Definition of a Group Part 2

ठीक है तो इस अगले वीडियो में आपका स्वागत है जिसमें हम गणित में एक समूह की परिभाषा पर चर्चा कर रहे हैं, ठीक है। तो मैं आपको याद दिलाता हूँ कि हम अब तक कहाँ तक पहुँचे हैं, तो हमने जो कहा है वह यह है कि हम नई संख्या प्रणालियाँ बनाने की कोशिश कर रहे हैं, ठीक है। तो हम जो करना शुरू करते हैं वह प्रतीकों का एक सेट बनाना है जो परिमित या अनंत हो सकता है, ठीक है। और प्रतीकों का सेट जिसे मैंने एक परिमित सेट के रूप में बनाया है, मेरे पास यहाँ ये तीन प्रतीक हैं, कैपिटल एफ, थेस एफ और कैपिटल डी। और फिर आपको इसे वास्तव में एक समूह में बदलने के लिए क्या करना होगा, अभी यह सिर्फ एक सेट है, इसे एक समूह में बदलने के लिए आपको उस सेट पर एक संरचना नियम परिभाषित करने की आवश्यकता है, मूल रूप से। तो आपको यह परिभाषित करने की आवश्यकता है कि इस सेट के भीतर कोई भी तत्व छोटा एक्स किसी अन्य तत्व के साथ संयुक्त होने पर, छोटा वाई, किसके बराबर होगा, ठीक है। तो आपको इन संरचना तालिकाओं में से एक को परिभाषित करने की आवश्यकता है और यह आवश्यक रूप से सच नहीं है कि छोटा एक्स छोटे वाई के साथ संयुक्त होने पर छोटे वाई के एक्स के साथ संयुक्त होने के बराबर हो। समूह होने के लिए इसे उस रेखा पर सममित होने की आवश्यकता नहीं है। हम देखेंगे कि यह समूह सिद्धांत के अभिगृहीतों में से एक नहीं है, ठीक है। ठीक है, तो हम वर्तमान में उन गुणों से गुजर रहे हैं जिनका इस संरचना तालिका को समूह माने जाने के लिए पालन करना होता है, ठीक है। तो पहला जिसे मैंने कहा है, जो समझने में एक अच्छा आसान है, वह है संवरक। और इसका मतलब है कि सभी उत्तर, इन सभी नौ प्रविष्टियों को समूह के भीतर तत्व होना चाहिए। तो जब भी आप समूह में एक तत्व को दूसरे तत्व के साथ संयुक्त करते हैं, तो आपको समूह के भीतर एक तीसरा तत्व प्राप्त करना होगा। आप अचानक कोई नया प्रतीक प्राप्त नहीं कर सकते हैं जो हमारे मूल सेट में नहीं है, मूल रूप से, ठीक है। तो वह संवरक है। वह जिसे हम अभी समझने की कोशिश कर रहे हैं, जो बहुत ही गैर-तुच्छ गुण है, यह एक बड़ा है, ठीक है। साहचर्य। ठीक है। और यह सब तीन चीजों को एक साथ संयुक्त करने के बारे में है, ठीक है। अब तीन चीजों को एक साथ संयुक्त करने के दो तरीके हैं। या तो आप कोष्ठकों को एक्स संयुक्त वाई के चारों ओर यहाँ रख सकते हैं, ठीक है। और इसका मतलब है कि पहले एक्स को वाई के साथ संयुक्त करें, उत्तर प्राप्त करें, और फिर उत्तर को जेड के साथ संयुक्त करें, ठीक है। या आप कोष्ठकों को इस अन्य स्थिति में रख सकते हैं। आप कह सकते हैं, पहले वाई और जेड को एक साथ संयुक्त करें, और फिर एक्स लें और इसे वाई संयुक्त जेड के उत्तर के साथ संयुक्त करें, ठीक है। और मूल रूप से साहचर्य कहता है कि तीन चीजों को एक साथ संयुक्त करने के वे दो तरीके आपको समान उत्तर देने होंगे। और यह पूरी तरह से गैर-तुच्छ है, मूल रूप से। आप सोच सकते हैं कि यह तुच्छ है क्योंकि संख्या प्रणालियाँ जो शास्त्रीय बीजगणित में अध्ययन की जाती हैं, वे स्वचालित रूप से इसे सत्य मानती हैं, ठीक है। और आप इसे बस कुछ ऐसा मानते हैं जिसे सत्य होना है। लेकिन यदि आप केवल इस तरह से एक संरचना तालिका को अमूर्त रूप