Transcription
Наш следующий гость готов появиться в эфире, и он задастся вопросом: что такое математика, кому и зачем она нужна? В качестве наглядных пособий для ответа на эти вопросы мы используем несколько достижений и изобретений человечества и разложим их на составляющие: механизмы, роботы, криптография, машины обучения. Эти и другие сферы предстанут перед нами в виде синтеза идей, пронизанных математикой.
Уважемые зрители, я рад представить вам нашего следующего спикера, Дмитрия Бебчука. [музыка]
Приветствую, Дмитрий. Ну и конечно же, огромное спасибо, что нашли возможность нам присоединиться. Прошел эфир ваш.
Спасибо за приглашение. Всем добрый день, всем слушателям! Сегодня действительно пойдет разговор о том, с одной стороны, что такое математика, с другой стороны, зачем она нам нужна. Да, это была первоначальная тема моего доклада: «Что такое математика и зачем она нужна». Она – я пожалуй оставил только первую фразу, потому что в ней более-менее все сказано. Noise. С идеями, которые я представлю сейчас, вы как раз и познакомитесь.
Ну, во-первых, давайте воспользуемся определениями, которые нам предлагаются в незабвенных Википедии и Британнике. Не только что такое математика. Britannica говорит, что это наука о структурах, порядках, отношениях – я буду читать, с вашего позволения – которые возникли из элементарных практик подсчета, измерения, описания форм объектов. Она строится на логических рассуждениях, количественных расчетах. Замечательно, вроде как все примерно понятно, и те, кто в школе не очень любил математику, все равно примерно понимают, о чем идет речь. Она – вот они, расчеты, количество, ну, понята, логические рассуждения. Ну вот Николай Бурбаки – кстати, это не один человек, а целая группа французских математиков, образовавшаяся в 1935 году – и вот этой группой Бурбаки предлагает такое определение: математика – это наука об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме их свойств, и этими свойствами эти объекты и описываются. То есть мы задаем какие-то свойства, описывающие какую-то структуру, и потом смотрим, а что же получается. Такой вот некое конструктивное определение математики. Ну и здесь, конечно, может возникнуть двоякое впечатление: с одной стороны, вот у нас есть конструктивное определение математики, а с другой стороны, вот математика, она же есть – взяли, посчитали. Ну и этот своеобразный конфликт он выразился, в том числе, в установлении теории множеств. Есть, для тех, кто знает, скажу – есть аксиоматика Цермело-Френкеля, которая является, ну, будет конструктивную, такую конструктивный подход к теории множеств, но не единственная альтернатива. Да, это все возникло из-за парадокса Рассела. Опять же, те, кто знает… Ну давайте продолжим.
Все-таки, что такое математика? Я попытаюсь вам доказать, что математика – это все-таки фундаментальная наука прежде всего. Ну а что значит фундаментальная наука? Ну, во-первых, она должна обладать следующими свойствами: да, и результаты должны быть универсальными, то есть независимо от того, где мы находимся, когда – ее результаты не должны изменяться. Ну хорошо. Что еще? Её заданным её задача не должна входить изначально практическая реализация полученных результатов, то есть она должна существовать сама по себе. Ладно, договорились. Ну и наконец, третье: она должна позволять нам получать новые знания о природе, то есть иметь предсказательную силу. Это очень важно. И давайте пройдемся по этим трем пунктам в определении, и я постараюсь вам доказать, что математика – все-таки фундаментальная наука, а потом сам же от своих слов и откажусь. Давайте посмотрим, получится ли это у меня.
