Transcription
在節目開始之前，我想請大家想一件我們每天都在做，卻可能從來沒細想過的事。
就在剛才，你可能剛剛解鎖了你的手機，或者登錄了你的網銀查看餘額，甚至只是在微信上給朋友發了一條“晚上吃什麼”的消息。這些行為看起來稀鬆平常，就像呼吸一樣自然，對吧？
但你有沒有想過，每一次你輸入密碼，每一次你點擊“支付”，甚至是每一次看似普通的加密信息傳輸，你其實……都在進行一場豪賭。是的，豪賭。我用這個詞不是為了嚇唬大家。在這場賭局裡，你押上的不僅僅是你的銀行存款，還有你所有的隱私、你所有的數字足跡。
而你把這些身家性命全押在了一個什麼東西上呢？你押在了一個數學假設上。更準確地說，我們整個現代數字文明的安全大廈，其實是建立在“質數”的一種特定模式上，或者，再大膽一點說，是建立在質數“沒有模式”這個假設之上的。
我們上學時都學過質數：2、3、5、7、11……那些只能被1和它本身整除的高冷數字。它們就像是乘法世界裡的原子，構成了所有數字的基石。目前的加密技術，其核心邏輯就是假設這些質數的出現是完全隨機的、是不可預測的。在這個假設之下，我們覺得很安全。我們用超級計算機跑了數萬億個例子，看起來，這些數字確實像撒豆子一樣，毫無規律地散落在數軸上。
但是...這只是一個假設。在數學那個絕對嚴謹的象牙塔裡，這件事到現在為止，並沒有被百分之百地證明。這就有點嚇人了。萬一，我是說萬一，在那些我們還沒有探測到的數字深海里，質數其實藏著某種我們沒發現的規律呢？萬一這種隨機只是一種假象呢？
如果這個規律被發現了，哪怕只是一個微小的、不起眼的模式，它都可能瞬間變成一把萬能鑰匙。到時候，保護你金融交易、個人隱私的所有加密系統，將在頃刻間土崩瓦解。這後果，真的不堪設想。
說到這兒，你可能覺得我們今天要講一個關於世界末日的驚悚故事。不，恰恰相反。為了搞清楚這個關於“隨機”與“規律”的終極謎題，我們需要走進一個天才的大腦。我們今天這期視頻的靈感，源於一次與當今數學界最強大腦的深度對話。
他就是數學界的“諾貝爾獎”，也就是菲爾茲獎得主陶哲軒。有人叫他“數學界的莫扎特”。這個稱號不僅僅是因為他聰明，而是因為他對數學那種渾然天成的直覺。幾個世紀以來困擾著頂尖數學家的難題，在他手裡，有時候就像解開一團亂麻一樣，被優雅地梳理清楚。
今天，我就想帶著大家，跟著陶哲軒的思路，去進行一場思維的探險。我們要去探索數字背後那種驚心動魄的美。我們要聊聊現在紅得發紫的人工智能為什麼會在數學面前“露怯”。最後，我們還要觸碰那個困擾了人類幾千年的終極哲學問題：數學，到底是我們可以隨意發明的工具，還是某種潛伏在宇宙深處、等著我們去發現的客觀真理？
讓我們先從一個溫暖的故事開始，走進這位天才的童年。把時鐘撥回到幾十年前，那是澳大利亞的一個普通日子。一個十歲的華裔小男孩，正站在一位老人面前。這個小男孩就是陶哲軒，而他對面的這位老人，可不是一般的長輩。他是保羅·埃爾德什（Paul Erdős）。
如果你是數學迷，你一定知道，埃爾德什是數學界的一個傳奇，或者說，他就是“數學家”這個詞的化身。他一輩子沒有固定的家，沒有財產，提著兩個半空的箱子，在世界各地的大學和數學家家裡流浪。他走到哪兒，就在哪兒通過解決問題來換取食宿。
你可以想象那個畫面嗎？一個十歲的神童，遇上了一位流浪的數學宗師。按照我們世俗的眼光，一般的“大人物”見到神童，大概率會是什麼反應？可能會慈祥地拍拍他的頭，笑著說：“哎喲，小朋友真聰明，將來必成大器。”這是一種居高臨下的、長輩對晚輩的關懷，對吧？