से परिभाषित कर रहे हैं, तो आप शायद इसे प्राप्त नहीं करेंगे, मूल रूप से यह सच नहीं होगा, मूल रूप से, ठीक है। जब तक आप नहीं जानते कि आप क्या कर रहे हैं या आपको बहुत, बहुत भाग्यशाली मिल जाता है, ठीक है। ठीक है, तो अब मैं जो करना चाहता हूं वह एक समूह बनाने के तरीके के बारे में बात करना है ताकि यह इसका पालन करे क्योंकि इसे करने का एक तरीका है, ठीक है। यदि आप केवल इन सॉकेटों में उत्तर डालने की कोशिश करते हैं, इन प्लगों में, ठीक है। यदि आप केवल अपने आप से एक संरचना तालिका बनाने की कोशिश करते हैं, तो आपको वास्तव में इसे इसका पालन कराने में बहुत, बहुत संघर्ष करना पड़ेगा, भले ही आपके पास भरने के लिए केवल नौ चीजें हों। यह एक वास्तविक पहेली है, ठीक है। हालाँकि, एक समूह बनाने का एक सरल तरीका है, ताकि यह इसका पालन करे। एक संरचना नियम बनाने का एक तरीका है जो इसका पालन करता है, मूल रूप से, फिर से, मैं आपको अब यह बताना चाहता हूं, ठीक है। ठीक है, तो संरचना नियम बनाने का तरीका ताकि यह साहचर्य गुण का पालन करे, यहाँ यह है कि आपके समूह के भीतर प्रतीकों को, ठीक है, इन प्रतीकों को यहाँ किसी सेट के क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने दें और आपके सेट में प्रतीकों की संरचना इन सेट क्रमपरिवर्तनों की संरचना का प्रतिनिधित्व करे, ठीक है। तो मैंने अभी कुछ कहा है जिसका आपके लिए बिल्कुल कोई मतलब नहीं हो सकता है, तो मुझे अब समझाएं कि मेरा क्या मतलब है, ठीक है। तो मैं एक बहुत, बहुत सरल सेट लेने जा रहा हूँ, जिस पर सेट क्रमपरिवर्तन लेना है, ठीक है। आप इससे कहीं अधिक अलंकृत सेट ले सकते हैं। मैं एक सेट लेने जा रहा हूँ जिसमें दो प्रतीक हैं, ठीक है, प्रतीक ए और बी, इस तरह। तो मेरे पास यहाँ एक छोटा सेट है जो ए और बी युक्त एक सेट है, ठीक है। अब मुझे आपको यह बताने की ज़रूरत है कि सेट क्रमपरिवर्तन क्या है, ठीक है। एक सेट क्रमपरिवर्तन इस सेट से स्वयं तक एक आक्षेपणीय मानचित्र है, मूल रूप से। यह सेट से स्वयं तक एक मानचित्र है, इसलिए वास्तव में यह केवल तत्वों को पुनर्व्यवस्थित करता है, मूल रूप से। यह सेट के तत्वों को सेट के अन्य तत्वों पर मैप करता है। तो मुझे आपको केवल दो सेट क्रमपरिवर्तन दिखाने दें जो वास्तव में इस अविश्वसनीय रूप से सरल सेट के लिए मौजूद हैं, ठीक है। क्योंकि यह इतना सरल सेट है जिसमें केवल दो तत्व हैं, केवल दो सेट क्रमपरिवर्तन हैं। बड़े सेटों के लिए कहीं अधिक सेट क्रमपरिवर्तन होंगे। तो मुझे आपको दो सेट क्रमपरिवर्तन दिखाने दें। तो मैं उन्हें बनाऊंगा। तो यहाँ हमारा सेट है, और मूल रूप से मैं डोमेन को यहाँ मैप करने जा रहा हूँ, जो हमारा सेट है, हमारे रेंज पर, जो फिर से सेट है, ठीक है। और पहला सरल सेट क्रमपरिवर्तन बस ए को ए पर और बी को बी पर मैप करना है, ठीक है। तो वह एक सेट क्रमपरिवर्तन है। यह सेट से स्वयं तक एक आक्षेपणीय मानचित्र है, ठीक है। और फिर आप शायद अनुमान लगा सकते हैं कि इस बहुत ही सरल सेट के लिए एकमात्र अन्य सेट क्रमपरिवर्तन क्या है, जो वह मानचित्र है जो ए को बी पर मैप करता है, ठीक है। और फिर बी को ए पर। ये केवल दो संभावनाएं हैं, मूल रूप से, ठीक है। ठीक है, तो ऐसा लगता है कि मैं पूरी तरह से विषय से