Donald Knuth: Algorithms, Complexity, and The Art of Computer Programming | Lex Fridman Podcast #62

以下是与唐纳德·克努斯（Donald Knuth）的对话，他是计算机科学和数学领域最伟大、最有影响力的科学家之一。他获得了 1974 年的图灵奖，该奖项被认为是计算领域的诺贝尔奖。他是多卷本著作《计算机程序设计艺术》的作者。他在算法计算复杂性的严格分析方面做出了几项关键贡献，包括我们都亲切地称为“大 O 符号”的渐近记法的普及。他还创建了 TeX 排版系统，大多数计算机科学家、物理学家、数学家以及一般的科学家和工程师都使用它来撰写技术论文并使其看起来很美观。我无法想象在 2019 年有比唐纳德·克努斯更好的嘉宾了，他是我们领域中最善良、最聪明的人之一。

这个播客是在几个月前录制的。我之所以一直回避它，也许是反直觉的，是因为这次谈话对我意义重大。如果你相信的话，我当时对录音的了解甚至更少，所以摄像机的角度有点偏。我希望你没意见。办公室空间有点狭窄，不适合拍摄，但那是一个神奇的空间。唐纳德·克努斯在那里完成了他大部分的工作。他欢迎我到他家，这对我来说意义重大。这真是一次漫长的旅程，很多人都知道他不查电子邮件，所以我不得不发挥创意。努力是值得的。我一直在业余时间做这个播客，刚刚一年多一点。有时我不得不牺牲一些睡眠，但总是乐于这样做，并成为一个由好奇心驱动的了不起的社区的一部分。感谢您提供的善意的话语、对有趣讨论的支持，我期待在 2020 年有更多这样的讨论。这是人工智能播客。如果您喜欢，请在 YouTube 上订阅，在 Apple Podcasts 上给它五星好评，在 Spotify 上关注，在 Patreon 上支持，或者只是在 Twitter 上与我联系，我的名字是 Lex Friedman，拼写是 f-r-i-e-d-m-a-n。我最近开始在介绍的结尾做广告。我会在介绍完这一集后做一到两分钟的广告，并且绝不在中间打断谈话流程的广告。我希望这对您来说没问题，并且不会损害您的收听体验。我提供了对话开始的时间戳，您可以跳过，但如果您收听广告并尝试广告中宣传的产品或服务来支持这个播客，那将会有所帮助。本节目由 Cash App 呈现，它是 App Store 中排名第一的金融应用。我个人使用 Cash App 向朋友汇款，但您也可以用它在几秒钟内买卖和存入比特币。Cash App 还有一个新的投资功能，您可以购买股票的一部分，比如价值 1 美元的股票，无论股票价格如何。经纪服务由 Square 的子公司 Cash App Investing 提供，并且是 FINRA 和 SIPC 的成员。我很高兴能与 Cash App 合作，支持我最喜欢的组织之一，名为 FIRST。FIRST 以其 FIRST 机器人和乐高比赛而闻名，他们教育和激励了 110 多个国家数十万学生，并在 Charity Navigator 上获得了完美评分，这意味着捐赠的资金得到了最大程度的有效利用。当您从 App Store 或 Google Play 下载 Cash App 并使用代码 Lex Podcast 时，您将获得 10 美元，Cash App 还会捐赠 10 美元给 FIRST，这是一个我亲眼见过激励男孩和女孩梦想创造一个更美好的工程世界的组织。现在，这是我与唐纳德·克努斯在 1957 年的对话。

在凯斯理工学院，您曾被允许花几个晚上与一台 IBM 650 计算机一起度过，正如您过去所说的那样。然后您爱上了计算。您能带我回到与 IBM 650 的那一刻吗？是什么吸引了您？

IBM 650 是一台机器，它虽然没有填满整个房间，但它很大而且很吵。当我第一次看到它时，我透过一扇窗户看到它，有很多灯在闪烁。我是一名新生，在统计组有一份工作，我应该打卡、输入数据，然后在另一台机器上进行排序。但后来他们得到了这台新计算机。它有一些有趣的灯。好吧，但它有我能进入建筑物的钥匙，所以我可以进去看看它，并找到一本手册。我的第一次体验是基于我能够打卡的事实。

基本上，对于一个大项目来说，但 650 在尺寸上很大，但在功能和内存方面却非常小。它有 2000 字的内存，每字内存是 10 个十进制数字加上一个符号。它执行两个数字相加的操作，您可能预计这需要大约三毫秒。这相当快。是内存是限制因素。内存是问题所在。之所以需要三毫秒，是因为鼓转一圈需要五毫秒，而您必须等待，我不知道，五个周期。如果您有一个指令在一个鼓上的位置，那么它就可以读取指令的数据了。鼓有 50 个周期，您需要三个周期才能读取数据，然后再经过三个周期才能读取下一个指令。如果指令就在那里，那么就可以继续。否则，您将一直旋转，直到到达那里。我们直到大四才拥有任何随机访问内存。您看，我们有 50 字的随机访问内存，这非常宝贵。我们会将数据以 60 字的块移到随机访问内存中，然后重新开始。所以，区分何时去那里很重要。

您能预测到 60 年后计算的未来吗？

事实上，我被问过的最难的问题是，我能预测什么？换句话说，面试官问我：“你知道计算中有哪些方面让你感到惊讶吗？”我立刻列举了二十几个。她说：“好吧，什么没让你惊讶？”我花了五分钟思考我本可以预测到的事情，但我却想不出来。但让我说，这台机器……我当时并不了解它。当时世界上没有多少其他东西。650 是第一台产量超过一千台的机器。在那之前，每台机器可能只有半打的例子。我的第一台大规模生产的机器，是的，是批量生产的。IBM 并没有出售它们，而是出租给大学，而且价格很优惠。所以，当时很多学生都了解了计算机。

您提到像您自己这样倾向于计算思维的人是“极客”。至少我听说您使用过这个术语。这是真的吗？

我认为在我成长的过程中发生了一些事情，导致我的大脑以某种方式构建，从而与计算机产生共鸣。人群中有 2% 的人，您经验性地估计，这个比例在我职业生涯的大部分时间里都相当稳定。然而，现在可能有所不同，因为孩子们在年轻时有不同的经历。那么，一个极客眼中的世界是什么样的？这种独特的思维方式是什么？

