では数学への招待第2回ということで、ここではですね、前回勉強した数列の知識をですね、複利計算、銀行でそのお金を預けて利子を計算すれば、ね、そういった話に使ってみたいと思います。

ですね、まずまあ数列を数学としては使っていくんですけれども、その前にですね、その利子の計算ですね、それをやるにあたってですね、いくつかその利子の計算のための要望をね、いくつかまず先にね、決めておきたいと思います。

まずですね、まあ利子ということでお金をこう預けるわけですね。はい、このお金のつもりですね。はい、お金があるケーキみたいになっちゃいましたね。今どうでもいいんですけども、お金があるとしましょう。はい。で、これをですね、預けたお金ですね、これをですね、元金と言います。はい、預けたお金ですね。例えば銀行でお金を預けたものですね、皆さんの、お金を預けたもの暖気と言ったりしますし、あとお金を借りた時ですね、お金の借りた最初のお金のこと、それを元金と言います。

で、こうやって銀行に預けたりですとか、あとはお金を借りてですね、まあそのまま返す時ですね、そのままの額ではなくて、利子というものがついていくわけですね。はい、一番わかりやすいのが銀行に預けた時ということなんですけれども、銀行に預けておくとですね、少しですけれど、もその利子がついてですね、ちょっと増えるわけですね。はい、で、その利子がついてちょっと金額的にもですね、ちょっと大きくなるわけですね。お金もこれがちょっと増えたということになります。

その利子がどれだけつくかっていうこの割合ですね、この割合のことを何て言うか、1年にどれだけこうお金が増えますよっていうね、この割合のことですね、この割合のことをですね、利率と言います。で、もちろんですね、このまあ利子がついてお金が増えるわけですけれども、この増えた分ですね、このお金、元からこう増えたんですね。ここら辺が増えたんですかね。はい、この増えた分ですね。はい、この増えた分をなんていうか、先ほど言いましたけど、利子というわけですね。はい。

で、まあもともとのお金がこれが元金といったわけですけれども、元金にまあある程度ね、時間が過ぎると利子がついてプラスされるということになります。お金を借りた場合もお金を借りた場合プラスして返さなきゃいけないということで、まあこういった感じで利子がつくということになります。で、その元金と利子ですね、この2つ合わせてお金のことをこれ元利合計と言います。元利合計と呼びます。

ということで、お金の計算っていうんですかね、元金から利子がついて、で、その元金と一緒の合計、元利合計がどうなるかということを計算していこうということです。その計算に数列が非常に役に立ちますので、その計算のね、方法を見ていきたいということになります。

で、利子にはですね、色んなつき方がありますので、その場合に応じてですね、どういう計算をしていくかってことをそれぞれ見ていきたいと思います。

では2.1としてですね、単利というものがあります。これは何かっていうですね、元金にのみ利子がついていくと、ですかね、もともと借りたお金で利子を計算していくというもの、これが単利というものです。

どういったものか具体的に見ていきたいと思うんですけども、例の2.1。元金がですね、10万円ですね。例えば10万円銀行に預けよう。年利4%、つまりこれは1年に4%だけお金が増えるということですね。それの管理、これは後で説明します。預けるとき5年後の元利合計、5年間預けっぱなしにするとどれだけね、お金が増えるでしょうかね。利子も含めていくらになるでしょうかと、そういったことを計算しようということです。

今は元金が10万円ということで問題に書いてあるわけですけれども、はい、じゃあ利子どうなるか。4%1年でどれぐらいのお金が増えるかっていうと、じゃあ利子はどれだけになるかっていうと、10万円の4%。4%っていうのは0.04倍ですね。はい、ということなので、これはいくつかっていうと、これは4ですかね。違う。0.4万円。つまりまあ4000円とですね。0.4万円、24,000円。つまり1年でまあ4000円しか増えないと。今現実世界ではこんなに増えませんけれど、もはい、えーまあこうなるという状況だということです。

じゃあそれがじゃあ5年経つと果たしてどうなるかなっていう話をね、ちょっと見ていこうと思う。はい、じゃあこの4000円1年で増えますよってことですけども、じゃあ1年後どうなるかっていうと、元金ですね。元金が10万円あるわけですけど、それに4000円増えた、つまり0.4万円、4000円だけ増えるということになります。ですので、もちろん10.4万円ってことになります。これはいいですかね。

じゃあ次2年後どうなるかってことですけれども、はい、2年後はどうなるかっていうと、1年に4000円、0.4万円増えますよってですね。で、えっと、この元金10万円のこのから計算したこの0.4万円っていうのが、もう1回足されるということになります。つまりどういうことかというと、最初の1年ですね、最初の1年で1回目の0.4万円がもらえて、でもう1年経つので、もう1回0.4万円もらえるということになります。つまり10+0.4×2っていう計算になります。もちろんこれを計算すると10.8万円、つまり10万8千円ということになります。

じゃあ次3年後どうでしょうかっていうと、じゃあ3年後ですね、これはどうなるかっていうと、最初の10万円に4000円、1年目の4000円、2年目の4000円、3年目の4000円、4000円が3回足される。つまり10+0.4×3ということになります。つまり1.2万円、つまり11.2万円になりますよっていうことになります。

じゃあ4年後5年後、最後じゃいきなり5年後に飛びますけれども、じゃあ5年後どうなるかなっていうことを考えてみますけれども、5年後これはどうなるかっていうと、じゃあどうやって計算したらいいでしょうね。これ見ていきますと、この0.4万円が1年でつくわけですけれども、はい、それがその年月が経った分だけ足されてるわけです。例えば1年後だったら0.4が1回足されてますね。2年後だったら0.4が2回足されてます。3年後だったら0.4が3回足されてます。はい、じゃあ5年後だったらって言われたら、じゃあ5回足されるよねってことになります。なので0.4×5ってことになります。5年後なんで5回0.4が足されてると。0.4×0.4+0.4+0.4+0.4+0.4。これをまとめて0.4×5ってなってるわけですね。こうするとこれは12万円ということになります。なので元利合計いくらかっていうと、元々ですね、これが元金10万円ですね。で、利子が5回ついてちょうど2万円分ということで、元利合計が12万円ということで、求める値は12万円ということになる。

で、じゃあこれをですね、じゃあ一般的ななんていうんですね、まあ仕組みとしてですね、どうやってこう書いたらいいかな、特に文字で表す時にどうしたらいいかなっていうのをですね、ちょっと考えてみたいと思います。ね。はい、じゃあこの元金がA0です。ね、数列を使って考えるんですけど、元金のA0です。C%も文字になってます。N年後どうなりますか。年間2号機はどうなるかと言ってます。

で、まずちょっと一つ注意しなきゃいけないのは、数列で考えるんですが、今回この元金スタートがゼロからスタートしているというので、ちょっと第1回の話だと1からスタートしていましたけれども、元金が0っていうところでちょっとここでね、考え方をですかね、よりはっきりさせないとちょっと計算ミスしやすいので気をつけてください。あとCパーセントですね、小数分数で考える時は全く変わってきますんで注意し。

じゃあどうなるかって話はですね、ちょっと置いといてですね、じゃあちょっと証明の方から行ってみましょう。どうやって計算したらいいか。まず元金がA0ですよね。はい、じゃあ1年後どうなりますかというのをまず計算するんですけど、まずこうマジで計算していくところから結構大変ですので頑張りましょう。はい、どうなるかっていうと、元金A0くらいですね。それに何かしらプラスされるというわけですけれども、はい、じゃあ1回あたりの利子っていうのがどれだけ、1回あたりの、1回あたりの利子がどれぐらいかというのをまず計算しないといけません。どうやって計算するかというと、元金がA0で、それのCパーセントされますよと言ってます。はい、じゃあCパーセントってどういうことかっていうと、これに掛けるんですけど、Cパーセントっていうのは分数で表すと100分のCですね。やっと出ますかね。100分のCということになります。なので、これが1回あたり足されるお金だということになります。なので、じゃあ1年後どうなるかっていうと、1年後はA0にA0×100分のCだけ足されるということになります。

