Universo Matemático - Pitágoras mucho más que un teorema

Y muchos piensan que las matemáticas constituyen un universo abstracto, extraño, lejano, patrimonio de unos pocos genios. Un mundo alejado de la realidad social de cada época, cuyo desarrollo es independiente del devenir general de la historia. Nada más lejos de la realidad.

Para demostrarlo, iniciamos hoy un viaje muy especial, un viaje con excursiones por el espacio y por el tiempo de ese universo matemático. Nuestro objetivo es descubrir las grandes ideas matemáticas y conocer a los genios que las han desarrollado. Seremos testigos de privilegio, a lo largo de la historia, de cómo el hombre ha aprendido a conocer y dominar el universo que le rodea, y gracias, en parte, a las matemáticas. Porque, al fin y al cabo, eso es lo que significa la palabra griega "matemáticas": aquello que se puede aprender.

¿Dónde empezaremos este viaje? Pues, ningún sitio mejor que la Luna. Si nuestro satélite, en ningún sitio sobre la superficie terrestre, podemos encontrar tantos matemáticos juntos como en los cráteres de la Luna. Pitágoras, Euclides, Ptolomeo, Arquímedes, Apolonio, Viète, Descartes, Leibniz, Euler, Gauss, Laplace y tantos otros matemáticos. Todos ellos, de una forma tan poética como simbólica, están presentes en la Luna. En efecto, más de 300 cráteres lunares llevan el nombre de un matemático famoso. Sin duda, un merecido homenaje de la humanidad al universo matemático.

Pero volvamos a la Tierra. ¿Me puede decir el nombre de algún matemático famoso de cualquier época histórica? Un matemático famoso. Pitágoras. Yo. Pitágoras. Problema de Pitágoras. Pitágoras. A Pitágoras. Sí. Einstein. Pitágoras. Pitágoras. Leibniz. Newton. Pitágoras.

La opinión de los encuestados parece unánime. Si hiciéramos una especie de lista de los "40 principales" entre los matemáticos, seguramente Pitágoras y su teorema ocuparían los primeros lugares del ranking de popularidad. "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos". Una de las frases más repetidas a lo largo de la historia, en todas las lenguas. El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Y lo más curioso, ironías de la historia, Pitágoras es tan popular por un teorema ya conocido mucho antes de que él naciera.

Si no se escandalicen, el teorema de Pitágoras realmente no es de Pitágoras. E incluso existen serias dudas de que él lo demostrara. De lo que no cabe duda es de que este teorema es el que cuenta con mayor número de demostraciones distintas. Es 4000, reunión y público a principios de este siglo, 367 demostraciones diferentes del famoso teorema. Una de ellas, de un presidente de los Estados Unidos, James Garfield, en 1876. Aunque seguramente la más antigua sea la de los chinos, descubierta hacia el año 1000 antes de Cristo.

Lo que no deja lugar a dudas es que constituye una de las demostraciones más naturales y elegantes. Recordemos que el área de un rectángulo es base por altura. El área de un triángulo es la mitad de un rectángulo, será por tanto base por altura partido por 2. La idea es construir a partir de un triángulo rectángulo un cuadrado de lados a más b. Su área será por tanto de c elevado al cuadrado. Pero la figura está formada por un cuadrado interior cuyo lado es a, y por tanto su área será a cuadrado, más cuatro triángulos iguales al original, cuya área será b por c partido por 2. Por tanto, estas dos expresiones han de ser iguales. Simplificando las expresiones obtendremos que a cuadrado más dos veces ab ha de ser igual a b cuadrado más c cuadrado más dos veces bc. Y simplificando, a cuadrado igual a b cuadrado más c cuadrado. Es decir, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Decididamente, una elegante joya matemática de tres mil años de antigüedad, de la que Pitágoras nunca pudo tener noticias.