但是，陶哲軒後來回憶說，那次見面徹底改變了他對數學家的認知。因為埃爾德什完全沒有把他當成一個小孩，一點都沒有。在埃爾德什眼裡，站在他面前的不是一個十歲的孩子，而是一個平等的智慧體，一個可以和他探討數字奧祕的同行。他們談論數學問題時的那種語氣、那種神態，就像是兩個共事多年的老友。
這還沒完。後來，埃爾德什給小陶哲軒寄了一張明信片。你能猜到明信片上寫了什麼嗎？不是什麼“好好學習，天天向上”，上面寫的是一個埃爾德什當時沒能解決的數學問題。那個感覺就像是在說：“嘿，老兄，上次那個問題我想了一半，剩下的你來看看？”這已經不僅僅是一次會面了，這是一種智力上的傳承，一種最高級別的認可。這種超越年齡、超越身份的平等交流，也是數學界最迷人的地方之一。
說到埃爾德什，我們就不得不提一個數學圈裡非常極其有意思的概念，叫“埃爾德什數”（Erdős Number）。這聽起來像個遊戲，實際上它也確實有點像。你可以把它理解成數學界的“六度分隔理論”。這個規則是這樣的：埃爾德什本人是中心，他的埃數是0。任何跟他直接合寫過論文的人，埃數就是1。如果你沒運氣跟大神直接合作，但你跟一個“埃數是1”的人合寫過論文，那你的埃數就是2，以此類推。
這不僅僅是一個數字，它就像一張巨大的藏寶圖，展示了頂尖的數學思想是如何通過人際網絡像電流一樣傳播的。你的埃數越小，說明你離數學界的那個“超級大腦核心”越近，你也就越容易接觸到最前沿的思想火花。像陶哲軒這樣的人物，他的埃數自然是很低的，只有2。
這個概念甚至破圈到了演藝界。好萊塢有個類似的遊戲叫“凱文·貝肯數”，衡量演員跟凱文·貝肯的合作距離。甚至還有人把這兩個數加起來，搞了個“埃爾德什-貝肯數”。能同時擁有這兩個數而且數值都不高的人，那真是鳳毛麟角，說明他是真正橫跨科學與藝術的跨界狂人。
不過，埃爾德什這位大神之所以能成為中心，是因為他實在是太高產了。他一生髮表了超過1500篇論文！這簡直是不可思議的產量。這裡有個流傳很廣，也有點瘋狂的軼事。據說，埃爾德什為了保持這種極高強度的大腦運轉，長期依賴一種精神興奮劑——安非他命。他的朋友很擔心他的身體，有一次就跟他打了個500美元的賭，說：“保羅，我賭你這一個月能不能不碰那玩意兒？”
埃爾德什雖然不太情願，但他是個守信的人，真的堅持了一個月沒用藥。一個月後，朋友去驗收成果，埃爾德什確實做到了。朋友願賭服輸，把500美元輸給了他。但埃爾德什在收下錢之後，卻說了那句讓所有數學家都心頭一顫的話。他說：“你讓我證明了我不是癮君子，但是，你也讓數學的發展倒退了一個月。”因為在那一個月裡，他的大腦就像失去了燃料的發動機，只能做一些平庸的工作。
這則故事聽起來有點極端，我們當然不提倡這種生活方式。但它特別生動地展現了埃爾德什對數學那種幾乎是獻祭般的投入。而正是這種極致的探索精神，深深影響了當年的那個小男孩陶哲軒。
多年以後，陶哲軒真的解決了一個由埃爾德什本人提出來的、困擾了大家很久的著名難題。這個難題叫“差異問題”（Discrepancy Problem）。別被這個名字嚇跑，它的核心其實又回到了我們節目開頭聊的那個話題：隨機性。數學家們似乎對“隨機”這件事有著近乎偏執的著迷。
為了搞懂這個問題，我們來做一個思維實驗。想象一下，你手裡有一串無限長的序列，裡面只有兩個元素：+1 和 -1。如果這個序列是真正的“隨機”，比如是你拋硬幣拋出來的，正面是+1，反面是-1。那麼，從直覺上講，不管你從這串序列裡截取哪一段，+1和-1的數量應該都差不多，相互抵消後，它們的總和（也就是差異值）應該接近於0，或者至少不會太大，對吧？這就是所謂的“平衡”。