这是个重要的问题。在 50 年代，IBM 注意到有极客和非极客，所以他们试图雇佣极客。他们发表了论文说：“如果你喜欢下棋，就来麦迪逊大道参加面试。”他们正在尝试一些事情。那么，对我来说容易而别人觉得困难的事情是什么呢？我认为主要有两件事。一是能够跳跃抽象级别。您看到宏观的东西，也看到微观的东西，并且能够不自觉地在它们之间切换。您知道，要解决某个大问题，您需要做的是将 1 加到某个寄存器中，或者任何能让您进入下一步的操作。您可以……是的，我的意思是，我不会深入到电子层面，但我知道那些毫秒是什么，650 上的鼓是什么样的。我知道我将如何分解一个数字，或者找到一个方程的根，或者其他事情，因为我知道它在做什么。在我调试的时候，我一直在检查：我是否犯了打卡错误？我是否写错了指令？我的寄存器里是不是放错了东西？每个级别都不同。所以，能够看到所有级别的不同事物并流畅地在它们之间切换，在我看来，在像我这样与计算机打交道的人身上更为突出，而且非常突出。所以，在我的书中，我也不会只停留在高层次，但我会混合低层次和高层次的东西。这意味着有些人认为我应该写更好的书，这可能是真的。但其他人说，如果你那样想，那就是训练自己的方式，就像不断混合级别并学到越来越多地在它们之间跳跃一样。所以，这是第一件事。另一件事是，它更多的是一种才能，能够处理非均匀性，即情况一、情况二、情况三，而不是一两个规则支配一切。所以，如果……如果一个算法有十个步骤，每个步骤都做不同的事情，这并不困扰我。但很多纯粹的数学是基于一两个普遍的规则。所以，这意味着像我这样的人有时会使用比必要更复杂的系统，因为我们不介意我们没有找到简单的规则。

您提到雅可比、阿贝尔以及 19 世纪的所有数学家可能都有极客的症状，而第一个百分之百合法的极客是图灵。我认为他比任何人从他写的那些东西中读到的都要具备这种品质。图灵对您有什么影响？

嗯，嗯，我直到毕业几年后才知道他这一面。在本科时，我们有一门课讲授可计算性理论和图灵机，这听起来是一种非常纯粹的理论方法。那么，我多大了才了解到他设计了机器，写了曼彻斯特机器的精彩手册，发明了所有子程序，并且是一个真正的黑客，亲自动手。我多年来一直认为他只做过纯粹的形式工作。当我开始阅读他自己的出版物时，我能感受到这种亲近感。当然，他有很多怪癖，比如他把数字写反了，因为……我的意思是，从左到右到从右到左，因为计算机处理起来更容易。

您是什么意思，从左到右？他会把 π 写成……我的意思是，9.514.3。好吧，算了。黑板上的 1.3。我的意思是，他训练自己这样做，因为他正在使用的计算机内部就是这样工作的。他训练自己像计算机一样思考。

好吧，这真是太疯狂了。这就是极客思维。

您实践过计算机科学中最优雅的形式主义，但您又是“文学编程”概念的创造者，这个概念似乎更接近于编程的自然语言描述。

是的，绝对。那么，您如何看待这两种形式主义的冲突，即理论的形式主义和文学编程的思想呢？

我们正处于一个非均匀的系统中。我不认为“一刀切”适用于所有情况，我也不认为所有的真理都存在于一种专业知识中。所以，在某种程度上，你会说我的一生是英语和数学的凸组合。您对此没意见吗？而且不仅如此，我认为蓬勃发展。我希望我的孩子们也这样。我希望……同时使用左脑和右脑。您完成的事情更多。这就是其中一部分。

我听说您直到 30 多岁才真正为消遣而阅读文学。是真的吗？

您比我更了解我，但我会尽量与您所说的保持一致。是的，相信我。只要跟着我讲的故事走，这样会更容易。

我听说您提到了菲利普·罗斯的《美国牧歌》，我非常喜欢这本书。我不知道它是否被提及为您也觉得有意义的东西。无论如何，哪些文学书籍对您产生了持久的影响？

好吧，我认识罗斯。我们都在同一天从哈佛获得了博士学位。所以，我们一起吃过午饭之类的。但他知道计算机书籍永远不会畅销。好吧，您说您十几岁时就离开了俄罗斯。我必须说，托尔斯泰是我的一大影响。我特别喜欢《安娜·卡列尼娜》，不是因为情节的某个特定区域，而是因为有一个角色……他进行了哲学讨论，一切都……一种生活方式在那里被解决了，在角色之间。我认为这特别美。另一方面，陀思妥耶夫斯基，我一点也不喜欢，因为我觉得他的天才主要是因为他总是忘记他最初想做什么，而且他很马虎。我不认为他打磨过他的东西。我倾向于钦佩那些一丝不苟的人。

那么，您更欣赏散文的音乐性吗？

我当然欣赏语言的音乐性，我无法在俄语原文中欣赏它，但我可以。维克多·雨果……他的友谊更紧密。但托尔斯泰，我喜欢他的原因与我喜欢赫尔曼·沃克的理由一样，作为一名小说家。我认为我喜欢他的书《玛乔丽·莫宁斯塔》中有一个类似的角色，他发展了自己的个人哲学并坚持下去。是的，这是值得思考的。

所以，像尼采……您不喜欢弗里德里希·尼采吗？

哦，是的。不，不。我一直看到尼采的引语，它们从来没有吸引我去进一步阅读。充满矛盾。我们肯定不会欣赏他。但席勒……你知道，我试图弄清楚我在文学中欣赏什么。其中一部分是，正如您所说，语言的音乐性，它的流动方式。

雷蒙德·钱德勒和达希尔·哈米特。达希尔·哈米特的句子很糟糕，雷蒙德·钱德勒的句子很美，它们就是那样流畅。所以我……我不读文学是因为它应该对我有好处，或者因为有人说它很棒。但我能找到我喜欢的东西。我的意思是，您提到了詹姆斯·邦德。我喜欢伊恩·弗莱明。我认为他有一种非常出色的天赋。如果他的故事中出现了高尔夫比赛或桥牌比赛，那将是最激动人心的高尔夫比赛，或者……绝对最好的桥牌牌局。他利用了这一点，并且讲得也很精彩。

在连接一些事情时，看看文学编程以及能够以一种模仿人类说话方式的方式向计算机传达算法。您对自然语言总体以及我们人类世界表达困难事物的混乱性有什么看法？

文学编程的想法是为了更好地理解某事，通过从这两种视角来看待它：正式和非正式。如果我们试图理解一个复杂的事物，如果我们能从不同的角度来看待它。事实上，这是技术写作的关键。一个好的技术作家尽量不显而易见，而是正式和非正式地重复两次，或者可能三次。但您试图为读者提供一种将概念植入他或她自己大脑的方式。

这对作者还是读者，还是两者都更好？

作者只是试图理解读者。这是作者的目标，就是对读者有一个良好的心理印象，并说出读者接下来期望什么，并向读者展示作者认为有趣的东西。所以，当您有一个计算机程序时，我们试图……而不是把它看作是我们只是在给计算机指令的东西，我们真正想要的是为将要维护这个程序的人，或者为程序员自己调试时，提供关于为什么这样做以及为什么这样做的见解。所以，教师使用的所有教学技巧，或者书籍作者使用的技巧，都可以让您的程序变得更好，前提是您的程序不仅仅是一次性的。

这有多难？您是否看到非正式和正式结合在编程任务中的希望？

我猜我不是问对人，因为我是一个极客。但我认为对于极客来说很容易。我不知道，我不知道……有些人写东西有困难，这可能是因为他们的大脑结构使他们难以写作，或者这可能只是因为他们没有足够的练习。我不是一个可以评判的人。但我不认为您可以教授任何特定的技能。我认为写作是我生命的一半。所以我把它结合起来。即使我在写一个一次性的程序，我也会以文学的方式来写，因为我能更快地写对。

