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以下是与乔丹·艾伦伯格的对话，他是一位威斯康星大学的数学家，也是一位作者，在他的 2014 年著作《如何不犯错》（How Not to Be Wrong）中，他巧妙地揭示了数学的美丽与力量。在他的新书《形状》（Shape）中，这本书最近刚刚出版，探讨了信息、生物学、战略、民主以及一切事物的隐藏几何学。
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顺便说一句，我想说的是，几何学是我年轻时爱上数学的原因。它第一次向我展示了可以通过直观的视觉证明来陈述关于这个世界的确定性事物。不知何故，这让我相信数学不仅仅是抽象的、脱离生命的数字，而是生活的一部分，是这个世界的一部分，是我们寻找意义的一部分。
这是 Lex Fridman 播客，这是我与乔丹·艾伦伯格的对话。
如果大脑是一块蛋糕，那么，嗯，让我们跟着我来，好吗？好的，好的，我们会暂停一下。
所以，对于诺姆·乔姆斯基来说，语言，普遍语法，语言产生的框架，就像蛋糕的大部分，美味的巧克力中心。然后我们认为建立在上面的其他认知，额外的层次，也许是蛋糕上的糖霜。也许，也许，意识只是顶部的樱桃。
在这个蛋糕中，你把数学思维放在哪里？在乔姆斯基的观点中，它像语言一样基本吗？它比语言更基本吗？它是他正在思考的关于语言的抽象框架的回声吗？它们都像非常紧密地相互联系在一起吗？
这是一个非常有趣的问题。你让我思考这个问题，即如果你想产生数学输出的感觉，是否就像你你知道的，说出语言或产生语言输出的过程。我认为感觉有点像那样。而且，让我这样说吧，很难想象完全以非语言的方式进行数学。很难想象在不谈论数学的情况下进行数学，并且在某种程度上以命题形式思考。但是，你知道，也许只是因为我就是这样做数学的，所以也许我无法想象其他方式，对吧？
那么，可视化形状，可视化概念呢？语言显然无法附加到这些概念上。
这是一个非常有趣的问题。你知道，有一件事让我想起，我在书里谈到的一件事是切割证明。这些非常美丽的几何命题的证明。有一个非常著名的由巴斯卡拉（Bhaskara）提出的关于勾股定理的证明，这些证明纯粹是视觉证明，你通过将相同的碎片以一种方式组合起来，制作一个形状，然后以另一种方式组合起来，制作一个不同的形状，来展示两个数量是相同的。然后观察这两个形状必须具有相同的面积，因为它们是由相同的碎片构建的。
你知道，有一个著名的故事，虽然有些争议，关于它的准确性，但据说在巴斯卡拉的手稿中，他只是给出了证明，只给出了图表，然后整个证明的口头内容就是他在下面写道：“看！”就是这样。
这就像……关于它的确切准确性有一些争议。但那么，这是一个有趣的问题。如果你的证明是一张图，如果你的证明是一张图片，甚至如果你的证明就像一个电影，展示相同的碎片以两种不同的形式组合起来，形成两种不同的东西，那算是语言吗？我不确定我有一个好的答案。你觉得呢？
我认为是。我认为操纵视觉元素的过程与操纵语言元素的过程相同。而且我认为，操纵、聚合、将东西缝合在一起是重要的部分。不是实际的具体元素。对我来说，语言更像是一个过程，数学也是一个过程。它不仅仅是特定的符号。它是在行动中。它最终是通过行动、通过变化创造出来的。所以，你不断地发展想法。当然，我们有时会附着在某个目的地，你到达那里，然后你称之为证明。但这不一定在那里结束。它只是在章节的结尾，然后它就一直持续下去。
但是，我必须问你关于几何学。这是你新书《形状》中的一个重要主题。所以，对我来说，几何学就是你所说的，它让我年轻时爱上了数学。所以，能够直观地证明某事，对我的大脑做了一些事情。它播下了希望的种子，即你可以完美地理解世界。也许这是一种强迫症。但从数学的角度来看，人类是混乱的，世界是混乱的，生物学是混乱的。你的父母在尖叫，或者让你做事情。但是，你知道，你可以穿透所有这些废话，通过数学真正理解世界。而几何学对我来说就是这样做的。
你并没有立刻爱上几何学。所以，你是怎么看待几何学的？为什么它是数学中的一个特殊领域？你是怎么爱上它的，如果你爱上了的话？
哇，你给了我很多要说的。当然，你描述的经历非常典型。但有两种版本。你知道，我在书里说的一件事是，几何学是数学中的香菜。人们对它并不中立。有些人喜欢它，就像你一样，他们喜欢剩下的。有些人可以接受或不接受。但然后，在这一刻，它变得有意义了。这门课有意义了。为什么不是所有课程都这样呢？还有其他人，我可以告诉你，因为他们经常来找我谈话，他们说：“我理解了我们试图找出 x 是什么的所有东西，或者试图解决它。x 是一个数字，我解决了。”但是然后是几何学。“那是什么？发生了什么？那一年？我没懂。我一整年都迷失了，我都不明白我们为什么还要花时间做那个。”
所以，但是每个人都同意的是，它在某种程度上是不同的，对吧？它有什么特别之处？
我们会绕圈子走一点，但我们会到达的。你问我，我是怎么爱上数学的。我有一个关于这个的故事。当我还是个小孩子的时候，我不知道，也许是六七岁，我不知道。我来自 70 年代。我想你来自另一个十年。但你知道，在 70 年代，你的立体音响周围有一个很酷的木盒子，这就是那个样子。一切都是深色木材。那个盒子有很多孔，用来发出声音。是的。那些孔呈矩形排列，有六乘八个孔。我只是在那里，你知道，像孩子们那样，在客厅里发呆，看着这六乘八的矩形孔阵列。如果你只是通过聚焦和失焦，只是看着这个盒子，看着这个矩形，你会想：“嗯，有六行，每行八个孔。但也有八列，每列六个孔。”哇！所以，八个六和六个八。这就像你刚才谈到的切割证明，但它是相同的孔。无论你将它们计算为行还是列，都是相同的 48 个孔。这对我来说是难以置信的。我可以在你的播客上说出来吗？我不知道是否……我们有 FCC 监管吗？
好的，这真是太他妈的难以置信了。好吧，这是最后一次了。这个故事值得。
所以，两种不同的视角，同一个物理现实。
正是如此。而且，正如你所说，你知道，我当时知道 6 乘以 8 等于 8 乘以 6，当我学会我的乘法表时。我知道那是一个事实。但直到那一刻，我真的知道吗？这就是问题所在，对吧？我知道我有点知道乘法表是对称的，但直到那一刻，我不知道为什么会这样。在那一刻，我可以看到，哦，我不需要有人告诉我，那是你可以直接获取的信息。那是一个非常神奇的时刻。
作为数学老师，这是我们真正想带给学生的。我就是那些不喜欢九年级欧几里得几何课的人之一，比如“证明等腰三角形的底角相等”之类的东西。它不像代数和数字那样吸引我。但是，如果你回到那个时刻，从我成年后的视角回顾那个矩形发生的事情，我认为那是一个非常几何的时刻。事实上，那一刻恰好概括了代数和几何的交织。这个代数事实，嗯，在这个例子中，8 乘以 6 等于 6 乘以 8。但总的来说，无论你取两个数字，你将它们相乘，结果与你以另一种顺序相乘的结果相同。它将其与关于矩形的几何事实联系起来，这在某种意义上使其成为真实的。所以，你知道，谁知道呢？也许我注定要成为一名代数几何学家，这就是我作为一名研究人员的身份。
所以，这是那种转变。你在书中谈到了对称性。对称性到底是什么？这些对物体进行的变换，一旦你变换它们，它们似乎就相似了。你如何看待它？它在数学中有什么用途？或者更广泛地说，在理解我们的世界中有什么用途？
这是一个绝对基本概念。它始于对称性这个词，就像我们通常使用它一样，当我们只是说英语而不是说数学的时候。对吧？通常，当我们说某物对称时，我们通常意味着它有一个对称轴。也许它的一半看起来和另一半一样，那将是一个左右对称轴。或者也许上半部分看起来和下半部分一样，或者两者都有。对。也许有一种四重对称，上半部分看起来像下半部分，左半部分看起来像右半部分，或者更多。这可以带你去很多不同的方向。
对称性的所有可能组合的抽象研究，一个叫做群论的学科，实际上是我在数学上的第一个爱好之一。我在大学时经常思考它。但是对称性的概念实际上比我们通常称之为对称性的事物要广泛得多，如果我们正在看一个古典建筑或一幅画或类似的东西的话。
你知道，如今在数学中，我们可以用对称性来指代对图像、空间或物体的任何一种变换。你知道，我在书里谈到的是，拿一个图形，把它垂直拉伸，让它垂直方向变成两倍大，宽度变成一半。我会称之为对称性。它不是古典意义上的对称性，但它是一个定义明确的变换，有输入和输出。我给你一个形状，它会变得……我称之为“scronch”。我不得不编造一个听起来很有趣的名字，因为它实际上没有名字。
就像你可以研究哪些类型的物体在交换左右、交换上下或旋转 40 度等操作下是对称的，你也可以研究哪些类型的物体被这种“scronch”对称性所保留。以及这种更普遍的对称性概念。
让我这样说吧。一个基本的数学思想，在某种意义上，我甚至可以说主导当代数学的思想，或者说当代，我的意思是，就像过去 150 年，我们处于一个非常长的时间尺度上，在数学中，我不是说昨天，我是说大约一个世纪到现在，这个思想是，什么时候我们认为两个东西是相同的？这似乎是一个完全微不足道的问题。它不是。例如，如果我有一个三角形，我有一个尺寸完全相同的三角形，但它在这里。它们是相同的还是不同的？嗯，你可能会说：“好吧，看，这是两个不同的东西。这个在这里，那个在那里。”另一方面，如果你证明了关于这个的定理，如果它在这里，然后你把它向左移动三英寸，它可能仍然适用于那个。如果它有所有相同的边长和角度，并且看起来完全一样。如果你想要术语，你会说它们是全等的。但有一种说法是，有一种叫做平移的对称性，它只是意味着将所有东西向左移动三英寸。我们希望我们所有的定理都是平移不变的。这意味着，如果你证明了一个关于一个东西的定理，如果它在这里，然后你把它向左移动三英寸，你所有的定理都不再起作用，那将是件很奇怪的事。
所以，这个关于“什么是对称性”以及“你想要研究的哪些东西在这些对称性下是不变的”的问题是绝对根本性的。但这有点抽象，对吧？
这一点也不抽象。我认为，我认为这完全是我在人工智能方面思考的一切的核心。我不知道你是否知道 MNIST 数据集，手写数字。是的。而且，你知道，我不抽很多大麻，或者根本不抽。但当我看着 MNIST 并思考这些东西时，感觉就像是那样。比如，一和二的区别是什么？为什么所有的二都彼此相似？哪些变换属于使事物相同的范畴？哪些变换使事物不同？对称性是核心。事实上，无论我们的大脑在做什么，它都非常擅长构建这些任意的，有时是新颖的——这在你看智商测试时非常重要，或者它们感觉新颖——对称性的想法，比如玩物体。我们能够看到相同和不同的事物，并构建几乎像小的几何理论，关于什么使事物相同和不同。以及如何在人工智能中让程序做到这一点，这是一个完全开放的问题。
所以我有点盯着看，想知道什么样的对称性足以解决 MNIST 手写数字识别问题。
写下来。
正是。
而且，从我这样的数学家和几何学家的角度来看，关于这个方向的工作如此迷人的是，我们所知道的群和对称性的类型，对称性的类型，是不够的，对吧？换句话说，我们只是继续深入研究，越深入越好。
我们非常了解的一种对称性是旋转。是的。对。所以，如果人类，如果我们识别出数字“1”，如果它只是一个固定数字“1”在某种字体的旋转，比如 Palatino，那将非常容易理解。对。将很容易编写一个程序来检测某个东西是否是固定数字“1”的旋转。
无论我们做什么，当你识别出数字“1”并将其与数字“2”区分开来时，它不仅仅是结合了我们现在理解的一种对称性。说实话，如果有一种经典的对称性类型能够捕捉到我们区分“2”和“3”时所做的事情，我会感到震惊。我认为，我认为我们所做的实际上比这更复杂。
