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Bien, empezamos con el ejercicio de hoy. Lo que vamos a estar viendo en esta práctica es una resolución de ejercicio de monopolio. Vamos a partir con lo que es la determinación de la cantidad óptima, el cálculo de las necesidades, vamos a buscar la simulación de las cantidades en competencia perfecta a largo plazo y verificar la existencia de subjetividad de costos.
Acá lo que tenemos es una función de costos. Esta es una función de costos cúbica que nosotros utilizamos bastante en la materia, donde tenemos que el costo es igual a 0,0005 q al cubo menos 0,7 q al cuadrado más 620 q. Y lo que tenemos que hacer es:
a) Determinar las cantidades óptimas ofrecidas para el monopolista y la demanda. La demanda está dada por q = 820 - 105 p. Esta no es una función de demanda inversa típica que utilicemos a lo largo de la materia, pero igual la vamos a utilizar.
Bien, determinar esto y verificar las condiciones de segundo orden. Vamos a ir con el resto de ejercicios, pero vamos a avanzar con esa primera parte, con la parte a.
Entonces, lo que tenemos que hacer, ¿qué es? Primero tenemos que determinar las cantidades óptimas. Para eso, lo que hacemos es construimos la función de beneficios. Estamos al cual le decíamos en competencia perfecta, construimos la función de beneficios: ingreso menos costo. Esto tiene la misma forma que antes, la diferencia está en que el precio, el precio que nosotros teníamos que tomar como dado como empresario individual, ahora el precio es toda la demanda. Y por ende, nosotros como empresarios, como monopolistas, somos conscientes que si nosotros queremos vender más, tenemos que ser conscientes que la gente, para poder comprar más, va a estar dispuesta a pagar menos por unidad de lo que estaban dispuestos a pagar por menores cantidades en el mercado. Entonces, tomamos toda la función de demanda y nos queda la función de beneficios tal cual está ahí expresada: 820 - 1,5 q (porque esa es la demanda que nosotros teníamos, la función de demanda). Eso lo multiplicamos, tenemos el ingreso por q menos la función de costos tal cual el enunciado del ejercicio.
Es que tenemos que hacer eso. ¿Qué hacemos? Buscamos el óptimo. El óptimo se construye a partir de buscar el punto crítico donde la derivada de la función de beneficios es igual a cero. En nuestro caso, siempre que el menor había, hacíamos derivada de una función económica reactiva, mostramos que esa función marginal. Nosotros si tenemos la función de beneficios, al hacer la función de beneficios derivada respecto a la variable q, obtenemos el beneficio marginal. El beneficio generado por tener una unidad adicional más producida y vendida en el mercado. Y el beneficio marginal se iguala a qué cosa, al ingreso marginal menos el costo marginal. Nosotros tenemos que la función de ingreso menos el costo, hacemos la derivada del beneficio es igual a la derivada del ingreso, menos la derivada del costo, el costo marginal. Y el ingreso marginal menos el costo marginal tienen que ser iguales a cero en la condición de equilibrio que nosotros tenemos para cualquier ejercicio con un monopolista. Nosotros en competencia perfecta también teníamos que el ingreso marginal menos el costo marginal es igual a cero, lo que pasaba es que el ingreso marginal era igual al precio de venta, alguien siempre fijo, porque nosotros como en competencia perfecta actuábamos como un tomador de precios, éramos precio aceptantes. Y a partir de ahí actuamos. Ahora, como tenemos que entender a toda la demanda, vemos que el ingreso marginal es una función que es decreciente. A medida que aumenta la cantidad vendida, el ingreso marginal va cayendo.
Como tenemos específicamente los valores con la función que tenemos, es muy fácil. La función de beneficios, de segunda derivada, fíjense que en primer término decía 820 q, derivada de eso obviamente 820. Después teníamos menos 105 q por q, es decir, menos 105 q al cuadrado, derivada es menos 2,1 q. Después teníamos la función de costos, todo entre paréntesis. El primer término que teníamos era 0,0005 q al cubo, la derivada es menos 0,0015 q al cuadrado. El segundo término era menos 0,7 q al cuadrado, contiene un menos. La función de costos, pues adelante, + 14 q, la derivada. Y el 620 q. Entonces tenemos en el tercer término, me queda menos 620, porque el signo menos de la función de costos me va a estar determinando ese signo en el último de los cambios.