那么，它会自动编译吗？所以，从技术上讲，我的问题是设计一个系统，其中大部分编程是以非正式的方式完成的，这有多难？

我认为任何能使其易于理解的方法都是好的。但您也必须了解非正式的程度。您必须知道其局限性。您必须连接。所以，通过将正式和非正式结合起来，这就是它如何锁定到您的大脑中。现在，您可以非正式地说，“我正在处理一个问题。”所以，让我们去那里。我明白了。您能给我一个连接非正式和正式的例子吗？

这是一个有点太复杂的例子。有一个自指的谜题，叫做日本箭头谜题。您会得到一堆盒子，每个盒子都指向北方、东方、南方或西方。最后，您应该在每个盒子里填入它指向的不同数字的数量。所以，如果我在一个盒子里放一个三，这意味着它指向五个其他盒子，这意味着那五个盒子里将有三个不同的数字。那些盒子可能指向我，或者我可能指向其他方向。但无论如何，我定义了一组数字，它遵循这个复杂的条件：每个数字计算它指向的不同数字的数量。

那么，一位先生给了我他的解决方案。他提出了正式的陈述，说“这个是真的，那个是真的，这个是真的”。我试图非正式地解释那个正式陈述，我说：“我包含一个三，而我指向的盒子包含数字一、二和六。”所以，通过非正式地表达，我也将其转换为对话陈述，这有助于我理解他写下的逻辑陈述，即他用一些抽象变量写的数字字符串。

是的，这真的很令人兴奋。也许这是它的延伸。计算机科学、机器学习和神经网络领域出现了复兴，即使用数据来构建算法。这确实是另一种构建算法的方式。

是的，您可以那样想。与自然语言相反，使用数据来构建算法。那么，这个计算机科学分支的观点是什么，数据比算法的机制更重要？它似乎适合某种非极客，也许这就是它如此受欢迎的原因。它有自己的社区，我真的很喜欢。但很难信任这样的东西，因为没有人，甚至那些与之工作的人，也不知道学到了什么。这是一个非常有趣的观点，它使算法更容易被不同的社区、不同类型的大脑所接受。

是的，这很有趣，因为就像文学编程一样，它可能使编程更容易被某种类型的大脑所接受。有些人认为这只是教育问题，任何人都可以学会成为一名出色的程序员，任何人都可以成为一名出色的滑雪者。

是的，我希望如此。但我知道有很多事情我尝试过，而且我……我动力十足，我一直在努力提升自己，但我从未达到某个水平。例如，我无法在脑海中看到三维物体。我必须做一个模型，看看它，从各个角度研究它，然后我才开始有点想法。但其他人擅长四维。我的意思是，物理学家。

那么，让我们谈谈《计算机程序设计艺术》。1962 年，您为这部鸿篇巨制设定了目录。它本应是一本关于 12 章的单卷本。今天，57 年后，您正在撰写第七卷中的第四卷，并且正在撰写 4B。

我能问您一个不可能的任务吗？就是试着总结一下到目前为止的书，也许给一些小例子。从排序、搜索到组合算法，如果您要给一个总结，一个快速的电梯式总结……

这取决于大楼有多少层。第一卷称为“基本算法”，讨论的是您无法……我猜您不知道就无法做的事情。什么是程序？什么是算法？它还讨论了低级机器，所以您可以对正在发生的事情有一个大致的了解。它包含输入/输出和子程序的概念，数学归纳法。所以，让我的书与许多其他书不同的地方在于，我不仅试图呈现算法，还试图分析它们。这意味着定量地说，我不仅说它有效，而且它运行得很快。所以我需要数学。然后是计算机内部数据结构的标准组织方式以及信息表示方式。所以，这就是第一卷。

第二卷称为“半数值算法”。在这里，我们正在编写程序，但我们也处理数字。算法处理任何类型的对象，但当对象是数字时，我们就有一些特殊的范例适用于有数字的东西。所以，有……有像……有数字算术，有数字矩阵，有随机数，有数字幂级数。有不同的代数概念，以结构化的方式包含数字。计算机认为的算术是浮点运算，高精度运算，不仅是加减乘，还有数字的比较。

那么，第三卷讨论……我喜欢那一卷。排序。循环排序。所以，在这里，我们不一定处理数字，因为您看到了字母和其他对象。搜索，我们一直在做。我们现在使用谷歌，但我的意思是，我们必须找到东西。所以，再次，算法是所有类型应用程序的基础。比如，这些卷中的任何一个都不是关于特定应用程序的，而是应用程序是人们为什么想了解排序，为什么想了解随机数的例子。

那么，第四卷进入组合算法。这是我们处理无数事物的地方。在这里，我们不断发现一个好主意可以让某件事快一百万倍以上的情况。我们正在处理那些可能永远无法有效解决的问题，但这并不意味着我们放弃它们。我们有机会产生好主意，并大大加快它们的速度。所以，这就是组合算法。

那么，您最喜欢的是什么？

组合算法是我一直最喜欢的，因为那是我的编程技能最有回报的时候。你知道，你一开始想到的显而易见算法和你……一个好的、有趣的、微妙的算法之间的区别，它不那么明显，但运行起来比另一个快得多。这就是计算机科学的魅力所在。而且，许多这些组合算法最初是在人工智能或密码学的应用中找到的。就我而言，我只是喜欢它们，而且它们更多地与您最喜欢的谜题相关。

在图论领域，图很有用，因为它们是现实世界中许多事物的绝佳模型。您在图上加上数字，就得到了一个网络。所以，在那里，您确实有更多的事物。但总的来说，组合是指任何具有某种更高结构、非随机结构的物体排列。而且，有可能将一些东西组合起来，满足所有这些条件。就像我刚才提到的箭头一样，你知道，有没有办法将这些数字放在一堆相互指向的盒子上？这是否可能？

那是第四卷。那是第四卷。

那是第一部分。那么，1962 年我开始写目录时，它并不是一本关于计算机编程的通用书籍。它将是一本关于如何编写编译器的书。有人让我写一本解释如何编写编译器的书。当时，世界上只有几十个人写过编译器，碰巧我也是其中之一。而且，我也有一些写作经验，比如为校园报纸写作。所以，我说：“太好了，我是唯一一个写过编译器但没有发明任何新编译器编写技术的人。而我认识的其他人都很有想法，但我看不出他们能写一本描述任何人想法的书，用他们自己的方式。”所以，我可以成为记者，解释所有关于编译器编写的酷想法。然后我开始……好吧，是的，我需要……我需要一个关于数据结构的章节。我需要一些介绍性材料。我想谈谈搜索，因为编译器编写者必须查找符号表中的变量，并找出……你知道，当你写一个变量名在一个地方，它应该与你在别处放置的相同。所以，你需要所有这些基本技术。而且，我……我知道一些算术的东西。所以我加入了这些章节，我还加入了一章关于组合学的，因为那是我最喜欢的编程。但在 1962 年，关于组合方法，人们知道的算法不多。所以，那一章有点短，但只是为了好玩而加入的。第十二章将是实际的编译器，将第 1 到 11 章的所有内容应用于编译器。

好吧，那是我的 1962 年目录。在 70 年代，整个组合学领域经历了一次巨大的爆炸。人们谈论组合学爆炸，他们通常指的是案例数量的增加。你知道，你把 n 变成 n+1，突然你的问题就变得比原来难十倍以上。但在 70 年代，组合学领域出现了思想的爆炸。以至于……1975 年，我敢打赌，超过一半的计算机科学期刊都与组合方法有关。