但是，埃爾德什那個刁鑽的大腦提出了一個反直覺的假設。比如說，我有一個完美交替的序列：+1、-1、+1、-1……一直這樣下去。如果你看整體，確實很平衡。但是，如果我戴上一副“有色眼鏡”呢？比如，我只看偶數位上的數字。第二個是-1，第四個是-1，第六個還是-1……這下麻煩了。在“只看偶數位”這個規則下，這個序列全是-1，它們的總和會迅速變成一個巨大的負數，差異值變得無限大。
所以，埃爾德什就問了：到底存不存在這樣一種由+1和-1組成的序列，無論你用哪種均勻的方式去觀察它——不管是每隔一個看，還是每隔三個看，或者每隔一百個看——它的差異值都能永遠保持在一個很小的範圍內？換句話說，我們能不能創造出一種“終極的偽裝”，讓這個序列無論怎麼被審視，都顯得完美平衡、無懈可擊？
在很長一段時間裡，大家覺得這可能是存在的，因為人們用計算機生成過很長的序列，看起來確實都能保持平衡。但是，陶哲軒站出來了。他用一個漂亮的證明徹底終結了這個猜想。他的結論是：不可能。無論你的序列設計得多麼精妙，只要它是無限長的，你總能找到一副特定的“有色眼鏡”，讓它顯現出巨大的不平衡。在無限的尺度上，差異最終必然會走向無窮大。
這真是一個非常深刻的哲學隱喻啊。它等於是在告訴我們：在無限的時間和空間裡，完美的平衡是不存在的。總會有某種偏見、某種不均衡，或者說某種“模式”，會像幽靈一樣浮現出來。所謂的“隨機”，可能只是因為我們觀察的時間還不夠長，或者觀察的角度還不夠刁鑽。
聊完了抽象的數學，咱們把目光拉回現實世界。其實，“偽隨機”和“真隨機”的博弈，每一天都在我們身邊上演。這裡有一個特別反直覺的例子，叫做“本福德定律”（Benford's Law）。大家憑直覺想一想，如果我讓你去統計一下真實世界裡的各種數據，比如世界各國的人口數量、所有上市公司的財報金額、或者是大自然裡河流的長度。在這些密密麻麻的數字裡，以數字“1”開頭的數，應該佔多少比例？從1到9，一共9個數字。如果世界是均勻的，那“1”開頭的概率大概應該是九分之一，也就是11%左右，對吧？
錯。本福德定律告訴我們，在自然生成的數據集裡，以“1”開頭的數字，竟然佔到了總數的30%左右！而以“9”開頭的數字，只佔不到5%。這聽起來簡直太奇怪了，為什麼“1”會這麼特殊？其實背後的原理跟增長有關。簡單來說，一個數字從100增長到200，它需要翻一倍，也就是增長100%。但是從800增長到900，它只需要增長12.5%。這就意味著，一個自然增長的數據，它停留在“1”開頭的那個區間裡的時間，要遠遠長於它停留在“8”或“9”開頭區間的時間。就像一輛車，低速檔總是用得最久的。
這個看似冷僻的數學定律，卻有一個非常強大的實際應用：抓騙子。是的，特別是財務造假。你想啊，如果一個沒什麼經驗的會計想做假賬，他會下意識地做什麼？他會試圖讓數字看起來“隨機”一點。在他的腦子裡，“隨機”意味著均勻，於是，他編造的數據裡，1開頭、5開頭、9開頭的數字數量可能都差不多。他覺得這樣才真實，才不會被發現。結果呢？這種拙劣的“隨機模仿”，恰恰違背了本福德定律這個隱藏在真實世界裡的自然鐵律。審計人員只要拿本福德定律的模型往賬本上一套，那些偽造的數據就像黑夜裡的螢火蟲一樣，立刻就暴露了。
當然，你可能會問，那如果騙子懂本福德定律呢？他能不能反向操作，造出符合定律的假數據？理論上可以，但實際上非常難。因為真實的數據不僅遵循本福德定律，還遵循其他幾十種更微妙的統計規律。要同時滿足所有這些條件去編造數據，那難度堪比重新創造一個宇宙。這也再次印證了陶哲軒解決的那個“差異問題”的內核：自然的模式和人為創造的模式之間，永遠存在著微小但致命的區別。