Una vez tenemos eso, ya está bastante simple. Fíjense que primero avanzar, después es agrupar de un lado del otro y buscar totalmente cuál es el valor crítico de q que hace cero esta función de beneficios marginales igual a cero. Reordenando los términos nos quedan, y acá lo que tenemos que hacer es obviamente ir agrupando cada uno de los valores de q. Antes tenemos q al cubo, que al hacerse la derivada quedó al cuadrado. La derivada de la función de esto respecto de q y queda menos 0,0015 q al cuadrado, que eso venía del único término que teníamos antes como q al cuadrado. Siguiente término, menos 0,7 q, que viene de utilizar el menos 2,1 q más 1,4 q. Y el último de los términos que es más 200, es el resultante de qué cosa, de los 820 menos los 620. Así tenemos los tres términos, nos queda una cuadrática igualada a cero. Y eso es lo que tenemos que hacer. Buscamos los valores de q que hacen cero esta cuadrática. Estos van a ser de dos maneras, las raíces y los ceros de la función. Lo pueden hacer sin problemas, y si no, utilizan obviamente la fórmula de menos b más menos raíz de b al cuadrado menos 4ac sobre 2a. Al cual ustedes directamente en esta secundaria resuelven que ustedes poner los valores, tienen que haber ordenado la cuadrática. El primer término era a, segundo término era b, y tercer término era c. Con el cual, el menos 0,0015, que estaba menos 0,0015, el segundo término de la cuadrática, menos 2,1 q más 1,4 q, me da menos 0,7 q. Y el último término es más 200, que es el resultante de 820 menos 620.
Hacemos todo eso sobre 2a. Las raíces son -666,667 y 200. Son los dos valores de q que hacen cero a esta función. Obviamente que estos dos valores que corresponden a esta cuadrática, que es una función cuadrática, que tiene el término cuadrático entre paréntesis, y que dice que tiene un menos, un signo negativo, con lo cual es una fórmula cuadrática donde tienen dos valores que hacen dos ceros. El que va a resultar nuestro óptimo tiene que ver con obviamente el de la derecha, que tiene el mayor valor, por la forma de la cuadrática y la expresión. Puede terminar, pero igual ustedes que se verifican las condiciones de segunda derivada. Se evalúan para los dos puntos críticos. La derivada segunda es menos 0,003 q menos 0,7. Y reemplazamos el valor de q por cualquiera de los dos puntos críticos. Si reemplazamos el valor de q por menos 666, nos va a dar que esta derivada segunda de la función de beneficios, dos veces encima, es 1,3 y por ende eso es mayor a cero y por ende esto no se trata de un máximo, sino de un punto mínimo. Es decir, ese valor de 666 unidades es el valor que minimiza la función de beneficios, mientras que el otro, lo que hace es maximizar los beneficios. Cuando q es 200, la derivada segunda es menos 1,3, es decir, es menor a cero y por ende se trata de un punto crítico donde estamos maximizando. Ok, con lo cual, hecha esta verificación, las cantidades son 200.
b) Después teníamos una una pregunta b. Voy a volver al enunciado. Compañero, b) Determinar el precio de equilibrio, el ingreso total del empresario, los costos totales y los beneficios alcanzados para la producción, las cantidades óptimas que acabamos de calcular, es decir, las de las 200 unidades. De cada cual, esto es bien simple. Ya sabemos el nivel de producción óptimo, q es 200. Y los niveles bajos, es decir, reemplazando cada una de estas variables en sus respectivas funciones. Por ejemplo, el precio de venta era 820 menos 105 por 200. Multiplicamos, nos da 610 pesos. Una vez que tenemos el precio de venta, podemos calcular fácilmente cuál es el ingreso por ventas. Si el ingreso por ventas es 610, ponemos 200. Y el costo total es poner en la función de costos el valor 200. Esto si reemplazan por 200 para calcularlo, la función de costos es igual a 100.000 cuando q es 200. Y ahí ya tenemos entonces el beneficio será igual a, si quiere, esos 122.000 menos 100.000 pesos que son los costos. Con lo cual, los beneficios que estamos obteniendo en esta empresa es igual a 22.000. Ok. ¿Preguntas hasta acá? ¿Por qué el marinero? Si estamos bien.