हट गया हूँ, ठीक है। यह बहुत अच्छा है। यह एक सेट क्रमपरिवर्तन है। यह इस सेट ए के दो सेट क्रमपरिवर्तन हैं। इसका साहचर्य संरचना नियमों का उत्पादन करने से क्या लेना-देना है? खैर, यहाँ मैं एक संरचना नियम कैसे उत्पन्न कर सकता हूँ जो साहचर्य है। मैं जो कर सकता हूँ वह यह है कि मैं इन सेट क्रमपरिवर्तनों को प्रतीक दे सकता हूँ। मैं उन्हें नाम दे सकता हूँ, यदि आप चाहें। मैं इस सेट क्रमपरिवर्तन को पहचान मानचित्र के रूप में दर्शा सकता हूँ, ठीक है। तो मैं इसे प्रतीक आई दूंगा, ठीक है, क्योंकि यह सब कुछ स्वयं पर मैप करता है, हम इसे पहचान मानचित्र कह सकते हैं, ठीक है। मुझे इसे क्या कहना चाहिए? इसे अक्सर एक ट्रांसपोजिशन कहा जाता है, इसलिए लोग अक्सर इसे ट्रांसपोजिशन के लिए टॉ का उपयोग करते हैं क्योंकि यह यहाँ दो तत्वों को ट्रांसपोज़ कर रहा है। तो मैंने अब क्या किया है, मैं कह रहा हूँ कि हम इस सेट क्रमपरिवर्तन को अपने सेट के ऊपर पहचान मानचित्र कहेंगे, हम इसे आई कहेंगे, ठीक है। हम इसे प्रतीक आई द्वारा दर्शाएंगे। और मैं इस ट्रांसपोजिशन मानचित्र को कहूंगा, मैं इसे प्रतीक टॉ द्वारा दर्शाऊंगा, ठीक है। अब यहाँ मैं एक समूह कैसे बना सकता हूँ, या बल्कि एक सेट जिसमें एक संरचना नियम होगा जो साहचर्य है, क्योंकि मैंने आपको समूह सिद्धांत के सभी अभिगृहीत अभी तक नहीं बताए हैं। यह वास्तव में एक समूह के रूप में समाप्त होगा, लेकिन हमें यह समझने के लिए थोड़ा और करना होगा कि क्यों, ठीक है। ठीक है, तो मैं जो करने जा रहा हूँ वह है कि मैं एक सेट बनाने जा रहा हूँ, जिसमें ये दो प्रतीक आई और टॉ शामिल हैं। तो इसमें ये दो प्रतीक शामिल हैं जो अब दोनों सेट क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व कर रहे हैं। तो यह वह तरीका है जिससे मैं एक समूह बनाने जा रहा हूँ, इन प्रतीकों को जो मेरे सेट के सेट क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व कर रहे हैं, उन्हें स्वयं एक सेट में डालकर और मैं इस सेट पर एक संरचना नियम परिभाषित करने जा रहा हूँ, ठीक है। तो अब मैं इस संरचना नियम को परिभाषित करने जा रहा हूँ। तो अब मैं और भी सरल हो गया हूँ। मैं केवल दो प्रतीकों से एक संख्या प्रणाली बना रहा हूँ, ठीक है। तो आइए संरचना नियम करते हैं, ठीक है। अब मैं इस संरचना नियम को कैसे परिभाषित करने जा रहा हूँ? खैर, काफी सरल है। मैं यहाँ दो प्रतीकों की संरचना को परिभाषित करने जा रहा हूँ, वह क्या है, सेट क्रमपरिवर्तन आपको तब मिलता है जब आप दो सेट क्रमपरिवर्तनों को एक साथ संयुक्त करते हैं, ठीक है। तो उदाहरण के लिए, जब मैं छोटा एक्स संयुक्त छोटा वाई कहता हूँ, तो मैं यह कहने जा रहा हूँ कि यह किसके बराबर होगा, यह वह सेट क्रमपरिवर्तन होगा जो आपको समग्र रूप से तब मिलता है जब आप पहले वाई करते हैं। अब इस पर ध्यान दें, हम पहले वाई करेंगे और फिर एक्स, ठीक है। यह मानक है कि यह वाला पहला क्रमपरिवर्तन है जिसे आप करते हैं, और फिर यह वाला क्रमपरिवर्तन होगा जिसे आप बाद में करते हैं, ठीक है। ठीक है, तो आइए अब इस संरचना तालिका में प्रविष्टियों को काम करें ताकि इसे थोड़ा और स्पष्ट किया जा सके। तो हम यहाँ प्रविष्टि से शुरू करेंगे। तो हम पहचान को पहचान के साथ संयुक्त