Svislý vrh vzhůru - fyzika SŠ

Ahoj středoškoláci. Máme zde další hodinu, která je věnována gravitačnímu poli. A dnes nakousneme sadu tří videí, kde se budeme zabývat pohyby v našem tíhovém poli Země. A prvním z nich je svislý vrch vzhůru. Já jenom připomenu, v minulé hodině jsme si odvodili vztah pro tíhovou sílu, že tíhová síla je výs jice síly gravitační a setrvačné odstředivé a že je v různých místech našeho naší zeměkoule má různou velikost.

Tak a pojďme teď k té dnešní kapitole. Takže pohyby těles v homogenním tíhovém poli u povrchu země. Jenom připomenu, homogenní tíhové pole je takové pole, kde tíhové zrychlení má ve všech místech stejnou velikost a stejný směr. A jsme u povrchu země, to znamená ve vzdálenosti rovnu rovně poloměru země. Tak takovým pohybům se říká vrhy. A jsou to pohyby, kde se nedostaneme do nějaké velké nadmořské výšky ani do velké vzdálenosti od místa odkud to těleso vrhneme. Současně si tu situaci zjednodušíme tím, že nebudeme uvažovat žádné odporové síly. To znamená odporovou sílu vzduchu zanedbáme a budeme uvažovat tedy pouze působení síly tíhové.

No a můžeme si teď uvést ty pohyby, které to jsou. Tak prvním z těch pohybů je svislý vrch vzhůru. To znamená máme těleso, které svisle vrhneme vzhůru. Tak to je první pohyb. Druhým pohybem je vodorovný vrch, kdy ho vrhneme Počátek ční rychlosti vodorovně. No a třetí je šikmý vrch, kdy ho vrhneme pod nějakým úhlem. No a my se v tom dnešním videu budeme věnovat pouze tomu prvnímu a to je svislý vrch vzhůru.

Takže pojďme teď už trochu podrobněji. Pokud těleso vrhneme počáteční rychlosti v0 proti směru tíhového zrychlení, pak mluvíme o svislém vrchu vzhůru. Takže já zde mám těleso, které leží na nějaké podložce. Znázorním si počáteční rychlost svisle vzhůru a znázorní si také tíhové zrychlení. Vidíte, že ta počáteční rychlost má opačný směr neš tíhové zrychlení. Takže já pokud to těleso takto vrhnu, tak všimněte si, ta rychlost postupně klesá, až je nulová a pak začne zase postupně narůstat. Takže z rovnoměrně zrychleného zpomaleného pohybu je teď pohyb rovnoměrně zrychlený. Takže to je jenom jak vypadá ten jev.

No a pojďme si ho teď popsat teda detailněji. Takže Viděli jste, že ten pohyb je složen ze dvou fází. První je pohyb nahoru. Takže my se teď v první části budeme bavit pouze o tom, jak se těleso pohybuje směrem nahoru. Takže já ho teď nechám pohybovat směrem nahoru. Tak vidíte, že ta rychlost jeho k velikost rychlosti klesá. Takže já dejme tomu v čase T si to těleso se nacházelo tady v tomto bodě, mělo nějakou okamžitou rychlost v čas T. Tak tento pohyb je ve skutečnosti složen ze dvou pohybů. Prvním pohybem je pohyb ve směru svisle nahoru s počáteční rychlosti v0, což je rovnoměrný přímočarý pohyb. My jsme mu na počátku udělali počáteční rychlost v0, to znamená To je pohyb z počáteční rychlosti v0 je rovnoměrný přímočarý pohyb směrem nahoru. Jenže jsme v tíhovém poli. To znamená, že na to těleso působí tíhová síla směrem dolů. Takže současně to těleso padá volným pádem díky tíhovému zrychlení. A v tomto okamžiku má nějakou rychlost vpt jako volného pádu, která se rovná velikosti tíhového zrychlení krát čas T, který jsme si tady vyznačili, že je to v čase T.