我們剛才聊了隨機性的陷阱，接下來，我們要聊一個更基礎，也更讓人大跌眼鏡的東西——我們的歸納法，以及這種思維方式是如何在高維空間裡徹底失效的。所謂歸納法，就像推倒多米諾骨牌。只要證明第一張牌能倒，並且任何一張牌倒下都能推倒下一張，那麼整排骨牌無論多長都會倒下。這是數學歸納法。但在生活中，我們更多用的是“經驗歸納法”。比如：我見過的每一隻天鵝都是白的，所以我斷定全天下的天鵝都是白的，直到那隻著名的“黑天鵝”出現。
在數學的高維世界裡，這種“黑天鵝”事件不僅存在，而且離譜到讓人懷疑人生。我們來看一個叫“極小曲面”的例子。你可以把它想象成你用鐵絲圈吹肥皂泡，那個肥皂泡形成的表面就是極小曲面。傳奇投資人、也是大數學家吉姆·西蒙斯（Jim Simons）曾研究過這個問題。他發現，在低維度空間裡——也就是我們熟悉的三維、四維，甚至一直到七維空間——這種肥皂泡曲面永遠是光滑的，就像絲綢一樣，絕對不會出現那種無法抹平的尖點。你看，3、4、5、6、7維都成立。按照歸納法的直覺，你會覺得，那8維、9維、100維肯定也一樣是光滑的吧？
這就是陷阱。當西蒙斯把研究推進到八維空間時，奇蹟……或者說災難發生了。規律突然失效了。在八維空間裡，這個曲面竟然可以形成一個無法被撫平的奇點，一個像錐子一樣的尖刺。這就是著名的“西蒙斯錐”。這就好比你看著一列火車平穩地開過了前七站，你理所當然地以為它會開過第八站，結果它在第八站突然變成了一架飛機飛走了。
但這還不是最顛覆認知的。我們對空間的幾何直覺，之所以會出錯，是因為我們的腦子被牢牢地鎖在了三維世界裡。這裡有一個更讓我震驚的例子，關於球體。大家在腦子裡畫一個正方形，然後在裡面畫一個最大的內切圓。這個圓佔了正方形大概78%的面積，很飽滿，對吧？現在升級一下，在一個立方體裡放一個內切球，這個球大概佔了52%的體積，也還行，一半多一點。好，現在請繫好安全帶，我們要進入高維空間了。
如果你在一個一千維的超立方體裡，放一個一千維的超球體，你猜這個球的體積佔比是多少？百分之十？百分之一？答案是：幾乎為零。是的，你沒聽錯。在一個一千維的空間裡，那個球相對於立方體來說，小到可以忽略不計。那個立方體的絕大部分體積，都集中在它的角落裡，而不是中心。這簡直太反直覺了！這意味著，在高維空間裡，“球體”根本不是我們想象中那個圓滾滾、胖乎乎的東西，它更像是一個極其瘦弱的刺蝟，或者說，所有的物質都逃離了中心，躲到了那無數個角落裡。
你可能會問，你跟我聊一千維的空間幹什麼？我們又不生活在那兒。雖然我們的身體在三維，但我們的數據，卻實實在在生活在高維空間裡。比如，現在的AI處理一個複雜的任務，比如分析一個病人的上千個生理指標，或者預測一支股票的幾千個風險因子。這些數據點，在數學上就是高維空間裡的點。如果我們還抱著三維世界的直覺，以為數據是像球體一樣聚集在中心的，那我們的模型就會犯下大錯，因為在高維數據世界裡，大部分數據其實都散落在那些遙遠的“角落”裡。
提到高維數據，我們自然繞不開現在最熱門的話題——人工智能。既然數學這麼複雜，AI這麼強大，那AI能不能代替數學家去思考？甚至去進行數學創新呢？陶哲軒對現在的AI，特別是像ChatGPT這樣的大語言模型，有著非常清醒且犀利的評價。他首先指出了一個很有意思的點：訓練這些AI所用到的數學原理，其實並不深奧，基本上本科生水平的矩陣乘法和微積分就夠了。那為什麼它們這麼厲害？這就是謎所在。我們知道“怎麼”造出它們，但其實並不完全理解“為什麼”它們在某些任務上表現得那麼驚人。
