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Los juegos dinámicos son aquellos en los que los jugadores no realizan la elección de sus estrategias de forma simultánea, sino que toman sus decisiones de manera secuencial. Primero actúa uno, después otro, después otro, después otro, etc.
En este caso las estrategias se van a complicar un poco respecto a las utilizadas hasta ahora. En efecto, dado que se tratan de un plan de acción completo, cada estrategia tendrá que tener prevista, para el jugador que actúe en segundo y sucesivos lugares, una acción como respuesta para cada posible acción por la que opte el jugador que actúa en primer o anterior lugar.
En esos casos puede ocurrir que surjan equilibrios de Nash que incluyan acciones que no sean óptimas para el jugador que debería realizarlas si le correspondiese jugar en ese momento. Esto se evita exigiendo que los equilibrios de Nash sean perfectos en sus juegos.
Un subjuego es la parte de un juego que resta por jugarse a partir de cualquier punto en el que la información de lo que ha ocurrido hasta ese momento es de dominio público. En el ejemplo propuesto existen dos subjuegos, que son aquellos que comienzan en el momento en el que es el turno de elegir del jugador número 2, pues, éste conoce qué acción es la que ha efectuado el jugador número 1, en el momento que a él le toca actuar.
Para ello se ha de proceder resolviendo los juegos por inducción hacia atrás. Esto consiste en analizar cuál es la acción óptima para el individuo que actuará en último lugar. Quien deba realizar una lección en el penúltimo lugar deberá contar con que el último va a actuar de esa manera en el momento en el que a él le vaya a tocar actuar. Quien actúe en antepenúltimo lugar sabrá que quien actúe en penúltimo lugar tendrá en cuenta lo que va a hacer quien actúe en último lugar, por lo que su decisión vendrá condicionada por el previsible transcurso posterior del juego, y así sucesivamente.
Lo veremos fácilmente con un ejemplo. En este ejemplo suponemos que el jugador número uno ha de elegir entre A y B. A continuación el jugador número 2, conociendo la decisión adoptada por el jugador número 1, ha de elegir entre X e Y. Los pagos que obtendrían uno y otro jugador como consecuencia de sus respectivas elecciones están en los extremos del gráfico.
Las estrategias entre las que tiene que elegir el jugador número 2 en este ejemplo no son dos como ocurriría en un juego estático, que serían X e Y, sino 4. En efecto, dado que una estrategia, como decíamos anteriormente, es un plan de acción completo que indica lo que el jugador haría en cada punto en el que pueda tener que elegir, las estrategias del jugador número 2 serían las siguientes: X-X; X-Y; Y-X e Y-Y.
La acción que figura antes de la coma, es decir, si digo (X,X), en cada una de ellas es la respuesta prevista ante la posibilidad de que el jugador número 1 opte por su estrategia A. La que figura tras la coma es la respuesta prevista por el jugador número 2 al hecho de que el jugador número 1 elija su estrategia B.
Para resolver el juego procederemos inicialmente hallando el equilibrio de cada subjuego para encontrar el equilibrio del juego en su conjunto a continuación. En el subjuego de la parte superior, en el que el que empieza una vez que el jugador número 1 ha optado por la acción A, el jugador número 2 ha de elegir entre X e Y. Como sus pagos son los que figuran detrás de la coma, está claro que optará por Y, para maximizar su utilidad, puesto que 12 es mayor que 7.
En el segundo subjuego, el que comenzaría una vez que el jugador número 1 hubiera optado por la acción B, el jugador número 2 optaría por X, pues su pago será mayor que si opta por Y. Es decir, 10 es mayor que 3. Hemos señalado en esta figura con sendas flechas las dos opciones que nos indican cuál es la estrategia óptima del jugador número 2: Y si el jugador número 1 elige A, y X si el jugador número 1 opta por B. La estrategia óptima del jugador número 2 será, por tanto, Y; X.
Cuando el juego empieza, el jugador número 1 sabe que si el jugador número 2 es racional, optará por seguir esa estrategia. En ese caso, por tanto, si él también es racional, optará por B, pues de esa manera, ya que sabe que el jugador número 2 va a elegir X, tendrá un pago de 9, que es mayor que el que obtendría si eligiese A. Dado que sabe que en ese caso el jugador número 2 optará por Y y su pago sería tan solo de 6. El equilibrio de Nash perfecto en sus juegos, por tanto, sería B (Y,X).
El equilibrio de Nash perfecto en sus juegos nos informa, por tanto, no solamente de cuál será la evolución del juego, sino también del equilibrio de cada uno de los sub juegos, aun cuando la evolución del juego no nos encamina hacia alguno o algunos de ellos. Podemos apreciar todo esto en la representación extensiva de esta figura. Los pagos que recibirán uno y otro individuo en el equilibrio serán 9 y 10 respectivamente. Es importante no confundir el resultado 9,10, que ambos jugadores van a obtener, que surge de la previsible evolución del juego, que es B y a continuación X, con el equilibrio de Nash perfecto en sus juegos, que sería B (Y,X).
La representación matricial de un juego dinámico difiere de la de los juegos estáticos, pues en este caso no coinciden acciones y estrategias, puesto que una estrategia puede estar compuesta por varias acciones. En los juegos dinámicos se representan en filas y columnas las distintas estrategias con las que cuentan los jugadores. Siguiendo con el ejemplo propuesto, vamos a representarlo en forma matricial. Aquí lo tenemos.
Podemos encontrar los equilibrios de Nash de este juego subrayando, en la figura, el pago de cada jugador en la estrategia que le es óptima, dada la estrategia del otro. Como se puede apreciar, surgen 2 equilibrios de Nash: B(X,X) y B(Y,X). Anteriormente, cuando resolvimos el juego por inducción hacia atrás, vimos que el equilibrio de Nash perfecto en su juego era B(Y,X), este último que hemos subrayado, frente al otro equilibrio de Nash que acabamos de calcular, que no es perfecto en subjuegos.
Esto es así porque la perfección en subjuegos elimina los equilibrios de Nash que están basados en amenazas o promesas que no son creíbles. En este ejemplo concreto, en el equilibrio de Nash que no es perfecto en subjuegos, el B(X,X), se podría interpretar que el jugador número 2 está realizando una promesa no creíble al jugador número 1, como la siguiente: "Si sigues la estrategia A, yo optaré por la estrategia X". Esto, sin embargo, no es creíble, pues llegado el caso de que el jugador número 1 hubiera elegido la estrategia A, el jugador número 2, actuando racionalmente, debería optar por Y, dado que 12 es mayor que 7. En definitiva, el equilibrio de Nash no nos dice la verdad sobre lo que ocurrirá en uno de los subjuegos, el de la parte superior, que comienza cuando tiene que decidir el jugador número 2. La perfección en subjuegos elimina este tipo de equilibrio de Nash.