Tak když vidíte, tak obě dvě rychlosti mají opačný směr. Takže velikost v sednice, což je ta šedá moje rychlost toho mého vrhu, je dána rozdílem velikostí těchto dvou rychlostí. Takže v0 - VP volného pádu. No ale za rychlost volného pádu si můžu dosadit G XT a dostáváme v0 - GT. Takže pro pohyb nahoru mně platí, že velikost okamžité rychlosti můžu vyjádřit vztahem v0 - g x t, kde v nula je počáteční rychlost a t je čas od počátku vrhu.

Tak další co nás bude zajímat je do jaké výšky to těleso za ten čas té vystoupá. Tak my si označíme tady tu výšku jako y, protože máme osu x vodorovně a osu y svislé a budeme nazývat tady tu výšku jako okamžitá výška v čase t. No a použijeme stejnou úvahu. To znamená on se pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem směrem nahoru, ale volným pádem směrem dolů. Takže dráhy které za ten čas urazí musíme odečíst. Takže v0 T je dráha kterou by urazil rovnoměrným přímočarým pohybem a od ní odečtu dráhu kterou by za stejný čas urazil tím volným pádem směrem dolů. No a dostáváme vztah pro okamžitou výšku, že je v0 T - 1/2 GT. Tak tak to byla situace při pohybu nahoru, při pohybu nahoru až do toho okamžiku, než se dostane do toho nejvyššího bodu.

Tak pojďme se teď ještě podívat na ten nejvyšší bod. Takže já znovu provedu ten pohyb. Vidíte, že velikost rychlosti klesá, až v okamžiku, kdy je v tom nejvyšším bodě, tak velikost rychlosti je nulová. V nejvyšším bodě má nulovou okamžitou rychlost a dosáhl toho nejvyššího bodu v čase označme si velké T. A nás teď bude zajímat, jak dlouho trvá ne se dostane do té pozice do toho nejvyššího bodu. Takže můžeme zase udělat takovouto úvahu. My si tu výšku označíme jako h. H je maximální výška, kam se dostane a je to takzvaná výška vrhu. My budeme chtít vypočítat, jak vysoko se dostane a za jak dlouho se dostane do toho bodu. Tak velikost okamžité rychlosti už jsme si odvodili v = v0 - GT. Tak a já teď použiji vlastnost toho nejvyššího bodu a sice, že velikost okamžité rychlosti je nulová a že čas si označím jako velké T. Takže já teď tady ty dvě dva údaje sem dosadím. Takže za v dosadím nulu a za malé T dosadím velké T. Tak a mám tady rovnici, ze které můžu vyjádřit velké T, že je v0 G. Takže velké T je doba, za kterou se dostane do toho nejvyššího bodu. To nazýváme, že je to doba výstupu. Doba výstupu a je rov v0 G.

No a pokud už známe dobu výstupu, no tak můžeme ještě si vyjádřit tu výšku vrhu h. No tak úplně stejným způsobem, jak jsme si odvodili na předchozím snímku, tam bylo y = v0 t - 1/2 GT. Tak my místo y si dosadím h, protože jsme ve výšce h a místo malého T, co jsme měli, si dosadím velké T. Takže mám stejný vztah, jak na předchozím snímku. Tak teď si jenom uvědomím, že velké T už jsme si tady odvodili, že je v0 G. Takže za velké t dosadím v0 g a tady v0 G. No a teď si všimněte, v0 x v0 můžu vynásobit, to bude v0 na / G. Tady bude v0 g, 1 g pokrátí a vyjde mě, že je to v02 2G. Tak a to je výška vrhu. Takže můžeme říct, že pokud má těleso počáteční rychlost v0 o velikosti v0, tak se dostane do výšky h = v02 2G a bude to trvat dobu velké t = v0 g.

Tak to byl pohyb nahoru. Teď se pojďme podívat na pohyb dolů. Já už ho tady ukazuji, to znamená postupně zrychluje a jedná se o volný pád. A já jsem si tady označil, že ten volný pád bude trvat tvp jako volný pád, jo, t čas volného pádu. Tak pro volný pád už jsme si vztahy odvodili. Takže já tady jenom uvedu, pro dráhu volného pádu nám platí s = 1/2 GT. Takže zase jenom dosadím, dráha je pro nás h, 1/2 g je stejný a t na Dr máme čas tvp Dr. Tak toto je dráha volného pádu.