Volvemos al enunciado. El punto siguiente dice: c) Determinar la elasticidad del costo pendiente de producción obtenido en el punto a. Que debemos sacar lo que nosotros queremos saber es cómo está respondiendo el costo ante una variación en la producción, pero no solamente en términos absolutos, así como lo miraríamos simplemente con el costo marginal, sino como elasticidad del costo, es decir, en términos proporcionales cómo está reaccionando los costos ante un aumento del 1% de las cantidades vendidas. Una vez que miramos eso, determinado la elasticidad del costo, vamos a poder especificar los rendimientos a escala observables a ese nivel de producción, porque evidentemente acá estamos mirando, fíjense, una función de costos de largo plazo. No hay costos fijos. Ahí no nos lo han pedido en el ejercicio, tranquilamente lo podíamos mirar en torno a la función de costos de largo plazo, porque no hay términos independientes. Con lo cual, si producimos cero, los costos son cero. Lo que queremos ver es los rendimientos crecientes a escala, constantes a escala, decrecientes a escala para el nivel de producción alcanzado en el punto. Entonces, tenemos que hacer es primero la función de costos de producción. Junto a los otros, tenemos que hacer es lo primero, partir esa función de costos, calcular qué cosa el costo marginal y dividirlo por el costo medio. Recordemos que la elasticidad del costo se calcula si la derivada de la función de costo directo de q, es decir, el costo marginal, por q sobre el costo medio, es decir, la inversa del costo medio. La elasticidad del costo es costo marginal sobre el costo medio. Estamos debiendo si el costo marginal es 50 y el costo medio es 50, vamos a estar viendo de que los costos están aumentando en la misma proporción y por ende tendremos elasticidad constante. Y dependiendo de las constantes de escala, si ponemos, lo tenemos el costo marginal por arriba del costo medio, está pasando, están subiendo más rápidamente los costos de producción cuando tenemos rendimientos decrecientes a escala. Y el otro lado tendría un rendimiento creciente cercano. Vamos a hacer las cuentas y miramos a ver cuáles son los valores que tenemos. En este caso, tenemos la función de costos y la univer. Tengo que hacer es derivar, digamos, la expresión de costos y nos queda el costo marginal: 0,0015 q al cuadrado menos 1,4 q más 620. Eso es el costo marginal. Eso es lo multiplicamos por q y lo dividimos por la función de costos inversa, es simplemente el inverso del costo medio. Bastante simple de calcular. Lo que lo pueden reemplazar gente por los valores. Nosotros ya teníamos estos valores alcanzados en el ejercicio anterior. Reemplaza los valores del costo marginal de ganar los originales 400, el nivel de producción era 200 y el valor de los costos lo hicimos recién a 100.000. Cuando, cuando lo que nosotros queremos es la forma de calcular rápidamente cuál es el valor que nosotros queremos, cuánto le está dando la elasticidad del costo, me está dando 0,8. Entonces, eso qué significa, significa que el costo es mayor, el costo marginal. Entonces, rendimientos crecientes a escala. Si el costo marginal está por debajo del costo medio, estamos haciendo que vayan bajando los costos unitarios y por ende nos vamos perdiendo. Mientras que si la elasticidad del costo es exactamente igual a 1 sobre la elasticidad de la función de producción, si es 0,8, la elasticidad de la función de producción es 1,25. Es equivalente como para que lo tengan ustedes en algún momento, si tienen alguna duda de cómo tienen que trabajar esta parte. Acá, el último, vamos por partes. Primero, 400 por 200 sobre 100.000. Obviamente pueden sacar dos ceros de los 100.000, sacan dos ceros del 400, que da 4 por 200 sobre 1000. Le sacan dos ceros más, tienes que dar 4 por 2, 8 sobre 10, es claramente 0,8. Y que sea 0,8, si es lo mismo que decir cuatro quintos, 0,8, 4/5. La elasticidad del costo es igual a 1 sobre la elasticidad de la función de producción. ¿Por qué? Porque es con lo cual, si es 4/5, la elasticidad de la función de producción será 5/4, 1,25. Y hacen inversamente, dan vuelta la fracción. De 400 pasan a 5/4. Está claro, pero perfecto.
