Transcription
Berita terkini, semuanya. AI baru saja berhasil membuktikan hasil matematika terpentingnya hingga saat ini. Dalam video ini saya ingin menceritakan sedikit tentang masalah ini karena cukup keren dan sangat indah dan saya pikir semua orang bisa mengerti setidaknya masalahnya dan kemudian saya akan membagikan beberapa komentar dan pendapat dari komunitas matematika tentang apa artinya AI telah berhasil memecahkan hasil ini. Masalahnya dimulai dengan mempertimbangkan sekumpulan titik di bidang. Beberapa di antaranya mungkin memiliki jarak satu sama lain. Jadi misalnya dalam konfigurasi ini kita memiliki lima pasang yang berjarak satu. Tetapi jika saya menatanya kembali seperti ini, Anda sekarang memiliki 16 titik dengan 15 pasang berjarak satu. Dan secara umum untuk konfigurasi ini jika Anda memiliki n titik, Anda dapat membuat n dikurangi satu dari tepi-tepi ini yang berjarak satu sama lain. Jika saya menggunakan kisi persegi, maka di sini saya mendapatkan 24 tepi berjarak satu dengan 16 titik yang sama. Bagaimana konstruksi ini berskala dengan jumlah simpul n? Nah, anggaplah n adalah bilangan kuadrat sehingga kita dapat membuat kisi akar n kali akar n. Untuk tepi horizontal, kita memiliki akar n baris dan kemudian akar n dikurangi satu tepi di setiap baris. Dan jadi akar n * akar n dikurangi satu total tepi horizontal. Tepi vertikalnya persis sama. Jadi total kita adalah dua kali nilai itu yang menjadi 2n - 2 * akar n. Jadi ketika n menjadi besar, suku linier mendominasi dan kita katakan bahwa ini berorde n. Tapi bisakah saya mengalahkannya? Nah, Erdos pada tahun 1946 punya trik yang sangat keren. Saya akan membuat kisi dengan 25 titik dan ini akan menghasilkan 40 tepi. Tapi saya bisa mempertimbangkan panjang yang berbeda selain hanya satu. Seperti ini semua adalah tepi yang bergerak satu ke atas dan satu ke samping. Tapi ini sebenarnya tidak sebagus itu. Saya hanya punya 32 dari tepi-tepi ini. Atau saya bisa bergerak dua ke satu arah, satu ke arah lain. Jadi ini panjangnya akar lima. Tapi sekarang saya punya 48 dari ini. Ini lebih banyak dari kisi aslinya. Dan oke, Anda mungkin berkata, yah, ini tidak lagi berjarak satu. Saya bisa saja mengecilkan semuanya dengan faktor akar lima dan kemudian mereka akan menjadi. Jadi triknya adalah memulai dengan kisi unit persegi. Hitung berapa banyak pasangan dari setiap jarak yang mungkin muncul. dan kemudian Anda ambil yang terbesar dari itu dan Anda menyusutkan sesuai. Ini akan memberi Anda jumlah tepi. Oke, jadi ini pertanyaannya. Jika saya mendefinisikan u dari n sebagai jumlah maksimum tepi berjarak satu yang dapat Anda temukan ketika Anda memulai dengan n simpul. Apakah ini memiliki batas ketika n tumbuh? Dan ternyata ya, konstruksi yang kita lihat dari Erdos itu memiliki batas bawah n pangkat 1 ditambah konstanta c dibagi dengan logaritma dari logaritma n. Jadi itu adalah berapa pun jumlah maksimumnya, itu akan lebih besar dari batas bawah ini. Itu klaimnya. Dan jika kita melihat batas bawah ini, logaritma dari logaritma n ketika n tumbuh besar, itu menuju tak terhingga. satu dibagi logaritma dari logaritma kemudian menuju nol. Itu secara asimtotik ini adalah sesuatu yang hanya sedikit di atas linier. Lebih kurang terlihat seperti n pangkat satu ketika segala sesuatu menjadi sangat besar. Ngomong-ngomong, perhatikan ini bahwa untuk setiap n kecil tertentu, maksud