Tak já teď využiji ještě vlastnosti, že my víme, že padá z výšky h, ale tu výšku h už jsme si odvodili, že je v0 2G. Takže mám tady h r 1/2 g tvp Dr a taky v0 2G. No tak když se levé strany rovnají, musí se rovnat i pravé strany a jediná neznámá co je tady je ten čas padání dolů. Takže já ho vyjádřím, že je to odmocnina z 2 v02 / 2G. Dvojky se mě pokrátí, √ v02 je v0 a z G je G. Ale v0 g už jsme měli na předchozím snímku, to je velké t, to je doba, která takzvaná doba výstupu na předchozím snímku jsme si ji odvodili. Takže velké T. Takže co z toho plyne, že doba, kterou padá dolů, je stejně velká jako doba, kterou to těleso šlo nahoru. Takže doba pádu a výstupu je stejná.

No a může nás zajímat, jakou rychlostí to těleso dopadne na povrch Země. Takže můžeme si vyjádřit velikost rychlosti volného pádu v = g x t padal dobu tvp. Tak tvp zde bude v = g x tvp. No ale TP my jsme si tady už odvodili, tvp je velké T. Takže můžu napsat, že to g k vel t. No a velké T je v0 g. G se nám pokrátí a dostáváme, že je to v0. Co z toho plyne, že rychlo velikost rychlosti při dopadu je rovná velikosti rychlosti počáteční. Tak.

No a máme prozkoumaný celý svislý vrch vzhůru. Tak možná bude dobrý si to procvičit na nějakých dvou příkladech. Takže těleso je vrženo svisle vzhůru s počáteční rychlosti o velikosti 20 m/s. Takže v0 je 20 m/s. Určete velikost okamžité rychlosti a okamžitou výšku v časech 1 d a 3 sekundy. Takže budeme potřebovat velikost tíhového zrychlení. Čas 1 2 3 si označíme jako 1 sekunda, 2 sekundy a 3 sekundy a máme vypočítat rychlost v těchto časech, respektive její velikost a máme vypočítat okamžitou výšku.

Tak já tady nastíním ten pohyb. Takže máme počáteční rychlost v0 směrem nahoru. To těleso se nám vystoupá do nějaké výšky a pak bude padat dolů. Tak abych mohl vůbec počítat, tak my víme, že ten pohyb je složen ze dvou částí, pohyb nahoru a pak pohyb dolů jako volný pád. Takže já musím nejprve určit, v jakém okamžiku se dostane do toho nejvyššího bodu, abych věděl, který z těch časů je pohyb nahoru a který už je pohyb dolů. Takže já si určím prve čas T. No tak ten víme, že je roven v0 l g. Takže dosadíme za v0 dosadíme 20, g je 10 a vychází nám 2 sekundy. Takže v čase 2 sekundy to těleso bude v tom nejvyšším bodě.

Tak co nám z toho teď plyne? 1 sekunda v čase 1 sekunda bude někde se pohybovat směrem nahoru. V čase 2 sekundy bude přesně v tom nejvyšším bodě a v čase 3 sekundy bude už padat směrem dolů. Je pro nás velice důležitá informace. Tak pojďte začneme tím časem 1 sekunda, což je pohyb nahoru. Pro pohyb nahoru pro jeho rychlost velikost rychlosti jsme odvodili vztah v0 - GT. Pokud je to ale v čase T1, tak všude za T dosadím T1 a rychlost velikost rychlosti bude V1. Tak stačí dosadit 20 - 10 x 1 se to je 10 m/s. Máme vypočítat i výšku. Tak y1 bude v0 T1 v čase T1 - 1/2 gt12. Všude dosadím jenom ten čas T1 a vychází nám to za v02 T1 je 1, 1/2 10 x 1, 10 a 2 pokrátí to je 5. 20 - 5 je 15. Takže v čase 1 sekunda se dostane do výšky 15 m a bude mít rychlost 10 m/s směrem nahoru.