करना चाहते हैं। अब मैं कह रहा हूँ कि इसे काम करने के लिए मुझे केवल मानचित्रों को एक दूसरे के साथ संयुक्त करना है, ठीक है। तो इसका मतलब है कि पहले यह मानचित्र करें, तो वह सिर्फ पहचान है, तो मैं ए को ए पर और बी को बी पर मैप करूंगा, और फिर से यह मानचित्र करें। तो अब मैं ए को ए पर और बी को बी पर मैप करने जा रहा हूँ। अब वह समग्र मानचित्र क्या है? खैर, मैं ए को ए पर और बी को बी पर मैप कर रहा हूँ। तो यह अभी भी पहचान है। तो मैं आई को आई के साथ संयुक्त करने पर आई मिलेगा, मूल रूप से, ठीक है। तो यह वह तरीका है जिससे मैं संरचना को परिभाषित करने जा रहा हूँ, बस मानचित्रों की संरचना के रूप में। तो आइए जारी रखें। आइए आई को ट्रांसपोजिशन टॉ के साथ संयुक्त करें। तो इसका मतलब है कि पहले ट्रांसपोजिशन टॉ करें, ठीक है। तो इसका मतलब है कि ए को बी पर और बी को ए पर मैप करें, और फिर बाद में पहचान करें, ठीक है। तो इसका मतलब है कि ए को ए पर और बी को बी पर भेजें। इस संरचना का समग्र रूप से क्या मतलब है? खैर, हम ए को बी पर ले जाते हैं और हम बी को ए पर ले जाते हैं। तो समग्र रूप से वह टॉ है, मूल रूप से। तो इसका उत्तर टॉ है, ठीक है। अगला, आइए टॉ को पहचान के साथ संयुक्त करें, और हम यहाँ तेजी से जगह से बाहर निकल रहे हैं, लेकिन कोई बात नहीं, ठीक है। तो इसका मतलब है कि पहले पहचान करें, तो हम ए को ए पर और बी को बी पर मैप करेंगे, और फिर ट्रांसपोजिशन करें, ठीक है। जहाँ हम ए को बी पर और बी को ए पर मैप करेंगे। अब समग्र रूप से वह क्या है? खैर, हम ए को बी पर और बी को ए पर मैप करने जा रहे हैं। तो समग्र रूप से वह फिर से सिर्फ ट्रांसपोजिशन है, ठीक है। तो वे दो एक साथ संयुक्त होने पर टॉ के बराबर होंगे। और फिर अंत में टॉ को टॉ के साथ संयुक्त करें। यदि हम यह काम करना चाहते हैं कि वह क्या होगा, तो हम बस इस बार ट्रांसपोजिशन को दो बार करने जा रहे हैं। तो हम इसे यहाँ एक बार करेंगे, ठीक है। और फिर हम इसे फिर से करेंगे, ठीक है। और समग्र रूप से वह मानचित्र क्या है? खैर, ए को ए पर मैप किया जाएगा और बी को बी पर मैप किया जाएगा। तो यह समग्र रूप से पहचान पर वापस चला जाता है, ठीक है। तो मैंने अब क्या किया है, मैंने इस प्रतीकों के सेट पर एक संरचना नियम बनाया है, यह याद रखकर कि मैं इन प्रतीकों को इन सेट क्रमपरिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने दे रहा हूँ, और फिर यह काम करने के लिए कि मैं दो तत्वों को यहाँ एक साथ कैसे संयुक्त करता हूँ, मैं बस उन दो सेट क्रमपरिवर्तनों को संयुक्त कर रहा हूँ जिनका वे प्रतिनिधित्व करते हैं, एक और समग्र सेट क्रमपरिवर्तन प्राप्त करने के लिए, और फिर जो भी वह समग्र सेट क्रमपरिवर्तन है, मैं उसे उत्तर के रूप में डाल रहा हूँ, मूल रूप से, ठीक है। तो यह वह तरीका है जिससे आप संरचना नियम बना सकते हैं जो साहचर्य हैं। आप अपने सेट में अपने प्रतीकों को, जिन्हें आप एक समूह बनाना चाहते हैं, आप उन प्रतीकों को किसी सेट के क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने दे सकते हैं, जैसा कि हमने यहाँ किया है। अब यह हमेशा साहचर्य का पालन क्यों करेगा? यह बड़ा सवाल है। अब यह हमेशा साहचर्य का पालन क्यों करता है? खैर, शायद