Integrali : esercizi svolti con varie tecniche d'integrazione

Ragazzi, in questo video daremo un'occhiata a come si risolvono questi quattro integrali. Ripasseremo così, nel contempo, quanto abbiamo imparato nei video precedenti sulle varie tecniche di integrazione. Questi integrali provengono tutti da vecchie seconde prove di maturità del liceo scientifico e chi di voi volesse fare un po' di esercizio può mettere in pausa il video e provare a risolverli lì da solo, per poi confrontare alla fine la soluzione.

Cominciamo subito occupandoci del primo integrale. L'idea qui, vedete, è che la nostra funzione integranda è la somma algebrica di tre pezzettini: il 2, l'x mezzi e il 2 su x. Quando vi trovate davanti a situazioni come questa, conviene generalmente separare l'integrale di partenza in più integrali. Nel nostro esempio specifico, avremo quindi l'integrale di 2 dx, l'integrale di x mezzi dx e l'integrale di 2 su x dx.

A questo punto, vale la pena, già che ci siamo, portare fuori dagli integrali le costanti moltiplicative. Quindi questo 2 lo possiamo portare qui davanti, questo un mezzo (perché qui è come se ci fosse un mezzo, no, che moltiplica la x) lo possiamo far uscire dall'integrale e, analogamente, anche i 2 che stava qui al numeratore possiamo portarselo di fuori. A questo tipo di manipolazioni vi ricorda, le possiamo fare perché l'integrale è un operatore lineare.

Da qui in poi le cose sono semplici, perché sono tutti e tre degli integrali immediati. Ed in particolare, avremo l'integrale di dx che fa x, l'integrale di x dx che fa x quadrato mezzi e l'integrale di 1 su x che fa il logaritmo naturale del modulo di x. Una volta che non li moltiplica per le rispettive costanti, si ottiene questo risultato qui, dove la costante additiva più c rende conto del fatto che stiamo cercando una generica primitiva.

Vediamo adesso come risolvere il secondo integrale. Ed è che stavolta abbiamo un integrale che non è né immediato e nemmeno suddivisibile in altri sotto integrali per linearità, come avevamo fatto nel caso precedente. Quindi questo siamo obbligati a trattarlo o per parti o per sostituzione o con qualche tecnica più esotica. Tentare un approccio per sostituzione qui sembra poco immediato, perché non sarebbe chiarissimo che cosa dobbiamo sostituire, visto che abbiamo un logaritmo e delle potenze di x. Quindi, forse qui sostituzione è una via un po' insidiosa.

Conviene quindi procedere per parti. E nel fare questo, possiamo pensare alla nostra funzione come al prodotto della funzione logaritmo naturale di x per la funzione 1 su x quadrato. Ora, se ricordate, quando si procede per parti con il logaritmo, ti conviene sempre fare in modo che il logaritmo sia la funzione che poi dovremo derivare. E quindi l'1 su x quadrato qui deve rappresentare per noi la derivata di qualche altra funzione. Se quindi le indichiamo rispettivamente con f e g primo, avremo poi che la derivata di f, ovvero f primo, sarà 1 su x. E invece una primitiva di g primo, che indichiamo con g, sarà meno 1 su x.

Precedendo quindi per parti, si ottiene che il nostro integrale è uguale a meno 1 su x per il logaritmo naturale di x, che sarebbe il prodotto f per g. E poi li dobbiamo togliere, vi ricordate, l'integrale di f primo per g, che per noi diventa l'integrale di 1 su x che moltiplica meno 1 su x.

A questo punto, semplificando un attimino la situazione, visto che qui x per x fa x quadrato e questo meno per meno lo possiamo trasformare in un più, vedete che ci resta da fare sono l'integrale di 1 su x quadro, che vi ricordo è come integrare x alla meno due. Si tratta quindi di un integrale immediato che fa meno 1 su x. E dunque, una volta aggiunta la costante additiva più c, il gioco è sostanzialmente fatto.