Ну, во-первых, про универсальность результатов тут, наверное, как раз сомнений нет. Это самый легкий пункт, поэтому его и поставил первым. Действительно, даже вот на уровне дважды два: если дважды два – четыре, то [музыка] в любое время, на любом континенте это будет, конечно же, 4. Вот. А со вторым пунктом нам придется немного повозиться. Для этого я приведу вам в пример 4 области математики, которые развились из совершенно абстрактных идей, которые в свое время не имели никаких приложений. И давайте начнем: вот анализ бесконечно малых – то, что сейчас называют математическим анализом, пресловутый матан, который так любят некоторые студенты, естественно в кавычках – не всем он дается одинаково легко. Но началось все с чего? Началось все с того, что предположительно в древней Греции, а может быть и раньше – ну, нам совершенно точно известно, что Антифон в пятом веке до нашей эры предложил так называемый метод исчерпывания. Он сейчас так называется, а предложил его для того, чтобы находить площадь фигур, границы которых не отрезки, например, площадь круга. Давайте попробуем понять, а как же найти площадь круга. Вот у нас есть круг – видите на картинках – наверное, он заключен в пятиугольник и внутреннего пятиугольника. Ну что мы понимаем? Мы интуитивно понимаем, что пятиугольник, в который заключен круг, по площади больше. Ну хорошо. А тот, который внутри круга, по площади меньше. Значит, площадь круга – это что-то среднее между ними. Ну ладно, такое грубое приближение. Площадь пятиугольника мы можем найти, разбить его на какие-то маленькие фигурки. Но с шестиугольником будет получше приближение, наверное, даже интуитивно понятно. Семиугольник – ам, восьмиугольник – ам, который вот зеленый на картинке – еще лучше будет приближение. Ну и в конце концов мы обнаруживаем, что чем больше количество сторон у нашего вот многоугольника, который вписан в круг и который описан около круга, тем лучше оказывается наше приближение. Ну и сразу же выясняется, что площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. Прекрасно. А коэффициент пропорциональности – это какое-то число. Ну и вот были предложены оценки этого числа. Например, Архимед предложил такую оценку: это примерно 22/7. Тогда еще не обозначали это число как π, но эта оценка позволяет нам получить точность до двух знаков после десятичной запятой. Уже не так плохо. Вот пресловутое число π, о котором я сейчас тоже еще раз скажу. Цзу Чунчжи предложил оценку немного лучше: 355/113, а там уже шесть знаков после запятой совпадают. Ну а в конце концов было доказано, что это число вообще иррациональное, даже трансцендентное, то есть не является алгебраическим числом.
Еще пример: тот же самый принцип Кавальери. Принцип Кавальери очень прост: если у нас есть два объемных тела одинаковой высоты и на каждом уровне площади сечения одинаковы, то объемы этих тел одинаковы. Такой принцип нахождения объемов тел, у которых грани вообще говоря, не обязательно плоские. Да, я говорю условно «грани», например, конус тот же. Ну и что же получилось? Вот из таких совершенно теоретических подходов, которые едва ли находили какое-то серьезное практическое приложение в то время, к семнадцатому веку уже развивается дифференциальное и интегральное исчисление, у истоков которого вот справедливо будет поставить двух ученых, небезызвестных: Ньютон и Лейбниц, которые примерно одновременно развивали эту область. Есть мнение, что Ньютон сделал это чуть-чуть пораньше, на пару лет буквально, но так или иначе, они сделали это независимо. Ну а о применимости дифференциально-интегрального исчисления, наверное, тут никаких сомнений нет. Вот на этих картинках вы видите: и поиск длины кривой, и касательные вот к сфере, и всяческие дивергенции, ротор – тогда дивергенции, ротор – и даже вот двумерное нормальное распределение, благодаря которому мы можем искать вероятности каких-то вот сложных, сложно конструируемых событий.
Давайте возьмем еще один пример: XVI век, небезызвестный Джероламо Кардано. Кто учил формулы для корней кубического уравнения, тот знает – это забыть невозможно, совершенно спасибо ему за это. Тот может быть не знаете, а может быть знаете, что он также и ввел понятие комплексного числа, но в его трудах комплексные числа описаны как совершенно «утонченные бесполезные структуры». «Утонченная» – это позитивная характеристика, «бесполезные» – ну мы понимаем, да? Он не видел ее применения совершенно никакого, но тем не менее пытался развивать эту теорию. Ну и уже потом стало ясно, что это исключительно полезный инструмент для многих областей. Вот и Альберт Эйнштейн с нами согласился бы – замечательный теоретический физик, который безусловно разбирался в математике, и уж в комплексном анализе – то точно. В качестве примеров: расчет электрических цепей переменного тока, который делается гораздо проще с применением комплексно-значных функций; всяческие теоремы о распределении простых чисел; небезызвестная эта функция Римана и теоремы, связанные с ней, до гипотезы на самом деле, потому что она еще не доказана – это одна из сильных проблем тысячелетия – и некоторые другие. Пожалуй, я упомяну о гиперкомплексных числах, а так называемых кватернионах, которые нашли свое применение в позиционировании. И вот тут меня поймут уже, наверное, робототехники: когда мы определяем положение или задаем положение трехмерного объекта в пространстве, то тут – scatter – он исключительно полезно. Вот обойтись без выхода в это гиперкомплексное пространство нам – нам уже тяжелее, это значительно усложняет наши вычисления, даже понимание этих вычислений. Вот.