はい、じゃあ続いてじゃあ2年後も言ってみましょう。2年後ですけれども、はい、先ほどの計算と同じようにやっていきますけれども、A0ってありますけれども、この元金ですね。これに利子が2回足されるわけです。なのでA0×1/100が2回。利子が2回足されますよってことになります。はい、なのでここあえて言うんだったら、1年後はかける1っていう感じですかね。なります。2年後だったらまあかけるこんな感じでやっていきます。

はい、じゃあ3年後はどうですかっていうと、3年後はA0元金にA0×1/100が3回かけられますよということですね。100分のCが3回かけられますよ。3年後なんで3回足されますねっていうことです。はい、じゃあN年号はどうなるでしょうかってところで繰り返していくと、N年俸はと、A0に利子A0×1/100のN回っていうことになります。あとはですね、はい、このA0とA0同じものがありますので、これをくくってみます。A0かっこ1+100分のCMNCでどちらでもいいんですけども、100分のちょっと分けたほうがいいですかね。100分のCがn個あるとですね。100分のC×Nとこんな形で書けますよとですね。A0かっこ1+100分のC×Nということになります。ですので、上の定理のanのところですね、これどうなるかっていうと、A0かっこ1+100分の1 +100分のC×Nとこんな形で書ける。A0かっこ1+1/100のNと約分のC×Nということになります。こんな風に書かれますよということ。

で、この公式なんですけど、この公式が全然覚えなくていいです。覚えなくていいというか、私も個人的な感想になります。これだと逆に分かりづらいかなと思います。むしろちゃんと理解していただきたいことは何かっていうと、1回あたりの利子がどれぐらい足されるかってことが大事で、元金に、元金にこの利子が1回足されてる、利子が2回足されてる、利子が3回足されてる。N年後は利子がn回足されていると、そういう風に見てもらうと、それが一番大事なのかなというふうに思います。

では続いて2.2としまして、1年複利というものを勉強していきましょう。先ほどまでの単利はですね、同じ金額がですね、利子としてずっと続いてついていったわけですけれども、ここでいう複利はですね、もう少し複雑なルールですね、利子がついてきます。とはいえですね、この副詞というですね、複利というですね、考え方はですね、一般の銀行でも使われてる方法ですので、まあよくね、見ていき。

さてさて、では例の2.4ということで具体的に見ていきますけれども、元金10万円で臨時12%が1年複利で預ける3年後の管理合計はどうなるかというものです。まずまあ元金というところですけれども、まあ数列ぽくA0 =10という風にしておきましょうかね。=10と。はい、じゃあ続いてじゃあ1年後どうなるかということでA1という風にしていきますけれども、じゃあこの時点でね、じゃあ利子どうなるかと言いますと、今のこの時点では元金しかありませんので、ここまでは単利と同じです。どういうことかと言いますと、元金の10万円に利子として元金の今あるお金の12%、0.12が足されるということになります。これもちろん計算しますと10+1.2になりますね。11.2と11.2万円と。ということになりますけれども、ここではですね、具体的にいくつかというよりですね、ちょっと規則性を見ていきたいなと思うんですけれども、ここでですね、この10がですね、2つ同じものがね、あるということをみまして、これ10でくくりますね。ここちょっとこれ置いといてと、10で括ります。なので10括弧という形しますね。そうするとですね、この前の10につきましては、これは10×1なんで1だけ残ります。なので1とプラス、じゃあ後ろのですね、10×0.12どうなるかと言いますと、ここはまあ0.12だけ残るということで、これどうやって計算できるかというと、10×1.12とこのような形でね、かけるということがわかります。ということで、11.2万円、11万2000円なんですが、あえて書くとね、10×1.12かけるということになります。

では2年後のね、場合どうなるかここからが単利と変わりますので注意しましょう。複利の場合ね、どうなるかと言いますと、まず今あるお金がですね、10 ×1.12でしたね。10×1.12というものでした。これにですね、複利っていうのは何かって言います、今あるお金ですね、今ある今持っている正確に言うとこっちですかね、1年目のお金ですから正確に言うとね、ここですね、10×1.12。これに12%がつくということですね。単利の場合は元のね、この10万円にしか利子がつかないので、ずっと同じに利子でしたけれども、今度は今今持っているお金にこう利子がつくという形になります。ですので、どうなるかと言いますと、今持っているお金10 ×1.12にさらに0.12倍したものが足されますよってですね、今持っているお金に対して12%ね、つきますよと、12%ですっていう計算になります。

はい、じゃあこれもですね、ちょっと見やすくするためにちょっと計算していきますけど、今回はですね、10×1.12が前と後ろで共通してますので、この10×1.12でくくるということにします。そうすると、では10×1.12と、じゃあ括弧でくくりますけれども、どうなるかというと、前は10.12しかありませんので、残らないですね。10.120 ×1.12×1と。後ろどうなるかと言いますと、10 ×1.12×0.1だから、これが残りますね。0.12が残りますので、0.12こんな感じになります。従いまして、これどうなるかというと、10 ×1.12×1.12と、1.12が2個出てきたってことですから、これは10×1.12の2乗という風に簡単に書くことができるわけですね。

はい、ということでこれ見ていきますと、これ複利計算見ていきますと、1年目と2年目比べてみますと、こういうことがわかります。つまり、1.12の1乗から1.12の2乗になっていますね。ってことはこれなんか利子で足されてるんだけれども、計算的には1.12倍してるだけだなっていうのがわかります。で、もっと見ていきますと、元の元金ですね、元の元金A0からこの1年目ですね、1年目に掛けてもやっぱりこれ10×1.12倍されています。ここもやっぱり1.12倍されています。ということで、複利計算をするってことはどういうことだって言うと、最初の10万円があって、それの1.12倍して1年目、さらに2年経つとね、どうなるかと、さらに2乗まで1.12倍さらにされるということになります。

じゃあ3年目はって言うと、どうなるかって言うと、これも1.1。これ詳しく計算上ちょっと省きますけれども、がA3=どうなるかと言いますと、10×1.12の3乗ですね。さらに2乗から3乗にっていうことで、1.12倍されると。ですので、この単利合計に対してさらに12%がつくっていうね、この複利計算ではですね、これどんどんどんどんなんとか倍、1.12倍ずつしていくということ、つまり同じ数だけかけてくってことなので、等比数列で計算されるということがわかります。