saya Anda mungkin bisa melakukan lebih baik dari ini. Seperti misalnya dengan hanya 16 titik, ini adalah pilihan yang memiliki 40 yang sama sekali tidak terkait dengan kisi persegi. Tetapi secara asimtotik kita memiliki batas ini dan Erdos membuktikan menggunakan teori bilangan bahwa ini benar. Tapi bisakah kita berbuat lebih baik? Konjektur adalah ini. Batas bawah itu tajam, yang dalam matematika berarti Anda tidak bisa memiliki batas bawah yang lebih besar dari ini. Ini adalah batas bawah terbaik yang bisa Anda miliki. Dan kita tidak tahu untuk waktu yang lama. Ini diusulkan pada tahun 1946. Dan selama puluhan tahun, para matematikawan telah mencoba menemukan konstruksi lain yang lebih baik dari ini atau membuktikan bahwa ini adalah yang terbaik, bahwa ini adalah batas bawah terbaik yang bisa kita dapatkan. Sampai sekarang, apa yang berhasil dibuktikan oleh AI adalah metode baru untuk dapat menemukan n pangkat 1 + delta di mana delta adalah konstanta tetap. Anda membandingkan keduanya karena logaritma dari logaritma n yang menuju tak terhingga itu. Itu berarti konstanta tetap bahkan jika itu adalah konstanta yang sangat kecil, pada akhirnya akan lebih baik daripada c dibagi log n. Jadi ini adalah batas bawah yang lebih baik daripada yang pernah kita lihat sebelumnya. Konjektur telah dibantah. Saya ingin meninggalkan Anda dengan satu gambar setidaknya mengisyaratkan hasil baru meskipun ini cukup di luar cakupan video. Apa yang saya lakukan di sini adalah memplot banyak kisi persegi tetapi mereka digeser dengan jumlah tertentu. Ini adalah sudut 2 pi dibagi 3 yang saya lihat disarankan oleh Will Sin. Makalah sebenarnya membangun kisi di ruang berdimensi jauh lebih tinggi dan kemudian memproyeksikan ke bidang dengan cara yang agak analog. Oke, jadi saya suka sedikit matematika ini, tetapi mari kita coba memahami konteksnya dan mungkin dampak dari fakta bahwa konjektur keren ini dibantah oleh AI. Jadi hal pertama yang ingin saya catat adalah dari mana asalnya? Erdos, matematikawan ini terkenal karena telah banyak berkolaborasi dengan banyak orang. Dan jadi ada daftar yang sangat besar yang telah disusun dari berbagai konjektur yang diusulkan oleh Erdos dan lainnya sehingga baik mereka telah dibuktikan dan sekarang ditutup atau mereka masih terbuka selama beberapa dekade. Sekarang perlu diperjelas, ini bukan teorema pertama yang dibuktikan oleh AI. Mereka membuktikan sejumlah teorema pada saat ini, termasuk beberapa dari daftar masalah Erdos. Perbedaannya adalah bahwa semua yang sebelumnya, Anda bisa mengatakan, "Oh, ya, mereka melakukan ini, tetapi selalu ada sedikit peringatan. Mungkin itu adalah masalah yang sama sekali tidak dipelajari atau masalah yang tidak terlalu menarik atau di mana solusinya adalah, kita hanya mencari literatur dan itu semacam ada di literatur dan itu keren bahwa mereka menemukan hasil itu atau mungkin hanya satu atau dua penyesuaian kecil." Selalu ada alasan untuk meminimalkan hasil meskipun itu keren apa yang terjadi. Yang ini bukan itu. Ini adalah masalah yang terkenal dan dikenal luas dan dipelajari dengan baik dan banyak matematikawan telah mencobanya dan gagal selama bertahun-tahun. Ini adalah masalah terbuka besar dalam matematika. tidak harus masalah terbuka terbesar dalam matematika, tetapi bagaimanapun juga itu adalah masalah yang benar-benar dipedulikan orang dan membuat kemajuan