Тут третий пример: эллиптические кривые. Знакомы из криптографии вам, привет! Действительно, некоторые алгоритмы шифрования основаны на свойствах эллиптических кривых, а точнее, на некоторых их алгебраических, как ни странно, свойствах. Ну а все началось с того, что Диофант Александрийский давным-давно, в III веке, ну правда, нашей эры, пытался найти решение вот того самого уравнения, которое вы сейчас видите на своих экранах, я надеюсь. Вот до игры под ноль на 6 плюс y равно x cube минус x. Вот он пытался, пытался. Вслед за ним Ферма пытался уже почти через полтора тысячелетия, то есть это уже конец XVII – начало XVIII века. Снова Ньютон. А все вылилось в целую теорию, которая позволяет нам достаточно быстро зашифровать данные с тем, чтобы их расшифрование требовало существенно больше времени. То есть мы получаем криптографический такой механизм, алгоритм.
Ну и давайте еще примерчик приведу: топология, мосты Эйлера. Кто знаком с теорией графов, тоже знает Кёнигсберг, XVIII век. Вот здесь представлен фрагмент карты этого города: там семь мостов, остров, приказ… Существует ли путь такой, чтобы обойти каждый мост только по одному разу? Вроде как простая проблема. Эту задачу легко решить – эту задачу сейчас может решить, по крайней мере, любой олимпиадник. Но правда, этот вопрос тогда еще практически неприменимый – у него не было применения – породил целую теорию, целое даже область математики. Это и есть именно топология. Ну и дискретная математика тоже, скажем, скажем спасибо за математическую логику и ту же самую теорию графов. Вот.
Ну и здесь я предлагаю в качестве героя Леонарда Эйлера – одного из самых плодовитых математиков за всю историю, который написал совершенно сотни и сотни работ. И теоремы Эйлера тоже есть, причем их даже несколько. Кто – студенты знают. Собственно, и число e, и ряд Тейлора… Существует где это сейчас применяется? Возьмем того же самого робота. Вот у вас есть манипулятор, который на слайде слева, и у манипулятора есть конфигурационное пространство – туда, куда может попасть вот эта самая зеленая… Ну и куда она может попасть? Давайте посмотрим. Вот этот двухзвенный манипулятор, да, с двумя шарнирами, у него конфигурационное пространство – это тор. Тор – определенный топологический объект, да? Если мы возьмем две точки на торе, то мы можем уже что-то сказать про какую-то траекторию передвижения между этими двумя точками, про какую-то минимальность и так далее. Тут у нас уже появляется целая область для анализа. А теперь представьте, что будет, если манипулятор трехзвенный? Что, если у него шарниры каким-то образом ограничены еще? Естественно, эта поверхность значительно сложнее, и задача по нахождению какого-то оптимального пути и даже просто нахождению пути становится на порядки сложнее. Тут без топологии уж не обойтись. Теория узлов, которая позволяет, в том числе, и кодировать белки – ну, точнее, точнее будет сказать «упаковывать» их. Белки – это такие сложные структуры, которые надо определенным образом упаковать, чтобы они обладали определенными заранее заданными свойствами. Вот, в частности, теория узлов позволяет нам это сделать. Три столетия назад применений практических не было, но тем не менее она развивалась.
Вот еще, пожалуйста, один пример. Таким образом, я полагаю, что доказано, что в задаче математики совсем не всегда и уж точно не по умолчанию не входит практическая реализация того, что было достигнуто. И эти четыре области, которые я продемонстрировал – до it – матан, которая анализ бесконечно малых, это топология, это эллиптические кривые – доказывает то, что вот эти развития этих областей, сам факт развития этих областей, то, что огромное множество людей было в них вовлечено. А после XVIII века математика уже становится профессиональной наукой, то есть человек со стороны практически не имеет шансов добиться в ней значимых, на мировом уровне успехов. 2. То есть получается доказано. Эти люди занимались математикой всю жизнь, и надеясь на то, что на их веку их конкретные результаты будут практически применимы, у них была совершенно другая цель.
