Geometria euclidea dello spazio - rette, punti e piani

[Musica] dopo aver affrontato lo studio delle proprietà delle principali figure piane, in questo corso analizzeremo dal punto di vista semantico la geometria euclidea dello spazio.

Dato che l'intersezione di una figura spaziale con un piano da luogo ad una figura piana, ci aspettiamo che tutti gli assiomi della geometria euclidea piana siano validi anche nei confronti di un piano qualsiasi immerso nella spazio e quindi che la loro validità si estenda in modo naturale a tutto lo spazio.

Resta allora da individuare insieme degli assiomi che devono essere aggiunti per poter gestire correttamente la presenza di più piani. Cominciamo discutendo del mutuo relazione di posizione degli elementi primitivi. Abbiamo visto, per esempio, che per due punti passa l'unica retta. Cosa succede nel caso dei piani?

Possiamo realizzare la situazione con un esempio concreto che permetterà ad introdurle sono i mancanti in modo naturale. Tieni però presente, come sempre, che la scelta degli assiomi di una teoria non è necessariamente legata alla descrizione della realtà, anche perché, come si sa, esattamente fatta la nostra realtà, nessuno lo sa.

Discutiamo per semplicità la geometria euclidea, ma non è minimamente detto che lo spazio in cui viviamo sia proprio qui video. Fatta questa premessa, dunque, consideriamo una porta incardinata al muro per mezzo di due cerniere come una metafora per rappresentare un piano incarnato dalla porta, passante per due punti corrispondenti alle due cerniere dorate nella figura.

Come ben sai, la porta portare liberamente attorno ai due cardini, per cui due punti non sono sufficienti a individuare un unico piano. Se aggiungessimo la terza cerniera tra le altre due, allora la porta potrebbe correre nuotare liberamente, così il numero di punti non è sufficiente da solo a individuare univocamente un piano.

Se tu chiudiamo la porta fissando la posizione un terzo punto corrispondete la serratura, non allineato agli altri due i cardini, allora la porta che magari bloccata. Deduciamo di conseguenza che tre punti non allineati individuano un unico piano.

Tornando alla terza cerniera che abbiamo aggiunto prima, essa appartiene alla retta che passa poi le altre due sono l'asse di rotazione, ma anche la porta, qualunque sia la sua rotazione rispetto alla posizione in cui è chiusa. Ragione per cui siamo indotti a ritenere che quando una retta a 2 punti in comune con un piano, e saggia c'interamente in quel piano.

Per finire, supponiamo che la parete della stanza che vedi disegnata si estende all'infinito in tutte le direzioni. Qualunque cosa si trovi dentro, per poter uscire dalla stanza deve necessariamente attraversare quella parete, come questo fantasma. Ciò si traduce nel fatto che ogni piano divide l'insieme dei punti dello spazio che non appartengono in due regioni separate.

Se due punti appartengono alla stessa regione, allora il segmento del quale sono gli estremi non interseca al piano, mentre se due punti appartengono regioni diversa, allora tale segmento interseca al piano necessariamente in un solo punto. Questa terza proprietà è analoga a quella di separazione di un piano da parte di una sua retta che ha già incontrato nella giornata piana.

L'unione di una qualunque delle due regioni con l'insieme dei punti del piano forma un semi spazio, del quale il piano si dice origina. Per riassumere adesioni che già conosci della geometria piana, la cui validità viene stesa l'intero spazio, per ottenere la teoria della giornata agridea dello spazio bisogna aggiungere i seguenti assiomi:

Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano. Se una retta in comune due punti con un piano, allora giace interamente in quel piano. Ogni piano è origine di due semi spazi tali che due punti qualsiasi che stanno nello stesso semi spazio, ma non nel piano, sono estremi di un segmento che non interessa è che al piano, mentre i due punti qualsiasi che appartengono a due diversi semi spazi, ma non al piano, sono estremi di un segmento che interseca il piano esattamente in un punto.

A questi assieme bisogna ovviamente aggiungere la richiesta che esistono quattro punti che non appartengono allo stesso piano. Aggiungeremo altri terza lezione per poter estendere teoria della misura e solidi definendo il concetto di volume. In questa lezione, invece, discuteremo le principali proprietà della geometria euclidea.