我觉得一定是这样的。这些数字太简单了。我是说，它们真的是几何物体。我们可以画出 1、2、3。这似乎应该是可以形式化的。所以，这很奇怪。
你认为当一个东西不再是“2”而变成“3”时，它是可以形式化的。你可以想象一个东西从“2”连续变形变成“3”。是的。但是有一个时刻。我自己写过一些程序，它们会像 2 和 3 等等一样变形。你看着，确实有一些时刻，你注意到，取决于那个变形的轨迹，那个变形，它是一个 3 和一个 2。有一条硬线。
等等，所以如果你问人们，如果你给他们看这个变形，如果你问一群人，他们是否都同意变形发生在哪里？我对此表示怀疑。
我问你，因为我会感到惊讶。
哦，我的天。好吧，我们有一个经验性的。
但问题是，伙计。问题是，如果我只展示那个我同意的时刻。
好吧，那不公平。
不，但是，比如说，我想远离同意，因为这是一个迷人的问题，我想退一步。因为我只是教条地说，因为我可能大错特错。
但是变形确实有帮助。就像，改变。因为，部分原因是我们的感知系统看到了这一点。这可能都以某种方式联系在一起。从一个到另一个的变化。看到它的视频让你能够更好地确定“2”变成“3”的地方。如果我只给你一张照片，我认为你可能会非常非常挣扎。你可能会称之为“7”。
我认为，还有一些我们不常考虑的事情。它不仅仅是静态图像。它是图像的变换。或者它不是一个静态形状，它是形状的变换。运动中似乎不仅仅是关于我们的感知系统，而是关于我们认知的根本。我们如何思考事物。是的。
而且，你知道，这也是几何学的一部分。事实上，再次强调，现代几何学的又一个见解是这个想法，你知道，也许我们会天真地认为我们要研究……我不知道，让我们，你知道，像庞加莱。我们要研究三体问题。我们要研究三个物体在空间中运动，只受彼此引力的影响。这听起来很简单，对吧？如果你不知道这个问题，你可能会想：“好吧，你只需要把它放进你的电脑里，看看它们会做什么。”
猜猜怎么着？庞加莱在 1880 年代为解决这个问题而赢得了巨额奖项，我们至今仍然知之甚少。150 年后。我是说，这是一个巨大的谜团。
我们只是打开门，我们就会走进去。在我们回到对称性之前，庞加莱是谁？他提出了什么猜想？
哦，为什么这是一个如此困难的问题？
好吧，庞加莱。他最终成为书中一个重要人物。我甚至没有真正打算让他成为一个大人物。但他就是。他首先是一位几何学家。对。他是一位数学家，他在 19 世纪末的法国崛起。当时法国数学确实开始蓬勃发展。事实上，我学到了很多。你知道，在数学中，我们并没有真正接受过关于我们自己历史的培训。当我们获得数学博士学位时，我们并没有学到很多关于数学的历史。
有一个时刻，法国在普法战争中被击败了。他们说：“我的天，我们做错了什么？我们必须在数学上变得像德国人一样强大。我们必须更像德国人。”所以，这永远不会发生在我们身上。这就像“斯普特尼克时刻”。你知道，50 年代和 60 年代在美国与苏联发生的事情。这发生在法国。他们试图立即实现现代化。
那很有趣。人类和数学与人类历史错综复杂地联系在一起。冷战我认为是人们看待苏联科学和数学方式的基础。我不知道在美国是不是这样，但在苏联绝对是。我很想更多地了解苏联的情况。
我记得有一种感觉，世界悬而未决，你可以用科学的工具拯救世界。数学是驱动科学的超级大国。所以，人们被视为……你知道，美国人经常崇拜运动员。但最终，世界上最好的运动员只是把球扔进篮筐。所以，人们真正享受体育运动的不是……我喜欢体育运动，是因为它在最高水平上的卓越。但是，当你将数学和科学与此结合时，人们也享受科学和数学的卓越。在苏联也是如此。但有一种额外的感觉，即那种卓越将导致一个更美好的世界。所以，这创造了……你通常会想到奥运会的所有事情，比如极端的竞争。但它也创造了一种感觉，即在现代，在美国，像埃隆·马斯克这样的人，无论你怎么想他们，杰夫·贝索斯这些人，他们激发了一种可能性，即一个人或一群聪明的人可以改变世界。不仅仅是做好他们所做的事情，而是真正改变世界。数学是其中的核心。而且，你知道，它也有浪漫主义。比如，当你在美国读关于某些事物的书时，人们会浪漫化某些事物，比如棒球。有关于棒球比赛的优美诗意的写作。在苏联，数学和科学也有同样的感觉。它弥漫在空气中。每个人都被迫学习高级数学课程。你学了很多数学。你学了很多科学。还有很多非常严谨的文学。你知道，俄罗斯的教育水平——在中国也可能如此，我不确定——在……那是什么？在美国是 K-12。但是，年轻人的教育，他们被挑战学习的水平是不可思议的。我说，美国远远落后。
美国然后迅速赶上，然后超过了其他所有人，就像……当你接近高中毕业和大学时。美国的大学系统可以说是世界上最好的。但是，我们挑战所有人的……不仅仅是优秀的学生，而是每个人学习的……在苏联是迷人的。
我认为我将捡起你说的某件事。我认为你会喜欢一本叫做《黎明之战》（Duel at Dawn）的书，作者是阿米尔·亚历山大（Amir Alexander）。我认为你对我写的一些东西的反应，我认为我第一次被阿米尔的作品所吸引。他是一位数学史学家。他讲述了埃瓦里斯特·伽罗瓦的故事，这是一个所有数学家都熟悉的故事。这个非常非常浪漫的人物，他真正地……嗯，他开始了群论的发展，我之前提到过的，这个对称性的通用理论。然后他在二十出头时死于决斗。就像所有这些大部分未发表的东西。这是一个我们都学习的非常非常浪漫的故事。其中大部分是真的。但亚历山大确实阐述了，在 19 世纪初，人们对数学的思考方式与浪漫主义的联系有多么紧密。我是说，那是浪漫主义运动发生的时候。他确实概述了人们为什么会以那种方式思考数学，因为他们以那种方式思考诗歌，以那种方式思考音乐。那是那个时代的氛围。
我们正在追求超然。我们正在寻求与神直接接触。所以，我们之所以那样看待伽罗瓦，是因为伽罗瓦本人就是那个时代的产物。他浪漫化了自己。是的。我是说，现在，你知道，他写了很多信，他……我意思是，用现代的话说，他非常情绪化。他写了所有这些信，关于他……他关于数学的强烈感受和内心的火焰。所以，正如你所说，数学历史触及人类历史。它们从不分开，因为数学是由人组成的。是的。我是说，那是……那是做数学的人。我们是人类。我们在我们所在的任何社区中这样做。我们受到周围社会道德的影响。
所以，法国人，德国人，还有庞加莱。是的。
好的，回到庞加莱。所以，他……你知道，有趣的是，这本书充满了……你知道，数学人物，他们通常有点暴躁，或者会争吵，或者有一些奇怪的热情。因为那些人很有趣。他们会说一些非常尖刻的话。据我所知，庞加莱都不是。他是一个极其正常的人。他没有和人吵架，每个人都喜欢他。他非常谦虚，他有非常规律的习惯。你知道我的意思吗？他早上做四个小时的数学，晚上做四个小时的数学。就这样。他有他的日程安排。事实上，我……我仍然觉得有人会告诉我，现在书已经出版了：“哦，你不知道这个极其肮脏的事件吗？”据我所知，他是一个完全正常的人。但他……在很多方面，他创造了我们生活的几何世界。
而且，你知道，他第一个真正巨大的成功是那篇为瑞典国王提供的关于研究三体问题的奖项而写的论文。研究……关于我们可以说什么。是的，三个天体在运动。你可能认为这是一种非常简单的方式。除了引力之外，什么都没有发生。
三体问题，为什么它是一个问题？
问题在于理解……什么时候这种运动是稳定的，什么时候不是。稳定意味着它们会以某种周期性轨道结束，或者我猜它意味着它们永远不会飞得很远。不稳定意味着最终它们会飞散。
所以，理解两个物体要容易得多。是的。第三个……两个物体，这是牛顿知道的。两个物体，它们会相互绕转，并且以某种……要么是椭圆，这是稳定情况。你知道，这就是我们所知的行星所做的。或者，一个物体围绕另一个物体在双曲线上运行，这是不稳定的情况。它会从远处飞来，绕着较重的东西转一下，然后飞出去。
这些基本上是两个选项。所以，这是一个非常简单且易于分类的故事。
对于三个物体，只是从小小的变化到三个，它就是一个完整的混乱。这是我们现在所说的第一个例子，叫做混沌动力学。稳定解和不稳定解，它们就像缠绕在一起。初始条件的微小变化可以使系统的长期行为完全不同。所以，庞加莱是第一个认识到这种现象甚至存在的人。
那关于以他名字命名的猜想呢？
所以，他也……他是将几何学从……直到那时，几何学主要是二维和三维物体的研究，因为那是我们看到的，那是我们互动的物体。他发展了现在称为拓扑学的学科。他称之为“analysis situs”。他是一个非常能言善辩的人，有很多口号。但那个名字没有……你可以看出为什么那个名字没有流行起来。所以，现在它叫做拓扑学。
现在……对不起，它以前叫什么？
Analysis situs。我猜它的意思是“位置的分析”之类的。这是一个拉丁短语。
因为他明白，即使要理解我们物理世界中发生的事情，你也必须研究更高维度的空间。
这就像我的大脑去那里一样，因为你谈论的不仅仅是事物的位置，还有它们的路径，它们的运动方式。当我们谈论从 2 到 3 的路径时。他明白，如果你想理解三个物体在空间中运动，那么每个物体都有一个位置。所以，它有一个 x 坐标，一个 y 坐标和一个 z 坐标。对。我可以给你三个数字来指定空间中的一个点。但它在每个时刻都有速度。所以，事实证明，要真正理解正在发生的事情，你不能把它看作一个点，或者你可以，但最好不要把它看作一个在三维空间中移动的点。最好把它看作一个六维空间中的点，其坐标是它在哪里以及它现在的速度。那是一个更高维度的空间，叫做相空间。
如果你以前没有想过这个问题，我承认这有点令人费解。但是，他需要的是一种足够灵活的几何学，不仅可以谈论二维空间或三维空间，还可以谈论任何维度的空间。所以，他介绍 analysis situs 的那篇论文的第一句话是：“现在没有人怀疑 n 维空间的几何学是一个实际存在的东西。”我认为这可能一直存在争议。他说：“看，让我们面对现实吧。即使它不是物理的，它也是存在的。它并不意味着我们不应该停止有趣。”
他没有跳到物理解释。它可能真实存在，即使它不能被人类认知感知。
我认为是这样。我认为，别误会，庞加莱从未远离物理学。他总是受到物理学的驱动。但是物理学驱使他需要考虑更高维度的空间。所以，他需要一种足够丰富的形式主义来使他能够做到这一点。一旦你这样做了，这种形式主义也将包括那些非物理的东西。然后你有两个选择。你可以说：“哦，那些东西是垃圾。”或者，而且这更像是数学家的思维方式，如果你有一个形式主义框架，它似乎非常好，而且似乎非常优雅，并且效果很好，而且它包含了所有物理的东西。也许我们应该考虑所有这些。也许我们应该考虑它。也许那里有一些可以挖掘的黄金。
而且，你知道，猜猜怎么着？不久之后，就有了相对论和时空。然后突然就像，“哦，是的，也许我们已经有了这个几何工具，用来……如何思考四维空间，这确实是个好主意。原来它们毕竟是真的。”
你知道，这是数学中一个经常被讲述的故事。不仅仅是在这种情况下，而是在很多情况下。
我很想深入探讨一下。因为我有一些……直觉需要解决。
好的。我的大脑。
我不是数学物理学家，所以我们可以一起解决它们。
好的。我们将一起走在好奇的道路上。
但是庞加莱的猜想，它是什么？
庞加莱猜想是关于弯曲的三维空间。所以，我快到了，我保证。
这个想法是，我们感知自己生活在……我们不说三维空间，我们只说三维空间。你知道，你可以上下，你可以左右，你可以前后。你可以移动三个维度。在庞加莱的理论中，有许多可能的三维空间。就像，为了稍微捕捉一下我们的直觉，我们知道有许多不同的二维曲面。对。有一个气球，它看起来一种方式。一个甜甜圈看起来另一种方式。一个莫比乌斯带看起来第三种方式。这些都是二维曲面，我们可以真正地……从全局上把握它们，因为我们生活在三维空间中。所以，我们可以看到一个二维曲面，它“坐”在我们的三维空间中。