ということで、今のことをですね、こんな感じで音を踏まえてですね、一般的にじゃあ記号でね、書いてみましょうということで下にいきますけれども、単利が元金が0、利子がCパーセントの複利で預けよう。この時にN年後の管理合計はどうなりますかというものですけれども、はい、これはですね、まあ先に計算をして後から埋める形にしましょう。はい、じゃあ証明ってところから先に行きたいと思いますけれども、これはまずですね、元金A0としましょう。じゃあ1年後どうなるかと言いますと、じゃあ足していく計算なのになんでなんとか倍になってるかということで、文字で仕組みを見ていきますが、まず元金のA0があります。で、利子はどれだけがつくかっていうと、今持っているお金の何パーセントか。今Cパーセントですね、Cパーセントの複利と言っています。ですので、これは100分のCってことになります。じゃあこれを見やすいようにくくりましょうって言うと、A0とA0が共通してますので、じゃあこれをですね、括ってA0かっことすると、1プラス後ろはA0×1/100なんで、A0でくくると1/100。つまり整理するとこんな形。0×1+100分のCということになります。単利とは違うのはこの後ですね。2年後どうなるかと言いますとはい、ちょっと複雑になりますね、計算がね。どうなるかっていますと、今持っているお金がですね、A0×1+100分のCなんです。A0かける今持っているお金がこれです。ね、01+100分のCと。これが今持っているお金ですね。で、それのCパーセントですね。今持っているお金A0×1+1/100です。これのICSさらにCパーセントが足されるということになります。ですので、計算的にはどうなるかというと、今持っているA0+1+1/100のさらに100分のCY 100分のシートということになります。ここの部分が利子になりますね。2年後のここが利子になります。利子はどうやって計算しているかというと、1年後のお金のさらにCパーセント。1年後に持っている元利合計の1年後に持っている元利合計のCパーセントが利子としてつくわけです。プラスされるということです。

はい、ではじゃあどうなるかっていうと、これも綺麗に直しますと、A0かっこ1+100分C。後ろもA0かっこ1+100分のCっていうのが入ってますので、それを共通してるんで括ります。そうすると、A0かっこ1+100分C。残ったものを見ていくと、前の方はA0括弧1+100分のCそのものなので、かける1ってわかります。後ろはどうなるかというと、A0+100のですね、ここがなくなって残るのがここですね。100分のCだけ残りますので、約分のCが残る。そうすると、じゃあ括弧見てみると同じように1+1/100が2個あるので、同じものが2個あるので、A0を1+100分のCの2乗という風に計算できる。こんな形になります。従いまして、じゃあこれ見ていきますとはい、じゃあ1年目から2年目、1年後から2年後どうなってるかっていうと、1+100分のCとなりますね。で、2年後になると1+100分のCの2乗になります。つまり1+100分のCだけ掛け算されてますよってことになるんですね。一番100分のCだけ掛け算されている。同じようにして、じゃあこっちですね、じゃあ元金から1年後もどうなってるかっていうと、ちょっと今見づらいですけども、はい、ここですね、A0から1年後ね、1+100分のCになってると。ということですので、やっぱり同じく1+1/100倍されているということになります。つまりこれどんどんどんどんですね、1+1/100倍されてるっていう等比数列だということがわかるわけですね。はい、でしかも元金ですから、元金はそのままA0ですが、1年後の時は位置情報ね、1+100分のCの1乗ですね。1年後の時は10001+1000円ということになります。さらにじゃあ2年後の場合はどうなるかと言いますと、2年後の場合ですね、2年後の場合は1+の2乗になってると。いうことになります。以上ですね、はい。

ということですので、じゃあN年号はどうなるかっていうと同じようにして計算できるということで、したがって書いてますね。したがってN年号はどうなるかっていうと、N=A01+1/100のN乗になる。N=A0かっこ1+100分のCのN乗。こういうことになるということですね。ですので、複利計算はですね、これ等比数列になってるというと、等比数列で計算できる。これが使えますよっていうですね、等比数列の考え方が使えますよということです。はい、ということでじゃあちょっとこれをね、一応定理ということでまとめの式ということで帰ってきますけれども、じゃあanですね、=どうなるかというと、A01 +100分のCのN乗。一応式としてはこんな感じで書けるわけなんですけれども、別にこの式をね、まあ覚えてもいいですけれども、覚えるというよりは、まあこのなんとか倍、なんとか倍、等比数列になってますよってことをね、よく覚えていただいた方がいいかなと思いますね。こういう風な感じでなってきますよということです。

では続いて2.3として様々な複利というところでも見ていきましょう。これはですね、先ほどの例は1年に1回だけで医師がつく場合を行いましたけれども、今回は1年の間に等間隔ですけども、複数回利子がつくという場合を考えていきます。はい、どういうことかちょっと見ていきましょう。例の2.6とありますけれども、これ元金が10万円で年利12%すると、これまでですとですね、1年に12%の利子がつくという話をしました。しかしながら、じゃあちょっと例えば1番見ていきましょう。半年複利で3年後の元利合計を求めようという風にあります。これ何かと言いますと、半年複利になりますね。この半年服ですね、見てわかる半年でこうね、利子がつくということです。つまりですね、半年複利ということはですね、半年で1回、半年つまり、半年で1回利子がつきますよということですね。半年ちょっと変な言い方すれば1/2年ですね。1/2年に1回利子がつきますよっていうことですね。つまりこれ裏を返すとですね、つまり1年の間に何回利子がつくかっていうと、これは2回つくわけです。ね、はい、1年内半年ですから半分で1回で1年経つと2回ということになります。じゃあこれ3年後って言われてますか、じゃあ3年の間に何回利子がつくかって言いますと、3年にこれ6回つくということになります。ですので、普通の1年複利でしたら3年間で3回つくところをですね、今回の場合ね、6回つくというね、倍つくということになります。期間が半分になりますので、利子の回数は2倍ということになります。で、じゃあ二律はどうなるかって言いますと、これは12%って書いてありますけど、これ12%っていうのは1年で12%ですので、半年ですとここでルールとしてですね、どうするかというと、期間が半分になったらですね、利率の半分になるというルールで計算します。つまり年利1回の利子ですね、1回の利率ですね。はい、1回の利率はどうなるかと言いますと、12%1年で2回つくのにではありますね。つまりこれは6%という風に考えるということにします。12%で1年で12%なんで半年半分で割って6%で計算しようと、1回で6%つくということになります。ではどうなるかね、ちょっと計算していきましょう。まず半分ですね、半年経つとどうなるか。ここでは2分の1年という風な書き方をします。そうするとどうなるかと言いますと、今元金が10万円です。はい、それに利子として6%作ってですね、半年で6%で複利の計算で10万円に6%作っていうのは先ほど見た通り等比数列で考えますよっていました。どれぐらいつくかっていうと、10の1.06倍ですね。6%が0.06ですね。それに1を足しますので、1.06ということになりますね。先ほどの工事1+1/100になりましたけど、これは0.06のことですね。1+0.06つまり6の6%の小数表示0.06ということになるんですね。こんな感じで計算できる。じゃあもう1回じゃあ利子がつきましょう。そうすると半年2回立って1年経ったとしましょう。そうするとどうなるかと言いますと、早く等比数列ですから1.06の2乗ということになります。1.06倍しますよで等比数列でしたね。複利の場合は等比数列なので1.06倍されますよってことになります。じゃあこれを繰り返していって、じゃあ3年までやるわけですね。はい、なので半年がさらにもっともっとですね、ちょっと順序よくやってみましょう。じゃあ次3/2ね、ちょっと分かりづらいですけど1年半経った時ですね、1年と半分だったとして3/2です。どうなるかっていうと、さらに1.06倍ですから1.06の3乗。じゃあさらに半年じゃ次合計で2年経った時どうなるかっていうと、10×1.06の4乗ですね。はい、4回利子がついてるので1.06倍ね、これ4回されてるということになります。で、かける1.0でこうなるわけですね。はい、じゃああと3年まであと2回もう2回ですね、もう2回やるとどうなるかね、そうすると次の半年で5乗で次で6乗になります。ですので、3年の時はどうなるかって言いますと、3年後、3年後はどうなるかというと、10×1.06の6乗ということになりますね。はい、2年半経って5乗で3年経って6回目つくと、10の1.06の6乗ということになりますね。ちなみにじゃあこれどれぐらいかって言いますと、これ14.1859こんな感じになるらしい。だいたい14万円ぐらいですよっていうことのようですね。こんな感じになります。