De lo que con toda seguridad sí tuvo noticias es de la utilización de algunos resultados parciales de su teorema por parte de dos culturas anteriores: los egipcios y los babilonios. Aunque la vida y obra de Pitágoras estén envueltas en una nebulosa de leyenda, lo que parece claro es que nuestro personaje nació hacia el 580 antes de Cristo, en una de las islas griegas de Asia Menor. Pensamos, parece que fue Tales, uno de los siete sabios de Grecia, el que le aconsejó viajar para enriquecer su espíritu a los dos focos culturales de la época: Egipto y Fenicia.

Los egipcios son, según Heródoto, los padres de la geometría, que significan "medida de la tierra". Y mucha culpa de ello la tiene el río Nilo y sus famosas inundaciones anuales. Muchos de los campos próximos al Nilo quedaban parcialmente inundados, y los recaudadores de impuestos tenían que calcular la parte inundada para establecer la cuantía del impuesto. Tanto para marcar los campos como para medir la tierra, estos técnicos utilizaban un sencillo artilugio que les permitía trazar ángulos rectos y que tiene mucho que ver con nuestro teorema. Consistían en una cuerda unida por sus extremos y dividida a intervalos iguales en doce partes. Si clavaban en el suelo la cuerda por uno de sus nudos y formaban un triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, obtenían un triángulo rectángulo y, por tanto, ya tenían la dirección de dos de los lados del cuadrado. Este sencillo instrumento geométrico debió ser de un inestimable ayuda en la construcción de las pirámides y de los templos.

Muchos pueblos habitaron la región comprendida entre los ríos Tigris y Éufrates, la antigua Mesopotamia. Hoy en día Irán e Irak. Adiós, babilonios, asirios. Y tenemos noticias escritas suyas desde hace más de 5.000 años. De su afición a las observaciones astronómicas, acerca de las posiciones de los planetas observables a simple vista: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. Conservamos en la actualidad dos vestigios muy populares. Por un lado, el horóscopo. Eran excelentes astrólogos. Ellos bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales. Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 por 30, o lo que es lo mismo, 360 partes. De ellos hemos heredado la división de la circunferencia en 360 grados, y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.

Por otra parte, la patente de nuestra manera de contar el tiempo también es suya. Los babilonios escribían sobre tablillas de arcilla con punzones. En algunas de las tablillas de escritura cuneiforme se han encontrado numerosas referencias de carácter matemático. Nos llama especialmente la atención una tablilla conocida como Plimpton 322, que se conserva en la Universidad de Columbia, escrita hacia el año 1800 antes de Cristo, en la que aparecen cuatro columnas de números distribuidos en 15 filas. En apariencia, podría tratarse de algún tipo de anotación contable, pero descifrados los números corresponden a la primera relación de ternas pitagóricas de las que se tenga conocimiento. Una terna pitagórica es una colección de tres números que cumplen el teorema de Pitágoras. Los babilonios podían obtener las medidas de los lados de un triángulo rectángulo a partir de dos números enteros, haciendo a igual a p cuadrado más q cuadrado, b igual a 2pq y c igual a p cuadrado menos q cuadrado, siendo a, b, c las medidas de los lados. En esta tablilla, entre otros muchos datos, podemos ver reflejados los valores de los lados de varios triángulos rectángulos en el sistema sexagesimal. Por supuesto, el lado b estaría en una columna que ya no se conserva. Analicemos una fila. El lado c viene expresado mediante 1,59, que traducido a nuestro sistema decimal significaría 1 por 60 más 59, es decir, 119. Que el lado a se puede calcular directamente de forma análoga. El lado b, el que no aparece, se puede deducir directamente de los valores expresados en la primera columna, en lo que aparece el cociente a cuadrado partido por b cuadrado. Decididamente, aunque no se ha encontrado ninguna tablilla para la demostración del teorema, parece bastante evidente que los babilonios conocían y aplicaban el teorema de Pitágoras mil años antes de que éste naciera. Por suerte para Pitágoras, esta tablilla no fue descifrada hasta el siglo XIX.