那么，要看到一个三维空间，我们需要……我们得有四维的眼睛，我们没有。所以，我们必须使用我们的数学眼睛。我们必须设想……
庞加莱猜想说，有一种非常简单的方法可以确定一个三维空间是否是标准的，我们习惯的那一个。基本上，它就是……它的基本群中没有任何有趣的东西。我不能真正说，而不说基本群是什么。我可以告诉你标准是什么。
这将是……哦，看，我甚至可以使用视觉辅助。对于在 YouTube 上观看此视频的人来说，你们只会看到这个。对于播客上的听众，你们必须想象一下。
Lex 很好心地给了我一个具有有趣拓扑的表面。这是一个马克杯。就在我面前。
马克杯？是的。
我可能会说它是一个属一曲面。但我们也可以说它是一个马克杯。一样。
如果我在这个马克杯上画一个小圆圈。哦，我应该怎么画？让它可见。像这样。好的，是的。
如果我在这个马克杯上画一个小圆圈。想象它是一根绳子。我可以在马克杯的表面上把那根绳子拉紧。对。那绝对是我可以做的。我可以把它缩小，缩小，直到它变成一个点。
另一方面，如果我画一个绕着把手的圈。我可以把它向上拉，向下推。我可以把它上下滑动。但我不能把它拉紧。我不能把它拉紧，对吧？除非打破马克杯的表面。现在，不打破。不进入。
所以，被称为单连通的条件是，任何绳圈都可以被拉紧。这是马克杯没有的特征。这是一个非单连通的马克杯。而一个单连通的马克杯将是一个杯子。你喝咖啡的时候会烫伤手。
所以，你的意思是宇宙不是一个马克杯？
我不能说宇宙。但我能说的是，普通的旧空间不是一个马克杯。普通的旧空间，如果你真的……实际上，如果你有一个绳圈，你总是可以把它拉紧。你总是可以把它拉紧。
但是，如果你的绳子有宇宙那么大呢？如果你的绳子有数十亿光年长呢？你如何知道？这仍然是一个开放的问题，关于宇宙的形状。是的。我认为有很多……有它是圆环的想法。我是说，有一些令人晕眩的想法。它们不是……奇怪的、离谱的、有争议的。它们是……在宇宙学辩论的中心。我是说，我认为，有人认为存在某种十二面体对称性。我是说，我记得读过一些关于某人说他在宇宙噪音中看到了它的签名，或者别的什么。
为了让地平论者高兴，我相信目前的普遍看法是它是平的。它是平的，或者差不多是平的。宇宙的形状是平的，或者差不多是平的。我不知道那是什么意思。我认为……我认为这有一个非常……我是说，你怎么能思考一个没有外部的东西的形状呢？
但那正是拓扑学所做的。拓扑学是一种内在理论。这就是它如此伟大的地方。关于马克杯的问题，你可以在不离开马克杯的情况下回答。因为这是一个关于画在马克杯表面的绳圈的问题，以及如果它永远不离开那个表面会发生什么。所以，它总是在那里。
看，但那是拓扑学和……比如说，如果你试图想象一个你无法在马克杯内部想象的马克杯之间的区别。
那是真的。那种可视化更难。但从某种意义上说，不，你是对的。但是，如果数学工具在那里，我……我不想争论。但我认为数学工具就在那里，它们能够让你思考你无法以这种方式可视化的东西。
让我给……总是让事情变得更容易。降低维度。让我们想象我们生活在一个圆圈上。你可以判断你生活在一个圆圈上还是一个线段上。因为如果你生活在一个圆圈上，如果你朝一个方向走很远，你会回到起点。如果你生活在一个线段上，你朝一个方向走足够长的时间，你会走到世界的尽头。或者如果你生活在一个线上，一个完整的线，无限的线。那么你朝一个方向走很长时间。嗯，没有一个终止算法来确定你生活在一个线还是一个圆圈上。但至少你……至少你不会发现你生活在一个圆圈上。
所以，所有这些都是内在的。所有这些都是你可以了解你的世界而无需离开你的世界的事情。
另一方面，准备好了吗？我们要从内在转向外在。我不知道我们今天要谈论这个。
但为什么不呢？如果你无法判断你生活在一个圆圈上还是……想象一个在三维空间中漂浮的结。生活在这个结上的人，对他们来说，它是一个圆圈。是的。他们走得很远，他们又回到了起点。现在，我们用我们的三维眼睛可以这样说：“哦，这个只是一个普通的圆圈，那个是打结的。”但那与它们如何放置在三维空间中有关系。它与那些人的世界的内在特征无关。
我们可以问你，一个猿猴对另一个猿猴，你感觉如何？你不知道你生活在一个圆圈上还是一个结上？在一个结里？我甚至不知道该怎么说。
老实说，我不知道。我害怕你不会喜欢这个答案。它一点也不困扰我。我一分钟都没睡不着。
所以，它困扰你吗？如果我们看着一个莫比乌斯带，你没有明显的方法知道你是在圆柱体的表面上生活，还是在莫比乌斯带的表面上生活？
不，我认为你可以分辨。如果你这样做的话，你告诉你的朋友：“嘿，留在这里，我只是去散散步。”然后你朝一个方向走很长时间，然后你回来，你又看到了你的朋友。如果你的朋友反过来了，你就知道你生活在一个莫比乌斯带上。
不，你不会看到你的朋友。
好吧，公平。公平地说。
在那一点上。
而且你必须相信这个故事是关于……我甚至不知道。我会真的知道吗？
哦，不，你是对的。让我试着更好地思考一下。
让我们看看我能不能做到。这可能不适合谈论生活在莫比乌斯带上的认知生物。因为那里有很多理所当然的事情。我们一直在想象实际的……三维生物。就像，生活在莫比乌斯带上的感觉是很难内化的。
我认为，在一个叫做实射影平面上，它比莫比乌斯带更……更混乱的版本，但具有非常相似的特征。这种只有一面，并且有一个绳圈无法被拉紧的特征。但是，如果你沿着相同的路径绕两次，你就可以把它拉紧。那非常奇怪。
是的。但这将是一种无需离开你的世界就能知道有些事情非常奇怪的方式。
你知道什么非常奇怪吗？也许这有点离题了。我记得想到这个。这可能是对的，也可能是错的。但是，如果我们现在谈论一个球体，而你生活在一个球体内部。你将看到你自己的后脑勺。我之所以这么说，是因为……这对我来说非常反直觉。也许是错的。因为我当时在想地球。你在一个球体上。但是，如果你生活在球体内部，你将看到……如果你直视，你总是会看到自己。所以，你看到的每一个地方都是你的后脑勺。
我认为这在某种程度上取决于这个场景中光的物理学。我发现很难弯曲我的……
那是真的。C 做了很多工作。说你看到某物做了很多工作。
人们已经考虑过这个问题。我是说，这个比喻，如果我们是某个小世界里的小生物，我们如何才能认识到那个世界之外的东西？这个比喻一次又一次地出现。而且，事实上，我甚至没有意识到它有多频繁。它在书中经常出现。
我知道一本叫做《平面国》（Flatland）的书。我不知道你小时候有没有读过。成年人。你知道，19 世纪的一部……那种漫画小说。关于一个完全二维的世界。它是由一个正方形叙述的，他是主角。
以及他身上发生的奇怪事情。你知道，有一天他在家里，突然那里有一个小圆圈。然后圆圈开始变得越来越大，越来越大。他想：“这他妈是怎么回事？”这就像一部恐怖电影，对于二维人来说。
当然，发生的事情是一个球体进入了他的世界。随着球体在他的世界里移动得越来越远，它的横截面，他能看到的部分，对他来说，看起来就像有一个奇怪的生物，越来越大，越来越大。直到它正好在中间。然后他们有一种……哲学争论。球体说：“我是一个球体。我来自第三维度。”正方形说：“你在说什么？根本没有这种东西。”他们有一种……枯燥的争论。正方形无法理解球体的数学推理。直到球体把他抓起来，把他从平面中拉出来。然后就像……
现在你看，就像现在你看，你整个之前不理解的世界。那么，你认为这种过程对我们人类来说是可能的吗？我们生活在三维世界，也许加上时间维度就是四维。然后数学允许我们，呃，舒适地进入高维空间，并从那些视角探索世界。就像，宇宙是否可能拥有比我们人类体验到的更多的维度？所以，如果你看看，呃，你知道的，尤其是在物理学的“万有理论”中，那些试图统一广义相对论和量子场论的物理学理论，它们似乎都走向高维空间来通过数学工具解决问题。这是可能的吗？所以，就像，有两个选择：一是这只是分析宇宙的一种好方法，但现实就是我们所感知的那样，它是三维的；或者，我们只是在看，我们是那些二维平面生物，它们只是看到了现实的一小部分，而真实的现实是比我们感知到的三维更多的维度。哦，我当然认为这是可能的。嗯，现在，如何弄清楚它是否真实，这是另一个问题。嗯，我想，就像对待任何你无法直接感知的事物一样，你会试图理解那些额外的维度在那里存在会给我们可以感知的事物带来什么影响。你还能做什么呢？而且，在某种意义上，如果答案是它们不会有任何影响，那么也许它就变成了一个有点枯燥的问题，因为你到底在问什么问题？你可以设想任意数量的实体。生活在三维世界中，是否有可能直观地知道如何干扰其他维度？我的意思是，这似乎是一件非常具有挑战性的事情。我们，写《平面国》的原因是因为它来自一位三维作家，是的。但是，书中发生了什么？我甚至没有告诉你整个情节。书中发生的是，那个正方形因为他从那个球体那里学到的东西而感到非常兴奋，充满了智力上的喜悦。顺便说一下，也许为了给故事一些背景，你问，就像，我们人类是否有可能拥有这种超然的体验，被超然地从我们的世界中拉出来，这样我们就可以真正地从上方看到它？嗯，写这本书的埃德温·阿伯特当然是这么认为的，因为爱德华·阿伯特是一位牧师。所以，这本书的整个基督教潜文本，我小时候读的时候完全没有领会到，它的意思完全不同，对吧？如果一个神学家说，哦，如果一个更高的存在能够把你从你生活的这个尘世中拉出来，这样你就可以真正地看到真相，并且真正地从上方看到它，就像。所以，这是他所关注的事情之一，也是他作为一名作家技艺的证明，无论你是否带着这样的框架来看待他的故事，他的故事都行得通。但是，这本书中发生的事情，现在从基督教的视角来看，这变得有点颠覆性了，那个正方形因为他从球体那里学到的东西而感到非常兴奋，而球体向他解释了立方体是什么。哦，它就像你一样，但却是三维的。那个正方形感到非常兴奋，然后那个正方形说，好吧，我明白了。所以，就像，现在你向我解释了，仅仅通过推理，我就可以弄清楚立方体是什么样的，就像一个三维版本的我一样。让我们弄清楚一个四维版本的我将是什么样的。然后那个球体说，你在胡说八道什么？根本没有第四维度，这太荒谬了。就像，有三个维度，这就是它们有多少。我能看到，我的意思是，所以，这是那种喜剧性的时刻，球体完全无法，呃，概念化可能真的存在另一个维度。所以，是的，这把宗教寓言带到了一个非常奇怪的地方，我实际上并不在神学上理解，但这是一种谈论宗教和神话的好方法，就像我们人类文明试图与我们认知能力之外的想法作斗争一样。但实际上，它并没有超出我们的能力。我们可能无法可视化一个四维立方体，有些人称之为超立方体，或者一个五维立方体，或者一个六维立方体，但它并没有超出我们的认知能力去弄清楚一个六维立方体有多少个角。这才是我们如此酷的地方。无论我们能否可视化它，我们仍然可以谈论它，我们仍然可以推理它，我们仍然可以弄清楚关于它的事情。这太棒了。是的，如果我们回到首先回到那个马克杯，然后回到你在书中给出的吸管的例子，一个吸管有多少个孔？你，听众，可能可以在心里试着回答。我将在大家思考的时候喝一口，慢慢地喝。是零个，一个，还是两个，或者更多？也许你很有创意。但是，呃，很有趣的是，就像你在书中做的那样，逐一剖析每个答案，这非常精彩。人们绝对应该去看看。但是，如果你现在能试着回答它，就像，想想所有的选项，以及为什么它们可能正确或不正确。是的，这是其中一个问题，人们第一次听到时认为它微不足道，他们会说，嗯，答案很明显。然后，如果你问一群人这个问题，会发生一些非常有趣的事情，那就是每个人都说，嗯，这完全是显而易见的。