienen la misma estructura de costos, enfrentan la misma demanda, y esto igual también va a dar 146. q2 es una manera interesante de comprobar si está bien lo que hicieron, porque también, como tienen la misma estructura de costo, una potencia iguales, incluso con 826,6. Corrijo, pero estaría bueno que lo metan acá dentro de la función de reacción, porque debería dar efectivamente 146,6. Si no les da, quiere decir que algunos reconocieron algún lugar, porque tenían los mismos costos. Si los mismos costos, tiene que tener también las mismas cantidades óptimas a llevar al mercado.

Una vez que ya tengo las cantidades de cada una, la sumatoria total de las, sumo las dos cantidades, me da la cantidad total que van a llevar al mercado. Y esa cantidad total la puedo reemplazar acá a la función precio, o también podría reemplazar usarla, las cantidades individuales me dan lo mismo, y me da que el precio es de 31,3 periódico. Es el precio de mercado. Y ya con eso voy a poder sacar los beneficios de cada una, que en este caso van a ser nuevamente, ahora también van a ser iguales, porque tienen la misma estructura de costos y están cobrando el mismo precio y están vendiendo las mismas cantidades individuales. O sea, que va a ser lo mismo para ambas empresas.

El ingreso total es el precio por la cantidad que estemos. Ingreso total de la empresa a uno, siempre los beneficios, tratarlos, porque en realidad son empresas independientes entre sí, o sea, no son empresas que están actuando por separado. Si hasta la parte de colusión se ponen de acuerdo en cómo actuar. En colusión, pero después cada una, siempre las empresas tratan por separado. O sea, que el ingreso total de la empresa a uno va a ser P por q1, me da esto. El costo total es simplemente reemplazar q1 en la función de costos de la empresa uno, me da el costo, y ahí obtengo los beneficios. E ingresos total menos costo total me da el beneficio. Y los números para la empresa 2 son exactamente los mismos. Los números a los mismos, porque y tienen una estructura. Esto sería resolver el ejercicio según Cournot.

Resolvamos ahora Stackelberg, que es el punto B. Recordemos que en Stackelberg había una empresa líder y una seguidora. Repito, no voy a explicar teoría acá, porque lo hice la parte en la parte del vídeo de teoría, no, pero bueno, había una líder y una seguidora. Y se empezaba resolviendo la líder. O sea, lo primero que teníamos que hacer era obtener la función de reacción, perdón, de la seguidora. Lo primero que teníamos que hacer era obtener la función de reacción de la seguidora, que en el caso de que no se haya resuelto Cournot antes, yo no tendría la función de reacción de la seguidora, entonces debería hacerlo lo necesario para llegar a esta función de reacción, porque si vamos a suponer que la empresa 2 es la seguidora, yo debería primero obtener esto. Qué bueno, como ya resolví Cournot previamente, bueno, directamente voy a copiar esa función de reacción, porque ya la tengo.

Y después, una vez y una vez que ya se tiene la función de reacción de la seguidora, lo que hacíamos era seguir por la líder, ¿no? Entonces, hacíamos el mismo proceso que al principio en Cournot, o sea, el ingreso total de la líder, P por q1, reemplazamos el precio por luego lo que era, veíamos y obteníamos todo el ingreso total expresado en términos de q individuales. Diríamos, y acá, acá donde cambiaba. Hasta lo que hacíamos era agarrar a este q2, tenía una explicación. Esto yo lo voy a hacer el paso mecánico, porque ya lo expliqué, sí, pero lo que hacíamos era reemplazar este q2, lo reemplazamos por la función de reacción de la empresa 2, por eso que necesitábamos previamente la función de reacción de la empresa seguidora. Entonces, los reemplazamos. Repito, tiene una explicación, buscarla en el vídeo si no lo vieron todavía.

Y ahí, ahora sí, ahora había que distribuir esto por esto, empezar a achicar esto lo más posible. Si distribuyen q1 por por 220, por un quinto, y después q1 por menos un medio de q1 por un quinto también, les queda esto que está acá. Y después pueden juntar este 90 con q1, menos 44 q1, y este menos un quinto más un décimo de q1 cuadrado, lo pueden juntar y queda esto. Esta es la el ingreso total de la empresa 1, expresado solo en términos de q1, que así quedaba cuando había cuando era la empresa líder, tenía que tomar la decisión de salir primero y con cuántas cantidades sale al mercado primero, que repito, tiene toda una explicación que busca la después en el vídeo si no lo vieron. Hasta ahora, en el vídeo teórico, donde explico por qué es esto así.