अगर मैं आपको एक उदाहरण दूं तो यह स्पष्ट हो जाएगा कि ऐसा क्यों है, ठीक है। तो याद रखें साहचर्य तीन तत्वों को एक साथ संयुक्त करने के बारे में है। तो आइए एक उदाहरण लेते हैं। आइए पहचान को टॉ को टॉ के साथ संयुक्त करें, ठीक है। अब मेरी संरचना तालिका से, यदि मैं यह करना चाहता हूँ, तो मुझे या तो पहले आई और टॉ को एक साथ संयुक्त करना होगा, और फिर उस उत्तर को लेना होगा, और फिर इसे टॉ के साथ संयुक्त करना होगा, इस तरह, या मुझे टॉ को संयुक्त करना होगा, खैर, वास्तव में मुझे बराबर नहीं लगाना चाहिए क्योंकि हम अभी तक साहचर्य को नहीं जानते हैं, ठीक है। या मुझे आई को टॉ को टॉ के साथ संयुक्त करना होगा, ठीक है। तो मूल रूप से, यदि हम एक संरचना तालिका कर रहे होते जो साहचर्य का पालन नहीं करती, तो आपको मुझे ठीक से बताना पड़ता कि आप इनमें से कौन सा मतलब रखते हैं क्योंकि यह नहीं होता, आप जानते हैं, यदि हमारी संरचना नियम साहचर्य का पालन नहीं करती, तो ये आवश्यक रूप से एक दूसरे के बराबर नहीं होते। तो आप इसे बस नहीं लिख सकते थे और मान सकते थे कि इसका एक उत्तर है, ठीक है। आपको एक विशेष रूप से डालना पड़ता। मैं चाहता हूँ कि हमारे समूह साहचर्य का पालन करें। आप चाहते हैं कि संरचना नियम साहचर्य का पालन करे। और वास्तव में, यदि आप अपने समूह को इस तरह से बनाते हैं जैसा मैंने वर्णित किया है, सेट के क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने वाले तत्वों को सेट करके, तो यह साहचर्य का पालन करेगा। और मैं आपको दिखाना चाहता हूँ कि ये दो चीजें हमेशा बराबर क्यों होंगी, और उम्मीद है कि आप तब देखेंगे कि यह किसी भी तत्व ए, बी और सी को जो आप यहाँ डालते हैं, या एक्सवाई जेड को जो आप वहाँ डालते हैं, उन सभी पर सामान्यीकृत होगा, ठीक है। ठीक है, तो आइए इसे करते हैं, ठीक है। खैर, मूल रूप से, साहचर्य यहाँ क्यों होता है, इसका कारण यह है कि जब हम सेट क्रमपरिवर्तनों को एक साथ संयुक्त करने के बारे में सोचते हैं तो इसका वास्तव में एक उत्तर होता है, ठीक है। क्योंकि यदि हम समूह के तत्वों के बारे में सोचते हैं जैसे कि वे सेट क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व कर रहे हैं और समूह के तत्वों की संरचना सेट क्रमपरिवर्तनों की संरचना का प्रतिनिधित्व कर रही है, तो तीन सेट क्रमपरिवर्तनों को एक साथ संयुक्त करने का एक अर्थ है, ठीक है। समूह के अलावा कि समूह संरचना तालिका केवल दो को एक साथ संयुक्त कर सकती है, स्पष्ट रूप से, यदि हम सेट क्रमपरिवर्तनों के बारे में बात कर रहे हैं, तो आप तीन को एक साथ संयुक्त कर सकते हैं। तो आइए इसे लिखें और फिर आइए व्याख्या करें कि इसका और इसका क्या मतलब है, और हम देखेंगे कि साहचर्य कैसे सत्य होता है। तो इसका मतलब है कि टॉ करें, ठीक है। पहला मानचित्र जिसे हम करने जा रहे हैं वह टॉ है, तो हम ए और बी को यहाँ स्वैप करेंगे, ठीक है, इस तरह, फिर से टॉ करें, ठीक है, तो हम ए और बी को फिर से स्वैप करेंगे, ठीक है, और फिर अंत में पहचान करें। अब यह वह है जो मेरा मतलब है जब मैं कहता हूँ कि इसका एक उत्तर है। तीन चीजों को इस तरह से संयुक्त करना, आप इन्हें सेट क्रमपरिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के रूप में