然后，每个人都意识到，房间里一半的人对他们有不同的显而易见答案。然后人们会变得非常激动，人们会说，我不敢相信你认为它有两个孔，或者，我不敢相信你认为它有一个。然后，你知道，你真的，人们真的会学到一些关于彼此的东西，人们会变得激动。我的意思是，我们可以看看可能的选项吗？是零个，一个，两个，三个，十个？当然。所以，我想，你知道，大多数人，零孔的人是罕见的。他们会说，嗯，看，你可以做一个吸管，拿一块长方形的塑料，然后把它合起来。那块长方形的塑料没有孔。我没有戳洞，所以怎么会有洞？它就是一件东西。好吧，大多数人不是这样看的。那就像，呃，嗯，这种概念有什么道理吗？是的，我认为那会是某人的说法。我的意思是，我会说，你也可以对一个百吉饼说同样的话。你可以说，我可以用一根长长的面团圆柱体来做一个百吉饼，它没有洞，然后把两端压在一起。现在它是一个百吉饼了。所以，如果你真的坚持，你可以说，好吧，百吉饼也没有洞。但是，如果你说百吉饼没有洞，那你是什么人？我的意思是，我不知道。是的，所以这几乎是一种工程定义。好吧，公平。那么其他选项呢？所以，你知道，一个孔，人们会说，我喜欢这些就像一群人，就像我们站稳脚跟的地方。是的，一个孔。有关于每种信仰的书籍。他们会说，看，有一个孔，它一直穿过吸管，就在那里。那是孔的一个区域。是的。然后，有一个孔和两个孔的人会说，嗯，看，顶部有一个孔，底部有一个孔。我认为人们争论这个问题时常见的一种情况是，他们会拿出像这样的东西，我手里拿着的这个水瓶。也许我会打开它，然后说，这里有多少个孔？你说，嗯，有一个。顶部有一个孔。好吧，如果我在这里戳一个洞，让所有的水都漏出来呢？好吧，现在它变成了一个吸管。是的。所以，如果你是一个只有一个孔的人，或者我对你说，嗯，现在它有多少个孔？之前有一个孔，我戳了一个新洞，然后你认为仍然有一个孔，尽管之前有一个孔，我多加了一个。很明显不是，这是两个孔。是的。嗯，然而，如果你是一个有两个孔的人，那个只有一个孔的人会说，好吧，一个孔在哪里开始，另一个孔在哪里结束？就像，它是什么样的？而且，在书中，我有点，你知道，在数学中，当我们面对一个令人困惑的问题时，我们会做两件事。我们可以让问题变得更简单，就像我们刚才做的那样，我们谈论高维空间，我说，让我们谈谈，比如圆和线段，让我们降低一个维度来让它更容易。另一个大的举动是让问题变得更难，并试图真正面对，有哪些复杂性。所以，你知道，我在书中做的是说，让我们暂时别谈吸管了，来谈谈裤子。一条裤子有多少个孔？我认为大多数说吸管有两个孔的人会说，一条裤子有三个孔。我猜，我的意思是，我猜我们只从这里拍摄，我可以，不，我不会做的，你只能想象裤子，抱歉。是的。嗯，莱克斯，如果你想要，不，好吧，不。那将是 Patreon 独家内容。给你。所以，很多人会说，一条裤子有三个孔。但是，你知道，例如，我的女儿，当我问她的时候，顺便说一句，和孩子们谈论这个非常有趣，我强烈推荐。她说了什么？她说，嗯，是的，我觉得一条裤子只有两个孔，因为，是的，有腰部，但那只是两个裤腿孔粘在一起。哇。好吧，两个裤腿孔。是的。好吧，对。我的意思是，她对吸管是一个孔的人，所以她对吸管也是一个孔的人。而且，这确实捕捉到了一些东西。它捕捉到了这个事实，这个事实对于所谓的“同调”理论来说是核心的，这是现代拓扑学的一个核心部分，即孔，无论我们是什么意思，它们都以某种方式具有算术性。它们是可以相加的东西，就像腰部，就像腰部等于腿部加上腿部，这是一种方程，但它不是关于数字的方程，而是关于某种几何学，某种非常奇怪的拓扑学的东西。所以，你知道，当我下来的时候，你知道，就像一个拉比，我喜欢想出这些答案，并以某种方式回避原始问题，说，你们俩都对，我的孩子们。好吧，是的。所以，对于吸管，我认为一个现代数学家会说，第一个说法是，嗯，有两个孔，但它们实际上是同一个孔。嗯，那不太对。更好的说法是，有两个孔，但一个是另一个的负数。现在，这意味着什么？一种思考它的方式是，如果你通过吸管喝东西，比如奶昔，无论有多少奶昔从一端流入，同样多的奶昔就会从另一端流出。所以，它们不是相互独立的，它们之间存在某种关系。就像，如果你能通过一条裤子吸奶昔一样，进入左腿的奶昔量加上进入右腿的奶昔量等于从裤子腰部流出的量。所以，你知道，我禁食了 72 小时，昨天，过去三天。所以我昨天才刚吃了一点东西打破了禁食。所以，这就像，食物的类比或隐喻对这个播客来说效果非常好，因为我可以强烈地想象它。这是你的每周例行公事，还是只是为了准备谈论三个小时的几何学？确切地说，这是为了净化心灵的苦难。不，这是我第一次想尝试这种体验。哦，哇。只是为了，呃，暂停，做一些不寻常的事情，暂停并反思我多么感激活着，并且能够做我所能做的所有很酷的事情。所以，你喝水了吗？是的，是的，是的，是的。水和盐。所以，就像电解质和所有那些东西。但无论如何，裤子顶部的流入等于裤子底部的流出。确切地说。所以，这个想法，我的意思是，我认为，你知道，庞加莱确实有这些，我，这个想法，这种现代想法，我的意思是，建立在其他人所做的事情之上，贝蒂是一个重要的。这种现代的关于孔之间关系的概念，真正现代的观点实际上是埃米·诺特的想法。所以，她进来，然后真正地将这个主题，呃，放在了我们现在所处的现代基础上。所以，你知道，这总是一个挑战。你知道，在书中，我不会说我提供了一个课程，所以你读了这一章，然后你会说，哦，这就像我上了一个学期的代数拓扑学。它不是这样的。而且，这总是一个，你知道，写数学总是具有挑战性，因为有些事情你真的可以在纸上完成，数学就在那里。还有一些事情，在这样的书中太多了，无法全部在纸上完成。你只能说一些关于它们的事情，如果这有意义的话。所以，你知道，在书中，我试图两者都做。我试图做，我试图选择一些你真的无法压缩，并且真正说出它们是什么的主题，在这个空间里。我试图说一些关于它们有趣的事情，有意义的事情，这样读者就能领会到。然后，在其他地方，我真的试图近距离接触，真正地做数学，并让它在纸上发生到一定程度，能够给出这个学科之美的暗示。是的，我的意思是，有很多书是，我不太确定如何很好地表达这一点，我仍在努力做到这一点，但是，有很多书是关于事物的，但我希望我的书不仅仅是关于事物的，而且实际上在书中有一些东西供人们直接互动，而不仅仅是听我谈论它的一些遥远特征，关于它的一些遥远特征。所以，不是只谈论想法，而是实际表达想法。你知道，也许你可以在评论区，有一个家伙，他的 YouTube 频道是“三蓝一棕”，格兰特·桑德森。他做得非常出色。绝对是，呃，可视化，表达一个特定的想法，然后也谈论它。来回。你对格兰特有什么看法？太棒了。我的意思是，数学 YouTube 的蓬勃发展是一件非常美妙的事情，因为，你知道，数学教学有很多不同的途径可以教人们数学。有传统的途径，对吧？我身处教室里，有，你知道，根据班级人数，可能是 30 人，可能是 100 人，可能是，上帝保佑，也许是 500 人，如果这是像大的微积分讲座之类的。然后有一些，有一些人是那个数量级的，我与他们相处了很长时间，我与他们相处了整个学期，我可以让他们做作业，我们一起交谈，我们有办公时间，他们有一对一的问题，乘以。那是很高的参与度。但实际上我一次能接触到多少人？不多，对吧？而且，存在一种反比关系，你交谈的人越少，你可以要求的参与度就越高。当然，最终是像导师关系，比如博士导师和研究生，你花了很多一对一的时间在一起，你知道，三到五年，对一个人来说，最终的最高参与度。你知道，书籍可以接触到比我课堂上坐过的人多得多的人，你花，呃，无论读一本书需要多少小时。像三蓝一棕或 Numberphile 这样的人，或者，呃，像 Vi Hart 这样的人。我的意思是，YouTube，让我们面对现实吧，它的覆盖范围比书籍更大。就像，有些 YouTube 视频的观看次数比任何精装书都要多，你知道，不是由卡戴珊或奥巴马写的书会卖得那么好，对吧？所以，那就是，我的意思是，嗯，任何，而且，然后，你知道，有些是，你知道，有些是 20 分钟长，有些是 5 分钟长，但它们是，你知道，它们更短。即便如此，看看，看看，比如，欧仁妮·张，芝加哥一位出色的范畴论家。我的意思是，她参加了，我想是《每日秀》，或者，我的意思是，她参加了，你知道，她有 30 秒的时间，然后有 30 秒的时间来谈论数学，对数百万未被讲述的人。所以，这条曲线上的每一个地方都很重要。我感觉现在很棒的一件事是，人们正在所有频道上广播，因为我们每个人都有自己的技能，对吧？不知何故，我学会了写书。我曾有过一段奇怪的作家生涯，我花了大量时间，你知道，思考如何将英语单词组合成句子，将句子组合成段落，而且是长篇的，这是一种奇怪的专业技能。而那是一件事。但是，能够制作，你知道，有吸引力的、漂亮的视频是完全不同的技能。而且，你知道，可能，你知道，在某个地方，可能有一些，呃，重金属乐队，他们通过重金属来教数学，并利用他们的技能来做到这一点。我希望如此。至少通过音乐等等。是的。但是，这个过程确实有一些东西。我的意思是，格兰特做得尤其好，那就是，为了能够可视化某事，现在他编写程序，所以它是程序化的可视化。所以，他基本上通过他的 Python 的 madam 库来绘制一切。你必须，呃，你必须真正理解这个主题才能以这种方式可视化它，而不仅仅是理解它，而是真正以一种非常新颖的方式思考。这很有趣，因为我，我和他谈过几次，我也和他私下谈过很多次。他真的不认为他在做什么新事情，也就是说，他认为自己与研究人员截然不同，但对我来说，他正在创造一些全新的东西。那种理解和可视化的行为，就像证明过程一样强大，或者具有同样的洞察力。它只是没有那个清晰的目标，但它正在提取一个见解，并创造多个视角来达到那个见解。而且，说实话，这是我们还没有完全学会如何在学术数学中以同样的方式重视的东西。而且，这有点老了，我认为我们还没有完全学会如何重视计算基础设施的发展。你知道，我们现在都有电脑作为我们的伙伴，人们建造电脑来协助和参与我们的数学。他们建造那些系统，那也是一种数学，但不是以证明定理和写论文的传统形式。但我认为它正在到来。看，我的意思是，我认为，例如，布朗大学的计算实验数学研究所，这是一个，你知道，一个 NSF 资助的数学研究所，非常是传统数学学术界的一部分。他们有一个关于可视化数学的整个主题学期，研究他们为像一个新兴的研究课题所做的事情。这很酷。所以，我认为数学界确实有支持，认识到这种东西很重要，并且算作数学的一部分，就像我们实际上在这里要做的一部分。是的。我希望看到更多来自，比如，麻省理工学院的教师，来自所有世界顶尖大学的教师。让我问你一个关于菲尔兹奖的奇怪问题，它是数学界的诺贝尔奖。你认为，既然我们在谈论计算机，会不会有一天，一台计算机，一个人工智能系统会赢得菲尔兹奖？不，当然，那是人类会说的话。为什么不呢？那是，那是我的验证码，那是证明我是人类的证据。他想让我怎么回答？关于这一点，有什么有趣的事情要说吗？是的，我的意思是，我对人工智能在纯数学方面能做什么非常感兴趣。我的意思是，这当然是一种狭隘的兴趣，对吧？你就像，为什么我对，比如，它如何帮助养活世界或帮助解决，有这些问题，我只是想，我能做更多数学吗？我能做什么？我们都有自己的兴趣，对吧？但是，我认为这是一个非常有趣的概念问题。而且，这里我也认为，重要的是要历史化，因为确实有很多事情，我们过去称之为数学研究，现在我们称之为计算。就像，我们现在已经卸载给机器的任务。你知道，在 1890 年，有人可能会说，这是我的博士论文，我计算了这个多项式环在某个有限群作用下的所有不变量。