d) Volvemos al enunciado. Mirando está tocado, pero dice: d) Determinar las cantidades que se bien ofrecidas simulando las condiciones de competencia perfecta de largo plazo. Solución cuasi competitiva. Es decir, buscar ese nivel de producción que simula las condiciones de competencia perfecta en el largo plazo, que es donde el beneficio es igual a cero. Vamos a buscar las cantidades de largo plazo, que es la solución competitiva de producción, donde los beneficios extraordinarios se hacen cero. Para que el beneficio sea cero, podemos o igualar la función de beneficio a cero, o hacemos que el precio de venta es igual al costo medio. Son dos formas de obtener el mismo valor. Obviamente, fíjense, el precio de venta, no es que el ingreso que esté porque debe ser igual al costo, al costo medio, porque entonces claramente que el precio inicial del costo. Y acá buscamos eso. Y lo que tenemos que buscar también que sea la condición de qué, de llevar el precio de respecto a las cantidades, no tiene que ser menor el costo medio respecto a las cantidades, y el precio tiene que ser cero. Y el costo medio tiene que estar subiendo, o si no está subiendo, al menos que tiene que estar creciendo más lentamente que lo que está haciendo la función de demanda. Tenemos la función de costos. Cómo calcular rápidamente el costo medio: 0,0005 q al cuadrado menos 0,7 q más 620. En costos medios, y la demanda es igual al precio. El precio es 820 menos 105 q. Lo igualamos al costo medio. Y acá lo único que hay que hacer es reordenar los términos. La pasamos de izquierda a derecha. El menos 0,0025 q al cuadrado viene del primer término del costo medio, estamos restando el otro lado. El menos 0,7 lo pasamos sumando por el otro lado, me baja 1,05 a menos 0,35 q como segundo término de la ecuación. Y el tercer término es 820 menos los 620, me quedan más 210. Y sostenemos una cuadrática. Buscamos las cantidades, el valor que va a ser cero para ti. Está en las raíces. Ahí tenemos dos raíces: o q vale 1072,84 con signo negativo, o vale 372,84. Porque sería el beneficiado por cuesta el precio, precio de venta en la función de demanda. Allí y está preguntando puntualmente por q y beneficio. Pero ahí p entre paréntesis por q es p expresado en términos de la función de demanda. Si fuera porque efectivamente sería el ingreso que tendríamos a poner en lugar del costo medio normal. El ingreso igual a los costos totales para que tengamos que el beneficio es igual a cero.
Bien, al siguiente bajo la visión perfecta. Porque tenemos eso, verificamos las condiciones de segundo orden. Que parezcan verificando que sea efectivamente el nivel de producción óptimo. A la derecha, 24s es el máximo nivel de producción que nosotros podemos ofrecer sin incurrir en pérdidas. Ese es el máximo nivel de producción que tenemos que utilizar para determinar si se trata de un monopolio natural. Y buscamos esto. Efectivamente, esto nos da que verificar el segundo orden. La función de demanda menos 105. Esto es bastante simple. Establecer la derivada de la función de demanda y del otro lado lo que tenemos es el 0,001 por q menos 0,7. Discutiendo a reemplazar. Fíjense que si nosotros en lugar de utilizar el 372, utilizáramos el 1072 con signo negativo, tendríamos otro resultado.
Bien, verifica ese nivel de producción. Tenía un cero. Esto que recordamos aquí, lo que me decían era cuáles son las cantidades que simulan las condiciones de competencia perfecta de largo plazo. Y estas son las cantidades. Las cantidades son 372 unidades con 84.
e) Bien, vamos a la pregunta al principio, al extremo más lejos. Dice: e) Determinar el precio de equilibrio, ingreso total del empresario, costos totales y beneficios alcanzados con la producción utilizada en el punto anterior, es decir, que simulaba las condiciones de competencia de largo plazo, donde el beneficio se hacía cero. No vamos a tener que buscar y verificar que efectivamente el beneficio sea cero. Reemplazamos. Y lo que tenemos que hacer es algo bastante, bastante simple, y es utilizar ese 372,84 como nivel de producción crítico que vamos a reemplazar en cada una de las funciones. Reemplazamos en la función de demanda y nos da que el precio es 420,2852. Está diciendo, si nosotros colocamos 372 unidades en el mercado, la gente va a estar dispuesta a pagar 428 pesos por unidad. La función de beneficios, como el ingreso por ventas, es 428 por 372. Ingresos por ventas menos el costo, al principio de utilidades. Y cuando reemplazamos por los valores, completamos los valores en cada uno de estos términos, aquí que tenemos más o menos 160.000 pesos y 186.000 pesos de costos, y el beneficio es cero. Cuando parezcamos, verificando que efectivamente se están cumpliendo las condiciones donde el ingreso es igual al costo y por ende los beneficios son cero, que es la simulación de competencia perfecta de largo plazo.