但是，在處理嚴謹的數學推理時，陶哲軒認為AI有一個核心弱點。他用了一個詞叫——“不接地氣”（Not Grounded）。什麼意思呢？現在的AI就像一個死記硬背的超級學霸，它背下了所有的題型和答案。考試的時候，如果遇到見過的題，它能拿滿分。但如果題型稍微變一點，或者需要真正的邏輯推演時，它可能會寫出一大堆看似專業、實則邏輯斷裂的步驟。最要命的是，它自己完全意識不到自己在胡說八道。它沒有那種“我是對的”或者“我搞砸了”的直覺。
不過，別急著唱衰AI。陶哲軒認為，AI雖然不能完全替代數學家，但它是一個極其強大的“研究助理”。想象一下，一個數學家在攻克難題時，可能會忘記某個幾十年前的冷門理論。人的記憶是有限的，但AI不會忘。它可以瞬間提醒你：“嘿，你是不是忘了還可以試試這個方法？”甚至，AI還能充當“靈感催化劑”。
有一個真實的案例發生在紐結理論領域。研究人員用神經網絡分析了一千萬個不同的紐結數據。AI在這個龐大的數據庫裡，發現了一種人類從未注意到的、不同變量之間的神祕關聯。最開始，這只是一個“黑箱”發現，AI說有關係，但沒說為什麼。於是數學家們開始介入，像審問犯人一樣審問這個AI，通過不斷調整輸入來觀察輸出，最終搞清楚了其中的邏輯，併成功提出了一個新的數學猜想，還給出了嚴格的證明。你看，這就是未來數學研究的樣子：AI負責在海量數據中嗅探出人類看不見的模式，而人類負責去理解、去證明、去賦予這些模式以意義。
陶哲軒還有一個非常精彩的觀點。他認為，AI最大的價值，可能不是去攻克像“孿生質數猜想”那種最頂尖的難題，因為那種問題需要的是顛覆性的原創思想，那是人類皇冠上的明珠。AI的真正戰場，在於處理那數以百萬計的“中等難度問題”，也就是所謂的“長尾問題”。這些問題數量太大了，人類專家根本沒時間一個個去解。但如果AI能批量解決這些問題，哪怕成功率只有10%，那也是整整十萬個數學問題的突破。這才是AI帶來的規模化力量。
節目快結束了。我們的思緒從質數的賭局，飛躍到了高維空間的角落，又探討了AI與人類智慧的邊界。在和陶哲軒的這場思想碰撞中，我一直在思考一個終極問題，這也是困擾了無數哲人的問題：數學，到底是像柏拉圖說的那樣，是某種客觀存在於宇宙中的真理，等著我們去發現？還是說，它只是我們人類為了描述世界而發明的一套語言遊戲？
陶哲軒給出的答案非常睿智。他說：“兩者皆是。”我們發明了符號，發明了概念，發明了“微分”、“積分”這些語言工具。但我們發明這一切，是為了更好地去發現那個早已存在的、客觀的數學結構。語言是人類的發明，但結構是宇宙的發現。
最後，我想給大家講一個小故事作為結尾。陶哲軒還有一項著名的工作，叫“壓縮感知理論”（Compressed Sensing）。聽名字，這似乎是一個非常枯燥、純粹的數學算法問題，屬於那種典型的“象牙塔”裡的研究，跟我們的日常生活八竿子打不著。但是，你知道它的實際應用是什麼嗎？
現在全世界頂級的醫用核磁共振（MRI）設備，都在使用這項技術。通過這個數學算法，醫生不需要升級昂貴的硬件，就能將掃描速度提升將近十倍。這意味著什麼？對於一個在病床上焦急等待診斷結果的病人，或者一個沒辦法長時間保持靜止不動的生病的孩子來說，掃描時間從30分鐘縮短到3分鐘。這不僅僅是體驗的提升，這可能是生與死的距離。
一個看似純粹抽象的數學公式，最終變成了一束溫暖的光，照進了現實，甚至拯救了生命。這或許就是數學最迷人的地方。正如我們開頭提到的那個質數之謎，或者是成百上千個此刻正困擾著數學家們的猜想。在這些看似冰冷的符號背後，也許正隱藏著改變我們世界，甚至改變我們命運的答案。我們都在這場巨大的數學豪賭之中。幸運的是，在這個探索的賭桌上，人類的智慧，永遠是我們最大的籌碼。
好的，今天的視頻就先聊到這裡。如果你喜歡今天的節目，別忘了點贊、分享，並訂閱我的頻道，及時獲取科技資訊和深度解析。感謝觀看，我們下期再見！