这些词是什么意思并不重要，只是，就像，在 1890 年，一个人需要一年时间来完成的事情，并且是一件有价值的事情，你可能想知道。而且，它仍然是一件有价值的事情，你可能想知道。但现在，你在 Macaulay、Sage 或 Magma 中输入几行代码，你就得到了。所以，我们不再认为那是数学了，即使它是同一件事。Macaulay、Sage 和 Magma 是什么？哦，那些是计算机代数程序。所以，那些是，就像，许多数学家使用的定制系统。这类似于 Maple 和，是的。哦，是的，类似于 Maple 和 Mathematica。好吧。但更专业一些。但是的，它们是处理符号并允许你做的程序。你能做证明吗？你能做那种，那种小小的证明飞跃吗？它们不是为此而设计的，那是另一回事了。但这些工具现在是数学过程的一部分，对吧？它们现在是，对大多数数学家来说，我认为，数学过程的一部分。所以，你知道，我在书中讲了一个我着迷的故事。你知道，到目前为止，让 AI 证明有趣定理的尝试还没有做得很好。这并不意味着它们不能。实际上，我刚看到一篇论文，它非常巧妙地使用了一个神经元来定义猜想的反例。有人说，嗯，也许这总是这样。然后你可以说，嗯，让我训练一个 AI 来尝试找到不是这样的东西，它实际上成功了。在这种情况下，如果你看看它找到的东西，你会说，好吧，我的意思是，这些不是著名的猜想。是的。好吧，就像，有人写下了这个。也许这是，所以，看看 AI 拿出来的东西，你会说，你知道，我敢打赌，如果五名研究生考虑过这个问题，他们就不会。我的意思是，当你看到它时，你会说，好吧，这是你可能会尝试的事情之一，如果你投入一些工作的话。仍然，这很棒，对吧？但是，我在书中讲的故事，我着迷的故事是，呃，有一个，好吧，我们要回到打结。这很酷。有一个叫做康威结的结，以约翰·康威的名字命名。也许我们会谈论一个非常有趣的人物。他也有一个小的插曲。有一个人我本该和他谈谈，但不幸的是他去世了。他是一个我发现的不可思议的数学家，不可思议的人。哦，我很抱歉你没有机会，因为当我，你知道，当我还是一个博士后的时候，我有机会和他谈了很多。是的，你错过了。没有办法粉饰太平。我很抱歉你没有那个机会。是的，就是这样。所以，打结。是的。所以，有一个问题，再次，技术细节并不重要，这是一个关于这个结是否是“切片”的问题。它涉及到，呃，关于什么样的三维曲面在四维空间中可以被这个结所界定，但它意味着什么并不重要。这是一个问题。而且，计算这个结是否是切片实际上非常困难。而且，特别是康威结是否是切片的问题，特别令人费解。直到几年前才被丽莎·皮卡里洛解决，她实际上，现在我想起来了，她当时在奥斯汀。我当时在 UT 奥斯汀读研究生。我甚至不知道这个故事有奥斯汀的联系，直到我开始讲它。她实际上，我想她现在在麻省理工学院。所以，她基本上是在跟着你走，如果我没记错的话。反过来。这个故事有很多非常有趣的丰富性。其中一点是她的论文相当短。它非常短，很简单，九页，其中两页是图片。对于一篇解决重大猜想的论文来说非常短。这让我们思考，我们如何定义数学中的难度？你是说，哦，实际上问题并不难，因为你可以如此简单地解决它？还是说，嗯，不，显然它很难，因为，你知道，世界上顶尖的拓扑学家，很多人，呃，研究了它 20 年，没有人能解决它，所以它很困难？或者，我们需要一种新的事物类别，关于这些事物，很难弄清楚它们并不难？我的意思是，这是计算机科学的表述。但是，呃，到达简单答案的旅程可能很困难，但一旦你有了答案，它就会显得简单。而且，我的意思是，可能有一大类，我希望有一大类这样的解决方案。因为，你知道，一旦我们站在科学过程的尽头，而我们正处于开始阶段，或者至少感觉如此。我希望一切都有简单的答案。我们会看到，会有简单的定律支配宇宙，对意识的简单解释，对爱的解释，死亡是生命的根本吗？生命的意义是什么？人类是特殊的吗？还是我们只是另一种反映，呃，以及宇宙中所有美丽的东西，就生命形式而言，所有这些都是生命，只是从不同的角度来看，所有生命都可以显得更有价值或不那么有价值，但实际上，它们都是同一件事的一部分。所有这些都会有一个很好的，比如，两个方程，也许一个方程。你为什么认为你想让这些问题有简单的答案？我认为就像对称性和对称性的破坏一样美丽。不知何故，简单性有一种美感。我认为它，它是静态的，它是审美的。或者，但它是审美的，就像幸福是一种审美一样。比如，为什么如此令人欣喜的是，一个简单的解释支配着大量的案例，即使它不明显，它也很有吸引力。我们在这方面遇到了巨大的麻烦，因为通常它不必与现实联系起来，甚至那个解释也可能极其有害。世界上大部分历史，被仇恨和暴力所统治，在核心都有一个非常简单的解释，被用来造成仇恨和暴力。所以，我们在这方面遇到了麻烦。但是，为什么它如此吸引人？而且，在数学中，以这种美好的形式，你看看爱因斯坦的论文，为什么那些如此美丽？而安德鲁·怀尔斯证明费马大定理的证明却不那么美丽？比如，这个故事的美丽之处在于人类的奋斗，人类的毅力，不知道证明是否正确的戏剧性，起起落落，以及所有这些。这才是有趣的部分。但是，证明很大，没有人理解，从我的外部视角来看，没有人理解它到底是什么。它不像它本可以那样美丽。我希望它是费马最初说的，你知道，它，它不够小，无法装进这本书的页边空白处。但也许如果他有一个整页，或者也许几张便利贴，他就有足够的来完成证明。你如何看待，如果我们能再进行一次无数的岔路口，你如何看待费马大定理？陈述是，有几个定理，有几个问题被世界历史认为是极其困难的，而那个尤其，呃，很容易表述，而且很难找到证明。而且，费马本人就嘲笑它很简单。关于这一点，有一些有趣的事情要说。X 的 N 次方加上 Y 的 N 次方等于 Z 的 N 次方，对于 N 大于或等于 3，是否有解？然后，你如何证明它？你如何尝试证明它？从安德鲁·怀尔斯最终出现的证明中学到了什么？是的，所以，为了，让我先说一下背景，因为我不知道听众是否都知道这个故事。所以，你知道，费马是一位早期的数论家，并不是一个真正的早期数学家，那些特殊的邻近领域当时并不存在。他在书中实际上出现过，是在他关于测试一个数是否为素数的另一个定理的背景下。所以，我写道，他是那些喜欢互相写信的人之一，他和他通信的人会试图互相超越，用问题来困扰对方，诸如此类。但是，这个特定的东西，它被称为费马大定理，因为它是在他的一本书的副本中写下的笔记。他在《算术》的副本中写道，这里有一个方程，它没有解，我可以证明它，但证明太长了，无法写进这本书的页边空白处。他只是在给自己写个便条。现在，我得说，从历史上看，我们知道费马很长一段时间都没有这个定理的证明。人们，你知道，人们说，这是一个神秘的、丢失的证明，一个非常浪漫的故事，对吧？但是，费马后来确实证明了这个定理的特殊情况，并写了下来与人谈论这个问题。从他写下他可以解决某些类型的方程的例子来看，很清楚他不知道如何处理整个事情。他可能在那一刻有一个深刻的、简单的直觉，关于如何解决整个事情，但他从未能够提出一个完整的证明。而那种直觉可能已经随着时间而消失了。也许，但我认为我们，所以，但你是对的，那是不可知的。但我认为我们可以知道的是，后来他当然不认为他有一个他向人们隐瞒的证明。他，是的，他认为他不知道如何证明它。而且，我也认为他不知道如何证明它。现在，我理解说，“如果这个非常简单的方程有一个非常简单、巧妙、精彩的证明，可以在一两页内完成，那不是很酷吗？”的吸引力。那会很棒。但是，你知道吗，有很多这样的方程，它们是通过非常巧妙的方法解决的，包括费马写下的特殊情况，下降法，这是一种非常美妙且重要的。但最终，那些是很好的东西，你知道，你在本科课程中教授的东西。而且，就是这样。但它们不是大的。另一方面，关于费马问题的工作，这就是我们喜欢称呼它的原因，因为它不是他的定理，因为我们不认为他证明了它。所以，我的意思是，关于费马问题的工作发展了我们今天所生活的数论的令人难以置信的丰富性。而且，顺便说一句，不仅仅是怀尔斯，安德鲁·怀尔斯是第一个，然后与理查德·泰勒一起，最终证明了这个定理。但是，你知道，有一个时刻，人们试图证明这个定理，他们失败了。而且，19 世纪有一个著名的错误证明，由勒梅提出。库默在理解勒梅在这个不正确证明中的错误时，基本上理解了一些令人难以置信的事情，那就是，你知道，我们知道数字的一个事实是，你可以分解它们，并且你可以唯一地分解它们。只有一个方法可以将一个数字分解成素数。就像，如果我们想到一个数字，比如 12，12 是 2 乘以 3 乘以 2。我得想一想，对吧？或者它是 2 乘以 2 乘以 3。当然，你可以重新排序它们，对吧？但没有其他方法可以做到。在没有宇宙中，12 是某个数乘以 5，或者其中有四个 3？不，12 是两个 2 和一个 3。就是这样。而且，这是算术的一个基本特征，我们几乎认为它就像上帝的律法一样，你知道我的意思吗？它必须是这样的。这是一个非常强大的想法。它，它太酷了，每个数字都由其他数字唯一组成，而且，由其他数字组成，意思是，有这些，比如，基本的原子形成分子，然后建立在它们之上。我喜欢它。我的意思是，当我教授，你知道，本科数论时，就像，这是你证明的第一个真正深刻的定理。令人惊叹的是，你知道，一个数字可以分解成素数的事实要容易得多。基本上，欧几里得也知道，尽管他没有完全那样说。能够做到这一点的事实，这是深刻的，是只有一个方法可以做到。无论你如何，呃，将数字分解，你最终都会得到相同的素数因子集。而且，事实上，人们最终在 19 世纪末理解的是，如果你在比我们习惯的稍微更一般的数系中工作，而事实证明这些数系与费马大定理有关，那么，突然之间，这一点就不再成立了。事情变得，我的意思是，事情变得更复杂了。现在，因为你之前称赞了简单性，你说，它太美了，唯一因子分解，它太棒了。所以，当我告诉你，在更一般的数系中，没有唯一因子分解时，你可能会说，那不好。我说，不，那很好，因为有，比如，一个全新的现象世界可以研究，而你只是看不到它，通过我们习惯的数字的视角。所以，我，我支持复杂性。我非常支持复杂性。而且，每一次复杂性都像是一个新的研究机会。这是否是安德鲁·怀尔斯证明中一个主要的，呃，可以说是，一个主要的见解？关于他们用来证明的这个过程，有什么有趣的见解，作为数学家，它是否引起了你的共鸣？是否出现了一个有趣的数学概念？证明本身是否有有趣的方面？证明本身是否有有趣的方面，这是一个有趣的问题。当然，它在核心上具有巨大的丰富性。核心是一个关于所谓的“形变理论”的论证，它部分是由我的博士导师巴里·马扎尔创造的。你能谈谈形变理论是什么吗？我可以谈谈它是什么样的，好吗？怎么样？它押韵吗？嗯，巴里之所以称之为形变理论，我想是他给它起了名字。我希望我说得没错。在你的书中，你把不同的东西用同一个名字称呼，这是书中打开的漂亮地图中的一个例子。这是庞加莱的另一个短语，这个不可思议的口号和格言的创造者。他说，数学是把不同的东西用同一个名字称呼的艺术。正是我们所做的，对吧？当我们说，这个三角形和这个三角形，来吧，它们是同一个三角形，它们只是在不同的地方。所以，同样，人们开始理解，你研究的对象的类型，当你研究，当你研究费马大定理时，让我们不要太在意这些对象是什么。我可以告诉你，有伽罗瓦表示和模形式。但是说出这些词可能不会有太多意义。但是，无论它们是什么，它们都是可以被形变的，可以被稍微移动的东西。而且，我认为安德鲁和安德鲁和理查德能够做到的见解是说，比如，形变意味着稍微移动某物，就像一个无穷小量。如果你非常擅长理解一个东西可以向哪些方向移动，一个微小、微小的、无穷小的量，在某些方向上，也许你可以将这些信息拼凑起来，以理解它可以在其中移动的整个全局空间。