सोच रहे हैं और संरचना केवल सेट क्रमपरिवर्तनों की संरचना का प्रतिनिधित्व कर रही है, इसका एक उत्तर है। इसका केवल एक उत्तर है। तो हमें उम्मीद करनी चाहिए कि ये दोनों चीजें वह उत्तर देंगी, और इसलिए वे एक दूसरे के बराबर होनी चाहिए, ठीक है। तो इन दोनों चीजों का क्या मतलब है? खैर, यदि हम पहले इस वाले से शुरू करते हैं, तो वास्तव में इसका मतलब यह होगा कि पहले टॉ और टॉ को एक साथ मिलाएं, ठीक है। और फिर उस उत्तर को लें और इसे आई के साथ संयुक्त करें। तो यह वास्तव में क्या करेगा, यह कहेगा, ठीक है, काम करें कि ये दो एक साथ क्या संयुक्त होते हैं, और फिर इसे इस वाले के साथ मिलाएं। तो यदि हम काम करते हैं कि वे दो एक साथ क्या संयुक्त होते हैं, तो वे स्पष्ट रूप से पहचान हैं जब वे एक साथ संयुक्त होते हैं, ठीक है। तो यह नीला कोष्ठक वाला हिस्सा, यह इसमें कम हो जाता है, ठीक है। और फिर हम संयुक्त करेंगे, इस उत्तर के साथ, ठीक है। तो यह नीला हिस्सा यहाँ, यह उस उत्तर का उत्तर है। हम फिर इसे यहाँ पहचान के साथ संयुक्त करेंगे, ठीक है। और फिर हमें उसका उत्तर मिलता है, जो निश्चित रूप से पहचान है। यदि हम इसे इस तरह से करते हैं, तो हम कहेंगे कि पहले आई और टॉ को एक साथ संयुक्त करें, तो यह कहेगा, इन दोनों भागों को एक साथ करें, एक उत्तर प्राप्त करें, और फिर उस हिस्से को इस हिस्से के साथ संयुक्त करें, ठीक है। तो यह टॉ को यहाँ सामने छोड़ देगा, ठीक है। तो हमारे पास ए को बी पर स्वैप किया गया है और बी को ए पर स्वैप किया गया है। और फिर हम इन दोनों भागों को एक साथ संयुक्त करने जा रहे हैं, और निश्चित रूप से, जब हम टॉ और आई को एक साथ संयुक्त करते हैं, तो यह सिर्फ टॉ देता है, ठीक है। तो मैंने अब बैंगनी हिस्से को यहाँ तक कम कर दिया है, उन दोनों को पहले संयुक्त करके, और फिर मैंने इन दोनों को एक साथ संयुक्त कर दिया है, ठीक है। तो निश्चित रूप से, ये दोनों समग्र रूप से समान उत्तर देते हैं। और मुझे उम्मीद है कि यह आपको दिखाया गया है कि जब हम इस तरह से संरचना को परिभाषित करते हैं, जब हम समूह के तत्वों के बारे में सोचते हैं, खैर, यह सेट जिसे हमने संरचना नियम के रूप में परिभाषित किया है, किसी सेट के क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व कर रहा है, और हम संरचना की संरचना को उन सेट क्रमपरिवर्तनों की संरचना के रूप में सोच रहे हैं जिनका वे तत्व प्रतिनिधित्व करते हैं, तो साहचर्य होना ही है। क्योंकि जब आप तीन तत्वों को एक साथ संयुक्त करते हैं, तो वास्तव में कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कोष्ठक कैसे डालते हैं, मूल रूप से, आप कोष्ठक कहाँ डालते हैं। इसका एक उत्तर है। तीन चीजों को एक साथ संयुक्त करने का एक उत्तर है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप पहले काम करते हैं कि ये दो एक साथ बैंगनी रंग में क्या हैं, और फिर इसे इस बिट के साथ बाहर संयुक्त करते हैं, या आप पहले इन नीले हिस्सों को काम करते हैं, और फिर इसे इस बिट के साथ बाहर संयुक्त करते हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता क्योंकि इसका केवल एक उत्तर है, ठीक है। आप इसे कर सकते हैं और यह ए को ए पर और बी को बी पर मैप करता है, ठीक