Vi faccio notare che anche se la funzione da integrare non si presentava sotto forma di prodotto, che è la tipica situazione in cui viene in mente di utilizzare la formula di integrazione per parti, noi siamo riusciti a riscriverla, se volete, a truccarla in modo diverso per far saltar fuori il prodotto. E questa, mi raccomando, è una cosa che a volte veramente semplifica la vita. Quindi rimaneggiamenti algebrici di base tipo questi possono tornare molto utili nella risoluzione degli integrali.

Occupiamoci adesso del terzo integrale, che era un po' fastidioso per via della presenza di quel valore assoluto e di quei due parametri a e b, che magari all'inizio disorientano. Vediamo innanzitutto come possiamo liberarci della fastidiosa presenza di questo valore assoluto. Per fare questo, ci basta naturalmente ricordare che il valore assoluto di una certa quantità è uguale a quella quantità lì, se quella quantità è positiva. E nel nostro caso, x meno a è positivo quando x è maggiore o uguale ad a, mentre è uguale a quella quantità lì cambiata di segno, quindi nel nostro caso ad a meno x, se quella quantità in origine era negativa. E per noi x meno a è negativo quando è più piccolo di a.

Se poi volessimo rappresentare schematicamente dove abitano a e b sull'asse x, alla luce di questa precisazione che vedete ci dice che 0 è minore di a e che a è minore di b, se ne deduce che dobbiamo avere una situazione di questo tipo. E quindi, quello che noi potremmo fare adesso è spezzare il nostro integrale tra meno b e b in due integrali: uno da meno b fino ad a, e l'altro da a in avanti. E questo ci è comodo perché così possiamo sostituire il valore assoluto rispettivamente con a meno x, quando facciamo un integrale per x minori di a, e invece con x meno a, quando facciamo l'integrale da a in avanti.

Da qui in poi le cose sono semplici. Si tratta innanzitutto di trovare una primitiva di ciascuna delle due funzioni integrande. E qui, a, mi raccomando, quando lo integrate, va semplicemente ad ax, visto che a è una costante, mentre x quando lo integrate ci darà come risultato x quadrato mezzi. Stessa cosa naturalmente qui nel secondo integrale. E infine, basta andare a calcolarsi ciascuna di queste due primitive nell'estremo superiore e poi togliergli ciascuna di queste due primitive calcolate nell'estremo inferiore. Così facendo, stando attenti, mi raccomando, ai doppi meno a cui si va incontro quando si sottrae la primitiva calcolata nell'estremo inferiore, che a sua volta è negativo, qui vedete si ottengono questi otto pezzettini. E per vincere, non ci resta che fare le dovute semplificazioni.

Quindi vedete, qui abbiamo un più ab che va via con un meno ab, e poi abbiamo qui un meno a quadro mezzi e un altro meno a quadro mezzi che compensano questo più a quadro. Ne segue quindi che il nostro integrale definito dà come risultato a quadro più b quadro.

Alternativamente, si poteva procedere anche per via grafica, ricordando che un integrale definito come questo si può interpretare in termini di area del sottografico della funzione. Quindi calcolare questo integrale definito è sostanzialmente equivalente a calcolare qual è l'area che sta sotto al grafico della funzione valore assoluto di x meno a nell'intervallo che sull'asse x sta tra meno b e b. La cosa qui è particolarmente interessante perché se graficate la funzione, ci si accorge che l'area che dobbiamo calcolare è la somma delle aree di questi due triangoli, che sono dei triangoli rettangoli isosceli per via del fatto che la retta x meno a sbatte addosso alla sx con un angolo di 45 gradi, visto che il suo coefficiente angolare è uno. Di conseguenza, questo è un triangolo rettangolo isoscele a vento entrambi i cateti lunghi b meno a. E questo è un altro triangolo rettangolo isoscele, avendo entrambi i cateti lunghi questa volta a più b. E quindi, se uno si calcola effettivamente la somma di queste due aree, si arriva naturalmente allo stesso risultato di prima. Naturalmente, entrambi gli approcci sono corretti, si tratta quindi di decidere quello che vi piace di più.