人们在思考什么样的问题？组合学中有什么样的问题？

图论。图论。引力。引力相当占主导地位。我的意思是，不，所有 NP 难问题，比如哈密顿路径或……旅行推销员问题。超越图论。你还有运筹学。曾经有一类小问题有有效的解决方案，它们与……一种特殊的数学结构有关。但一旦我们处理涉及三个事物而不是两个事物的问题，一切就变得更难了。所以，我们有可满足性问题。或者，如果你有……每个子句有两个逻辑元素，那么我们可以满足它。我们可以在线性时间内测试可满足性。但如果你允许三个变量在子句中，那么没有人知道如何做。所以，这些文章是关于试图找到更好或更好的方法来解决密码学问题和图论问题，我们有大量数据，但我们不知道如何找到最佳子集。就像排序一样，我们可以得到答案，而且花费的时间不长。

那么，从 70 年代到现在，它们是如何继续变化的？

现在可能有半打会议的主题是组合学，但幸运的是，我不必每个月重写我的书，就像 70 年代那样。但仍然有大量的工作正在进行，人们对这些似乎没有真正有效解决方案的问题有了更好的想法，但我们仍然可以从中获得更多。所以，这本书我正在完成，我有很多全新的方法。我知道没有其他书涵盖这种特定的方法。所以我正尽力探索冰山一角。我尝试了很多东西，不断重写，发现更好的方法。

那么，您的写作过程是怎样的？您的思考和写作过程是怎样的？每天？

我猜这是个好问题，因为我每周七天都在做这件事。这是准备回答这个问题的最佳方式。是的，是的。好吧，我坐的椅子就是我做这件事的地方。这就是魔法发生的地方。阅读和写作。通常有几把椅子。我通常坐在那里，那里有其他参考书。但我找到了这把椅子，它是由一个瑞典人设计的。结果发现，这是我唯一一把可以坐上几个小时而不知道自己坐在椅子上，但旁边还有站立式办公桌。所以，在我用铅笔和橡皮擦写完东西后，我站起来，打字，修改，重写。核心思想是先写在纸上。是的，这是正确的。我可能每周写五次程序。当然是文学编程。在我的书中描述某事之前，我总是先编程，看看它是如何工作的。我尝试了很多。例如，我在一月底了解到，有四名日本人取得了一项突破，他们将我的一种方法扩展到了一个新的方向。所以，我花了接下来的五天时间编写程序来实现他们所做的。然后，他们只概括了我所做的一部分。所以我必须看看我是否能概括更多部分。然后我必须采用他们的方法，我必须尝试将其应用于我用旧方法已经解决的另外几个问题。这又花了几个星期。然后我开始看到光明。我开始写最终草稿。然后我会……我会把它打出来。这涉及到一些新的数学问题。所以我写信给我的朋友，他们可能擅长解决这些问题。他们解决了一些问题。所以我把它们作为练习题放进去。一个月后，我吸收了一个我学到的新想法。我很高兴及时听说了它，否则我的书就不会在我听到这个想法之前出版了。另一方面，这本书本应是 300 页，现在我达到了 350 页。这增加了 10 页。但如果我再学到一个，我可能会……他们会先杀了我的。

那么，在这个过程中，有些日子比其他日子更难吗？

是的，我的工作很有趣，但我也很努力。每一项大工程都有比其他部分更有趣的部分。所以，很多天我会说，我为什么要设定这么高的标准？为什么我不随便一点，不尝试一下，然后报告答案？但我知道人们指望我这样做。所以，好吧，唐纳德，咬紧牙关，去做吧。然后，当我看到我确实取得了好的结果时，乐趣就来了。我甚至更开心，当我看到有人真的读懂了我写的东西，并告诉我如何做得更好。

我确实想提一下关于方法的事情。我有一个平板电脑，我在这里进行第一次……第一次写概念。那么，用什么语言呢？我没写。嘿，看看吧。随机说，解释如何绘制这种倾斜的像素图。我大约 40 年前在拜访我姐姐时得到了这篇论文。他们制作了带有这种漂亮大尺寸纸张的平板电脑，纸张之间的间距非常小。哦，是的，是的。特别是……是的。我还有这些可以追溯到 60 年代的稿件。当我把我的想法写在纸上时。但我是一个打字员。事实上，我在高中时上过打字课。所以我打字的速度比我想象的要快。所以，当我编辑时，站起来打字，然后我修改它，它看起来与我想要的不同。风格和节奏之类的事情在打字阶段就出来了。你输入 TeX，我输入 TeX。

你能在 TeX 中思考吗？

在一定程度上，我只有少数几个习语，比如……你知道，定理。我为显示的方程做一些事情，等等。但我必须看到它，以它在这里的方式。是的，没错。例如，图灵写的是另一个方向。你不写宏。你并不特别用宏来思考。但当我需要宏时，我会去做。但关键是，我也为了适应而写。我的意思是，如果我能节省一行，我就会改变一些东西。我……就像俳句一样。我会想办法重写句子，让它在页面上看起来更好。我不应该浪费时间在这上面。但我无法抗拒，因为我知道这只占时间的 3% 左右。

而且，也可以说这就是生活的意义。

是的，事实上，这是真的。就像我每周工作一天在花园里。这就像是对我生活的描述，除掉杂草，你知道，从程序中清除错误。所以，你知道，很多作家谈论……基本上是忍受写作过程。觉得它非常困难。我认为编程，尤其是您正在做的技术写作，可能就像那样。您是否发现自己……您每天如何坐下来工作？这是一种挑战吗？您是否觉得……哦，是的，很有趣，但听到一些非有趣的部分，您真正挣扎的部分会很有趣。

是的，乐趣来自于我能够将两个互不认识的人的想法结合起来。我可能是第一个看到他们两个想法的人。然后，我就可以进行综合，这给了我创造的机会。但繁重的工作是我必须追溯到根源。这让我进入了真正有趣的东西。我的意思是，我学到了梵语。是的。同样，我试图给所有作者应有的荣誉。所以我写信给那些……我以这种方式沟通。我必须正确地处理数学。我必须……我尝试找到我所有程序的漏洞。在我有了更好的想法后，我会重写程序。

有没有死胡同？

是的，我扔掉了一些东西。我的意思是，我花了很长时间准备一个基于棒球比赛的主要例子。我知道很多人，对他们来说，棒球是世界上最重要的事。是的。但我也知道很多人，对他们来说，板球是世界上最重要的事，或者……你知道。我意识到，如果我有一个大样本……我的意思是，它会有一个折叠式插图和所有东西。我当时在想，我到底在教算法什么？我有一个棒球例子。如果我是一个只懂板球的人，他们会怎么想？所以，我把整个东西都扯掉了。但我……我有一个……它会真正吸引那些以棒球为人生重要主题的人。很多人。是的。所以，我把它放在了少数人身上。我甚至取出了保龄球。更少数人。