而且，基本上，他们的论证归结为表明，这两个大的全局空间实际上是相同的。他们证明中的“传说中的 R=T”部分，这是其核心。而且，它涉及到这个非常仔细的原则。但是，话虽如此，我刚才说的可能不是你想的。因为，当你想到，哦，我有一个点在空间中，我稍微移动它一点点，你正在使用你的距离概念。这是从微积分中我们知道的，比如，实线上的两个点有多近。所以，我得到了另一件在书中经常出现的事情，那就是距离的概念不是上帝赐予我们的。我们可以用很多不同的方式来理解距离。而且，即使在英语中，我们也一直在这样做。我们谈论某人是近亲，这并不意味着他们住在你隔壁。它意味着别的东西。我们心中有不同的距离概念。而且，有很多距离的概念，你可以使用。你知道，在自然语言处理社区和人工智能领域，可能有一些关于两个词之间的语义距离或词汇距离的概念。它们在同一上下文中出现的频率有多高？这对于，你知道，进行自动完成和机器翻译等事情非常重要。而且，这与它们在字典中是否相邻无关。这是一种不同的距离。准备好了吗？在这种数论中，有一个疯狂的距离叫做周期距离。我没有在书中写太多，因为即使我爱它，它也是我研究生活的重要组成部分，它有点深入细节。但是，你的听众现在会听到它。请，你知道，一个正常人说两个数字很接近时，他们会说，你知道，它们的差值是一个小的数字。比如，七和八很接近，因为它们的差值是一，而一很小。如果我们是所谓的“二进数论家”，我们会说，哦，两个数字很接近，如果它们的差值是二的大幂的倍数。所以，比如，一和四十九很接近，因为它们的差值是四十八，而四十八是十六的倍数，这是一个相当大的二的幂。而，而一和二却很远，因为它们之间的差值是一，这甚至不是二的幂的倍数。它很奇怪。你想知道什么离一很远？比如，一和一六十四。因为它们的差值是负幂的二，二的负六次方。所以，这些点非常非常快。如果两个数字之间的差值是二的大幂，那将太酷了。是的。所以，二的大幂是这个乘法，一个非常小的数字。而二的负幂是一个非常大的数字。这就是二进数。好吧。我甚至无法可视化。这需要练习。这需要练习。如果你听说过康托尔集，它看起来有点像那样。所以，这太疯狂了，这有什么用吗？我的意思是，这听起来就像一个有人会编造来折磨你的定义。但是，令人惊叹的是，有一个距离的通用理论，你说，任何你满足某些公理的定义都应该被称为距离。而且，这，我开始打断，我的大脑，你打破了我的大脑，现在，太棒了。10 秒前，因为我也开始将二进数的情况映射到二进制数。当然，你知道，因为我们浪漫化了那些酱汁。这正是思考它的正确方式。我试图弄乱数字，你知道，我试图看看，好吧，哪些数字很接近。然后我开始可视化不同的二进制数，以及它们，哪些彼此接近。而且，我不确定。好吧，我认为没有，它非常相似。这正是思考它的正确方式。它几乎就像反过来的二进制数。对，我应该那样说，莱克斯。这是一个非常好的比喻。好吧，但是，为什么这很有趣，除了它是一个美丽的框架，一种不同的思考距离的框架，而你谈论的不仅仅是二进数，而是它的推广。是的，MEP。所以，因为那是 Wiles 证明中出现的形变类型，在 Wiles 的证明中，我们稍微移动某物意味着在这个二进数中稍微移动一点。好吧，不。我的意思是，它太，我的意思是，我只是会因为兴奋而谈论它，而且我刚刚在秋季学期讲过。但是，它，重新表述为什么，呃，所以你选择了一个不同的，呃，距离度量，在它上面你可以谈论非常小的变化，然后用它来证明关于整个事情的东西。是的。虽然，你知道，老实说，我会说，我的意思是，我们用它来证明东西，但我会说，我们用它来理解东西，然后，因为我们。
更好地理解事物，然后我们才能证明事物，但你知道，目标始终是理解，目标并非如此多地证明事物，目标并非要知道什么真什么假。我的意思是，这是我在书中接近结尾时写到的内容，也是比尔·瑟斯顿（Bill Thurston）写的一篇精彩绝伦的文章，他是我们这个时代最伟大的几何学家之一，不幸的是，他几年前去世了。这篇文章叫做《数学中的证明与进步》（On Proof and Progress in Mathematics）。他非常精彩地写道，你知道，我们不是一个有生产配额的定理工厂。我的意思是，数学的意义在于帮助人类理解事物，而我们检验这一点的方式是，我们沿途证明新的定理，这是基准，但那不是目标。是的，但只是作为一种，绝对是，但作为一种工具，通过说我如何改变距离函数来处理一个问题很有趣，比如距离的本质，因为这可能会开始带来更深层次理解的见解。比如，如果我试图通过距离来描述人类社会，两个人很亲近，如果他们彼此相爱，对吧？然后，然后开始进行对地球上所有七十亿人的全面分析。你知道，从这个角度来看，而不是从地理距离的角度来看。然后，也许会产生很多关于暴力根源、创业成功或发明或经济成功的根源，或者共产主义、资本主义不同体系的根源。我的意思是，这大概是经济学试图做的事情，但实际上是说，好吧，让我们跳出思维定势，思考全新的距离函数，这些函数可以解锁关于这个空间的一些深刻的东西。是的，因为想想看，好吧，这里，我的意思是，现在我们要谈论人工智能，你知道的，你比我更了解它，所以只是，你知道，如果我说错了什么，就放声大笑吧。我们俩都对几个世纪后我们将知道的东西知之甚少。这确实是一种非常好的谦虚的思考方式。我喜欢它。好吧，那我们就开始吧。嗯，好吧，我想你会同意这一点，在某种意义上，人工智能的好处在于我们无法提前测试任何情况。人工智能的全部意义在于，我猜它的一个要点是，对我们尚未见过的案例做出好的预测。在某种意义上，这总是会涉及某种距离的概念，因为它总是会以某种方式涉及到一个我们尚未见过的案例，并说它与我们已经见过的哪些案例接近，它像什么，它是否是某种插值。现在，当我们这样做时，为了谈论事物像其他事物，无论是隐含的还是明确的，我们都在调用某种距离的概念。而且，我们最好把它做好。是的，没错。如果你尝试进行自然语言处理，而你对单词之间距离的看法是它们在字典中的顺序有多近，按字母顺序排列，你就会得到相当糟糕的翻译，对吧？不，距离的概念必须来自别处。是的，这基本上就是神经网络所做的，这就是词嵌入所做的，是的，在词嵌入的情况下，字面上就是它们所做的就是学习一个距离，但那些是超级复杂的距离函数，而且几乎可以肯定，也许有一个简单的转换，很抱歉，这里有一个很好的距离表述，再次用简单的，所以你没有让我从理解的角度问你这个问题，有理查德·费曼，也许归功于他，但也许还有很多人，这个想法是，如果你不能简单地解释某件事，你就无法理解它，在多少情况下，这种情况有多频繁？你发现其中有什么深刻的真理吗？哦，好吧，所以你正要问的是，这是真的吗？我会毫不含糊地说不，但然后你接着问，其中有没有什么深刻的真理？我想，好吧，当然，其中有一些真理，但它不是真的。 [笑声] 这是你的数学家式的回答。其中的真理是，学习解释某事有助于你理解它，但真实的事物并不简单。很少有事物是简单的，大多数都不是。而且，说实话，我不知道，我们真的不知道费曼是否真的说过那样的话，或者类似的话，这有点争议，但我认为费曼不可能字面上相信这一点，无论他是否说过。你知道，他就是那种人，我不认识他，但我读他的作品，他喜欢说听起来不错的话，你知道我的意思吗？所以，这完全让我觉得他可能会说这样的话，因为他喜欢说出来时的感觉，但也知道他并不是字面意思。我肯定有很多朋友，我也和很多物理学家谈过，他们从相信自己能简单地解释事情，或者相信能简单地解释事情的可能性中获得快乐，即使解释本身并不那么简单。比如，我听过人们认为解释很简单，然后他们就进行解释，我认为这很简单，但它并没有捕捉到我们正在讨论的现象。它在他们脑海中以某种方式映射，但它以一种深刻的知识和深刻的理解为起点，而这种理解实际上非常复杂。这种简单性几乎就像一首关于更复杂事物的诗，而不是一种提炼。我喜欢诗歌，但诗歌不是解释。好吧，有些人可能不同意这一点，但当然，从数学的角度来看，没有诗人会不同意。你不认为有些事情只能被不精确地描述吗？我说的是解释，我不认为任何诗歌，我不认为任何诗人会说他们的诗歌是解释。他们可能会说它是描述，他们可能会说它在某种程度上捕捉到了。好吧，有些人可能会说，唯一的真理就像音乐一样，不是唯一的真理，但有些真理只能通过艺术来表达。我的意思是，这就是我们一直在谈论宗教和神话，有些事情是有限的认知能力，数学工具或物理学工具就是无法捕捉到的。比如，意识可能是其中之一。是的，这绝对有可能，但我甚至会说，看看意识，我们仍然不清楚它是否有我们能理解的解释。顺便说一句，好吧，我得再说一个庞加莱（Poincaré）的精彩引语，因为这个人总是能说出精彩的引语。你知道，保罗·埃尔德什（Paul Erdős）也是书中出现的一位人物，顺便说一句，他思考距离的概念，比如个人亲和力，就像你正在谈论的那种社交网络以及由此产生的距离概念。所以，这是埃尔德什做得很好的事情，他思考了距离和网络。我猜他可能没有想到社交媒体。这很有趣，这就是埃尔德什数字故事的开始。是的，但你知道，埃尔德什以说这句话而闻名，这有点像我们正在说的，他谈到了那本大写的《书》（The Book），那就是上帝保存每一定理正确证明的那本书。所以，当他看到一个他非常喜欢的证明时，比如非常优雅、非常简单，他就说，“那是来自《书》的，就像你找到了《书》中的一本一样。”顺便说一句，他不是一个信教的人，他称上帝为至高无上的法西斯。他就像，但我不知道我是否真的相信上帝，但我相信上帝的书。我的意思是，是的。但庞加莱，另一方面，顺便说一句，还有其他成员，希尔达·哈德森（Hilda Hudson）是其中一位出现在这本书中的人，她也看到了数学。她是发展我们现在使用的疾病模型的人之一，我们用它来追踪流行病，这个 SIR 模型最初来自她与罗纳德·罗斯（Ronald Ross）的合作，但她也是一个非常非常非常虔诚的人，她也从宗教的另一面说，是的，数学是我们与上帝交流的方式。她有很棒的，这些人都可以引用。她说，你知道，数学不是真理，关于数学的事情是，它们不是上帝思想中最重要的，但它们是我们唯一能精确知道的。所以她就像，这是我们能看到上帝在想什么的地方，当我们做数学时。再次，不是诗歌或音乐的粉丝。有些人会说，亨德里克斯就像，有些人说那本书的第一章是数学，然后第二章是经典摇滚。所以，我不确定，我很抱歉，你只是让我跑题了，我只是想象埃尔德什在亨德里克斯音乐会上，试图弄清楚它是否来自《书》。但我来这里是为了正义，但庞加莱曾说过，他说，你知道，如果这一切都以神圣的语言解决了，如果一个神圣的存在下来告诉我们，我们就无法理解。所以没关系。庞加莱认为有些事情是人类无法理解的复杂，而它们实际上就是那样。我们的工作是找出那些不是这样的事情，那些不是这样的。所有这些关于素数的谈话让我对素数感到饥饿。你的博客文章《素数之美：关于素数的一个巨大发现及其对数学未来的意义》。你能告诉我素数是什么吗？双素数是什么？素数间隙是什么？有界素数是什么？这些都是什么？它们有什么美丽之处吗？是的，你知道，素数是数论学家研究最多的东西之一，而且已经研究了数千年。它们是无法分解的数字。然后你说，比如，比如五，然后你说，等等，我不能分解五，五是五乘以一，好吧，不是那样。那是一种分解。它绝对是一种将五表示为两个数乘积的方式，但你不认为它有点微不足道吗？你可以对任何数字做，它没有内容，就像我说十二是六乘以二，或者三十五是七乘以五，我真的对它做了一些事情，我把它分开了。所以，这些是算作分解的。一个没有这种分解的数字叫做素数，除了历史上的一个，在数学史上，它有时被认为是素数，但现在不是了。