Ahora sí, una vez que obtuvimos el ingreso total, después derivamos y obtenemos el ingreso marginal. Nuevamente, hacemos ingreso marginal igual al costo marginal de la empresa 1, igualando esto, el ingreso marginal, costo marginal, despejo q1, me da que la empresa líder va a llevar 220 unidades. Y 220 unidades, que es a 220. Después las reemplazo acá en la función de reacción de la seguidora, me va a dar la cantidad que va a terminar llevando la seguidora al mercado. Si cuando tengo las cantidades individuales, simplemente lo sumo y obtengo la cantidad total, y después puedo reemplazar en cualquiera de las dos funciones para obtener el precio que va a terminar quedando en el mercado.

De este producto, cálculo, ahora obviamente van a ser distintas las situaciones, porque los beneficios de la empresa 1, o sea, este precio de mercado por cantidad de la empresa 1, y eso me da el ingreso. Después reemplazo por las cantidades que produce la empresa 1, la función de costo y me da los costos, y yo puedo obtener los beneficios. No, obviamente acá vimos en la teoría que efectivamente la empresa líder tenía una ventaja por ser el líder. Si tenía una ventaja por ser líder, por lo tanto, en este caso, que tiene los mismos costos, los mismos los mismos costos, y encima hay una que es líder, obviamente salir va a tener mayores beneficios. Guarda que ser líder no garantiza mayores beneficios que la seguidora, sí, porque acá yo tranquilamente podría agregar a la función de costos de la empresa líder, le podría agregar un más 2000 o 3000 pesos, si más 3000 pesos de costos fijos, y en realidad nada cambiaría, porque si le agrega un costo fijo, el costo marginal sigue siendo el mismo, y va a terminar quedando todo igual, nada más que acá va a haber 3000 pesos más en la función de costos, entonces los beneficios van a quedar más chicos. Los beneficios de la líder van a quedar más chicos que los de la seguidora. O sea, ser líder no garantiza beneficio más alto, pero es verdad que si estamos hablando de Stackelberg con productos homogéneos, se supone que las dos empresas están produciendo exactamente el mismo bien, van a tener costos similares, entonces el líder va a tener mayores, va a terminar teniendo beneficios mayores. Pero bueno, guarda que puede haber costos distintos. Si hay costos distintos, es ahí no te garantiza que la líder tenga mayores beneficios, pero sí tendría más beneficios seguro que si fuera así, compitieran a la Cournot. Pues y combínalo con siempre el líder en esta tiene una ventaja por ser líder, sin que se vea reflejada normalmente en los beneficios superiores.

Y gráficamente, acá se encuentran los los equilibrios de Stackelberg. Se encuentran en el gráfico, se encuentran acá. Salen de estas de la ordenada al origen de la de la curva reacción 1 y de la abscisa, largo de la curva de la acción 2. Ahí encontramos, ahí encontramos los gráficos de Stackelberg. Este sería el que acabamos de encontrar, este que estoy marcando, en el que acaba encontrado, donde la líder es la 1 y lleva 220, la empresa 1, 110 la empresa 2. Y este es el equilibrio Stackelberg si la líder fuera 2, si en donde llevaría 110 la 1 y 220 en la 2, si esas invirtieran los roles.

Hasta ahora hemos contestado la pregunta A y B. Voy a pasar a la C de nuestra filmina. Con novena entrada todo, ok. Conservo los datos iniciales y el gráfico, porque por ahí va a marcar otra cosa, pero seguimos con el punto C.