编程的艺术中有什么艺术？为什么标题中有几个词？为什么艺术是其中之一？

那是我写图灵演讲的主题。所以，当人们谈论艺术时，它实际上……这个词的意思是人造的东西。所以，当你有人工智能时，艺术就来自同一个词根，意思是这是人类创造的东西。然后它有了进一步的意义，通常是美术，其中包含了美。所以，我们有艺术品。这意味着它不仅是人类完成的，而且是以优雅的方式完成的，带来快乐，并且……我猜就像托尔斯泰所说的……但无论如何，它就是……它就是那一部分，它说它做得很好，而且不仅与自然不同，而且是人类特别擅长的。当他们说，比如人工智能，他们试图模仿人类。但其中包含美术和美的元素。

是的，那也是我想说的。你可以写一个程序，并使其成为一件艺术品。

那么，就令人惊讶而言，从排序和搜索到组合算法，您在写作中遇到了哪些特别让您惊讶，从而改变了您看待某个领域的方式的想法？

我每次在程序中发现错误时都会感到惊讶。但这并不是真正意义上的变革性惊喜。例如，在第四卷中，我特别惊讶于我了解了名为 BDD（布尔决策图）的数据结构。因为我有一种感觉，作为一个老前辈，你知道，我从 50 年代就开始编程了，而 BDD 是在 1986 年才发明的。这里出现了一个全新的想法，它彻底改变了表示布尔函数的方式。布尔函数是所有事物的基础。我的意思是，从逻辑上讲，我们所知道的一切都可以用逻辑来描述。在命题逻辑中，我认为一切都是已知的。但……但这里，兰迪·布莱恩特发现了 BDD 极其强大。这意味着我必须为这本书添加一个全新的章节，直到 1986 年我才想到。直到 90 年代，当人们开始将其用于……数十亿美元的应用时，它才被使用。在 2000 年之前，它一直是设计计算机的标准方式。所以，这是另一个巨大的惊喜。所以，这些事情中的许多都完全改变了我书的结构。第四卷 B 的中间三分之一是关于 SAT 求解器的，那是 300 多页，其中大部分是关于本世纪发现的材料。我必须从头开始，认识该领域的每个人。我写了 15 种不同的 SAT 求解器，在准备过程中。其中七种在书中进行了描述，其他的是我自己的经验。