はい、ということで1年に限らず半年ずつにつくっていうこの半年複利っていう考え方もこんな感じでありますよっていうこと。で、これ半年だけじゃなくていろんなつき方がありますので、この後でちょっと見ていこうというのも。

じゃあ次括弧2番四半期作りという四半期福利ですね、四半期福利と言いますけれども、つまり1年を4回に分けようと、春夏秋冬みたいには慶應っていうことですね。じゃあこれどうなるかって言いますと、4年1年に4回付きます。ですので逆に言うと四半期、四半期、四半期に1回とありますけれども、つまり4分の1年ですね。1年を4つに分けますよっていうことです。ちょっと出るの遅いですね。なります。つまりどうなるかというと、1年で4回ですね。1年で4回。1年で4回。で、じゃあ3年でどれぐらいになるかって言いますと、これは3年で12回と3倍されますので、1年3年で12回ということになります。で、じゃあ1回あたりの利子はどうなるかって言いますと、1回あたり、1回の砂利率はどうなるかと言いますと、じゃあ今12%1年で12%っていうことでしたね。12%じゃあこれを4回分けるわけですので、4で割ります。つまりこれは3%ということになります。1回あたり3%ということになります。

はい、じゃあこれでじゃあ四半期作りどうなるか見ていきましょう。まず4分の1年ですね、1/4ね。例えば春終わったらどうなるかという感じですけども、これどうなるかと言いますと、元金10万円ですね。これに3%作ってですね、1.03になりますね。1.03倍。じゃあ次もう1回じゃあ利子がつきましょう。そうすると半年2回立って1年経ったとしましょう。そうするとどうなるかと言いますと、早く等比数列ですから1.06の2乗ということになります。1.06倍しますよで等比数列でしたね。複利の場合は等比数列なので1.06倍されますよってことになります。じゃあこれを繰り返していって、じゃあ3年までやるわけですね。はい、なので半年がさらにもっともっとですね、ちょっと順序よくやってみましょう。じゃあ次3/2ね、ちょっと分かりづらいですけど1年半経った時ですね、1年と半分だったとして3/2です。どうなるかっていうと、さらに1.06倍ですから1.06の3乗。じゃあさらに半年じゃ次合計で2年経った時どうなるかっていうと、10×1.06の4乗ですね。はい、4回利子がついてるので1.06倍ね、これ4回されてるということになります。で、かける1.0でこうなるわけですね。はい、じゃああと3年まであと2回もう2回ですね、もう2回やるとどうなるかね、そうすると次の半年で5乗で次で6乗になります。ですので、3年の時はどうなるかって言いますと、3年後、3年後はどうなるかというと、10×1.06の6乗ということになりますね。はい、2年半経って5乗で3年経って6回目つくと、10の1.06の6乗ということになりますね。ちなみにじゃあこれどれぐらいかって言いますと、これ14.1859こんな感じになるらしい。だいたい14万円ぐらいですよっていうことのようですね。こんな感じになります。

じゃあ次括弧2番四半期作りという四半期福利ですね、四半期福利と言いますけれども、つまり1年を4回に分けようと、春夏秋冬みたいには慶應っていうことですね。じゃあこれどうなるかって言いますと、4年1年に4回付きます。ですので逆に言うと四半期、四半期、四半期に1回とありますけれども、つまり4分の1年ですね。1年を4つに分けますよっていうことです。ちょっと出るの遅いですね。なります。つまりどうなるかというと、1年で4回ですね。1年で4回。1年で4回。で、じゃあ3年でどれぐらいになるかって言いますと、これは3年で12回と3倍されますので、1年3年で12回ということになります。で、じゃあ1回あたりの利子ははどうなるかって言いますと、1回あたり、1回の砂利率はどうなるかと言いますと、じゃあ今12%1年で12%っていうことでしたね。12%じゃあこれを4回分けるわけですので、4で割ります。つまりこれは3%ということになります。1回あたり3%ということになります。

はい、じゃあこれでじゃあ四半期作りどうなるか見ていきましょう。まず4分の1年ですね、1/4ね。例えば春終わったらどうなるかという感じですけども、これどうなるかと言いますと、元金10万円ですね。これに3%作ってですね、1.03になりますね。1.

じゃあこれをですね、じゃあどうしましょうかねって、どうやって計算しようか。まあ、頑張って計算すれば、まあできますね。計算機と言いますかね、インターネット上のね、いろいろやってもできますけれども、まあ、ちょっとめんどくさいなということで、じゃあこれもですね、ちょっと分かりやすく、ここら辺の全体的なシステムも見つつですね、計算しようと。

じゃあ次、エクセルでちょっとやってみるとどうなるかなということで、同じような計算ではありますけれども、エクセルでやると、さてどうなるか。具体的にいくらになるのかっていうのを次してみたいと思います。

はい、では例の2.9の積立の問題をエクセルで実際に計算してみたいと思います。このExcelではですね、このように横にこう日付を書いていました。2001年の4月、2002年の4月ということで、先ほどの説明で書いてある通りです。最後だけですね、2012年の3月終わりのところというところでね、こんな感じで書いてみました。

それぞれ預け、まあ10万円を年度ごとに預けていくわけですけれども、それぞれのお金がどうなっていくかということで、この流れをですね、エクセルで書いてみたいと思います。で、ここにですね、まあBの2のセルのところに、こうちょうど10と書いていますけれども、これが2001年にの4月に預けた10万円ということになります。

じゃあまず、この初めに預けた10万円がどうなっていくか、エクセルで見ていきますけれども。はい、じゃあ次、このBの3のセルのところですね、2002年の4月のところですね。これがですね、どうなるかと言いますと、これがですね、1.04倍されるわけですね。ですので、それを入力していきましょう。

はい、じゃあBの3の際には、はい、じゃあイコールと半角でいこうですね、半角で=と書いて、で10万円の1.0なので、10×1.0に書いてもいいんですが、はい、えーと、この上のセルを使いましょう。Bの2っていうね、この今青で表示されてますが、これの1.04倍ということにしましょう。Bにかけるアスタリスクのマークで書けるを表しますね。で、1.04とで入力します。これでエンターを押しますと、1.04という形になります。

で、なぜこのような形にしたかっていますと、次の3年目ですね、この2003年の4月についても同じような計算をするわけですね。どういうことかと言いますと、このBの3のセルのさらに1.04倍を下に行こうね、表示させないと同じことを繰り返すさせたい時にはどうするかっていうと、オートフィルというやつを使うわけです。つまりどういうことかというと、このB2のこれですね、今ここに、B2×1.04、つまり上のものを1.04倍したやつをここに書いてくださいということなので、これを繰り返しを、つまりこの右下のこの緑のこっちがありますけれども、これを引っ張って同じことをガーッと繰り返そうということですね。

はい、今黒い十字が出てきましたので、よいしょ、これを、これをよく引っ張ってそのままこの部屋の形で引っ張ってことですね。で、最後2012年の3月のところまでこう繰り返し言ってきます。はい、話しますと、自動的にこのような形で2012年3月からですね、上のものの1.04倍を下に書く、上のものの1.04倍を下に書くということで繰り返し、このような形でなっているということになってます。