Tak pojďme na čas 2 sekundy. Čas 2 sekundy je okamžik, kdy je v tom nejvyšším bodě. Tak pojďme. My bychom mohli říct, že v nejvyšším bodě jeho okamžitá rychlost je nulová a výška je rovná teda výšce toho vrhu. Tak přesto pojďme si to spočítat. Takže já dosadím opět do toho vztahu pro okamžitou rychlost v = v0 - GT akorát dosazuji čas T2 a V2 tím pádem. Tak a když dosadím v0 - 10 x 2, 20 - 20 je 0. Takže vidíme, že opravdu má nulovou okamžitou rychlost, to co jsme na před chvílí řekli. No a jak je to s dráhou? No tak s dráhou dosadím do stejného vztahu, akorát dosadíme všude T2. Takže já když dosadím, je to 20 x 2 se - 1/1 x 2 x 2. Tak tady se M J dvoj pokrátí s touto dvojkou. 10 x 2 je 20, 40 - 20 je 20. Takže vychází mě, že se dostane do výšky 20 m, což je současně i výška toho vrhu.

No a můžeme jít na třetí čas T3 jsou 3 sekundy. Tak my už teď víme, že ve dvou sekundách byl v nejvyšším bodě. Takže 3 sey znamená, že už padá směrem dolů. Já to takto nastíním tu situaci. Už je někde někde v situaci, že je 1u sekundu od toho nejvyššího bodu a padá směrem dolů. A my bychom si mohli odvodit ten čas, který budeme potřebovat. Já si tady jenom poznamenám to, co už jsme vypočítali, že doba vlastně výstupu jsou 2 sekundy a výška vrhu je 20 m. Takže já teď jenom použiji vztah pro čas, který on vlastně se tady pohybuje, ten jeho pohyb trvá čas. Já si tady ještě vyznačím tedy, že bude ve výšce y3 a toto je dráha, kterou urazil. Tak čas volného pádu, to je čas, za který se dostane z toho nejvyššího bodu do tohoto bodu, kdy urazí tu dráhu s. No to je T s čarou si můžu označit dejme tomu a je to vlastně ten čas, který já jsem zadal 3 sekundy mínus čas, po který se pohyboval směrem nahoru a to jsou 2 sekundy. Takže nám vychází, že směrem dolů volným pádem se pohybuje 1 sekundu. To je hrozně důležitý výpočet, protože víme, že 1 sekundu se pohybuje volným pádem. Takže teď už můžeme vypočítat si tuto dráhu. No a když znám celkovou výšku vrhu, tak vypočítám i výšku okamžitou výšku v tom čase T3. Takže prvně vypočítáme velikost okamžité rychlosti. Tak V3 je g k t s čarou. Všimněte si, nemůžu dosadit tady 3 sekundy. Ne, on se mně pohybuje jenom jednu sekundu volným pádem. Tady jsme si to spočítali. Takže g x t s čarou, když dosadím 10 x 1 je 10 m/s. Dráha y3 je celková výška vrhu mínus tu dráhu, kterou urazil volným pádem. To je to s. Dráha volného pádu je 1/2 gt Dr, ale pro mě se pohybuje pod dobu t s čarou, to je ta 1 sekunda. Taky se musím dosadit. Takže když teď za s dosadím, tak mě vychází, že bude ve okamžitá výška bude H - 1/2 GT S čarou na Dr. Dosadíme hodnoty a vyjde nám, že ve výšce 15 m. Takže to byla ukázka prvního příkladu. Všimněte si jenom, že opravdu u té těchto situací musíme si nejdříve zjistit čas, kdy se dostane do toho nejvyššího bodu a pak teprv můžu zkoumat, kde se nachází třeba v čase. Kdyby tady bylo v čase 3,8 sekundy, tak já musím nejdříve zjistit, kdy se dostal nahoru a pak teprv můžu zjišťovat, že vlastně se pohybuje 1,8 sey směrem dolů.

