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[Musik] in den letzten Videos habe ich über die Ableitung von einfachen Funktionen gesprochen mit dem Ziel immer ein klares Bild vor Augen zu haben, das eine Intuition geben soll, wo diese Formeln herkommen.
Die meisten Funktionen, die du benutzt, um ein Modell für die reale Welt zu entwickeln, mixen, kombinieren oder manipulieren diese einfachen Funktionen auf irgendeine Art und Weise. Unser Ziel ist also ein Verständnis zu entwickeln, wie man kompliziertere Funktionen ableitet, wobei ich nach wie vor möchte, dass du dir das bildlich genau vorstellen kannst.
Genau betrachtet gibt es eigentlich nur drei Arten, auf die man Funktionen kombinieren kann: Addition, Multiplikation und eine in die andere einfügen, was man auch die Komposition von Funktionen nennt. Klar könnte man auch Subtrahieren sagen, aber eigentlich multiplizieren wir dafür einfach nur das Zweite mit -1 und dann addieren wir es. Genau gleich ist es beim Dividieren: Wir fügen eine Seite einfach nur in die Funktion 1 durch x ein und multiplizieren dann.
Die meisten Funktionen, denen du begegnest, sind im Prinzip nur eine Verschachtelung von diesen drei Kombinationsmöglichkeiten und haben keine Grenze, wie schrecklich riesig, dass werden kann. Aber solange du weißt, wie Ableitungen sich bei diesen drei Arten der Manipulation benehmen, kannst du dich immer Stück für Stück durch diese Schichten graben. Also, wenn du die Ableitung von zwei Funktionen kennst, was ist die Ableitung der Summe, des Produkts und der Komposition?
Die Summe ist am einfachsten, wenn auch ein bisschen umständlich formuliert. Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist die Summe ihrer Ableitungen. Aber es lohnt sich, dieses Beispiel als kleine Aufwärmübung zu benutzen, in dem wir wirklich darüber nachdenken, was es bedeutet, die Summe zweier Funktionen abzuleiten, insbesondere weil die Ableitungsformeln für Produkte und Komposition nicht so einfach sind und auch genaueres Nachdenken erfahren.
Betrachten wir die Funktion f(x) = Sinus(x) + x^2. Das ist eine Funktion, bei der du für jeden Eingangswert die Werte für Sinus(x) und x^2 an diesen Punkt addierst. Zum Beispiel, bei x = 0,5 wird die Höhe der Sinusfunktion von dieser Linie angegeben und die Höhe der Parabel x^2 wird von dieser Linie angegeben. Die Summe ist die Höhe, die du erhältst, wenn du sie aufeinander stapelst.
Bei der Ableitung fragst du dich dann, was passiert, wenn du diesen Eingangswert ein kleines bisschen erhöhst, zum Beispiel auf 0,5 + dx. Die Änderung des Wertes von f zwischen diesen beiden Eingangswerten, wenn wir df, ich glaube, du wirst mir zustimmen, dass die absolute Höhenänderung die Änderung der Sinusfunktion, was wir die dSinus(x) nennen könnten, plus der Veränderung von x^2, also dx^2, ist. Wir wissen also, dass die Ableitung des Sinus der Cosinus ist und wenn du dich erinnerst, bedeutet das, dass diese kleine Veränderung des dx ungefähr Cosinus(x) * dx wäre. Das ist proportional zur Größe von dx mit einer Proportionalitätskonstante gleich dem Cosinus unseres Anfangswertes. Ähnlich ist es bei x^2, weil die Ableitung von x^2 2x ist. Die Veränderung in der Höhe des x^2-Graphen ist ungefähr 2x * was auch immer dx ist.
Also df/dx, das Verhältnis einer kleinen Veränderung der Summe der Funktion zu einer kleinen Veränderung des Eingangswertes, ist tatsächlich Cosinus(x) + 2x, also die Summe der Ableitungen der Einzelteile.