Esistono più modi per specificare univocamente un piano, oltre all'individuazione di tre dei suoi punti. Per esempio, presi un punto p, una realtà e non passante per p, esiste un unico piano passante per p e contenente r. Infatti, basta scegliere due punti distinti qualsiasi a e b di argan p non è allineato ad essi perché non appartiene r, quindi i tre punti a, b e p definiscono un unico piano alfa, sul quale già c'era perché a due punti comune commesso prima.

Di analizzare ulteriori modi di specificare un piano, discutiamo le relazioni di posizione tra due rette. Due rette distinte possono avere al massimo un punto in comune. Due reti si dicono incidenti siano esattamente un punto comune. Dorate incidenti rs sono complanari, cioè appartengono allo stesso piano.

Infatti, chiamato pil punto d'intersezione, considero comunque punto herbert dell'area target diverso da p e un qualunque punto est della rete s diverso da p. Per i tre punti prs passano solo piano alfa, sul quale giacciono le due reti rs x che hanno due punti in comune commesso.

Quando due reti non hanno punti in comune, possono presentarsi due casi. Se le due rette solo complanari, allora vengono dette parallele, mentre se non sono comprare mai, allora si dicono svende. Per esempio, le rette su cui giacciono un lato di una faccia di un cubo e la diagonale della faccia apposta solo sghembe.

Per un punto p esterno della rata era passa una sola retta s parallela r. Infatti, per p e per la realtà è che passano unico piano alfa e per l'assioma delle parallele sul piano a faccia c'è un'unica retta s parallela. Due rette sono perpendicolari se si intersecano, quindi sulle complanari e nel piano sul quale giacciono entrambe, esse formano quattro angoli retti.

Per un punto p esterno in realtà era passa un'unica realtà esse perpendicolare a r. Infatti, per p r passo un unico piano alfa e le azioni della geometria piana estese allo spazio permettono di mostrare che si affaccia c'è un'unica perpendicolare a rega il passante per il punto p. Cosa succede quando il punto più appartiene r?

Ti faccio osservare che la retta era già sulla quantità infinita di piani. Infatti, dato che esistono quattro punti non appartenente un piano, considera tipi e un secondo punto è re della rata r, esistono sicuramente un punto a non appartenente all'area terre che assieme alla rete identifica univocamente un piano alfa e un punto b non appartenente ad alfa. L'aret abili contiene infiniti punti ed e sghemba rispetto r, così per un suo punto qualunque esse e per r passa un piano sigma.

Scelto un punto e sepino della realtà b, si ottiene un piano sigma prima passante per terra e per s p, ma se esse prima è diverso da esse, allora sigma prima e diverse la sigma, altrimenti la realtà b e la retta eremi risulterebbe la complanare. Su ciascuno di questi piani sigma giacciono l'unica perpendicolare, come avevamo dimostrato nel corso sulla perpendicolarità il parallelismo.

Abbiamo quindi dimostrato che esistono infinite rette perpendicolari a una qualsiasi eta data in su tutto. Dimostriamo che queste sono tutte le rette di un ben preciso piano che passano per quel punto. Siano st 27 perpendicolari alla re terra nel suo punto pighi e si indichi con afa che hanno individuato da st.

Le rette perpendicolare a r passanti per p sono tutte sole le rette giacenti su alfa e passanti pepi. Una volta che abbiamo dimostrato che tutte le reti di afa passanti per p sono perpendicolari r, è facile verificare che tutte pendicolare ai passanti pepi giaccio la sua alfa. Infatti, se p è una di queste rette, allora il piano bet sul quale giacciono rp a un punto comune con alfa, quindi l'intersezione tra il piano afghano beta è tappi prima.

Dimostriamolo. Il piano al fas e pare lo spazio indue semi spazi e la realtà era che appartiene a beta ap in comune come alfa. Ciò implica che due punti a e b i posti su aree da parte opposta rispetto a pija sono sui due semi spazi opposti di original fa, in quanto segmento b interseca fa in pi.

Preso a loro il terzo punto cd beta non appartenente alla realtà rene giacente nello stesso semi spazio al quale appartiene a, il segmento decisamente se carafa in un punto diverso da p perché punto p non appartiene alla retta vicino i punti p e q appartengono entrambi i piani alfa e beta, quindi l'intera retta p prima uguale apq appartiene ad essi. Dato che più primo appartiene ad alfa, s perpendicolare.

Così l'unicità del pro pendicolare aerea passante pappine per la beta implica ppe one happy prima, cioè che la reta pia appartiene al piano alfa. Resta dunque da dimostrare che tutte le rette di alfa passanti per il punto p solo perpendicolare a r. Si aprì una tale retta, le due rette st formano quattro angoli di vertice il punto p della retta più contenuta in due di questi quattro angoli.