Tak dáme si ještě jeden příklad. Jak velkou rychlostí musíme vyhodit kouli svisle vzhůru, aby vyletěla do výšky 12 m. Takže výška je 12 m, je to výška vrhu. Tak proto h samozřejmě tíhové zrychlení a máme vypočítat jakou rychlosti. Takže počáteční rychlost máme vypočítat její velikost a za jak dlouho čas, za jak dlouho dopadne na zem. Tak já tady nakreslím ten obrázek. Takže počáteční rychlost má velikost v0, výška vrhu je h a čas, kdy nebo doba výstupu je velké T. Takže využí toho, že známe výšku vrhu. Takže vztah pro výšku vrhu h r v0 t - 1 GT Dr. Dosazujeme velké t, h známe, v0 neznáme, T neznáme, ale víme, že velké T je v0 G. Takže já to můžu teď to v0 g za T dosadit a vychází nám, že h je v0 Dr / 2G. Tak z tohoto vztahu si teď vyjádřím v0 je √2 HG. A h známe výšku vrhu, G taktéž. Takže po dosazení nám vychází, že počáteční rychlost má velikost přibližně 15,5 m/s.

Tak pokud známe velikost počáteční rychlosti, tak ji známe i dobu výstupu. Stačí jenom dosadit. Takže já jenom dosadím 15 C 5 D 10 1,55 sey. Takže víme, že doba výstupu je 1,55 sekundy. No a pokud uvážíme to, co jsme před chvílí odvodili, že doba výstupu a sestupu je stejně dlouhá, tak potom ta naše doba T je dvakrát ta doba výstupu. Takže 2x 1,55 sekundy a to je 3,1 sekundy. No a máme příklad vyřešený.

Pojďme si ještě ukázat, kde všude se setkáme se svislým vrhem vzhůru. Takže všechny vodotrysky. Vidíte tady různé fontány, které vám barevně a i melodicky takzvaně zpívají různé gejzíry a vřídla. Toto je třeba někde u Ženevy ve Švýcarsku. Tady máme různé takové vodotrysky na náměstích nebo v parcích, různé gejzíry na Islandu, nebo také jednoduchá pítka na vodu, které máte třeba ve škole zrovna nebo někde na náměstí. Tak to jsou všechno případy, kde máme nějaké pohyby svislým svisle vzhůru. No a samozřejmě teď si vemte, že když tady mám nějakou ta fontána Má dokonce třeba hrát a odpovídat hrané hudbě, tak každý ten proud musí být jinak vysoko. Tak právě už jsme u těch výpočtů, které tady musí proběhnout.

Tak můžeme shrnout. Takže svislý vrch vzhůru je pohyb, při kterém je těleso vrženo počáteční rychlosti o velikosti v0 proti směru tíhového zrychlení. To je tato situace. Můžeme ho rozdělit do dvou částí, pohyb směrem nahoru a pohyb směrem dolů. Pohyb směrem nahoru je složený pohyb z pohybu rovnoměrného přímočarého svisle nahoru a volného pádu svisle dolů. Proto pro okamžitou rychlost velikost okamžité rychlosti v každém okamžiku platí plí, že je to rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu mínus velikost rychlosti volného pádu. Totéž platí pro okamžitou výšku. Okamžitá výška je dána výšku dráhu, kterou urazí při rovnoměrném přímočarém pohybu mínus dráhu, kterou za ten čas by urazí díky volnému pádu. V nejvyšším bodě platí, že rychlost je nulová. To znamená velikost okamžité rychlosti je nula a čas jsme si označili velké T a tu výšku jsme si označili h a nazvali dobu navali výška vrhu. Odvodili jsme si, že doba výstupu je v0 G a výška vrhu je v0 2/2 g. No a pak volný pád je cesta dolů. Je to volný pád z výšky h. Odvodili jsme jestliže je to volný pád, tak pro dráhu volného pádu s = 1/2 GT. Takže za čas T mně sestoupil do tohoto bodu, čas T urazil dráhu s 1/2 GT, ale výška okamžitá výška je y a to je h - s, jo. No a dál jsme si odvodili, že dopadne se stejnou velikostí rychlosti jako je počáteční rychlost a dopadne za stejnou dobu, za jakou se dostal do toho nejvyššího bodu. No a máme svislý vrch vzhůru probraný.

Já se s vámi rozloučím. Pokud byste chtěli přispět na mou činnost nebo se zapojit do mého věrnostního programu, budu velice rád. A u příští hodiny se na vás těším znovu. Na shledanou a budeme mít před sebou tentokrát vodorovný vrch. Na shledanou.