Aunque seguramente él tuvo conocimiento de los descubrimientos babilónicos en alguno de sus viajes por Asia Menor. ¿Es inmerecida entonces la popularidad de Pitágoras? Por supuesto que no. Para empezar, el término "matemáticas", así como el de "filosofía", se lo debemos a él. La figura de Pitágoras está envuelta en un halo de leyenda, de misticismo y hasta de culto religioso, y no es tan extraño si pensamos que fue contemporáneo de Buda, de Confucio y de Lao-Tse, los fundadores de las principales religiones orientales. Parece que en sus viajes por Egipto y Babilonia, algunos dicen que pudo llegar hasta la India, Pitágoras se internó no solo en conocimientos matemáticos y astronómicos, sino también religiosos. Tras estos viajes, retorna al mundo griego y se instala en Crotona, una ciudad al sur de Italia, región conocida en la época como la Magna Grecia. Allí fundó una sociedad secreta de carácter religioso, filosófico y matemático, que pronto alcanza un éxito notable, contando con más de 600 adeptos entre hombres y mujeres. El rigor y el ascetismo eran las normas morales y de conducta que tenía la sociedad, en la que todo se compartía, no solo los bienes materiales, sino también los descubrimientos matemáticos. Su símbolo era el pentagrama o polígono estrellado de cinco puntas. En esta orden se impartieron las primeras clases públicas de matemáticas. Los miembros se dividían en dos categorías: los novicios, denominados "auditores" porque no tenían derecho a hablar durante las disertaciones, y los "matemáticos", que eran los que habían accedido a los más altos conocimientos. El secreto hacia el exterior eran normas sagradas de la secta, y la divulgación de sus conocimientos matemáticos le pudo costar la vida a alguno de sus adeptos. La orden pitagórica de Crotona fue disuelta de forma violenta, su casa fue incendiada y Pitágoras y sus discípulos tuvieron que abandonar la ciudad.

Pero de lo que no cabe duda es de que su influencia se extendió por toda la cuenca mediterránea durante muchos siglos. De hecho, ha impregnado la cultura occidental hasta nuestros días. ¿Cuáles son las principales aportaciones matemáticas de la escuela pitagórica? La primera y quizá la más importante: introducir la necesidad de demostrar las proposiciones matemáticas de manera inmaterial e intelectual, es decir, al margen de su sentido práctico. Los pitagóricos dividieron el saber científico en cuatro ramas: la música, la aritmética (o ciencia de los números, su lema era "todo es número"), la geometría y la astronomía. Y en las cuatro nos han dejado resultados e ideas sorprendentes. Para ellos, los números son entes abstractos, como ideas de la mente, con existencia propia al margen de los objetos que representan. Cuando hablan de números, se referían a los números enteros y a las fracciones, es decir, números que se podían expresar como razón de dos segmentos que contenían un número entero de veces una misma unidad. Y ahí nos viene el término "número racional". Los pitagóricos fueron mucho más allá, colocando el concepto de número como principio y explicación de todo el universo. Uno de sus discípulos, Filolao, llegó a afirmar: "Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número, pues no es posible que sin número nada pueda ser conocido ni concebido". Atribuían a los números propiedades místicas.