而且我认为这最好，但我只提它，因为有时人们认为，你知道，这些定义有点，如果我们足够努力地思考它们，我们就能弄清楚哪个定义是正确的。不，这只是数学中的一个产物。所以，是的，一个，那么哪个定义对我们来说最好，为了我们的目的？嗯，那些边缘情况很奇怪，对吧？所以，所以，所以它不能，当你使用自己作为数字，或者一作为分解的一部分，或者作为整个分解时，它不算。所以你通过分解数字来获得数字的核心，而这似乎触及了所有数学的核心。是的，你取任何数字并分解它，直到你不能再分解为止。你剩下的就是一大堆素数。我的意思是，根据定义，当你不能再分解时，当你完成时，你不能再分解数字了，剩下的必须是素数。我的意思是，十二分解为二、二和三。所以，这些数字是所有数字的原子，构建块。我们对它们了解很多，但我们对它们了解的还很多。我会告诉你前几个：二、三、五、七、十一。顺便说一句，它们都将是奇数，因为如果它们是偶数，我可以从中分解出二。但并非所有奇数都是素数。九不是素数，因为它是三乘以三。十五不是素数，因为它是三乘以五。但十三是。我们在哪里？二、三、五、七、十一、十三、十七、十九，不是二十一，而是二十三，等等，等等。所以，你可以继续下去。如果我们只是坐在这里，顺便说一句，你的大脑会持续不断地运转，你能超过一百吗？我想可以。总有一些会绊倒人们。有一个著名的数字，格罗滕迪克素数 57，就像伟大的代数几何学家格罗滕迪克（Grothendieck）在一次讲座中涉及选择一个通用素数时，有人说，你不能随便选一个问题吗？他说，好吧，57，实际上不是素数，它是三乘以十九。哦，该死。但它就像，我向你保证，在某些圈子里，这是一个有趣的故事。好吧，嗯，其中有一种幽默感，是的，我会说超过一百。我肯定不记得，比如 107，我想我不太确定。所以，有没有一类“假素数”，很容易被误认为是素数，比如 57？我想知道。是的，我会说 57 和一些小的 27 和 51 绝对是“素数罪犯”。哦，我不是故意的。做得好，不是故意的。总之，它们绝对是人们会犯错的，或者 91 是另一个经典，七乘以十三。它确实感觉有点像素数，不是吗？但它不是。是的，但顺便说一句，还有一个真正的伪素数概念，这是一个正式定义的东西，它不是一个心理上的东西。它是一个通过费马（Fermat）设计的素性检验的素数，这是一个非常好的检验，如果一个数字未能通过这个检验，它肯定不是素数。所以，曾有人希望，哦，也许如果一个数字通过了检验，那么它肯定就是素数。这将提供一个非常简单的素性标准。不幸的是，它只在一个方向上是完美的。所以有一些数字，我想说 341 是最小的，它通过了检验，但不是素数。341 是这个检验容易解释吗，还是不？是的，实际上。准备好了吗？我给你最简单的版本。你可以稍微修饰一下，但这是基本思想。我取那个数字，我将二提高到那个幂。所以，比如说你的神秘数字是六。你，你问我，你准备好了吗？不，你又在扰乱我的大脑了，但是的，我们来做一次现场演示。假设你的数字是六。所以我要把二的六次方。好吧，如果我算出来，我会说，那是二的三次方平方，所以是八乘以八，所以是六十四。现在我们要除以六，但我实际上并不关心商是多少，只关心余数。所以，让我们看看，六十四除以六是，嗯，它有一个商是十，但余数是四。所以你失败了，因为答案必须是二。对于任何素数，让我们用五来做，它是素数。二的五次方是三十二。用五除以三十二，你得到六，余数是二。嗯，这里的余数是二。对于七，二的七次方是 128。用七除以它，让我们看看，我想是七乘以十四，对吗？不，七乘以十八是 126，余数是二，对吧？128 是七的倍数加二。所以，如果那个余数不是二，那么它肯定不是，它肯定不是素数。然后，如果它是，它很可能是一个素数，但不是绝对的。它很可能是一个素数，但不是绝对的。而且，实际上有一个美丽的几何证明，它确实在书中，因为这是一个如此美丽的证明，我不得不给出来。所以，你画了很多像项链和珍珠项链一样的东西，然后旋转它们。这基本上是这个费马小定理证明的几何性质。所以，是的，所以伪素数有一些素数，它们就像在假装，如果它们通过了那个检验，但有一些数字在假装，它们通过了那个检验，但实际上不是素数。但重点是，有很多很多关于素数的定理。有许多问题要问，素数是无限的吗？我们能说一些关于素数之间的间隙的事情吗，随着数字越来越大，越来越大，越来越大，等等？是的，这是你对所有事物追求简单性的完美例子。如果只有有限的素数，那将非常简单。是的，然后就会有一套有限的原子，所有数字都将以此构建。那将非常简单，而且在某些方面很好，但这是完全错误的。如果那样的话，数论将完全不同。这只是不真实。事实上，这是欧几里得也知道的另一件事。这是非常非常古老的事实，比我们拥有现代数字要早得多，素数是无限的。素数是无限的。那么素数之间的间隙呢？所以，人们认识到并认真思考的一件事是，素数平均来说似乎随着它们越来越大而越来越远。换句话说，它越来越不常见。就像我已经告诉你的，前十个数字中有四个是素数，这很多，百分之四十。如果我查看，你知道，十位数的数字，它们中的百分之四十是素数，那是不可能的。在某种意义上，成为素数会更稀有，因为它们有更多的东西可以被整除。这是思考它的一个方式。因为有很多东西可以尝试从中分解出来，所以它有更多的可能性来分解。随着数字越来越大，素数变得越来越稀有。这在很大程度上是理解的。但然后你可以问更精细的问题。这里有一个。双素数是一对相差两的素数，比如三和五，或者十一和十三，或者十七和十九。我们仍然不知道的是，它们是无限的吗？我们知道平均来说它们越来越远，但这并不意味着不可能偶尔有一些靠近。事实上，我们认为它们存在。一个有趣的问题是，我的意思是，这是因为你可能会说，嗯，为什么一个人会有权利对这样的事情发表意见？我们有什么方法来描述一个产生素数的进程呢？当然，你可以看看你的电脑，看到很多。但有很多为什么是证据表明它们是无限的呢？也许我可以在电脑上找到一千万个。好吧，一千万，一千万离无限还很远，对吧？那么，这怎么能成为证据呢？有很多东西，比一千万个原子多得多。这并不意味着宇宙中有无限的原子，对吧？我的意思是，根据大多数人的物理理论，可能不是，据我所知。好吧，那么为什么我们会这样想呢？答案是，我们发现，将素数视为随机数，视为根据某种规律随机分布，结果非常富有成效和启发性。现在它们不是随机的，没有机会涉及，它完全是确定性的，一个数字是素数还是不是素数。然而，它恰好是现象级的有用，在数学中有用，即使某事受确定性定律支配，让我们就假装它不是，让我们就假装它们是由某种随机过程产生的，看看行为是否大致相同。如果不是，也许改变随机过程，也许让随机性稍微不同，调整它，看看是否能找到一个随机过程来匹配我们看到的行为。然后也许预测该系统的其他行为就像随机过程一样。所以，这很有趣，因为我认为当你和人们谈论双素数猜想时，人们会想，哇，那里有一些深刻的结构，让那些素数一次又一次地靠近。不，这是深刻结构的对立面。当我们说我们相信双素数猜想时，我们说的是我们相信素数就像相当随机地散布着，如果它们是那样的话，那么偶然地，你会期望有无限多的双素数。我们说，是的，我们期望它们表现得就像它们是随机的。你提到的一个有趣的平行是，我刚有机会和萨姆·哈里斯（Sam Harris）谈过，他经常以素数为例。我不知道你是否熟悉他。他用它作为没有自由意志的例子。在哪里？好吧，他只是用它作为例子，这可能看起来像一个随机数生成器，但它都是形式上定义的。所以，如果我们不断获得更多的素数，那么这可能感觉像是一个新的发现，这可能感觉像是一种新的体验，但事实并非如此。它一直写在卡片上。但有趣的是你说，因为很多人认为，比如随机性，现实的根本随机性可能是我们体验到的自由意志的来源。而你说，将素数视为一个随机过程是有用的，以便证明有关它们的东西，但根本上，当然，它不是一个随机过程。不是为了证明一些关于它们的东西，而是为了弄清楚我们期望什么才是真实的，然后尝试证明它。这是你不希望做的：非常努力地证明一些错误的事情。这使得证明错误的事情变得非常困难。所以，你当然想要一些启发式的方法来猜测，做出关于什么是真实的好的猜测。所以，是的，我想说的是，让我们，你将成为想象中的萨姆·哈里斯。是的，就像你在谈论素数，你说，但素数是完全确定性的。我说，嗯，但让我们把它们当作一个随机过程。然后你说，但你只是在说一些不真实的话。它们不是随机过程，而是确定性的。我说，好吧，太好了，你坚持你的立场，这是对过程的尊重。与此同时，我正在产生你没有的关于素数的见解，因为我愿意假装它们不是什么，以便理解正在发生的事情。是的，所以现实是什么并不重要，重要的是什么框架的思想能够产生最多的见解。因为我觉得，看，对不起，但我觉得如果你把人们看作是有欲望、需求和愿望，并有目的地做事，即使那不是真的，你仍然通过以这种方式对待他们来更好地理解正在发生的事情，你难道不觉得吗？你看，当你做机器学习时，你难道不发现自己会谈论机器是什么，机器在特定情况下试图做什么吗？你难道不发现自己被吸引到那种语言了吗？它知道这个，它在尝试做那个，它正在学习。我当然被那种语言吸引，以至于我受到了相当多的批评，因为我，你知道，我支持你，伙计。尤其是在机器人学中，我不知道为什么，但机器人学的人不喜欢给他们的机器人命名，或者他们肯定不喜欢给他们的机器人性别化。因为一旦你给机器人性别化，你就会开始拟人化。如果你说他或她，你就会开始在你的脑海中构建一个生活故事。你无法控制。这就像你为这个人创造了一个幽默的故事，你开始理解这个人，这个机器人，你开始投射你自己的。但我想这就是我们对彼此所做的，我认为这对于工程过程来说实际上非常有用，特别是对于人机交互，是的，对于机器学习系统，以帮助你建立对特定问题的直觉。这几乎就像问这个问题，你知道，当一个机器学习系统在某个边缘案例中失败时，问“你在想什么？”就像，就像你和孩子说话一样，他们只是做了坏事，你想理解“他们是如何看待世界的？”也许你才是那个错误地看待世界的人。是的，我认为这种拟人化过程最终对洞察力有益。同样，我也倾向于相信自由意志。让我问你一个愚蠢的问题，如果可以的话。当然，我最近，大多数人都会陷入YouTube的兔子洞，我陷入了维基百科的兔子洞，我找到了关于有限主义、超有限主义和直觉主义的页面，或者我记不清了，是的，直觉主义。这似乎相当有趣。我有一个待办事项清单，实际上是去看看，有没有人，比如真正的数学家，正在正式争论这个？但那里的信念，我想说有限主义，就是无限是假的，意思是无限可能是一种有用的技巧，在数学上，但它确实给我们带来了麻烦，因为现实世界中没有无限。也许我没有完全正确地表达，但基本上是说，一旦你在数学中加入一些在物理世界中无法证明的东西，你就开始注入，腐蚀你的推理框架。你怎么看？我的意思是，我认为，好吧，首先，我不是专家，我甚至无法告诉你这三个术语有限主义、超有限主义和直觉主义之间的区别，尽管我知道它们有关联。我倾向于将它们与 20 世纪 30 年代的荷兰联系起来。好吧，我告诉你，我可以快速评论一下吗？因为我读了维基百科页面，它总结了我们这个时代的终极句子。我基本上是超超有限主义的专家。所以，有限主义说，你唯一允许拥有的无限是自然数是无限的。所以，比如，一、二、三、四、五，整数是无限的。超有限主义说，不，即使是无限也是假的。好吧，我打赌超有限主义是第二个出现的。我打赌它就像，有一个硬核场景，然后有一个人说，哦，现在场景里有很多人了，我必须找到一种比硬核人群更硬核的方式。回到情绪化医生。是的，好吧，你有没有因为无限而感到不舒服，比如心理上？我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，我，.