Vediamo a questo punto come andava risolto il quarto integrale. E qui dovrebbe subito balzarvi all'occhio che c'è un oggetto abbastanza ricorrente all'interno di questo integrale, che sarebbe l'esponenziale. E infatti, vedete che abbiamo e alla x qui, un e alla x anche qui sotto, e qui c'è un e alla 2x, che non sarebbe altro che poi e alla x elevato alla seconda. E quando vi trovate in situazioni come questa, quindi tutte quelle volte in cui c'è un oggetto che magari non è semplicissimo da maneggiare e che si presenta in maniera ricorrente all'interno del vostro integrale, conviene andare per sostituzione.

Se dunque chiamiamo y uguale ad e alla x, avremo che dy è uguale ad e alla x dx, che potremo quindi riscrivere il nostro integrale come l'integrale di dy, perché vedete questo e alla x dx qui sopra diventa il nostro dy fratto che cosa? E alla 2x dicevamo è il quadrato di e alla x, quindi diventerà y quadrato meno 3y più 2. E vedete quindi che è quello che ci è saltato fuori.

E a questo punto, l'integrale di una funzione razionale, e lo dovremo quindi risolvere come usualmente si fa con integrali di questo tipo. La prima cosa da fare, se ricordate, era controllare che il grado del numeratore fosse più piccolo del grado del denominatore. In caso contrario, bisogna fare la divisione di polinomi. Qui però non c'è nessun problema, perché vedete il nostro denominatore di secondo grado, mentre il nostro numeratore, che sarebbe la costante uno, è sostanzialmente di grado zero. Quindi non dobbiamo fare la divisione di polinomi.

La seconda mossa da fare, se ricordate, era quella di scomporre il denominatore. Nel nostro caso, e qui potete usare la tecnica di scomposizione che preferite, si conclude facilmente che y quadrato meno 3y più 2 è uguale ad y meno 2 per y meno 1.

La terza cosa da fare è quella di riscrivere la nostra funzione come somma di frazioni più semplici. E se ricordate, per trovare i due coefficienti a e b da mettere qui sopra, bastava dare denominatore comune e poi applicare il principio di identità dei polinomi. Dobbiamo cioè imporre che questo oggetto sia complessivamente uguale ad uno. E quindi significa che a più b deve fare zero, perché vogliamo che sparisca y. E che meno a meno 2b deve darci quest'uno che abbiamo qui. Risolvendo i sistemi, no, si ottiene che a deve essere uno e b deve essere meno uno. O per chi non conoscesse questa procedura, ragazzi, che io qui solo rapidamente accennato, la trovate spiegata molto più con calma nel video dedicato all'integrazione delle funzioni razionali.

Trovati a e b, non ci resta a questo punto che integrare le frazioni più semplici che abbiamo ottenuto. E qui si tratta di due integrali immediati che danno come risultato dei logaritmi. Nel primo caso avremo il logaritmo naturale del valore assoluto di y meno 2, mentre nel secondo caso il logaritmo naturale del valore assoluto di y meno 1.

A questo punto, per vincere, non ci resta che ricordarci chi era la nostra y e quindi fornire il risultato nella variabile x.

Vedo questo, ragazzi, io ho terminato. Spero che questi esercizi vi siano stati utili per fare un po' un epilogo delle varie tecniche di integrazione di cui abbiamo parlato fin qui. Nel prossimo video ripasseremo l'interpretazione geometrica dell'integrale ed approfondiremo bene il calcolo delle aree. In particolare, vedremo anche come si fa a calcolare l'area tra due curve. Detto questo, ragazzi, io vi saluto. Come sempre, se avete trovato utile questa video lezione, ricordatevi di mettere mi piace, passate a trovarci sulla pagina Facebook e date un'occhiata all'interno del canale, dove troverete moltissimi altri video.