新发明的数据结构或表示一整类新算法的方式。

是的。BDD 有趣之处在于，理论家开始研究它，并开始……

描述了你无法用BD DS做到的所有事情，所以它们得到了一个坏名声，因为你知道，好吧，它们很有用，但它们并没有解决所有问题。我敢肯定，理论家们在接下来的十年里会展示为什么机器学习并不能解决所有问题。但我不仅担心最坏的情况，当我能够真正解决一个我以前无法解决的问题时，我感到非常高兴。是的，即使我无法解决它提出的进一步问题，我也知道我比以前好多了。所以我发现BD DS可以做各种神奇的事情，所以我花了相当几年的时间学习那个领域。总的来说，什么让你更快乐：证明或展示一个算法的最坏情况分析，还是展示一个好的平均情况，或者只是展示一个好的情况，你知道用这个算法可以实际完成一些好的事情？是的，我喜欢一个好的情况，它可能只比我以前能做的快一百万倍，但我不担心它仍然需要太长时间，如果我把问题的大小加倍。话虽如此，你普及了渐近记号来描述运行时间，显然在算法分析中，最坏情况是如此重要的一部分。你认为那种分析有什么不足之处吗？所以，记号——嗯，主要目的是你有一些记号来帮助我们解决我们想解决的问题，所以它们符合我们的直觉。研究数论的人以某种方式使用过渐近记号，但它只为一小部分人所知。我意识到，事实上，能够有一个记号来表示我们不知道确切是什么，但我们只知道它的一部分，等等，是非常有用的。所以，例如，而不是大O记号，让我们只用一个简单的记号，我说0或1或01或2。假设，假设我在高中时，我们被允许在我们的公式中间写x + 01或2 = y，好吗？然后，然后我们会学会如何将两个这样的表达式相乘，你知道如何处理它们。大O记号在这里说的是，我不知道它是什么，但我知道它不会太大。我知道它不会比某个常数乘以n的平方大，或者类似的东西。所以，我写大O的n的平方。现在我学会了如何将大O的n的平方加到大O的n的立方，我知道如何将大O的n的平方加2加1并将其平方，以及如何取对数和指数，使它们中间有大O。事实证明，在我试图弄清楚我有多好的所有工作中，这非常有价值。在你的人生旅程中，有没有算法在实践中的表现与理论上的表现大相径庭？算法的最坏情况几乎总是很糟糕，但我们有SAT求解器在解决问题。我书中的一个练习是找出这样一个问题，它有100个变量，对SAT求解器来说很难。但你会认为，一个有100个布尔变量的问题需要2的100次方次操作，因为当你有200个布尔变量时，这就是可能性。2的100次方比我们能处理的10的17次方大得多。你过去几年一直说，你认为P可能等于NP，但实际上并非如此。你知道，如果有人证明了P等于NP，它不会直接导致解决困难问题的实际算法。你能解释一下你的直觉吗？它是否改变过？总的来说，关于容易和困难的问题，P和NP之间的区别等等。是的，流行的想法是，如果一个算法存在，那么就会有人找到它，这只是写下来的问题。但存在的算法比任何人能理解或发现的要多得多。因为它们远远超出了人类的理解能力，算法的总数是令人难以置信的。所以，我们现在的情况是，我们知道算法存在，但我们不知道，我们一点也不知道这些算法是什么。有一些基于游戏比赛的简单例子，你可能会说，一定有一个算法存在来赢得六子棋，因为第一个玩家在六子棋中获胜，因为六子棋总是第一名玩家或第二名玩家的胜利。六子棋是什么？六子棋是一种基于在六边形棋盘上放置石子的游戏，白方试图从左到右形成一条通路，黑方试图从下到上形成一条通路。如何捕捉？只是，没有捕捉，你一次只放一个石子。但没有平局，因为当白方和黑方都下完后，总会有从西到东的白方通路，或者从下到上的黑方通路。所以总是有，你知道，这是完美信息游戏，人们轮流玩，就像井字棋一样。六子棋可以有不同的尺寸，但我们没有平局的可能性，玩家一次走一步，所以它要么是第一名玩家获胜，要么是第二名玩家获胜。数学上，你走遍所有的树，要么，要么总是有第一名玩家或第二名玩家的胜利。而且游戏是有限的，所以有一个算法可以决定。你可以证明它必须是其中之一，因为第二名玩家可以用一种配对策略来模仿第一名玩家，所以你可以证明它必须是其中之一。但我们不知道任何算法。没有办法。有一个情况是你可以证明解决方案的存在，但没有人知道如何找到它。但更像是算法问题，图论中有一个非常强大的定理，由Robinson和Seymour提出，它说，任何在取子图下封闭的图类都有一个多项式时间算法来确定它是否属于这个类。图类，例如平面图，这些是你可以画在平面上而不交叉线的图。平面图在取子图下是封闭的，这意味着你可以将一条边收缩成一个点，或者你可以删除一条边。所以你从一个平面图开始，收缩任何边成一个点仍然是平面的，删除边也是平面的。但有数百万种不同的方式来描述仍然保持相同的子图的图族。Robinson和Seymour证明了任何这样的图族都有有限数量的最小图是障碍，所以如果它不属于这个图族，那么它必须包含，它必须有一种方法可以收缩它，直到你得到这些糟糕的最小图之一，它不属于这个图族。例如，对于平面图，最小图是五角星，所有点都指向另一个点。最小图包括尝试连接三个公用设施和三个房屋而不交叉线。所以有两个糟糕的图不是平面的，每个非平面图都包含这两个糟糕的图之一，通过收缩。他再次说，所以他证明了这些糟糕的图的数量是有限的。总是有限的。有人说，这里有一个图族，很难相信，他们发表了20篇论文，我的意思是，里面有深入的工作，但你知道，这是因为它是针对任何任意图类的。所以它是针对任何任意图类，在取子图下是封闭的，在……下是封闭的。也许我没理解，因为看起来很多图类在取子图下是封闭的。几乎所有重要的图类都是。有大量的这样的图，也有数百个图出现在应用中。例如，我这里有一本书叫做图类，它令人惊讶的是人们研究了多少不同的图类。那么你为什么提到这个定理呢？所以你知道有很多算法是为特殊图类已知的。例如，如果我有一个特定的，如果我有一个弦图，那么我可以有效地给它着色。如果我有某些类型的图，它很快就会变成一个很好的网络。就像你想测试，有人给了你一个图，它总是在这个图类中。如果是这样，那么我希望我能去图书馆找到一个算法来解决我的图上的问题。所以，我们想要一个图，它说，给我一个图，我告诉你它是否在这个图类中。所以，我所要做的就是测试这个给定的图是否有一个子图是那些糟糕的图之一。子图是你通过收缩和删除边可以得到的一切。给定任何子图，都有一个多项式时间算法说，我可以告诉你这是否是你的子图。而且糟糕的子图的数量是有限的。所以我只是尝试，你知道，它是否有这个糟糕的子图，通过多项式时间，我得到了答案。它是否有这个糟糕的子图，多项式时间，我得到了答案。总共多项式时间，我就解决了问题。然而，我们所知道的是子图的数量是有限的。我们不知道，我们可能只知道其中一两个，但我们不知道，如果我们得到了20个，我们不知道可能有21个，25个。我们所知道的是它是有限的。所以，这里有一个我们不知道的多项式时间算法。这是一个非常好的例子，说明你担心什么，或者为什么你认为P等于NP不会有用。但你为什么仍然认为P等于NP呢？因为你必须排除如此多的可能算法不起作用。你知道，你可以取图，你可以用某些素数来表示它，然后你可以将它们相乘，然后你可以进行按位与运算，你知道，并以多项式时间构建某个常数，然后这是一个完全有效的算法。而且有很多这样的算法。很多时候，我们看到随机的，你取数据，然后我们得到巧合，某个看起来相当随机的数字实际上很有用，因为，因为碰巧，它碰巧解决了问题，仅仅是因为，你知道，有这么多的头发在你头上。但看起来不太可能两个人有相同数量的头发，但很明显，你可以计算有多少人，有多少头发。所以一定有人在全国各地走动，有相同数量的头发。这是一种巧合，你可能会说，这个特定的操作组合碰巧证明了一个图有一个哈密顿路径。我看到很多情况，当可能性足够大时，会发生意想不到的事情。但因为可能性空间如此之大，我必须排除所有这些。所以这就是我直觉的原因。绝不是证明。我的意思是，有些人说，P不能等于NP，因为有这么多聪明的人，你知道，最聪明的算法设计者，他们多年来一直在绞尽脑汁，而且有百万美元的奖金，而且没有人想到这个算法，所以一定没有这样的工作。另一方面，我可以用同样的逻辑说，P必须等于NP，因为有这么多聪明的人试图证明它不等于NP，但他们都失败了。