Aber wie gesagt, es wird ein bisschen komplizierter bei Produkten. Überlegen wir uns mal, warum das so ist und wieder mit Hilfe kleiner Veränderungen. In diesem Fall glaube ich nicht, dass Graphen am besten sind, um das zu visualisieren. Für Mathe, eigentlich egal auf welchem Niveau, ist es üblich, dass man Produkte am besten als irgendeine Art von Flächeninhalt verstehen kann.
In diesem Fall könntest du dir ein Rechteck mit den Seitenlängen Sinus(x) und x^2 vorstellen. Aber was heißt das? Naja, weil das alles Funktionen sind, könntest du dir diese Seitenlängen flexibel vorstellen, je nachdem, welchen Eingangswert x du willst. Es ist eine Zahl, die du ganz frei anpassen kannst.
So, um ein Gespür dafür zu bekommen, konzentrieren wir uns mal auf die Oberseite, die sich gemäß der Funktion Sinus(x) verlängert, während du den x-Wert von null aus erhöhst, bis sie ihren Höhepunkt von 1 erreicht. Danach verkürzt sich diese Seite wieder, während Sinus(x) wieder von 1 runterkommt. Ähnlich ist es für x^2. Also ist es von x, dass wir als dieses Produkt definiert haben, der Flächeninhalt dieses Rechtecks.
Für die Ableitung könntest du dir jetzt überlegen, wie eine winzig kleine Veränderung von x um einen Wert dx diesen Flächeninhalt beeinflusst. Die resultierende Veränderung ist df. Dieser kleine Schritt von x sorgt dafür, dass sich die Breite um ein kleines Stück dx und die Höhe um dx^2 verändert, und das gibt uns drei kleine Schnipsel an neuem Flächeninhalt: ein dünnes Rechteck an der Unterseite, dessen Fläche die Breite Sinus(x) * die winzige Höhe dx^2 ist; ein dünnes Rechteck auf der rechten Seite, dessen Flächeninhalt die Höhe x^2 * die dünne Breite dSinus(x) ist; und auch dieses kleine Stück hier in der Ecke. Aber das können wir ignorieren, weil sein Flächeninhalt letztendlich proportional zu dx^2 ist, was wir mit kleiner und kleiner werdendem dx vernachlässigen können.
Das alles ist dem, was ich euch im letzten Video mit der x^2-Skizze erzählt habe, sehr ähnlich. Behaltet hier auch im Hinterkopf, dass sich ziemlich wichtige Veränderungen zum Visualisieren verwende, damit man sie gut sehen kann, aber eigentlich ist dx natürlich sehr, sehr klein, was bedeutet, dass dx^2 und dSinus(x) auch sehr, sehr klein sind.
Wenn wir jetzt das anwenden, was wir über die Ableitung von Sinus(x) + x^2 wissen, können wir herausfinden, dass diese kleine Veränderung dx^2 ungefähr 2x * dx ist und die kleine Veränderung dSinus(x) wird Cosinus(x) * dx sein. Wie immer teilen wir das jetzt alles durch dieses dx und sehen, was die Ableitung ist. Das Verhältnis df/dx, nach dem wir suchen, ist Sinus(x) * die Ableitung von x^2 + x^2 * die Ableitung von Sinus(x). Und nichts von alldem funktioniert nur beim Sinus. Diese Argumentation gilt für egal welche zwei Funktionen, die wir einfach g und h nennen.
Eine Art, auf die sich manche Leute die Produktregel merken, ist ganz einfach: links die rechts, rechts die links. In diesem Beispiel, indem wir Sinus(x) und x^2 haben, heißt links die rechts, dass du die linke Funktion, also Sinus(x), mit der Ableitung der rechten Funktion, also 2x, multiplizierst. Dann addierst du rechts die links, also die rechte Funktion, x^2, mal die Ableitung der linken, Cosinus(x). Das ergibt x^2 * Cosinus(x) + Sinus(x) * 2x.