で、これをですね、他の10万円でも繰り返しやっていこうということです。では、繰り返し行ってみましょう。はい、では2002年の4月に預けた10万円がここに書かれています。これも同じですね。はい、じゃあこのCの4、今ここのセルですね。はい、これに=と書きまして、はい、じゃあ上のこの10万円、Cの3のセルのこの10っていう数字を使って、これのかける1.04と入れます。Enterを押すとこうなる形ですね。これを繰り返ししましょうということで、先ほどのこの右下の緑の四角、これをですね、クリック押さえたまま下によいしょ、下げるわけですね。それで話すとこんな感じになりますね。

ということで、2回目に預けた10万円ですね。はい、2年目に預けたこの10万円は、最後の時にはですね、2012年の3月には14万8024円になってるということになります。じゃあこれ繰り返しどんどんやっていきましょう。はい、じゃあここも同じですね。3回目に預けた10万円もはい、=上の数×1.04ですね。これも同じようにはい、緑と下げていくということで、これを繰り返し続けていきます。では先に進みましょう。

はい、これもこの10万円を使って、10を使って1.04で、これを繰り返ししたいので、これを繰り返ししたいので、この緑のやつを引っ張って、ここまで、ここのイコール、はい、自由ですね。で、かける1.04で、これで繰り返ししていきます。はい、ちょっとこれ同じことがずっと続くのですか、ちょっとどんどん頑張ってやっていきましょう。かける1.04ですね。次ここも、体重かける、最後まで10年分の続けていきましょうということですが、ですね、かける1.04、入って、かける1.04、X、これで終わりじゃないですね。2011年4月にも10万円預けますので、これちょっと書いてないですね。10を入れて、で、このここはもう1回しか利子がつきませんので、1.04ということになります。

はい、ということで、今長い作業になりましたけれども、ここの一番下の列に全部それぞれの10万円がですね、いくらになったかということが示されています。最後のね、2012年の3月時点でそれぞれの10万円がいくらになったかということが示されているわけですね。で、これをですね、結局いくらかと言いますと、これを全部足しましょう。全部足すわけですね。ちょっと黄色い文字にしておりますけども、はい、これを全部足しましょう。

はい、じゃあ全部ね、セルにある数字を全部足すっていうのはどうやってやるかと言いますと、SUMというね、関数がありました。それを早速使っていきましょう。管理顧客のBの15というセルにね、表示させたいと思いますけれども、=SUMで括弧、どこの数字かっていうとこもBの13から横にダーとね、この黄色いやったところ全部書きましょう。足しましょうということです。じゃあやっていきましょう。じゃあここから、よいしょ、横に全部足していきます。じゃあこの10-4がですね、はい、でかっこ閉じてしますと、ちょっと見づらいですか。足し算するとこんな感じになります。見えておりますでしょうか。140.258とね、こんな感じでね、描かれている。140.258ということで、10万円です。このように預けていってですね、管理合計ちょびちょびちょびちょび10万円ずつ上げて預けていったわけですね。はい、これするとどうなるかというと、こんな形になりますよっていうことです。ですので、これあの10万円ですね、ちょっとずつ預けるっていう事になりますので、もちろんまとめて1回で100万円ボーンて預けるよりはちょっと安くはなりますけれども、毎年ちょいちょいね、こう預けていくと積立という考え方ですね。はい、でこれがですね、もちろん等比数列の和でももちろん計算できるんですけれども、まあこのようにですね、エクセルを使ってもですね、計算できるということがお分かりいただけますでしょうかね。はい、ですので、このような形でエクセル表計算ソフトをうまく使って計算をね、うまく上手にやることもできるというものです。

はい、では続いて2.5としてですね、このシグマ記号の計算というのをやっていきましょう。この読み方Σと呼びます。シグマ記号の計算ということでやっていきましょう。今までですね、例えば第1回では等差数列とか等比数列の和の公式をやりましたけれども、数列ね、まあそれに以外にもいっぱいあるわけですけれども、その数列の足し算を考えるにあたってですね、まあ機械的にね、まあうまく計算できる方法と言いますか、記号をね、うまく決めているのが楽に表現できますので、まあそういったことをちょっとやっていこうというところです。

じゃあ定義の2.10ということで、数列Anの和についてとありますね。A1+A2+A3+点点点Nまで足す、足していくという記号をですね、まあ新しく決めようということです。こうやってですね、足し算するのにですね、なんとか足す、なんとか足す、なんとか足すっていちいち足すって言う記号をね、書いているの大変ですので、まあここら辺のなんか規則をうまく利用してですね、まあ一言で足し算っていう風に書けるような記号ね、作ろうということです。

これ見ていきますと、この全てのですね、このA1からanのですかね、えーなんとかで書かれてるっていうのがですね、共通としてね、分かると思うんですけども、Aなんとかで全部書かれてますね。なんとか、そのなんとかに1を入れてA1っていうのがあって、でなんとかに2を入れてこうなってて、3を入れて4を入れて、最後NにN2N入れるってないですけども、Nに入れてっていう感じになってます。で、このNだとちょっとおかしいので、ちょっと記号を変えて、じゃあ例えばですね、違う記号をKにしときましょう。Aなんとか、なんとかの部分を別の文字で使ってAKと書きますね。そうするとNがちょっとおかしいので、ちょっと書き換えますが、はい、このKっていう部分に1なりになり3なり4枚、あとはNとかっていうのを入れて足しましょうっていう風な形に見えてきます。ですので、このAなんとかね、それぞれ共通する形、ね、それぞれ共通するAなんとかってね、それぞれ共通する形に注目して、それの足し算ですよって書くようにしたいと思います。ですので、えーなんとかっていうの足し算だということで、AAなんとか、なんとかの部分をじゃあKにしておき、で、そのKなんだけれども、Kにどうしていけばいいか、ちょっと経緯に1を入れて足しますよ、入れて足しますよ、3入れて足しますよ、最後N入れて足しますよっていうのをやっていけば良いことになります。

ですので、シグマですね、それをですね、どうやって書くかっていうとはい、足してますよっていうのを言ったふうに、ちょっとこれ汚いですね、シグマとなります。Σって書いて、じゃあまず最初ですね、このKの部分に1を入れて足しますよってことを言うために下にですね、K=1と書きます。なので、K=1、K1入れて足し算を始めますよっていう風に書いて、今度1入れて足しますよって、次に入れて足してくださいね、で3入れて足してくださいね、で計に4入れて足してくださいねっていう風にやってきます。で、終わりはどこかっていうと、Nを入れるまで足してくださいねっていう風に書きます。で、その始めと終わりだけを変えて、この上にNっていう風に書きます。ということで、ΣのK=1からNのAKという風にこうやって足し算11+って書くの大変なので、Σっていう記号でこのように表すという風にします。ですので、つまりこの代入のスタートですね、代入のスタート1からスタートしてどんどんどんどん足してってくださいね、で、どこまで足すんですかっていうのがこの上のね、Nまでという風に書いています。来年の終わりが書いてあると、ですので、このシグマって記号は一言で言うと、代入して足す、代入して足す、代入を代入して足すを繰り返す記号である、代入をして足す、これを繰り返す記号ですよっていうことですね。こうやって書くことによって、いちいちプラスとかAなんとか、Aなんとか同じものを何回も書かずにするということになります。

では、じゃあちょっとね、これだけだと分かりづらいと思いますので、どんな風にね、かけるのかね、ちょっと見ていきましょう。はい、じゃあ例の2.11ということで見ていき、1番ですけれども、1の2乗+2の2乗+3の2乗です。100の2乗までこれを計算しろというわけじゃないんですが、シグマのね、使って表してみましょう。これもね、なんとかの2乗とか+の面倒くさいので、なんかいい書き方ないかなってことです。