你知道，这让我想起了关于寻找外星人的讨论。他们一直在寻找它们，但我们还没有找到它们，所以它们不存在。但你可以证明有如此多的行星在那里，它们很有可能存在。而且，也有可能它们存在，但它们都发现了机器学习之类的东西，然后互相炸毁了。那么，关于那个小小的危险，我想问你，你认为宇宙中存在智能生命吗？我不知道。你希望如此吗？你考虑过吗？我不会花时间去想我永远不知道的事情。然而，你确实喜欢有很多事情是你不知道的事实吗？你喜欢事物的神秘感吗？我喜欢我有限制的事实。但我不会花时间去回答无法解决的问题。我明白了。因为你承担了一些看似无法解决的难题，你承担了一些难题，它们似乎无法解决。如果……因为当我们能够比我以前想的走得更远时，我们感到兴奋。是的，但我不，但我不喜欢宗教，我很高兴没有证据证明上帝存在或不存在。我的意思是，我认为这会破坏神秘感，这太枯燥了。所以，快速谈谈人工智能的另一面。你对此有什么看法？你知道，人工智能界作为计算机科学的一部分，并且与计算机科学平行发展，自60年代以来。你对60年代至今的AI社区有什么看法？一直以来，那些受到模仿智能或做一些被认为是人类最伟大成就的事情所启发的人，可能比任何其他群体都更能推动计算机科学的界限。所以，一直以来，它一直是解决好问题的绝佳来源，并且在这些年里取得了越来越多的成功。所以，这激发了计算机科学的许多伟大发现。你自己是否被创造算法具有智能回声的可能性所吸引？也许不像该领域的大多数人那样，我想说，但这并不是说他们错了，或者只是你问的是我个人的偏好。但是，我担心的是当人们开始相信他们已经成功的时候。因为在我看来，真正理解某事和能够假装理解某事并给出理解的幻觉之间存在巨大的差距。你认为有可能在不理解的情况下进行创造吗？是的，我一直这样做。我的意思是，这就是我使用随机数的原因。我喜欢。是的，但是，但是仍然存在巨大的差距。我不知道，当然不可能，但我看不到任何接近我所认为的智能的东西。你说过一些我非常同意的观点。所以，计算机编程的艺术，这本书主要关注单处理器算法，而且在很大程度上，你说那是因为我在1962年设定了目录。你必须记住，我很高兴我没有等到1965年，或者一本书可能触及圣经，但一本书不能总是涵盖一切。所以我很高兴，我很高兴《计算机编程的艺术》的目录是这样的。但你确实提到过，你认为理解蚂蚁群体能够执行高度有组织的任务的方式，可能是理解人类认知方式的关键。所以，这些根本上是分布式系统。那么，你认为唐·克努特如何排序列表与蚂蚁群体如何排序列表或执行算法排序列表有什么区别呢？排序列表与认知不同，但……但我知道你的意思。蚂蚁群体的优势在于，至少我们可以看到它们在做什么。我们知道哪只蚂蚁与哪只蚂蚁交谈过。而对于快速大脑来说，很难知道神经元传递信号的程度。所以我明白蚂蚁群体可能是，如果它们拥有认知的秘密，就把蚂蚁群体想象成一个认知个体，而不是一个由许多不同蚂蚁组成的群体。就像我们大脑的细胞和微生物群以及所有相互作用的实体一样，但我自己认为是一个人。好吧，你知道，你可以说蚂蚁群体是认知的，某种程度上。是的，我的意思是，你知道，我，好吧，我喜欢，我打死了一只蚂蚁，它蜇了我。那是什么？对吗？但是，如果我们想破解认知的秘密，那可能是因为我们可以通过……我的大脑不知道蚂蚁是怎么做的，因为我们有更好的机会去衡量，它们通过信息素和互相触摸以及视觉进行交流，但不是通过更微妙的现象，比如电流。但即使是更简单的版本，你对康威生命游戏有什么看法？康威生命游戏能够模拟任何可计算的过程和任何确定性过程。就像你去了那里一样，我的意思是，这不是它最强大的地方，我想说。我的意思是，你可以模拟它，但神奇之处在于，个体单位是分布式的。是的，而且极其简单。是的，我们可以确切地知道基本单位是什么。就像蚂蚁群体一样，即使很简单。但是，这并不意味着我理解了生命。我的意思是，我理解它。它给了我一个……它给了我一个更好的洞察，什么是确定性宇宙，什么是自由选择，例如。你认为上帝玩骰子吗？我看不出上帝有什么理由被禁止使用最高效的方式。我的意思是，我们知道骰子非常重要，而且效率低下的算法。有些事情没有随机性就做不到。所以我看不出上帝有什么理由被禁止。但是当算法需要它的时候，你为什么不认为物理学应该限制它呢？所以，在2001年，你在麻省理工学院进行了一系列关于宗教和科学的讲座。那是1999年，但书是在……所以，1999年，你在波士顿待了一段时间，足够在那里讲学。我读了2001年的版本，大部分内容都很有趣，我推荐给大家，它是你讲座的文字记录。那么，通过严格研究圣经的特定部分，你从中学到了什么关于思想是如何开始和成长的？你从这个过程中学到了什么关于我们人类作为一个社会如何发展和成长思想，分享思想，并被那些思想所……我试图总结一下。我不会说我学到了很多确定的东西，比如我可以得出结论。但我学到了更多关于我不知道的事情。你有一个复杂的课题，它确实超出了人类的理解。所以，我们放弃说，我永远不会到达终点，我永远不会理解它。但你说，但也许我接近它，并了解更多关于它的信息，会对我更好。所以，你知道，我怎么能有效地做到这一点呢？答案是，好吧，使用随机性。所以，尝试一个在我掌握之内的随机子集，然后详细研究它，而不是只研究别人告诉我要研究的部分，或者因为太难而什么都不研究。所以，我为了自己的乐趣决定，我将选择圣经中的一个子集，并试图找出最好的思想家对这个小集子说了什么。我大概有，比如说，660节经文，而不是3000节。我想大概是500节中的一节。然后我去了图书馆，这些图书馆都编了索引。你知道，我花了，例如，在波士顿公共图书馆，我每周去一次，一年。我去了，我还去了哈佛图书馆，看那些波士顿公共图书馆没有的。学者们已经看过它们了。你可以打电话，你可以下架，你可以看索引，说，哦，在这里。这节经文在这本书里提到过吗？如果有，看第105页。所以我不仅能学到关于圣经，还能学到关于圣经的次级文献，学者们写的东西。所以，这给了我一种方法来……聚焦于某些部分，以便我能获得更多的见解。所以我把它看作是一种给我一些坚实的支点，我可以在上面挂信息，但不是说，因此这是真的。在这个随机抽样圣经的方法中，你学到了关于……最核心的……想法的最大积累之一？对我来说，主要的重点不是大多数人认为的，比如，你知道，你知道，不要发生性关系之类的。但主要的重点是试图弄清楚如何与上帝的意愿和谐相处。我假设上帝存在，我说，我很高兴没有办法证明这一点，因为那样的话，我就会读一遍证明，然后就忘了它，然后我就会永远不会推测精神上的事情，否则，我认为我的生活将非常不完整。所以，我假设上帝存在。但是，很多时候人们说上帝不存在，但这对他们来说仍然很重要。所以，在某种意义上，这仍然是上帝的存在与否，在某种意义上。所以，它对他们很重要。我研究的一节经文可以解释为，你知道，做一个无神论者比根本不在乎要好得多。所以，我会说，这与P等于NP的讨论相似。你提到了一个我希望你能自己参与的脑力练习，一个扮演上帝的脑力练习。那么，如果你是上帝，唐·克努特，你会如何向地球上的人们展示自己？你提到了你对文学的热爱，有一本书我真的很推荐给你，如果我能想起来的话。书名是《亵渎》，它讲述了上帝通过洛斯阿拉莫斯的一台计算机向世界揭示自己。这是我读过的唯一一本书，它的笑点是书的最后一个字，它解释了整本书的想法。所以，我不想泄露它，但它确实非常关于你提出的这个问题。但是，假设上帝说，好吧，我以前与世界沟通的方式，对于21世纪来说不是最好的。那么，我现在该做什么呢？而且，可以想象，上帝会选择这本书中描述的方式。另一种看待这个练习的方式是系统地审视人类的心灵，人类的精神，人类的生活。我认为你主要是想学会谦逊，你想意识到，一旦我们解决了一个问题，并不意味着所有其他问题都会消失。所以，其他问题也不会消失，我们必须意识到，有些事情超出了我们的能力。我到处都看到傲慢。说得好。如果你对你自己的生活进行程序分析，从正确性、运行时间、资源使用方面来看，你做得怎么样？渐近地说，当然。好吧，是的。我想我以前没有被问过这个问题。我从库函数开始，学习如何成为一个服从的自动机。我有一个很大的优势，就是没有人可以责怪我的失败。如果我开始不理解什么，我知道我应该停止打乒乓球，那是我的错，我没有足够努力地学习，或者别的什么，而不是有人在某种程度上歧视我。