है। तो यह वास्तव में साहचर्य कहाँ से आता है। यह समूह के तत्वों के बारे में सोचने से आता है, या इस सेट के तत्वों के बारे में जिसे हमने संरचना नियम के रूप में परिभाषित किया है, किसी सेट के क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व कर रहा है, मूल रूप से, और संरचना नियम उन सेट क्रमपरिवर्तनों की संरचना का प्रतिनिधित्व कर रहा है। तो यह वह तरीका है जिससे आप एक संरचना नियम बना सकते हैं जो साहचर्य का पालन करता है, अपने सेट में अपने प्रतीकों को किसी सेट के क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने देकर, और फिर संरचना को इन सेट क्रमपरिवर्तनों की संरचना का प्रतिनिधित्व करने देकर, मूल रूप से। यही वह तरीका है जिससे आप एक साहचर्य संरचना नियम बना सकते हैं, ठीक है। और वास्तव में, मुझे करने का यही एकमात्र तरीका पता है। यदि आप बस बैठते हैं और इन उत्तरों को अपनी इच्छानुसार भरने की कोशिश करते हैं, तो आपको वास्तव में, वास्तव में इसे प्राप्त करने में संघर्ष करना पड़ेगा, मूल रूप से। यह वास्तव में, वास्तव में कठिन है यदि आप बस इन्हें अपनी इच्छानुसार बना रहे हैं, ठीक है। लेकिन यदि आप संरचना को सेट क्रमपरिवर्तनों की इस संरचना का प्रतिनिधित्व करने के रूप में सोच रहे हैं, तो यह बहुत आसान हो जाता है, ठीक है। ठीक है, तो यह वास्तव में साहचर्य का मूल है। यह मूल रूप से सेट क्रमपरिवर्तनों की संरचना के बारे में है, ठीक है। ठीक है, तो हम इस वीडियो के लिए इसे यहीं रोकेंगे, और अगले वीडियो में मैं आपको पहले यह दिखाना चाहता हूँ कि आप पूर्णांकों को जोड़ के तहत कैसे सोच सकते हैं, जो एक समूह का यह उदाहरण है जिसे हम अंततः समूह के रूप में दिखाने की उम्मीद कर रहे हैं, एक बार जब हम सभी परिभाषाएँ समाप्त कर लेते हैं। मैं आपको दिखाना चाहता हूँ कि आप इसे प्रतीकों के एक सेट के रूप में कैसे सोच सकते हैं जो सेट क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व कर रहे हैं, ठीक है, क्योंकि आपने शायद इसे पहले कभी नहीं देखा होगा, और मैं आपको बता रहा हूँ कि आपको वास्तव में समूहों के तत्वों को किसी सेट के क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने के रूप में सोचना चाहिए, ठीक है। तो मैं आपको दिखाना चाहता हूँ कि आप पूर्णांकों को किसी सेट के क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने के रूप में कैसे सोच सकते हैं, ठीक है। फिर हम जो करेंगे वह यह है कि हम साहचर्य को बढ़ाएंगे, क्योंकि मैंने इसे तीन तत्वों को संयुक्त करने के लिए किया है, ठीक है। हम चर्चा करेंगे कि यह कैसे विस्तारित होता है एक बार जब आपके पास यह सत्य हो जाता है, तो यह स्वचालित रूप से निहित करता है कि तत्वों की एक मनमानी स्ट्रिंग की संरचना, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कोष्ठक कहाँ डालते हैं, मूल रूप से, इसका एक उत्तर है, ठीक है। और यह फिर से तत्वों को सेट क्रमपरिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने और संरचना को उन सेट क्रमपरिवर्तनों की संरचना का प्रतिनिधित्व करने के संदर्भ में सोचने से बहुत अच्छी तरह से अनुसरण करना चाहिए, ठीक है। और फिर हम दो अन्य अभिगृहीतों पर जाएंगे जो आज समूह बनाते हैं।