dalam pemahaman umat manusia tentang alam semesta teorema matematika. Sekarang, OpenAI menerbitkan posting blog dengan hasil ini, saya akan menautkannya di deskripsi. Tetapi satu hal yang saya sukai adalah mereka juga membagikan makalah pendamping. Dan dalam makalah pendamping, Anda pada dasarnya mendapatkan pemikiran dan pendapat dari cukup banyak matematikawan yang baik berada di bidang subjek ini sendiri dan beberapa yang benar-benar terkenal seperti Timothy Gowers yang merupakan pemenang medali Fields dan yang tersedia secara luas di komunitas matematika untuk komentar dan sebagainya. Tetapi kesan yang saya dapatkan dari membaca komentar mereka adalah bahwa ya, ini dianggap sebagai masalah besar. Jadi mari kita sebutkan hanya beberapa di antaranya. Misalnya, Timothy Gowers mengatakan bahwa tidak diragukan lagi bahwa solusi untuk masalah jarak unit adalah tonggak sejarah dalam matematika AI dan jika manusia telah menulis makalah itu, saya akan merekomendasikan penerimaan tanpa ragu-ragu. Atau Noga Alon yang mengatakan, saya percaya akan adil untuk mengatakan bahwa setiap matematikawan yang bekerja di geometri kombinatorial telah memikirkan masalah ini. Banyak matematikawan yang bekerja di bidang lain menghabiskan setidaknya beberapa waktu memikirkannya. Dan solusi dari masalah ini oleh model internal adalah menurut pendapat saya pencapaian luar biasa dalam menyelesaikan masalah terbuka yang sudah lama ada. Buktinya, omong-omong, masuk ke beberapa ide baru dalam teori bilangan aljabar. Saya tidak akan mencoba untuk mereproduksinya dalam video ini, tetapi mereka yang tertarik dapat memeriksa tautan di deskripsi untuk memeriksanya. Jadi, saya ingin menyerahkan sisa percakapan kepada Anda di komentar karena ini adalah momen dalam sejarah. Saya berasumsi bahwa kita akan melihat lebih banyak hal ini, lebih banyak teorema besar jatuh ke AI dan itu mulai menimbulkan banyak pertanyaan. Seperti apa matematika dalam lima atau 10 tahun ke depan bagi seorang matematikawan praktisi yang memiliki alat-alat ini? Apakah ini semacam merayap ke teorema besar? Dan perlu diperjelas, manusia membuktikan teorema besar setiap saat. Ini hanyalah yang pertama dan mungkin telah gagal pada banyak teorema lain yang telah dicobanya. Ini adalah yang berhasil. Tapi tapi seperti apa itu? Seperti apa seorang matematikawan riset? Seperti apa pengajaran matematika? Ke mana arahnya selama setahun ke depan? Kita telah melihat banyak peningkatan kemampuan dalam waktu singkat. Dan saya pikir pertanyaan-pertanyaan ini benar-benar besar dan memiliki banyak dampak sosial dan itu akan jelas menjadi topik diskusi untuk waktu yang lama. Jadi saya hanya ingin menunjukkan masalahnya kepada Anda sehingga Anda setidaknya dapat menghargai betapa indahnya masalah aslinya. Saya merasa harus mencatat mengingat topik video ini bahwa ChatGPT sebenarnya membantu saya mengkodekan banyak animasi yang Anda lihat dalam video menggunakan Manim. Saya memberitahunya secara umum cara menggambar bentuk dan itu membuatnya untuk saya. Dan ini sangat berharga untuk dapat membuat video seperti ini dalam waktu kurang dari sehari. Dan jadi ya, bukan hanya matematika, itu juga YouTuber matematika yang terpengaruh oleh AI. Dan dengan itu, saya serahkan kepada Anda semua di komentar untuk mencari tahu apa yang kita lakukan di masa depan mengingat kita memiliki AI yang dapat melakukan ini.