我不知道如何避免世界上的偏见。但我知道，那是我不必承受的额外负担。然后，我从父母那里学到了利他主义的想法，即对他人的关怀比我自己得到的东西更重要。你知道，我需要足够快乐才能提高服务速度。但是，你知道，我最终得出了一个哲学，我称之为80%就够了。曾经有一部电视节目叫做“仇恨就够了”，是关于一个……有人有八个孩子。但我说，“80%就够了”，这意味着如果我有一个给幸福评分的方法，我认为这是一个好的设计，让一个生物体大约80%的时间是快乐的。如果它100%的时间都是快乐的，那就像每个人都在吸毒，一切都崩溃了，什么都行不通，因为每个人都太快乐了。你认为你达到了那个80%的最佳点吗？有时我情绪低落，你知道，我想，我的意思是，我知道我的化学成分是正确的。我知道我实际上被编程为在一段时间内感到沮丧。如果它失衡了，我就会更沮丧。你知道，有时，我发现自己试图说，现在我应该对谁生气？一定有原因。但然后我意识到，你知道，这只是我的化学成分告诉我，我应该对某人感到生气。所以，我触发了，我说，好吧，去睡觉，然后会好起来的。但是，如果我不是100%快乐，那并不意味着我应该找一个尖叫的人，然后试图衡量他。我会说，你知道，好吧，我不是100%快乐，但我足够快乐，可以成为……一个可持续情况的一部分。所以，这就是我进行的数值分析。你认为人类生活的80%是……是的，我希望可以谈论这个。你之前提到过，2006年你被诊断出患有前列腺癌。这次与死亡的相遇改变了你吗？或者改变了你看待世界的方式？第一次与死亡相遇是我的父亲去世时。我经历了一个月，我似乎……习惯了我会死的事实。在那一个月里，我感觉还好，但我不能唱歌，你知道，我也不能做原创研究，比如……我记得三四个星期后，我第一次开始有一个有意义的、也许有点创意的技术想法。我能感觉到，你知道，有什么东西又开始动起来了。但那，你知道，所以我感到非常空虚，直到我接受了……是的，我了解到，这是人们会经历的标准悲伤过程。好吧，那么现在，我的人生到了一个阶段，比2006年更甚，我所有的目标都已实现，除了完成《计算机编程的艺术》。我有一个终生未实现的愿望，就是写一首音乐作品。我有一个关于某种音乐的想法，我认为应该写出来，至少应该有人尝试去做。我觉得这并不容易，但我想……我想得到一个概念证明，我想知道它是否会起作用。所以我花了很长时间，终于完成了那首曲子。去年，在我80岁生日那天，我们举行了世界首演。我们在加拿大又举行了一次首演。有关于在欧洲和其他地方举行音乐会的讨论。所以，但那已经完成了。它是世界音乐的一部分了。它要么好，要么坏，但我做了我希望做的事情。所以，我唯一知道我日程上还有的事情就是尽我所能地做好《计算机编程的艺术》，直到我去世。那么，你认为80%的元素可能……80%？是的。我更觉得，当音乐会结束时，我实际上得到了210%。我的意思是，你知道，所以，2006年，我在80%。所以，当我被诊断出患有前列腺癌时，我说，好吧，也许这是……我一生中一直运气很好，没什么可抱怨的。所以，我现在可能会死，看看会发生什么。所以，非常认真地说，我去了，我没有任何期望我应该得到更好的。我没有为未来做任何计划。我做了手术，我从手术中恢复过来，花了一些时间重新学习走路等等。一开始很痛苦，但我回家了，我意识到我还没有真正考虑下一步该做什么。我没有任何期望，我仍然活着。好吧，现在我可以再写几本书了。但是，我不是带着一种态度来的，你知道，我……这太不公平了。我只是说，好吧，我接受任何结果。你知道，我得到了我应得的。我得到了我的衬衫。为什么我还要……我没有。我回家后，我意识到我真的没有考虑下一步该做什么，我该做什么。我曾认为它可能……我习惯了它会结束的事实。但我希望我仍然能够学习可满足性，并且有一天甚至能写音乐。我直到2012年才开始认真做音乐项目。如果我不在70年代和你谈论这件事，我会有大麻烦的。你和Metafont语言一起创造了TeX排版系统，用于字体描述和Computer Modern字体家族，这基本上定义了无数研究领域的……方法论和美学。数学、物理学，远远超出设计等等。好吧，首先，谢谢你。我想代表很多人说，但关于美的问题，你创造的排版有美，但美很难找到，对吧？一个人如何创造美丽的字母和美丽的方程？就像，你的意思是，也许没有语言可以描述……过程？好吧，伟大的哈佛数学家乔治·迪伯特在30年代写了一本叫做《美学测量》的书，里面有花瓶的照片，下面有一个数字，这就是花瓶有多美。他有一个公式。他还写了关于音乐的东西，所以他可以……所以我想，也许我会，我音乐创作的一部分，我会尝试编程他的算法，你知道，这样我写的东西就会有他的最高分数。好吧，它不够严谨，不能让计算机来做。但无论如何，人们试图给美一个数值。他做了最认真的尝试。乔治·格什温的老师也写了两卷，谈论了他的作曲方法。但是，你谈论的是另一种美，字母和字母组合的美，以及任何序曲，对吧？所以，正如他们所说的，美在于观察者。但是，努力追求卓越，无论你给美下什么定义，你都试图以某种方式接近它。我猜，我猜我在问，也许没有一个好的答案，你和你在工作的人们，在什么样的宽松定义下运作？宽松的定义是，我希望它能吸引我。我认识你本人。这是一个好的开始。是的，不，它失败了。当第二卷出版时，带着新的印刷品，我期待着我生命中最快乐的一天，但我感到非常愤怒，因为我打开书，它仍然是同样的米色封面。但是，它在页面上看起来不对。数字二尤其丑陋。我无法忍受任何有数字二作为页码的页面。我期待着，你知道，我花了这么多时间进行测量，我让肯特从不同的角度看了海豚。我拥有先进的技术，但它……但它没有，但我还没有完成。我必须在1961年之后重新调整整个事情。它最终让你快乐了吗？哦，是的。还是令人失望？哦，不，不。而且，很多书的出现如果没有它，就不会写出来。我只是……我只是画画。这是一种乐趣。但我现在……我的意思是，所有这些页面都放在那里。如果我不喜欢它们，我会改变它们。就像，没有人有这种能力。他们必须坚持我给他们的东西。是的。所以，在另一方面，有排版。所以，文字的外观，以及曲线和线条。那么，间距呢？但是，间距呢？因为你知道，空白。你知道，你似乎可以更有系统地安排布局。哦，是的，你总能做得更好。我没有停在80%。我停在了大约98%。似乎你没有遵循自己的幸福法则？不，不，不。当然，有……你知道日语中的“侘寂”这个词吗？最美的艺术品是那些有瑕疵的，因为这样，看到它们的人就会有自己的欣赏，这会给观众带来更多的满足感。但是，不，不，对于排版，我希望它尽可能好看。在绝大多数情况下。然后，当它不那么好看时，我就说，好吧，这是作者多2%的工作。但我不想说，我的工作是得到200%的……并把所有工作都从作者那里拿走。这就是我的意思。所以，如果你要猜测，你认为我们人类理解了现实的本质有多少？你提到你欣赏神秘感。我们周围的世界有多少被神秘笼罩？如果我们给它一个数字，我们理解了多少？我们完全……多少个领先的零？零点零零……我不知道。我认为是无穷小。我们该如何思考呢？我们该怎么办？我们一步一步地继续吗？是的，我们摸索着前进。我的意思是，我们尽力而为。我们意识到没有人是完美的，然后我们试图不断前进。但我们不花时间说，我们还没有到达终点。我旁边办公室的一些数学家，他们从来不考虑比可数无穷小的事情。我从来没有……我们相交于可数无穷大，因为我真的达到了可数无穷大，我一直在谈论有限的东西。但即使是有限的东西，宇宙可能就是这样，也无法真正知道宇宙是否……只是由……你称之为夸克的东西组成，其中N是一个有限的数字。所有可理解的数字都比几乎所有有限数字小得多。我得到了一篇叫做“超数”的论文，我……你可能遇到过叫做克努特箭头符号的东西，你遇到过吗？不管怎样，你取数字，我认为是……我称之为超级K，但我以我自己的名字命名了它。但箭头符号是……例如，10，然后是四个箭头，然后是3。也许不是。好吧，没有箭头意味着乘法。XY意味着X乘以X乘以X乘以X，Y次。如果你有一个箭头，它意味着指数。所以，X一个箭头Y意味着X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X的X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