Scelto uno dei due angoli, prendiamo un punto s sull'atto dell'angolo docente sulla rete è un punto ti sul lato docente sulla realtà tv. Il segmento st interesse che la retta pin un punto era considerati allora due punti a e b della realtà era situata in posizione opposta rispetto al punto p e tali che a pisa col twente abb i triangoli abs abiti sono i soci lì sulla base a b, in quanto le loro altezze sp etp sono anche mediale per costruzione, quindi as quel momento di essere atti è comunemente abiti.

Considerate allora triangoli as teb st e siano esse con when the bs articolo 20 st in comune, pertanto sono commenti per il terzo criterio. Risulta allora che gli angoli st a stb sono congruenti in quanto elementi corrispondenti di triangoli congruenti. Così triangoli allegati e brt sono congruenti per il primo criterio, in quanto hanno ati con winter bt, l'angolo aretina congruenza d'angolo reti b eletti in comune.

Ne consegue che era il consulente a breve in quanto elementi corrispondenti di triangoli consueti e quindi il triangolo abr isoscele sulla basa b, ma ciò implica che la mediana e pda br sia anche altezza, così la retta p è perpendicolare r. Il piano alfa si dice è sempre pendicolare a r e in virtù di questo teorema esiste un unico piano perpendicolare una data retta e passante per un punto dato di quella netta.

Si può dimostrare facilmente che esiste un unico piano alfa perpendicolare a una realtà arredata e passante per un punto p dato qualsiasi. Rimane da verificare solo il caso un colpi non appartiene a r, ma prima di farlo passiamo alla questione del parallelismo tra le rette, dimostrando che essa una relazione di che valenza, come nel caso del piano.

Rimane da dimostrare la proprietà transitiva che peraltro sappiamo e se vali dall'interno di un qualsiasi piano. Siano allora rst trenette non complanari e tali che r parallelo ss prelevati. Indichiamo con l'alfa il piano passante per r s e prendiamo il punto pdr. Per p e per la retta ti passa un unico piano beta che interseca alfa in una lettere più, ma sulla quale giace p.

Proviamo prima di tutto che era prima coincida con mega. Se per assurdo così non fosse, allora è qui ma non sarebbe parallela s a causa dell'unicità della parallela s passante pepi, quindi esisterebbe un punto ad intersezione tra air brino e s, ma allora beta che ci tenendo col piano comune ats in quanto a non appartiene a t, così contenendo la realtà esse è un punto di r dovrebbe coincidere con alfa, contraddicendo il fatto che le terrazze non sono complanari.

Dato quindi che era il primo coincide con eroina, la retta reti sono complanari e rimane solo da provare che non hanno appunto in comune. Questa è la parte più facile. Se infatti per assurdo rt si intersecarsi un punto b, allora poi mi passerebbe due parallele as distinte, cose che abbiamo già detto contraddice la somma delle parallele.

Torniamo allora al piano perpendicolare alla realtà era e passante per un punto p non appartenente all'area. La sua esistenza si può dimostrare prendendo il piano alfa passante per p e perpendicolare alla parallela sdr che passa per p. Essendo parallele rs giacciono sul piano a metà passante pepi e quindi alfa e beta s'intersecano lungo una retta di passante per p e perpendicolare a essa.

Di conseguenza, ti deve intersecare anche aria in un punto ti. Dimostriamo che il piano affaire perpendicolare a r. Chiamiamo a e b le rette giacenti sul piano afa perpendicolare ati e passanti rispettivamente per i punti ti ep su di esse e nello stesso semi piano di origine la retta ti.

Prendiamo rispettivamente i punti a eb italiche atti sia con guenda bp. Dato che in questi due ultimi segmenti sono anche paralleli, il quadrilatero a bb t e un parallelogramma, così i suoi lati opposti ab ept sono paralleli e concreti. Prendiamo poi punti a primo ep primo su aree su s giacenti nello stesso semi piano di origine ti è tale che aprono tsa congruente di primo pit.

Come prima si dimostra capirlo di primo ept sono paralleli congruenti, così per la proprietà transitiva del parallelismo della confluenza ab ea primo b prima sono paralleli e congruenti. Deduciamo allora che a bb primo al primo è un parallelogramma, esso ai lati opposti a a prima e b b prima sono cruenti.