Acá, la verdad, verificar la elasticidad del costo que nosotros tenemos en este valor. Esto es lo mismo que hicimos antes, pero reemplazando ahora para el valor de producción de 372 en lugar del que teníamos antes, que era 200. Reemplazamos. Esto es bastante simple con los valores. Ya que si el costo es 0,71, está verificando en el que tenemos rendimientos crecientes a escala. Y sin elasticidad de escala, esto nos va a permitir asegurar después que esto es un monopolio natural. Hecho ese tratado, concluyendo el fuerte. Pero vamos a tener solamente en el siguiente punto que eliminemos 3.
f) Para determinar si dadas las funciones de costos y demás, existe monopolio natural. Para eso, lo que tenemos que verificar la existencia de sub-utilidad de costos. Y esto es lo que mencionamos. Tenemos que ver si es más eficiente o no hay una sola empresa en el mercado, es decir, si el costo medio de una empresa en el mercado es menor que el costo medio de que fabricamos la mitad en una empresa como la mía y la otra mitad en una empresa con similares características. Porque decimos similares características, pues si yo tengo una estructura de costos y es la mejor estructura de costos que yo sostengo disponible, y ahora otra empresa con la misma estructura de costos que nosotros, lo mejor que puede hacer evidentemente es lo mismo que nosotros tendríamos mitad y mitad o en cada una de las dos empresas. Y tendríamos que comparar a ver si es suficiente una empresa o dos empresas. Una vez que hacemos eso, nos fijamos y como decíamos, abastecer a toda la demanda no genera beneficios económicos negativos. Con dos empresas, entonces la primera vez en el corto-medio, y esto es lo mismo que hicimos nosotros cuando buscamos en la simulación de condiciones de competencia perfecta de largo plazo, nos da obviamente el nivel de producción 372,84. Y ahí lo que hacemos es verificar los accesos con el costo medio que nosotros tendríamos fabricando los 372, similares, sin hablar, mitad en mi empresa, resulta fabricaríamos nada más que 186. Y por ende, si dos empresas, tendríamos un costo unitario de 506 pesos. Es decir, si fabricamos todas las unidades en una empresa, de dos, un costo unitario de 428. Si fabricamos la mitad, el costo unitario es más alto. Entonces, es más caro para la industria tener dos empresas que tener una sola empresa. Y fíjense entonces que ahí vemos claramente que el costo unitario que nosotros tenemos con una sola empresa es más chico que el costo unitario de tener dos empresas. Y entonces, por ende, nosotros estamos frente a un monopolio natural. Esta condición de existencia lo que va a hacer es darnos todos los incentivos para entender que es muy probable que a largo plazo se pueda sostener una relación donde hay un único oferente en este mercado. Una vez que verificamos que esto es un monopolio natural, es decir, que resulta más eficiente en una empresa, antes podemos encontrarnos, como les decía, frente a este escenario donde el monopolio natural que acabamos de verificar es natural fuerte o monopolio natural que es un monopolio natural fuerte. Y su monopolio en cuatro los costos unitarios en aquel nivel de producción donde nosotros abastecemos en toda la demanda, los costos unitarios en aquel nivel de la demanda está cayendo, los costos unitarios son cada vez más pequeños, es decir, tenemos costos medios decrecientes. Si nosotros tenemos costos medios decrecientes y están bajando, entonces los costos unitarios, estamos teniendo los rendimientos crecientes a escala. Si los costos marginales evidentemente tienen que ser por debajo del costo medio, al que el costo medio está bajando, tenemos fuertes costos. Y si los medios no están creciendo, pero estamos frente a un monopolio natural, entonces vamos a decir que estamos haciendo un monopolio natural fuerte. Ok.
Acá, y yo te pido que me expliques qué es lo que no entendiste de dónde sale el 0,00107 o de dos veces al 0,32 negativo. Ese 0,00107 es la derivada de la función de costos medios. Acá, gente, en esta expresión tenemos la función de costos medios: 0,0005 q al cuadrado menos 0,7 q más 620. Costo medio. La derivada del costo medio me da los primeros dos términos. Cuando hago los primeros dos términos, se reventándose. Ok, en costos medios hay que tener la derivada del costo medio. Y ahora que tenemos la derivada, cero. Estos la derivada me da menos 0,7. Cinco vale un millón, un millón, unos números más grandes. Y el costo medio está creciendo. Hay algún punto donde está decreciendo, de algún punto donde está creciendo. Y eso depende del nivel de producción. Cuando el nivel de producción es 372,84, lo que hacemos es multiplicamos 0,001 por 372,84 y estaba bastante simplemente 0,03, 0,372, 372 menos 0,7. Es más grande. Pero como es el 0,37 negativo con esto. Cerramos este ejercicio.