Ohne Kontext fühlt sich das vielleicht wie eine seltsame Regel an, aber wenn du über dieses flexible Rechteck nachdenkst, kannst du dir genau vorstellen, was jeder dieser Terme repräsentiert. Links die rechts ist der Flächeninhalt dieses Rechtecks an der Unterseite und rechts die links ist die Fläche dieses Rechtecks auf der rechten Seite.
Übrigens sollte ich erwähnen, dass wenn du irgendeine Funktion einfach mit einer Konstante multiplizierst, zum Beispiel 2 * Sinus(x), alles sehr viel einfacher wird. Diese Ableitung ist einfach die Konstante mal der Ableitung der Funktion. In diesem Fall 2 * Cosinus(x). Ich überlasse es dir zu pausieren und nachzugrübeln, ob das Sinn ergibt.
Abgesehen von der Addition und der Multiplikation gibt es noch eine weitere Art, auf die Funktionen häufig kombiniert werden, und glaubt mir, die kommt die ganze Zeit vor: die Komposition, also eine Funktion in die andere einzusetzen. Nehmen wir zum Beispiel die Funktion x^2 und stecken sie in die Funktion Sinus(x), um dann eine neue Funktion, also Sinus(x^2), zu erhalten. Was ist die Ableitung dieser Funktion?
Schau her, ich zeige, dass hier auf eine noch mal andere Weise, auch um zu zeigen, dass es in der kreativen Mathematik jede Menge Möglichkeiten zum Visualisieren gibt. Ich zeige euch drei verschiedene Zahlenstrahlen. Der obere gibt uns den Wert von x an, der zweite den von x^2 und der dritte den Wert von Sinus(x^2). Das heißt, die Funktion x^2 bringt dich von Strahl 1 auf Strahl 2 und die Sinusfunktion von Strahl 2 auf Strahl 3.
Während ich den Wert von x erhöhe, vielleicht auch x = 3, verschiebt sich der zweite Wert, je nachdem, was x^2 ist, in diesem Fall 9. Der unterste Wert ist der Sinus von x^2 und gibt jetzt an, was auch immer der Sinus von 9 ist. Also, denken wir jetzt für die Ableitung wieder daran, den x-Wert um ein kleines Stück zu verschieben. Außerdem finde ich es immer hilfreich, wenn man bei x von einem echten Wert ausgeht, zum Beispiel 1,5.
Die resultierende Veränderung dieses zweiten Wertes, die Veränderung von x^2 wegen diesem dx, nennen wir dann dx^2. Du kannst das wie vorher als 2x * dx aufschreiben, was bei unserem Eingangswert 2 * 1,5 * dx entsprechen würde. Aber es ist hilfreich, das jetzt erst mal so als dx^2 stehen zu lassen. Tatsächlich möchte ich sogar noch einen Schritt weiter gehen und dem x^2 einen neuen Namen geben, sagen wir h. Also ist diese Veränderung dx^2 einfach dh. Jetzt denke an den dritten Wert, der Moment Sinus(h) gibt. Seine Veränderung ist dSinus(h). Die kleine Veränderung, die durch den Schritt dh verursacht wurde, übrig. Das heißt, die Tatsache, dass es sich nach links bewegt, während der dh-Wert nach rechts wandert, nichts weiter als dass diese Veränderung die Sinus(h) irgend eine negative Zahl beinhaltet.
Da wir die Ableitung des Sinus erkennen, können wir jetzt dSinus(h) als Cosinus(h) * dh ausschreiben. Das ist ganz einfach umformuliert, dass die Ableitung des Sinus der Cosinus ist. Wenn wir jetzt alles auseinanderhalten, können wir h wieder durch x^2 ersetzen und diese Veränderung auf der unteren Linie ist Cosinus(x^2) * dx^2. Und wir können sogar noch einen Schritt weiter gehen und bemerken, dass diese Veränderung auf dem mittleren Strahl, dem für die x^2, 2x * dx ist. Und es ist immer gut, sich daran zu erinnern, was das hier alles wirklich bedeutet.