Per concludere, i triangoli aa primo tir e b b prima p sono congruenti per il terzo criterio di congruenza, così l'angolo atti a primo e l'anglo bpd primo sono congruenti in quanto i corrispondenti di triangoli confluenti. Dato che la retta a chi giace su alfa e passa per ps perpendicolari asse, così l'angolo bpb primo è retto, ma allora anche atti a prima in angolo retto e la retta perpendicolare.

Abbiamo visto così che sul piano al fagiano 2 perpendicolari aeree passanti per p la rete haiti, quindi a far perpendicolare a r. L'unicità del piano perpendicolare a r al passante pepi è dovuta al fatto che se alfa primo posto secondo piano del genere, allora esso intersecare bere in un punto ti primo e nel piano passante per gare happy esisterebbero due perpendicolari area passanti per il punto p, la rete pt ept primo, ma ciò non è possibile.

Continuando l'analisi della perpendicolarità nello spazio, dimostriamo il teorema delle tre perpendicolari. Siano era una retta, al fa un piano perpendicolare a heaven il punto p, s una retta docente su alfa e ti la perpendicolare as passante per p. Con questa ipotesi, la retta s perpendicolare al piano bet sul quale giacciono erg ed il caso interessante da dimostrare quello in cui essere un passo per p, altrimenti s risulterebbe proprie di colari si è recati nel punto p e quindi sarebbe perpendicolare al piano beta.

Chiamato allora s il punto di intersezione tra la rete st, prendiamo sulla realtà esse due punti a e b situati da parte opposta rispetto appunto s tali che as concorrente abs. Il triangolo abiti e isoscele sulla base di, in quanto la sua altezza ps anche mediana, così api è congruente abp.

Scelto qualunque punto anche sulla realtà era diverso da p, i triangoli apr dpr rettangolo in b sono concreti per primo criterio di congruenza. Aggiungi tuoi dettagli che così a rdr sono commenti in quanto elementi corrispondenti di triangoli concreti, per cui il triangolo abr isoscele sulla basa b, ma allora la mediana rs del triangolo l'altezza, così la retta ressa perpendicolare alla rete s.

Quest'ultima risulta dunque perpendicolare a due rette passanti per esse del piano beta, quindi è perpendicolare a quel piano. Studiando la propria dico la reiterata della rete i piani, abbiamo dimostrato che due piani che hanno in comune un punto si intersecano lungo una retta passante per quel punto. Piani di questo genere si dicono incidenti.

Non è possibile che l'intersezione tra doppia nei distinti contenga più di una retta, perché abbiamo visto per una rete un punto esterno ad essa passa un solo piano. Due piani vengono detti paralleli se non si intersecano e la relazione di parallelismo tra i piani si estende a caso di due piani coincidenti in modo che risulti anche riflessiva.

Dimostra per esercizio che questa è una relazione di equivalenza, cioè che gode pure della proprietà transitiva. Per esercizio, dimostra anche che se due reti solo perpendicolari allo stesso piano, lo sono parallele tra loro, che i due piani perpendicolare una stessa letta solo paralleli tra loro e che dati i due piani paralleli alfa e beta, ogni piano gamma incidente alfa e anche incidente rispetto a beta e le due rate di intersezione di gamma come alfa e beta sono parallele tra loro.

Nel caso dello spazio, non è più vero che due reti perpendicolare alla stessa retta sono parallele. È facile dimostrare che le dorate non si intersecano, però potrebbero essere scanned e viceversa. Due rette sghembe qualsiasi a non l'unica perpendicolare comune. Ti indico come trovare quella perpendicolare e lasciate il compito di dimostrare effettivamente tale retta perpendicolare ad entrambe.

Pre<bos>o una definizione: una retta si dice parallela un piano se non lo intersecano. Siano rs due reti sghembe. Considerato un qualunque piano alto passante per r parallelo esse, si proietta ortogonalmente la rete sua fa ottenendo noi stesse prima parallela s e se prima non può essere parallel lines, altrimenti per la proprietà transitiva, la retara risulterebbe parallela, contraddicendo al fatto che sono schede.

Chiamato per primo il punto di intersezione tra rs primo e p il punto di esse la cui proiezione di primo, la retta ppe prima la perpendicolare comune rs. L'unicità di tale perpendicolare conseguenza della nascita del piano alfa parallelo s passante per aria, nonché dell'unicità del punto di intersezione tra le rette incidenti in questo caso sr quino.