Позволяет ли математика получать новые знания о природе? Да, у нас третий пункт в нашем условном доказательстве. Ну, я утверждаю, что позволяет. Действительно, и приведу только два примера: пресловутый бозон Хиггса, который, конечно, прежде чем был обнаружен, зафиксирован, сначала была рассчитана – то есть была теория целая, основанная на расчетах – теория, согласно которой такая частица должна существовать и должна обладать определенными свойствами. И тут мы возвращаемся к самому началу: что математика – это наука о неких структурах, у которых мы знаем только свойства, а потом уже смотрим, а что же из этого получается. И вот здесь про бозон Хиггса – по которому еще не знали, предполагали у него только свойства, он должен ими обладать, а значит, и так далее, так далее, так далее – и это позволило его обнаружить.
Мы – пресловутая девятая планета. Небезызвестный наш российский ученый Батыгин, который сейчас преподает астрофизику, преподает в США, тоже сначала рассчитал – он сначала вычислил орбиту девятой планеты прежде, чем её обнаружили. То есть согласно каким-то расчетам эта планета должна была существовать, а потом она уже была обнаружена в расчетной точке. Вот таким образом получается, что математика – фундаментальная наука. Видите, появился!
Ну и я обещал такое сказать, небольшой разворот, шаг назад. Оправдали это? Да, ведь многие скажут, что математика – это просто дисциплина на службе естественных наук, и отчасти они будут правы. И с ними согласился бы даже Колмогоров, который в предисловии к книге Куранта и Роббинса так и сказал, что математика неотделима от ее практических применений. 0. Правда, надо брать в расчет то, что в советских условиях он может быть и не мог совсем по-другому сказать. Но тем не менее… До Колмогорова эта величина… Мы с вами понимаем, наверняка все знают…
Ну и давайте закончим словами Вейля про то, что такое математика. Тут несколько – кай – длинный текст, и это скорее даже философское размышление. Он говорит о том, что вопрос об основаниях математики и о том, что в конечном счете она собой представляет, остается открытым и неизвестен. Да, и неизвестно, и какого направления, которая позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос. Можно ли ожидать, что окончательный ответ когда-нибудь будет получен и признан всеми математиками? И он указывает, что сам процесс изучения математики, так называемого «материализование», – это творческий процесс. Это то, о чем я говорил, когда люди, не надеясь на практическое применение их результатов, результатов их работы, просто занимаются этим процессом, то есть он ещё увлекает сам по себе. Но а то, что он описывает мир – в чем мы в том числе и сегодня, сейчас убедились. Надеюсь, я вас убедил. Тут сомнений – сомнений уже нет. Одна математика действительно описывает мир и действительно нет естественных наук, которые так или иначе не пользовались бы математическим аппаратом в современном мире. И общественные науки, науки об обществе, в том числе социология, они пользуются математическими методами как методами для исследования. Вот так что спасибо вам.
В качестве вопроса я предложу вам вспомнить: фамилия какого ученого сегодня прозвучала дважды? Вопрос на внимательность. Может быть, кто-то из вас заметил? Сегодня прозвучали фамилии нескольких ученых, но один из них прозвучал дважды. Это был… Этот вопрос мы пока что оставим в подвешенном состоянии. Но если у вас есть ответ, не ждите прямо сейчас – пишите в чат нашей трансляции или в специальное поле, в который мы принимаем вопросы для наших… трафареты… случай, где вы можете написать ответ для нашего… спектра. И судя по всему, это пока что останется интригой, пока мы не наберем ответы. Но опять же, мы существуем не только в этой трансляции, у нас есть Instagram-аккаунт и собственный сайт… Game и сигналов его и быстрые и стремительные, решительно сообщаю информацию, которые проявляются в последний момент. Огромное спасибо, Дмитрий! Это было интересно услышать, что математика – такой мяч, приводит к философии и социологии. Изучение любой другой науки так или иначе приведет рано или поздно к математике. Еще раз огромная благодарность!