一项成就，你知道我的意思吗？让我问问你提到的几次关于群论的事情。什么是群论？你觉得群论中有什么想法很美？
嗯，所以我想说群论大致上是关于对称性的普遍理论。你知道，人们看着不同的事物，然后说，就像我们之前说的，哦，可能只有左右对称性，就像一个人一样，对吧？或者说，我们称之为大致的双边对称。所以，嗯，所以有两种对称性，然后你会想，等等，我不是说只有一种吗？只有左右对称？嗯，我们总是计算“什么都不做”的对称性。我们总是计算那种对称性，就像有翻转和不翻转，这两种状态你可以处于其中。所以有两种。你知道，像矩形是双边对称的，你可以左右翻转它，但你也可以上下翻转它。所以实际上有四种对称性：什么都不做，左右翻转，上下翻转，或者两者都做。
嗯，正方形，嗯，甚至更多，因为现在你可以旋转它。你可以旋转90度。所以你不能那样做，这不是矩形的对称性。如果你尝试旋转它90度，你会得到一个方向不同的矩形。所以，嗯，一个人有两个对称性，一个矩形四个，一个正方形八个。不同形状有不同数量的对称性。
而真正的观察是，这不仅仅是一组可以组合的事物。你先做一个对称性，然后做另一个，结果是第三个对称性。所以一个群实际上抽象了这种概念，就是说，它只是一些你可以对事物进行的变换的集合，你可以将其中任何两个组合起来得到第三个。
所以你知道，计算机科学中出现的一个地方是排序，因为排列集合的方式，将你放在桌子上的某些事物重新排序的方式，例如洗一副牌，那些是这副牌的对称性。而且有很多。不是两个，不是四个，不是八个。想想一副牌有多少种不同的顺序。每一种都是通过对原始牌应用对称性而产生的。所以洗牌是一种对称性，对吧？你重新排列了牌。如果我洗牌，然后你洗牌，结果是另一种东西，你可能称之为“双重洗牌”，这是一种更复杂的对称性。
所以群论就是对包含所有这些事物的普遍抽象世界的学习。但当然，就像很多比这复杂得多的事情一样，例如无限对称群。
所以，谢谢。哦，是的，好的。嗯，好的。准备好了吗？想想直线的对称性。你会想，好的，我可以左右反射它，你知道，围绕原点。好的，但我也可以在其他地方反射它，比如在一点或两点或 pi 或任何地方。或者我也可以只是把它滑过一段距离，那是一种对称性，滑过五单位。所以直线显然有无数种对称性。这是一个无限对称群的例子。
有没有可能说一些物理学家经常提到的、令人着迷的事情，那就是规范理论？规范对称性是更复杂的对称性类型之一。有没有一个简单的解释，它到底是什么？它会让你想到什么吗？
我不是数学物理学家，但我可以这么说：在物理学中，试图说“世界的对称群是什么样的？在什么对称性下事物不会改变？”这个概念无疑是非常有用的。对吧？所以我们只是，我想我们之前稍微谈过，它应该是一个基本原理，一个定理，在这里是正确的，在那里也是正确的。是的，物理定律也是如此，对吧？我的意思是，如果引力在这里是这样的，它也应该在那里是这样的。
好的，那说明了什么？我们认为空间平移应该是对称性，所有物理定律都应该在对称性下保持不变。如果我们想到的对称性是一种非常简单的对称性，比如平移。然后，问题就变成了，实际世界的对称性是什么，以及它的物理定律是什么？一种思考方式，这并不是过度简化，但就像一种思考方式，从爱因斯坦之前到爱因斯坦之后，这种巨大的转变是，我们改变了我们对基本对称群的看法。所以像洛伦兹收缩，像这些奇异的相对论现象，或者洛伦兹会说，“哦，为了让它起作用，我们需要一个东西来改变它的形状，如果它以接近光速移动的话。”
嗯，在新框架下，它要好得多。你觉得，“哦，不，它没有改变它的形状，你只是对什么构成对称性错了。现在我们有了这个新的群，所谓的洛伦兹群，现在我们理解了对称性到底是什么，我们看到它只是一个幻觉，那个东西改变了它的形状。”是的。所以你就可以描述事物在这种奇怪的“不变性”下的相同性，这正是广义相对论，例如。是的，是的。
仍然，我希望有一个更简单的解释，比如，确切地说，你知道，规范对称性是一个关于尺子变形的相当普遍的概念。我只是，我，我实际上只是个人一直在寻找，不是一个非常严谨或积极的搜索，而是为了我个人喜欢的东西，那就是将复杂概念和最小的例子结合起来，我可以玩弄它，尤其是在编程方面。
那太棒了。我的意思是，这就是我们试图训练我们的学生做的，对吧？我的意思是，在课堂上，这正是最好的教学实践。我确实希望有简单的解释，尤其是，我在我的“醉酒随机行走”或“醉酒行走”中，有时会偶然进入拓扑学的世界，然后很快，你知道，就像你去参加派对，然后你意识到这不是我参加的派对。所以每当我进入拓扑学时，到处都是数学，我甚至不知道它是什么感觉。这是我像一个仇恨者一样，我认为有太多的数学。他们是两个酷孩子，他们只想让一切都通过数学来表达，因为他们实际上害怕用语言简单地表达东西。那就是我对拓扑学的仇恨者公式。但同时，我确信这样做严谨的讨论非常必要。但我感觉，但你不认为规范对称性就是这样吗？我的意思是，它不是一个我认识的领域，但它肯定看起来是这样的。
好的，但我的问题是关于拓扑学，甚至是微分几何。你谈论的是美丽的事物，如果它们可以被可视化的话。这是一个开放的问题，是否所有事物都可以被可视化。但你谈论的是可能在视觉上令人惊叹的事物，但我认为它们隐藏在所有这些数学之下。如果你看看拓扑学中的论文，如果你看看 Stack Exchange 上的所有讨论，它们都是数学密集、数学沉重的。唯一偶尔出现的视觉事物就是像莫比乌斯带这样的东西，偶尔会出现某种简单的可视化。
嗯，有霍普夫纤维化，或者所有那些由大约20年前的某个研究生用 Fortran 编写的程序来可视化的东西，仅此而已。这让我感到悲伤，因为这些是视觉学科，就像计算机视觉是视觉学科一样。所以你可以提供很多视觉例子。我希望拓扑学能更兴奋、更热爱可视化一些想法。
我的意思是，你可以这么说，但我想对我来说，霍普夫纤维化的图片对我没有任何意义。而当你像“哦，这就像是关于四元数，它是四元数的一个子群。”我就会想，“哦，所以现在我明白了，为什么你不直接说出来呢？为什么你要给我看这张愚蠢的照片，而不是告诉我你在说什么？”
哦，是的，是的。我只是说，不，但它又回到了你说的关于教学的事情，就是人们对什么会产生反应是不同的。所以我想没有，我的意思是，我非常反对“只有一种正确解释事物的方式”的观点。我认为我们的大脑有各种各样的奇怪的钩子和循环，很难知道什么会抓住它，而且对每个人来说都不会是同一件事。
嗯，我认为单一文化是糟糕的，对吧？我认为我们在这点上意见一致，就是说，有很多不同的入口和很多不同的方式来描述这些想法是好的，因为不同的人会发现不同的东西很有启发性。但即便如此，我认为当强迫一些才华横溢的人们找到一个中间地带，或者聚合或走到一起时，有很多东西可以被发现。所以有那些热爱视觉事物的人。我的意思是，有很多学科，尤其是在计算机科学中，他们痴迷于可视化数据，可视化神经网络。我的意思是，神经网络本身就是根本上视觉化的。在计算机视觉中有大量非常视觉化的工作。然后与一些人结合，他们非常严谨，完全迷失在多维空间中，很难让他们回到三维。他们在这个多维空间中非常舒适。所以强迫他们一起工作来沟通，因为这不仅仅是关于公开交流想法，这也是，我觉得当你被迫进行公开交流时，就像你写书时一样，我认为可以发现深刻的、深刻的想法。这适用于研究和科学。我的意思是，这种简化，或者不是简化，而是这种提炼或浓缩，或者无论你称之为什么，思想的压缩，以某种方式实际上刺激了创造力。我很高兴能在数学界看到更多这样的东西。
你能让我做一个疯狂的比喻吗？也许它有点像散文和诗歌之间的关系，对吧？我的意思是，如果你，你可能会说，“为什么我们需要比散文更多的东西？你想传达一些信息，所以你就说出来。”
嗯，诗歌做了一些事情，对吧？你可能会认为它是一种压缩。当然，不是所有的诗歌都是压缩的，比如不是所有诗歌都很紧凑，有些诗歌很宽松。但你经常，它是压缩的，对吧？抒情诗通常就像是将需要很长时间才能解释清楚的复杂内容压缩成一种不同的模式，它会以不同的方式触动你。
我们谈到了庞加莱猜想。有一个人，他是俄罗斯人，格里戈里·佩雷尔曼，他证明了庞加莱猜想。如果你能评论一下这个证明本身，它是否让你觉得有什么有趣的地方，或者关于它的故事，他因为这个证明而拒绝了菲尔兹奖。有什么让你觉得这个证明本身或这个人身上有启发性或洞察力的地方吗？
嗯，我真的很喜欢这个证明的一点是，部分原因是因为它在我的书中反复出现。我的意思是，我写的是几何学，以及它如何在所有这些现实世界的问题中出现。但这种情况发生得如此频繁，以至于你认为你在研究的几何学似乎不够，你必须上升一个抽象层次，研究一个更高级别的几何学。
它的运作方式是，你知道，庞加莱问了一个关于某种三维物体的问题：它是我们所知的通常的三维空间，还是某种奇异的东西？所以这听起来像是关于三维空间的几何学的问题，但佩雷尔曼理解，而且顺便说一句，在一个涉及理查德·汉密尔顿和许多其他人的传统中，大多数重要的数学进展都不是孤立发生的，不是凭空发生的，而是作为一个涉及许多人的计划的高潮。怀尔斯也是如此，顺便说一句。我的意思是，我们谈到了怀尔斯，我想强调，从库默尔开始，我在19世纪就提到了他，但格哈德·弗赖、马泽尔、肯·里比特以及许多其他人参与了在放上基石之前建造拱门的其他部分。我们站在巨人的肩膀上。是的。
那么这个想法是什么呢？这个想法是，当然，三维物体本身的几何学是相关的，但你必须理解的真正几何学是所有三维几何学空间的几何学。哇，你上升了一个更高的层次。因为当你这样做时，你就可以说，“现在让我们在这个空间中描绘一条路径。”是的，有一个叫做里奇流的机制。我们又一次超出了我的研究领域。所以对于所有在这里听到的几何分析师和微分几何学家来说，如果我请允许我，我正在尽力而为，我大致意思是，里奇流允许你说，“好吧，让我们从一些神秘的三维空间开始，庞加莱猜想它本质上与我们熟悉的三维空间相同，但我们不知道。现在让它流动，让它沿着它的自然路径移动，根据一些几乎是物理的过程，然后问它最终会到哪里。”
你发现的是，它总是会到达，你不断地变形它，又是那个词“变形”。你可以证明的是，这个过程不会停止，直到你得到通常的三维空间。而且因为你可以通过这个不断变化且从不出现任何尖锐过渡的过程，从神秘的事物到达标准空间，所以原始形状一定与标准形状相同。这就是证明的本质。
当然，它非常技术化。我认为，据我所知，我认为困难的部分是证明，人工智能人士最喜欢的词，你不会在过程中出现任何奇异点。嗯，当然，在这种情况下，奇异点只是意味着获得一个尖锐的弯曲。它只是意味着在某个点上变得不光滑。所以只是说一些关于这个奇怪空间中平滑轨迹的有趣的事情。是的。但是的，我喜欢它的地方在于，它只是一个例子，说明它不是关于你以为的几何学，而是关于所有几何学的几何学，可以说。而且只有通过“跳出平面世界”，同样的想法，只有通过全局地、一次性地看到整体，你才能真正取得进展，理解你以为你在看的那个东西。
这是一个浪漫的问题，但你怎么看待他拒绝菲尔兹奖？这只是锦上添花，还是数学本身，好奇心的过程，拉着我们面前的神秘之弦，那就是蛋糕，而奖项只是糖霜？显然我一直在禁食，我饿了。但你认为这是悲剧，还是仅仅是拒绝奖牌的一点好奇心？
嗯，这很有趣，因为一方面，我认为这是绝对正确的，在某种巨大的精神意义上，奖项并不重要，不像理解宇宙那么重要。另一方面，大多数被提供那个奖项的人都会接受。你知道，所以他的选择有些不寻常。我不会说我看到它是悲剧。我的意思是，也许如果我没有一个清晰的画面，我不知道他为什么选择不接受。我的意思是，他不是唯一这样做的人。人们有时会因为意识形态原因拒绝奖项。在数学领域可能更常见。我的意思是，我认为我说得对，彼得·舒尔茨拒绝了某种大额金钱奖项，因为他只是，你知道，我的意思是，你有很多钱，也许你认为它发出了关于做数学的意义的错误信息。
我确实发现，大多数人接受，你知道，大多数人被授予奖项，大多数人接受。我的意思是，人们喜欢被欣赏。但就像我说的，我们是人，和其他大多数人没什么不同。但这个奖项对我来说重要的提醒是，奖项本身没有问题，奖项很棒。我认为诺贝尔奖更棘手，因为首先，诺贝尔奖经常忘记历史上许多许多重要的人。其次，它有一些奇怪的规则，只有三个人，而有些项目有很多人，而且它，我不知道，它没有以最好的方式突出这些项目中的科学研究方式。但总的来说，奖项很棒。但这种东西教给我，提醒我的是，有时在你的一生中，会有一些时刻，你真正想做的事情，社会真正想让你做的事情，就是与你所相信的某些原则相悖的事情。无论那是什么，都要坚持立场。这是我所相信的。大多数人一生中都会有几个这样的时刻，也许只有一个这样的时刻，而你必须这样做。这就是诚信。所以，它不一定能让世界其他地方理解，但要坚持住，说不。
有趣的是，我认为你知道他拒绝奖项是为了某种原则吗？因为我不知道。嗯，是的，似乎有这种暗示，但他从未明确说明。但暗示是，他对整个数学过程，包括这样的奖项、等级制度、声誉以及所有这些东西，以及美国文化中固有的个人主义，都有一些问题。他可能因为经常访问美国，他可能，你知道，这就像一切都关乎经历，而他可能，你知道，学术界的一些地方可能不那么鼓舞人心，有时是因为涉及的个人自我。不是学术界的人，而是普通人，聪明的人，有自我。如果你与某些类型的人互动，你很容易变得愤世.")]