L'angolo che una retta forma con un piano che s'interseca el'angola cota che essa forma con la sua proiezione nel piano. Come nel caso piano, la perpendicolarità viene utilizzato per definire la distanza. Nello specifico, la distanza tra un punto p un piano alfa e la lunghezza del segmento che apre estremi p e la sua proiezione pipì, ma sua alfa, cioè il punto di intersezione tra sfera pro pendicolare ad alfa passante per p.

La distanza tra una retta e un piano alfa parallelo e gael a distanza fra in qualunque punto pd erg e alfa. La distanza tra due piani paralleli alfa e beta è la distanza tra beta e a qualsiasi punto p di alfa. La distanza tra dorate sghembe è la lunghezza del segmento che per estremi due punti intersezione delle due mete con la loro perpendicolare comune.

Analizziamo ora l'incidenza tra piani. Dati due semi piani distinti aventi la stessa origine, si chiama dietro ognuna delle due parti in cui lo spazio viene diviso dai due sim i piani che vengono considerati inclusi mediano dei due piedi. Uno e convesso, cioè segmento che apre stremo i due suoi punti qualsiasi è interamente contenuto nesso, mentre l'altro e con cavo, a meno che i dossier piani siano quelli in cui un piano viene diviso da una retta.

L'origine dei due sim i piani si dice a spigolo del dietro e i due semi piani si chiamano facce del dietro. Si dice sezione di un dietro l'angolo ottenuto intersecando indietro con qualsiasi piano non parlano allo spigolo. Due sezioni parallele di un qualsiasi dietro sono tra loro con quenti, chiamate alfa e beta le due facce di un dietro gli spiegò aerea.

Siano gamma e gama prima due sezioni parallele veliero, dunque ottenute secondo lo con due piani paralleli. Qui diamo lo stesso nome delle sezioni, indichiamo rispettivamente con circo ci prima il vertice delle due sezioni e prendiamo due punti a e b e due punti a prima di prima sui loro lati, in modo che a ci sia turbolenta prima ci prima in bici sia con when the eye primo c'è prima.

Il quadrilatero acc prima qui ma un parallelogramma perché ai due lati a cia prima ci prima paganelli congruenti, così lati opposti a a prime cc sono paralleli e community. Allo stesso modo si dimostra che baby prime cc prima sono paralleli e con lenti, per cui utilizzando le proprietà transitiva aa primo e baby prima risultano paralleli e congruenti.

Dunque anche abb prima prima un parallelogramma sui lati opposti ad ea primo di prima sono congruenti. Allora i due triangoli abc a cui moby 1ª cp ma risultano congruenti per il testo criterio di como enza, da cui gambe gama primo sono congruenti in quanto elementi corrispondenti di triangoli congruenti.

Nel caso particolare in cui il piano che definisce la sezione sia perpendicolare lo spigolo del diodo, si dice che la sezione è normale e l'ampiezza del lieto e l'ampiezza di una qualsiasi delle sue sezioni normali. Il dietro si dice dunque acuto, retto oppure ad uso, se tale è una qualsiasi sezione normale.

Due piani si dicono perpendicolari se sono incidenti e dividono lo spazio in quattro lieder i gatti. L'ultimo teorema che dimostro il teorema di talete, secondo il quale un fascio di piani paralleli stacca su due trasversali qualsiasi segmenti corrispondenti proporzionali. Se st sono le trasversali ai piani alfa beta gamma delta eccetera tra loro paralleli, allora possiamo condurre per un punto p della retta tina parallela s prima a s i piani alfa beta gamma e delta intersecano il piano passante per ss primo in rete abc e di tra loro parallele e quindi per la versione piana del teorema, i segmenti corrispondenti su dss primo sono proporzionali.

Dato che anche se prima e ti sono complanari, anche segmenti corrispondenti su di esse sono proporzionali, così i rapporti tra i segmenti il suo essere co esponenti segmenti su tutti sono uguali. Concludo con un breve accenno sulle trasformazioni geometriche nello spazio, estendendo tutti i concetti definiti nel caso piano.

Tra le sue mete che troviamo la traslazione di un dato lettore, le rotazioni a tornare tabet asse di rotazione, le simmetrie centrali che nello spazio inverto dell'ambientazione, le simmetrie assiali che corrispondono a rotazione di un angolo piatto attorno all'asse di simmetria, le simmetrie rispetto a un piano che invertono l'ambientazione e le loro composizioni. Si estendono poi il modo analogo anche le ho notati e e le similitudini, cioè composizioni terremotati e isometria.