Transcription
புள்ளியியலில், சமவாய்ப்பு மாறிகளின் நிகழ்தகவை மாதிரியாக்க ஒரு குறிப்பிட்ட பரவலைப் பயன்படுத்தி வருகிறோம். இயல்புநிலை பரவல். இது எங்கிருந்து வருகிறது? இது 1733 இல் லண்டனில் உள்ள ஒரு காபி கடையில் ஒரு பிரெஞ்சு கணிதவியலாளரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, சூதாட்டக்காரர்கள் ஈருறுப்பு நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிட உதவ முயன்றார். இந்த கணிதவியலாளர் ஆபிரகாம் டெமோ. அவர் மத துன்புறுத்தல் காரணமாக பிரான்ஸிலிருந்து தப்பி லண்டனில் குடியேறினார். வாழ்வாதாரத்திற்காக, அவர் சூதாட்டக்காரர்களுக்கு வாய்ப்புகளைக் கணக்கிட்டார். ஒரு நாள், ஒரு சூதாட்டக்காரர் அவரிடம் ஒரு சிக்கலைக் கொண்டுவந்தார். ஒரு நியாயமான நாணயத்தை 3,600 முறை சுண்டினால், சரியாக 1,800 தலைகள் அல்லது 1780 மற்றும் 1820 தலைகளுக்கு இடையில் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? 3600 சுண்டல்களில் 1,800 தலைகள் பெறுவதற்கான துல்லியமான நிகழ்தகவு ஈருறுப்பு பரவலிலிருந்து வருகிறது. இது நமக்கு இந்த பின்னத்தைக் கொடுக்கிறது. இங்குள்ள சிக்கல் காரணியல் குறியீடு. 3,600 காரணியல் என்பது 3,600 * 3599 * 3,598 என 1 வரை செல்கிறது. இவ்வளவு பெரிய எண்ணை கையால் கணக்கிடுவது சாத்தியமற்றது. டெமோவுக்கு மிகவும் திறமையான முறை தேவைப்பட்டது. அவர் இரண்டு அல்லது 10 அல்லது 40 போன்ற சிறிய எண்ணிக்கையிலான சுண்டல்களுக்கான நிகழ்தகவுகளை வரைபடமாக்குவதன் மூலம் தொடங்கினார். சுண்டல்களின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும்போது, தனித்தனி பட்டை விளக்கப்படம் ஒரு தொடர்ச்சியான சமச்சீர் வளைவால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம் என்பதை அவர் கவனித்தார். இந்த தொடர்ச்சியான வளைவுக்கான சமன்பாட்டைக் கண்டறிய முடிந்தால், ஆயிரக்கணக்கான தனித்தனி பின்னங்களைக் கூட்டுவதற்குப் பதிலாக, அதன் கீழ் உள்ள பகுதியைக் கண்டறிய நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதை அவர் உணர்ந்தார். வளைவின் வடிவத்தைக் கண்டறிய, டெமோ நிகழ்தகவுகளின் விகிதத்தை அமைத்து, ஈருறுப்பு காரணியல்களை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் உச்சியிலிருந்து x படிகள் விலகிச் செல்லும்போது நிகழ்தகவு எவ்வாறு குறைகிறது என்பதை பகுப்பாய்வு செய்தார். அவர் பொதுவான சொற்களை ரத்து செய்து பின்னங்களின் பெருக்கத்தை விட்டுச்சென்றார். பின்னர் அவர் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் n / 2 ஆல் வகுத்து மதிப்புகளை ஒன்றுக்கு நெருக்கமாகக் கொண்டுவந்தார். பெரிய பெருக்கங்களுடன் வேலை செய்வது கடினம். எனவே அவர் பின்னங்களை கூட்டல் மற்றும் கழித்தலாக மாற்ற இயற்கணித மடக்கையைப் பயன்படுத்தினார். சிறிய மதிப்புகளுக்கு 1 + z இன் இயற்கணித மடக்கை தோராயமாக z ஆக இருக்கும் டெய்லர் தொடர் தோராயத்தைப் பயன்படுத்துதல். சொற்கள் எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன. -2 / n ஐ காரணியாக்கி முழு எண்களின் எளிய கூட்டலைக் கொடுக்கிறது. எண்கணித கூட்டு சூத்திரங்கள் x^2 ஆக எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன, இது சரியாக -2x^2n ஐ விட்டுச்செல்கிறது. ஒரு நியாயமான நாணயத்திற்கான மாறுபாடு n * p * q என்பது n / 4 ஆக இருப்பதால், அடுக்கு மாறுபாட்டுடன் சரியாகப் பொருந்துகிறது. இறுதியாக, இருபுறமும் அடுக்குக்கு