じゃあまず共通するものは何かって考えてきますとはい、これなんとかの2乗って全部なってますね。はい、なんとかの2乗、それが1から始まって、1、2、3、4、100まで、1から100までのそれぞれの事情になってるということで、シグマで書くとどうなるかっていますと、これをですね、一言で書けるんですね。はい、シグマの、じゃあK=いくつかね、ということですけれども、まあ数字が変わってるところがですね、まあ1、2、3、4、100、数字がこうやって変わってますね。はい、なのでこれは1から100、1から100までっていう風にかける。で、この数字の変わっているこの中身の部分ですね、1、2、3、4、1、1、100って変わってるんです。変わってる部分に代入をしていくわけなんで、そこがKになるんですね。Kになると、それの2乗ですよっていう風に書くとなので、このね、1の2乗+2の2乗+点点100の2乗っていうのはこのようにΣ記号でパッとかけますよと。で、ちょっとまあいいですけど、ちゃんとそのKの関係で言いますと、これですね、Kの2乗ってことで、このKに1を入れてこの数字になってますよ。経営に2を代入するとこの数字ですよ。Kに3を入れるとこの数字ですよ。で、Kに100を入れるとこの数字ですよ。ですので、このシグマのKのここの部分に1を入れて代入しますよと。で、次1が終わったら2を2を入れて代入しますよ。で、ここに3入れて代入しますよ。で、またここに4入れて代入しますよ。どこまでやるんですかつったら、100までで100入れて代入しますよ。足しますよ。それでおしまいと。そんな風にシグマ記号では書かれるということです。

じゃあ続いてですね、じゃあ過去2枚やりましょう。過去2番からこれも一般的な形が分かりづらくなっているものですけれども、1、3、5、7、点点21までということですけれども、これどうでしょうかね。全然例えば全部に2乗がついてるとか、っていうのは分かりづらいですね。で、これどうなってるかというと、1、3、5、7、9、これなんか奇数だなっていう風に思うかもしれません。別の見方をすると、これどんどん2ずつ増えてますね。2、2、2、2、2ずつ増えてますね。これ2が増えて、3から5に、5から7の2ずつ増えてる。あ、等差数列だということがわかるわけですね。なので、もしまあ等差数列だってことに気づけば、周りからしか簡単にできるかなと思うんですけれども、等差数列なんで、じゃあ書庫いくつかなと、交際いくつかなって計算します。が、初項1ですね。はい、書庫が1、初項が1で、公差がいくつかっていうと2ですね。はい、ということですから、じゃあanですね、N番目の一般行動なのかっていうと、証拠を+2括弧N-1となりますね。なので、これは2N-1ということになりますね。見える-1と。なので、N番目の数はこのね、2N-1と書けるわけですね。2N-1とかける。で、そうするとですね、今Nっていうのは使わないでKにしておきましょう。2K-1。まあ、別にですね、シグマの中になるべくKっていうことにしとるんですね。そういった考えますと、じゃあこの2K-1っていうのから、それぞれ1、3、5、7、21ってどうやってかけるかって言いますと、Kに1を入れると、一理ができますね。Kに1入れると、2×1-1、2-1だから1になります。2を入れると、計に2を入れると、2×2-1ですから、4-1で3になります。確かにね、ここに3を入れるとどうなりますか？2×3-1ですね。6-1で5になると。確かになるなっていう感じになります。ということで、ちょっとそのことも1回書いておきますと、Kみたいになりますね。ここに1を入れると1になると。2を入れると3になる。3を入れると、最後じゃあここはっていうと、ここは11を入れてですね、11を入れると、22-1なんで、画面が追いついてないですね。Kが11、22-1なんで、こうなる。つまり、2K-1っていうものに、Kに1、2、3、11まで代入して足し算するってですね。はい、なのでどうなるかっていますと、はい、これ=シグマの、で、ここにですね、まず代入する方が書いちゃいます。2K-1ってものに代入しますよ。で、Kにいくつ代入するかっていうと、さっき言った通り、1を代入して足します。2代入して足します。3代入して足します。11まで代入して足しますということになります。では、背景=1から11という風に書けると。1を代入して+2代入して+3の代入して+最後Kに11代入しておしまいと。そんな風に書けると、いうことになります。

じゃあ続いて3番いきましょう。これはさっきみたいにちょっと規則性がわかりやすいかもしれないですね。全部3のなんとか上になってるんですね。はい、ですのでこれどうなるかっていますと、マイッキーまで返してみましょうね。3のなんとか上だなってわかる。で、なんとか上の部分が、変わってると。一条、二乗、三乗、N-1、なんとか上が変わっていくとなんで変わっていく部分をKにしておけばよくて、いくつから入れますかっていうとはい、先頭は1を代入しますね。なので、1錠だから1とね。はい、で、その後最後N-1乗までですよって言ってるので、終わりの部分はN-1と入れればおしまいなので、これは比較的見やすいということでございます。つまりですね、これ実は見ていくと、これ3の倍数、3倍、3倍してますね。これね、3倍、3倍と。つまりこれって等比数列なんですね。で、しかも等比数列でそれを足してるのと、等比数列の和だという。つまり等比数列の和っていうのはこんな感じでシグマ記号でも書けますよっていうことになります。

じゃあ続いて4番いきましょう。はい、じゃあ4番ですけれども、はい、6、8、10、12、2とあります。これも厄介ですね。まあ、それぞれなんとかの3乗で書けそうだなっていうのはわかります。なので、じゃあそこまで書いてしまいましょうかね。はい、シグマのK=なんとかからなんとかのなんとかの3乗まではわかる。なんとかがわからない。じゃあどうしましょうか。じゃあ中身の数列見ていきましょう。6、8、10、12、2ありますね。これどうかっていうと、これ6からスタートして、これ中身が2ずつ増えてます。やっぱりね、やっぱりこれ等差数列だ。だから2ずつ増えますので、等差数列ですな。なので、じゃあどうなるかっていうと、じゃあこれは初項がいくつかっていうと6ですね。6からスタートします。はい、で、公差がいくつかっていうと、これが2ずつレベルが2ですね。ってことは、この6、8、10、12、22ってやつは、はい、どうなるかっていうと、AMは初項が6で、公差なんだから、2N-1ってことになりますね。はい、じゃあこれ計算すると2N+4ですかね。展開すると2Nで、-2なんで、6-2で4ですね。+4ってことになります。ということで、2N+4なんですが、つまりまあここはシグマなんかKを使うので、2K+4。で、実際にやっぱりですね、Kに1入れると、やっぱり6になりますね。Kに1入れると6になります。だから2+4で6ということですね。終わりはどうでしょうか。終わりの前に、じゃあ次も見てください。2を入れると、2にがしで、4+4で8。3入れてなるかなっていうと、2×3+4で、6+4で10。確かにになってるなと。入れても確かにこれ10になってるのわかりますね。じゃあラストここはどうでしょうかっていうと、Kにいくつ入れればいいかっていうと、これは18+4にすれば9ですかね。Kに9を入れると、現金を入れると、2×9+4で、18と22で、18と4で24。確かにOK9入れればいいので、じゃあここはいくつかっていうと、終わりは9になりますよ。シグマの上には9と書けばOKということになります。でしょうか。ということで、こうやってですね、足し算数列の足し算があった時に、規則性を見つけて、そのまま代入して足す、代入して足すってなるように、このKっていうのをうまく設定してやると書けるようになりますよっていうことですね。はい、ということで、例えば等比数列なんかも逆に法則が見やすいので、こんな感じですね、シグマで書かれたりするということです。