Pitágoras descubrió que existía una estrecha relación entre la armonía musical y la armonía de los números. Si pulsamos una cuerda tirante, obtenemos una nota. Cuando la longitud de la cuerda se reduce a la mitad, obtenemos una octava. Si pulsamos un tercio, obtenemos la quinta. Y si pulsamos un cuarto, obtenemos la cuarta de la quinta anterior. La armonía musical expresada mediante los números 1, 2, 3 y 4. El número sagrado de los pitagóricos es el "decad", el "tetractys", el número del universo, ya que es la suma de todas las dimensiones: el punto, la línea, el plano y el espacio. Su concepción de los números enteros como puntos materiales les permitió estudiar las relaciones curiosas entre los números, asociándolas con las figuras geométricas. Con tres puntos se puede formar un triángulo, el número 3 es un número triangular. Si a estos tres puntos les añadimos otra fila de tres, formamos otro triángulo, el número 6 es también triangular. Si añadimos otra fila de cuatro, tendremos el siguiente número triangular, el 10. De forma análoga, cuatro puntos forman un cuadrado, al igual que el 9, 16, 25. Estos son los números cuadrados. De la misma manera, se pueden obtener los números pentagonales o los hexagonales. Seguramente también es de origen pitagórico la idea de número perfecto. El 6 es un número perfecto, ya que la suma de todos sus divisores (salvo él mismo) es 6. 28 también es un número perfecto. Para encontrar el siguiente número tenemos que dar un gran salto, es 496. No es tan fácil encontrarlo. En el libro noveno de los Elementos, Euclides nos deja perplejos con su teorema 36, que proporciona un método original para encontrar números perfectos. Es este: "Si tantos números como se quiera, a partir de una unidad, se disponen en proporción duplicada hasta que su suma total resulte un número primo, el total multiplicado por el último número será un número perfecto". Pueden comprobar que 496 es un número de esta forma. Y Euclides nunca afirmó que estos fueran los únicos números perfectos, pero hasta hoy nadie ha podido encontrar un número perfecto que no sea de esta forma.

En el terreno de la astronomía, los pitagóricos también dejaron su herencia a la humanidad. En este caso, una herencia que ha prevalecido como doctrina científica más de dos mil años: la teoría geocéntrica del universo. En efecto, los pitagóricos son los primeros que ofrecen un modelo cosmológico para explicar los fenómenos que vemos en el cielo. Situaron la Tierra como una esfera que ocupa el centro del universo y girando alrededor de esta, la Luna, el Sol y los cinco planetas. La expresión "música celestial", quizá también sea un legado pitagórico, ya que colocaron a la Luna, al Sol y a los planetas en esferas cristalinas concéntricas con la Tierra, y cuyas distancias estaban en la proporción de la escala musical, de tal manera que cada astro viajaba por el espacio produciendo una nota característica. Pitágoras llegó a afirmar que en las noches de calma era posible escuchar este canto celestial, y Kepler hasta nos dejó las partituras.

Pero lo que realmente colmó de gozo a Pitágoras fue la demostración de su famoso teorema, hasta tal punto que mandó a sacrificar bueyes a los dioses. Por desgracia, el silencio impuesto a los miembros de la secta pitagórica nos impide conocer la demostración que encontraron, aunque suponemos que no será muy distinta de la que podemos hallar en los Elementos de Euclides. Euclides se basa en una propiedad fácil de probar de las áreas de los paralelogramos: si desplazamos el lado opuesto a la base, sin variar su longitud, a lo largo de una recta paralela a la base, obtenemos un paralelogramo de la misma área. Utilizando solo esta propiedad, se puede demostrar que el área del cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos. Disfrútenlo solo en las palabras.

El teorema de Pitágoras abría la puerta a la existencia de números inconmensurables, es decir, de segmentos que no pueden expresarse como múltiplos enteros de una misma unidad. En efecto, no hay ningún segmento, por muy pequeño que sea, que esté contenido exactamente un número entero de veces en el lado de un cuadrado de lado 1 y en su diagonal. Hoy decimos que el número raíz de 2 es un número irracional, es decir, un número que no se puede expresar con los únicos números que admitían los pitagóricos: los enteros y las fracciones.

La estrella pitagórica se obtiene uniendo los vértices no consecutivos de un pentágono regular. En ella aparecen cuatro tipos de segmentos de longitudes diferentes: AB, BC, CD, DE. Para sorpresa de Pitágoras y de los matemáticos de todas las épocas, la razón entre AB y BC es uno de los números irracionales más famosos de la historia: el número áureo, fi, igual a 1 + raíz de 5 partido por 2. Pero no termina aquí la ironía. La razón entre BC y CD también es el número de oro, y también la razón entre CD y DE. El propio símbolo de los pitagóricos es la demostración más hermosa de la existencia de otro tipo de números que ellos se negaban a aceptar. A veces, la matemática, como el dios Cronos, devora a sus propios hijos, aunque luego los eleve a una gloria imperecedera.