எடுப்பது, ஈருறுப்பு நிகழ்தகவுகளின் வடிவம் இந்த அடுக்கு வளைவை மெதுவாக அணுகுவதை வெளிப்படுத்துகிறது. வளைவின் அடுக்கு வடிவம் தீர்மானிக்கப்பட்டவுடன், டெமோவுக்கு y = c * ex^2 / 2n pq என்ற சூத்திரம் கிடைத்தது. அவர் இன்னும் சரியான உச்ச உயரமான c ஐ கண்டுபிடிக்க வேண்டியிருந்தது. உச்சம் நாணய சுண்டல்களின் நடுவில் சரியாக நிகழ்கிறது. இரட்டை n க்கு நிகழ்தகவு n காரணியல் / n / 2 காரணியல் 2 * 2 ^ n ஆகும். n ஒற்றைப்படை எனில், அந்த நிலையில் மையத்தில் இரண்டு சம உச்சங்கள் உள்ளன. ஆனால் n அதிகரிக்கும்போது இந்த இரண்டு வகுப்பிகளின் இடையேயான வேறுபாடு புறக்கணிக்கத்தக்கதாகிறது. வரம்பு இரட்டை வழக்கைப் போலவே சரியாக இருக்கும். இதைத் தீர்க்க அவர் பெரிய காரணியல்களுக்கான தோராயத்தைப் பயன்படுத்தினார். டெமோரா முக்கிய சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடித்திருந்தாலும், அவர் சரியான மாறிலியைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கிக்கொண்டார். அவர் தனது நண்பர் ஜேம்ஸ் ஸ்டெர்லிங்கைத் தொடர்புகொண்டார், அவர் விடுபட்ட பகுதியை 2 பை இன் வர்க்கமூலமாக அடையாளம் கண்டார். டெமோ ஸ்டெர்லிங்கிற்கு கண்டுபிடிப்பை நிறைவு செய்ததற்காக பெருந்தன்மையுடன் கடன் கொடுத்தார். ஸ்டெர்லிங்கின் சூத்திரத்தை உச்ச நிகழ்தகவில் மாற்றுவோம். தொகுப்பு n காரணியல் விரிவடைகிறது மற்றும் வகுப்பி n / 2 காரணியல் வர்க்கப்படுத்தப்படுகிறது. வகுப்பியின் சொற்களை வர்க்கப்படுத்தும்போது, வர்க்கமூலம் மறைந்துவிடும் மற்றும் அடுக்கு இரட்டிப்பாகும். வகுப்பியின் பின்னத்தில் உள்ள இரண்டுடன் 2 ^ n எவ்வாறு ரத்து செய்யப்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். இது நமக்கு மேலும் கீழும் n / e ^ n ஐ விட்டுச்செல்கிறது, அவை முற்றிலும் ஒன்றையொன்று ரத்து செய்கின்றன. நாம் 2 / pi * n இன் வர்க்கமூலத்துடன் விடப்படுகிறோம். ஒரு நியாயமான நாணயத்திற்கான n * p * q என்பது n / 4 ஆக இருப்பதால், நாம் இறுதியாக நமது மாறிலி c ஐப் பெறுகிறோம். இது டெமோவுக்கு முழுமையான செயல்பாட்டைக் கொடுத்தது. அவர் இயல்புநிலை பரவலைக் கண்டுபிடித்தார், இது புள்ளியியலில் மிக முக்கியமான வளைவு. சூதாட்டக்காரர்களின் சிக்கலைத் தீர்க்க, சரியாக 1,800 தலைகள் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுகிறோம். இருப்பினும், ஒரு தொடர்ச்சியான வளைவின் கீழ் ஒரு ஒற்றைக் கோட்டின் பரப்பளவு சரியாக பூஜ்ஜியமாகும். நாம் தனித்தனி நாணய சுண்டல்களை தோராயமாக மதிப்பிடுவதால், நாம் ஒரு தொடர்ச்சி திருத்தத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். சரியாக 1,800 க்கான இயற்பியல் பட்டை உண்மையில் 1,799.5 முதல் 1,800.5 வரை பரவியுள்ளது. இந்த ஒரு அலகு அகலத்தின் மீது ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், நிகழ்தகவு தோராயமாக 0.0133 ஆக இருப்பதைக் காண்கிறோம். இந்த திருத்தத்துடன், டெமோ தொடர்ச்சியான நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி சூதாட்டக்காரரின் சிக்கலை நேர்த்தியாகத் தீர்த்தார். இரண்டையும் ஒப்பிடும்போது, இயல்புநிலை தோராயமானது நம்பமுடியாத அளவிற்கு துல்லியமானது, சிக்கலான ஈருறுப்பு கணக்கீடுகளுக்கு கிட்டத்தட்ட சரியான குறுக்குவழியை வழங்குகிறது. நீங்கள் மேலும் கணித வரலாறு மற்றும் வருவிப்புகளைப் பார்க்க விரும்பினால், Matilda Academy க்கு விருப்பம் தெரிவித்து குழுசேரவும்.