ではですね、じゃあこうシグマで書かれたものですね、どうやって計算するかというところですね、次具体的に見ていこうかということで、シグマ記号で表せたらどのように計算するかということですけれども、この命題2.12ちょっとね、抽象的に書いてあるので分かりづらいとかあると思いますけれども、使い方は後で説明します。まあ、使いながら慣れていけば全然OKです。で、ここはですね、証明もちょっと飛ばしまして、大雑把な話だけしたいと思います。

2.1にこれ何かっていうとですね、シグマの中身ですね。はい、シグナルまでカッコなんちゃら+なんちゃらと分かれていた時に、足し算になっていたものですね。数列の確かなんちゃら系、なんちゃら系、Kの式+Kの式ってなっていたらですね、こうシグマ2つに分けていいですよっていう性質がね、一つ目にあるということです。あと過去2番としてですね、なんとか倍の経路っていう風になってた場合ですね、例えば三角形+1みたいなこういう風な式があったとしましょう。そうするとですね、三角形+1ってあるんだけど、その3倍っていうやつがですね、消えちゃった外にピョンて出してもいいですよっていう、そういう計算ができるよっていうことですね。で、これはまあ足し算がですね、どんな順番でもいいですよとかね、まあいろいろなそういう性質を使ってですね、この性質が現れるわけですが、まあちょっとこれだと分かりづらいので、次の例を見ながらどういう風に使っていけばいいか、っていうのを見ていこうかと。

では計算をしていくわけなんですけども、実はこの性質だけではですね、計算すれば難しいですね。ですので、もう少しですね、ちょっと具体的に計算できるような公式をね、ちょっと見ていきたいと思いますね。あるんですけども、今日はですね、この残りはですね、このシグマのこの計算をですね、するわけですが、これに慣れようということでやっていきたい。これをですね、まあ具体的にどうやって計算するか、シグマのKと書かれて、シグマのKをKに1からNまで足したやつ、これはどうなるかというところですけれども、はい、えーと、これはですね、どういう意味かっていうと、これは1代入して足しますよ、2代入しますよ、3代入して出しますよですね。はい、それを最後ラストNまで代入して足してくださいねってことですので、1+2+3+点点Nとこれを計算しなさいということです。じゃあこれが実質いくつか、これはシグマの意味ですけれども、これは公式ではありません。これは公式ではないんですけれども、これでもしといてくださいね。はい、で、これがいくつかになるかと言いますと、これここからが欲しいですね。このシグマの計で書かれていたらどうなるかというと、1/2 +1と計算してくださいということです。2分のn)n+1として計算するということです。で、これどういうことかと言いますと、Nだとちょっと分かりづらいんですが、例えば式でこんな感じに書かれたとしましょう。シグマのK=10でKとこんな風に書かれたとしましょう。シグマのK=1から10のKと書かれたとしましょう。そうするとこれどういうことかというと、これはもちろん意味としては1代入して、2代入して、3代入して、10代入してまで足してくださいって意味です。で、これがどうなるかというともちろん1から10までってことですけれども、こうやって計算するわけではなくてですね、どうするかというと、これはこのNのところです。はい、なので、ここに10を入れるとたちどころに計算できますよっていうことです。ですので、ここN=10なので、1/2 +1なので、N20を入れる、つまり2分の10×11。これを計算すると、1+2+3+4+10っていうのが一瞬で計算できると。約分しますと、ここが5なので、55っていう風にこんな感じでシグマの公式を使うとパッと計算できるよ、ねっていうことになります。こんな感じでまあなんかある種、ちょっと魔法のような公式でパッとね、足し算がちゃちゃっと計算できますよって言うことです。

それはあともう2つということですけれども、じゃあKの2乗になってたらどうなりますかっていうことです。Kの2乗ですね。Kの2乗なってたらどうなるかというと、これはどういう式の意味かっていうと、1を入れると1の2乗、2を入れると2の2乗、3を入れると3の2乗です。で、最後Nまで入れるとnの2乗になります。はい、じゃあこれを計算するわけですけれども、これどうなるかと言いますと、この公式ちょっと複雑ですが、頑張りましょう。どうなるかちょっと1/6のN括弧N+12N+1というこういうふうに公式になります。はい、これちょっと分かりづらいところありますけれども、まあまあ見ながら最初は見ながらでいいんで使えるようになっていたと思いますね。これもね、使い方ね、全く同じです。はい、例えばもうちょっとこの右下に書いちゃいますけれども、シグマになりますね。で、これのK=例えば8までにしましょうかね。はい、じゃあこれを計算するんですけれども、はい、Kのですね、まあ1代入して、2位代入してって、8代入して2乗とこうやって考えましょうということですね。で、1+4+9+16+点々64。頑張ってやればできないこともないですが、このね、シグマ公式っていうのを使うとパパッときますよ。つまり今N=8、Nに8ということになってますので、この8を代入するだけでパッと計算することができますよ。つまり1/6のかけるNだから8で、次次の学校8+1だから9ですね。で、次2N+1なんで、8に16に1+17ですので、1/6×8×9×17をするとパッとできますよ。ね、なので足し算何回もしなくてもこうやって計算をパパッとすればできますよってです。はい、ということでこれいくつなんですかね。612とちょっと今ずらしてみましたが、612ということで、このように計算ができるよというです。

では最後にカッコ3倍にいってみましょう。カッコ3番これどういう式かって言いますと、Cと書いてありますね。はい、これ何かって言いますと、これただの数字が書いてあるとイメージで持ってるので、どういうことかというと、SIGMAのK=1からNの3とかね、なんかこんな感じで書かれていると、Kが全く入っていない式っていうのを考えてください。このCっていうのはKに入っていない数字ですね。Kが、含まれていない、歩いていない、まあ数だと思ってください。そういうイメージで結構です。つまりどういうことかというと、じゃあこれにね、経営に1代入して足してくださいとかっても、計代入するところがないですね。つまりこれ代入したと思っても結局これ1位のままなんです。じゃあ次2を代入してくださいと言われても、これまたCですね。代入するとこないですからね。で、3を代入しても、これ結局またCになると。で、N代入してくださいと言われても、またCなんですね。ずっとCです。なので、ずっと期限が含まれていなければ、ずっとC+C+C+になっちゃう。それが全部でn個出てくるよってことになって、従いまして、これどうなるかというと、これNCは小文字だからNCとNかけるCという風に計算できますよっていうことになります。で、これもちょっと文字だと分かりづらいんですけども、後の例でね、数字でやっていくと分かりやすいと思いますので、その時にもう1回説明しますが、このような形になります。これを証明しようっていうことなんですけれども、証明簡単なのもあれば難しいのもありますので、見ていきますけれども、まずカッコ3番ですけれども、これ先ほども説明した通りな、んでも実はもう今の説明で証明が終わりましたので、カッコさんは現在します。どんだけ代入してもC+C+C+Cで全部でn個出てくるからNCですよっていうのが、まあ立派な証明になってますね。