In diesem Fall haben wir bei x = 1,5 oben angefangen, was bedeutet, dass die Veränderung auf dem dritten Zahlenstrahl ungefähr Cosinus(1,5^2) * (2 * 1,5 * dx) ist, wobei uns die Ableitung hier diese Proportionalitätskonstante gibt. Fällt dir auf, dass wir hier die Ableitung einer äußeren Funktion mit der unveränderten inneren Funktion haben und diese dann mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren?
Nochmal, Sinus(x^2) sind keine Spezialfälle. Wenn du zwei Funktionen g(x) und h(x) hast, ist die Ableitung der Komposition g(h(x)) die Ableitung von g am Punkt h(x) mal die Ableitung von h. Dieses Muster hier nennen wir die Kettenregel. Beachte, für die Ableitung von g schreibe ich dg/dh statt dg/dx auf. Auf einer symbolischen Ebene erinnert uns das daran, dass wir nur die innere Funktion in diese Ableitung einfügen, aber es ist auch eine wichtige Erinnerung, was die Ableitung der äußeren Funktion eigentlich bedeutet.
Denk dran, bei unseren drei Zahlenstrahlen haben wir bei der Ableitung des Sinus ganz unten die Veränderung des Sinus als Cosinus(h) * dh ausgeschrieben. Der Grund dafür war, dass wir nicht direkt wissen konnten, wie das Ausmaß dieser Veränderung von x abhängt. Das ist im Prinzip genau das, was wir herausfinden wollten, aber wie konnten die Ableitung auf diese Zwischenvariable h ziehen? Das heißt, du solltest erst herausfinden, wie du die Größe dieser Veränderung als Vielfaches von h ausdrücken konntest, und erst danach wurde es immer klarer, weil du herausgefunden hast, was dh ist.
Also bedeutet dieser Ausdruck der Kettenregel, dass wir uns das folgende Verhältnis ansehen: das Verhältnis zwischen einer winzigen Veränderung von g (dem Endwert) und einer kleinen Veränderung von h (dem Wert, der diesen verursacht hat), dann multiplizieren wir das mit der winzigen Veränderung von h geteilt durch die winzige Veränderung von x, die diese verursacht hat. Die dhs kürzen sich raus und übrig bleibt nur das Verhältnis zwischen einer kleinen Veränderung des Endwertes zu einer kleinen Veränderung des Eingangswertes, der diesen Endwert durch eine Verkettung von Events verursacht hat.
Das Kürzen von dh ist mehr als nur ein Trick, es ist ein ehrliches Merkmal der kleinen Veränderungen, die die Analysis ausmachen. Das hier sind also die drei wichtigen Werkzeuge in eurem Werkzeugkasten für den Umgang mit Ableitungen von Funktionen, die kleinere Funktionen kombinieren: die Summenregel, die Produktregel und die Kettenregel.
[Musik] Ich sollte aber auch erwähnen, dass es einen riesen Unterschied macht, ob ihr einfach nur wisst, was Produkt- und Kettenregel sind, oder ob ihr diese auch problemlos in jeder Situation anwenden könnt. Ich kann es nicht oft genug sagen: Videos über die Mechaniken der Analysis anzuschauen, egal welche Videos, wird leider nie ersetzen, die Sachen selber zu üben. Ich wünschte, ich könnte euch das abnehmen, aber leider müsst ihr das machen.
Was ich euch aber anbieten kann und was ich hoffentlich auch angeboten habe, ist euch den Ursprung dieser Regeln zu zeigen, damit ihr sehen könnt, dass das nicht nur Sachen zum Auswendiglernen und Wiedergeben sind, sondern natürliche Muster, die du mit genug Geduld auch selber hättest finden können.
Wie immer möchte ich mich bei allen Menschen bedanken, die diese Serie unterstützt haben und bei euch, die diese Serie anschauen. Vielen Dank und bis zum nächsten Mal.