Resolvemos ahora según Bertrand, que según Bertrand no son los más cortos, diríamos. Bertrand, dada las características del mercado como lo plantea Bertrand, que son productos homogéneos, bueno, toda la parte teórica, repito, sacarla del vídeo de teoría, pero terminaba el precio, terminaba una situación de precio igual a costo marginal de competencia perfecta. Por lo tanto, acá va a ser muy fácil, porque el costo marginal de ambas empresas es de 2 pesos. Por lo tanto, lo único que tiene que hacer es igualar el precio a 2, al costo marginal, reemplazar en la en la función de demanda del mercado, a ver cuánto se va a vender en total. A 232 pesos se van a vender 440 unidades, que acá sigamos un supuesto fuerte, no es que ambas empresas se reparten en partes iguales del mercado, por lo tanto, cada una estaría vendiendo 220. Y bueno, ya los números de la empresa van a ser igual para las dos empresas, pero bueno, siempre analizando por separado, sería el ingreso total, 2 pesos cada unidad, a 220 unidades que vende cada uno, 440. Y lo mismo del costo total. En este caso, ambas empresas estarían teniendo beneficios cero, sin beneficios normales, beneficios nulos. Termina en una situación de competencia perfecta. Bertrand, recuerda que Bertrand de esta manera, y que Cournot y Colusión, que lo que vamos a hacer ahora, solamente de esta manera específica, lo que vamos a hacer se hace cuando existen costos marginales iguales, sino que hay que hacer alguna cosita adicional. Si no son iguales los costos marginales, el equilibrio de Bertrand lo pueden obtener. Acá lo marqué, el equilibrio de Bertrand se obtiene, serían también es prolongar estas la ordenada al origen y la abscisa origen de estas dos curvas de reacción, y acá estamos obteniendo, acá así quedaría el equilibrio de Bertrand, gráfico en el mismo gráfico que tenemos el equilibrio de Stackelberg.

Con Cournot, lo que hacían las empresas era ponerse de acuerdo para ver cuántas unidades llevar al mercado. Y para eso, lo que hacían era tratar los ingresos de la empresa como si fueran únicos, con una q única, no con q1 y q2, obviamente. Después si se dividen las cantidades, pero de esta manera se resuelve, diríamos, el ejercicio de colusión. Ingresos totales es igual a P por Q, ya no q individual, si una Q grande, Q genérica. Reemplazamos la P por lo que valía P, que es un dato, distribuimos y me queda este ingreso total, una parábola. Como como sabemos que es, derivamos para obtener el ingreso marginal, y ese ingreso marginal lo igualamos al costo marginal. Como sé que el costo marginal, bueno, acá en el truco de que al tener costos iguales, no importa, lo igualamos, que es el costo marginal de cualquiera de dos empresas. Hubiera costado distinto, habría que hacer alguna cosa adicional, acá no, no habría que sacar un costo marginal como si fuera una empresa con dos plantas, es un poco más complicado el ejercicio si tuviera costo distinto, por eso, por lo menos nosotros lo aplicamos, lo que hacemos es resolver para no complicar la con la parte matemática y más para una micro uno, colusión directamente con costos marginales iguales y listo. Se iguala a dos, entonces despejo q y me da 220. 220 la cantidad que deberían llevar entre las dos las empresas para maximizar sus beneficios en el caso que se pongan de acuerdo, o sea, que colusionen. Si cada una lleva a 110, porque ese es el acuerdo al cual llegan, llevan partes iguales. Y el precio va a terminar quedando en 46. Obviamente, de todos los precios, el más bajo de todos es el de Bertrand, porque compiten y termina en una situación de competencia perfecta. Y el más alto de todos los precios es el de colusión, el que más perjudica al consumidor, porque es la situación de monopolio, diríamos. Y bueno, cada cada empresa va a obtener unos beneficios de 4840, qué es el máximo beneficio que podrían obtener ambas de manera conjunta, porque de hecho, este beneficio también, cuando la función de demanda es lineal, este beneficio así que obtiene cada empresa coincide con el que se obtendrían en Stackelberg, la líder. Pero bueno, eso es porque la demanda, la función de demanda es lineal y ciertas particularidades de los ejercicios que se dan.

Si quisiera graficar esta situación, la solución estaría graficada acá en este punto, en relación a los otros. Acá tenemos entonces que esto sería colusión, esto sería Cournot, claramente colusión en la que menos unidades se vende, como siempre el monopolio, cada vez que se actúa como monopolio, obtiene los mayores beneficios, se venden pocas unidades, siempre sale perjudicado el consumidor porque el precio es alto. Bueno, te sea monopolio, colusión, Cournot, Stackelberg con líder, o una empresa líder, la otra, y esto sería Bertrand, en donde se haría, sería la peor situación para las empresas, pero lo mejor para el consumidor. Si en el vídeo de teóricos yo hago una comparación en una curva de demanda entre estas tres con respecto a estos cuatro cuatro situaciones: colusión, Bertrand, Stackelberg y Cournot. Bueno, hasta aquí este ejercicio.