続いてじゃあカッコ1番ですね。はい、カッコ1番はこれはどうなるか、1+2+3+n+nまでということですね。はい、ですので、これを計算しようと、1+2+3+4+点点Nまでと、これは実は今までで計算して、これ1ずつ増えてますね。ってことは、まあなんかそう見づらいかもしれないけど、実はこれも等差数ですね。はい、なので、等差数列しかもいくつかっていうと、初項が、初項が1ではい、交差が1ですね。はい、の等差数列それを発してるわけですね。ですので、等差数列の和の公式を使えばOKってことになります。はい、じゃあそのあの公式何だったかっていうとはい、2分のこれあの忘れちゃった人は第1回のやつ見てくださいね。N1+anですね。初項を足す真っ向で数字の個数をかけるということでしたね。はい、じゃあ初項はどれかって言いますと、書庫は1です。はい、で、真っ向はこの忘れましたね。なので、じゃあここに書いてですね、はい、終わりがいるんですね。なので、初項を足す魔法で1+Nで、数字の個数はこれもコース、全部で数字が何個あるかというとNですね。だからNということになります。等差数列の番号教えて、2分の初項を足す書庫+学校をかける数字の何個並んでか工数と言いますが、数字が全部何個足されているかってことでしたね。はい、で、これを書き直しますと、2分のNN+1ということになるわけですね。はい、ということで、これで証明がおしまい。

で、カッコ2番ですけれども、カッコ2番ちょっと難しいので、これはまあそういうもんだと思って、まあ省略をしましょうっていうことです。すいません、ここでは証明を省略させていただきます。

はい、ではシグマ計算具体的にどのようにやるか見ていきましょう。では例の2.14ですね、これを見ていきましょう。先ほどのですね、公式や性質を使ってですね、やっていくわけですが、例えば括弧1番です。ね、この3K-2というものの1から15までね、代入した時の計算どうなるかですね。これの式そもそもの意味は何かって言いますと、例えばこれKに1を入れて足して、1を代入して足して、2代入して足して、やってきますと、これそもそもね、1を代入する3-2で1ですね。はい、で、2を代入すると6-2で4ですね。はい、別に3を台にする9-2、こんな感じのやつをね、代入して足しましょうと。で、15代入すると、45-43までね、これ足し算どうなりますか？ってことです。でもちろんね、これ15個足し算していくのめんどくさいので、シグマ記号でまあパパッと計算できますよってことです。

では見ていきましょう。これまずね、式の形見ていきますと、中身がですね、これ引き算の形になってますね。3系統2の引き算になってると、このシグマの性質からですね、この足し算、引き算、中身が足し算、引き算になってるものを分けていいですよって性質がありますので、それでやってきます。そうするとどうなるかというと、この計算はですね、SIGMAのK=1から15かの3Kっていうものと、シグマのK=15の2の引き算シグマを2つ出してきて、それぞれのシグマを考えるということでやっていくとね、3系と2ってやつのそれぞれのシグマで分けて考えることができると。なんかめんどくさそうに見えますけれども、公式を使うにあたっては一つ一つにした方が公式がね、見やすいので、このような形にしました。さて、じゃあ次ですけれども、前のこの3Kっていうやつですね。はい、この数字と文字で権が入ってるやつですけれども、どうなるかっていますと、ここはですね、3をですね、なんとか倍されたものが前に出すことができますね。ですので、シグマだけの計算にね、こうすることができて、3倍のシグマのK=1から15の計-シグマのK=1から15の2と、こんな感じで計算ができるということになります。で、ここまでいきますと、実はもう結構式を使った後はガツガツ計算していけばOKということになりまして、どうなるかっていいますと、3×この後ろのですね、はい、シグマのK=1からKですね。はい、これは先ほど証明したものですね。1/2NN+1ってやつに代入をしますね。1/2 +これに代入します。今Nが15ですから、はい、この15のやつを代入するとどうなるかというと、2分のnが15N+1これが16ですね。ってことになりますね。ですので、シグマのK=1から15のKっていうのは、1/25×16。後ろはどうなるかというと、シグマの2とあります。K入ってないですね。これね、これKがありません。ですので、実はこの3番のやつですね、これですね、これを使おうということです。書いてないですけれども、はい、これを使うと、ですので、見ていきますと、これどうなるか、2がn個出てくるとね、2+2+2+2ってことになります。それが全部で15個あるので、2×15という風に計算すれば良いということになります。あとこれ頑張って計算するといくつになるかっていうと、ちょっとまあズルをして答えなきゃ言うと330ということになります。ではですね、この330ですね、これをですね、今回のクリッカーのですね、コードにしたいと思いますね。これをコードにします。330と入れて、クリッカーで答えてください。入力してください。330が今回のコードという風にします。

では続いてじゃあ括弧2番いってよろしいでしょうかね。はい、てきます。では過去2枚いきましょう。これも同じようにね、計算をしていきましょう。はい、ではこれどうなるかと言いますと、シグマの計画括弧K+K-1ですけれども、これ一応ですね、シグマの中身が全部KカッコK-1までが全部知るものの中身ということになって、これどうするかっていうと、まずまあ展開からね、中身していきましょう。そうするとK=1からNのKとKをかけてK2以上ね、Kと-1をかけて-Kと形2乗-Kというものですね。なります。はい、で、その後ですけれども、じゃあこれを計算してくる。これも中身が引き算になってます。なんたら引くなんてですね。はい、ということで、これ引き算を分けることができます。ですので、シグマのK=1からNのK2乗-シグマのK=1からNのKと、これも真ん中資料が2つあって面倒くさいなって思うかもしれませんが、こう2つに分けることができます。ここまで来るともうこれ公式そのままです。ね、シグマの形状-シグマのKということで、公式をそのまま書いて、1/6 NかこれN+1で+1これが前のシグマのKの2以上。後ろの部分が1/2NカッコN+1という形になりますね。あとこれをです。まあ頑張って展開をして計算してもらうと分かるんですが、これもちょっとズルをしまして1/3nの3乗-1/3nとこういったすっきりした形に計算することができるということです。ということで、これですね、シグマの形而上マイナス中身がこうね、なってる場合ですね、まず展開をして、まあこうね、全部展開をしてスッキリした形にして、あと引き算なってればこう2つにこう分けて計算すると、あとは公式通りに展開するということになります。

ラストの計算に行きたいと思います。はい、で、ラストですか。2の形状というものですね。これどういった計算するかってことなんですけど、これ実は公式にないんですね。公式にないです。先ほどの命題2.31にありません。2.13は使えないと使えます。何でかKの2乗はあるけど、2の形状はないですね。2の形状はありません。じゃあこれどうしようかってことですけども、シグマ計算迷ったら代入して足す、代入して足す、代入して+でどんな形の足し算かちょっと考えてみるのが一番。じゃあやってみましょう。1を代入します。だから2の1乗になりますね。次2を代入して足します。2の2乗です。3を代入します。2の3乗です。4を代入します。2の4乗です。最後どこまで行くかというと、2のN乗です。ということで、この形になります。2の1乗、2の2乗、2のなんとか乗ということになります。これ何かって言うと、全部ですね、2倍、2倍になってるってことですね。2倍、2倍になってる、等比数列ですね。これね、2倍、2倍になってるって事は、等比数列、それを足しているので、等比数列の和の公式が使えるということがわかります。公式ね、1-R分のってですね。はい、今回は公費が2なんで、1-Rが2ですね。で、書庫、先頭が2ですね。先頭が2から始まってます。ですので、2括弧1-Rの何個あるかっていうと、全部で数字がn個あるので、N乗ということになります。ですので、逃避数列の和の公式を使って、このような形で、あとこの公式ですけれども、あと頑張って展開をするとどうなるかというと、2のN+1乗-2ということになりますね。これは頑張って計算していただければわかるということです。ですので、シグマ公式を使わないで、このような形で、等比数列の和の公式を使ってね、シグマの公式ではなくて、糖質制度の公式を使ってこうやって計算する場合もありますので、数列の形を見極めてね、やってもらえればいいかなと思います。

ということで今回もですね、小テストでありますので、繰り返しのコメントと小テストの回答で頑張ってやっていただければと思います。ということで第2回は以上です。

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