Was macht e so speziell? - Das Wesen der Infinitesimalrechnung 5

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Willkommen zum fünften Video der Serie. Wir haben uns schon Ableitungsregeln von einigen wichtigen Funktionen angesehen, aber eine berühmte haben wir bis jetzt ausgelassen: die Exponentialfunktion. Also sehen wir uns in diesem Video Funktionen an wie 2 hoch x, 7 hoch x und auch, warum e hoch x wohl die wichtigste Exponentialfunktion ist.

Sehen wir uns zunächst einmal die Funktion 2 hoch x an und stellen wir uns das Argument als Zeit vor und den Funktionswert als Populationsgröße. Zum Beispiel eine besonders reproduktionsfreudige P-Gruppe, die sich jeden Tag verdoppelt. Und statt der Produktionszahlen, die sich mit jedem Baby in ganzen Zahlen ändert, lasst uns die Masse in Kilogramm ansehen. Ich glaube, das passt besser zur Stetigkeit der Funktion, oder?

Also haben wir zum Beispiel bei t = 0 die Gesamtmasse von 2 hoch 0 = 1. Als Masse von einer Figur nach einem Tag ist die Gruppe auf 2 hoch 1 = 2 Figuren angewachsen. Nach Tag 2 haben wir 2 hoch 2 = 4 Figuren, usw.

Für die Ableitung suchen wir dm nach dt, die Rate, mit der die Population wächst, also die kleine Änderung der Masse, die wir durch die kurze Zeit, in der sie sich verändert, erhalten. Und starten wir mit der Änderung über einen ganzen Tag. Zum Beispiel von Tag 3 auf Tag 4. In diesem Fall steigt die Masse also von 8 auf 16. Das sind also 8 neue Figuren, denn einen Tag zu kommen. Und dieser Zuwachs ist genau der Wert, mit dem der Tag begonnen hat. Zwischen Tag 4 und 5 wächst die Masse von 16 auf 32. Das sind also 16 neue Figuren, wieder genau das, womit der Tag begonnen hat. Und so geht es auch weiter. Der Zuwachs der Masse über einen ganzen Tag ist so groß wie die Masse zuvor war.

Es ist also verlockend zu sagen, dass die Änderungsraten von 2 hoch x auch 2 hoch x sind. Und das geht in die richtige Richtung, aber es stimmt nicht ganz. Was wir gerade gemacht haben, war die Änderung über einen ganzen Tag anzusehen, also die Änderung zwischen t+1 und t. Aber für die Ableitung müssen wir uns ja ansehen, was für immer kleiner werdende Änderungen passiert. Was ist die Änderung nach einem Zehntel Tag oder einem Hundertstel Tag oder Milliardstel eines Tages?

Deswegen wollte ich auch die Masse der Population ansehen, wenn es mehr Sinn macht, über eine kleine Änderung der Masse über einen kurzen Zeitraum nachzudenken, als über die Änderung der Anzahl von Figuren. Präziser gesagt, wir wollen herausfinden, was 2 hoch t + dt - 2 hoch t durch dt gibt. Die Änderung des Funktionswertes dividiert durch die kleine Änderung im Argument, aber diesmal über sehr kleine Zeiträume und nicht ganze Tage.

Das Ding ist, ich würde es lieben, wenn es eine coole Darstellung gäbe, wo ich auf etwas zeigen kann und sagen: "Siehst du, das ist die Ableitung, die wir suchen." Wenn du einen kennst, lass es mich wissen. Und auch wenn das Ziel hier, wie beim Rest der Serie, die Dinge spielerisch zu entdecken ist, das Spiel hier folgt hat mehr mit numerischen Mustern zu tun als visuellen.

Lasst uns einen genaueren Blick auf den Term 2 hoch t + dt werfen. Die Kern-Eigenschaft von Exponentialfunktionen ist, dass man die Summe im Exponenten als Produkt schreiben kann. Also 2 hoch t mal 2 hoch dt. Das lässt uns Dinge, wo man addiert, wie z.B. kleine Änderungen der Zeit, als Produkt von etwas schreiben. So etwas wie Verhältnisse und Raten.

Jetzt können wir 2 hoch t herausheben und es bleibt 2 hoch dt - 1 durch dt. Vergiss nicht, die Ableitung ist, was auch immer dieser Ausdruck wird, wenn dt gegen Null geht. Und wir können nicht einfach einsetzen, weil wir dann durch Null dividieren würden. Das Tolle ist, dass wir jetzt einen Ausdruck mit t haben und einen mit dt, völlig getrennt voneinander, mit einem Mal. Und du kannst jetzt einen Taschenrechner nehmen und kleine oder super kleine Werte für dt in den zweiten Ausdruck einsetzen. Zum Beispiel 2 hoch 0,001 - 1 dividiert durch 0,001. Oder dasselbe mit 0,000001. Und du wirst sehen, je kleiner dt ist, desto näher kommst du an eine gewisse Zahl, circa 0,6931.

Mach dir keinen Kopf, wenn dir die Zahl mysteriös vorkommt. Der Punkt ist, dass es eine Konstante ist. Im Unterschied zu den Ableitungen anderer Funktionen können wir alles, was von t abhängt, von dem trennen, was von dt abhängt. Also ist die Ableitung von 2 hoch t einfach sich selbst mal einer gewissen Konstante. Und das sollte irgendwie einleuchten. Wir haben uns ja vorher die Änderungsraten für ganze Tage angesehen, und da war es schon verlockend zu sagen, dass die Änderungsraten wieder 2 hoch x sind. Und wie wir gerade gesehen haben, ist die Änderungsrate der Funktion über wirklich kurze Zeiträume nicht ganz sie selbst, aber sie ist proportional zu sich selbst mit dieser seltsamen Konstante 0,6931.

Und da ist nichts Spezielles an der Zahl 2 hier. Wenn wir uns stattdessen die Funktion 3 hoch t ansehen, dann hätte uns dieselbe Rechnung gezeigt, dass die Ableitung von 3 hoch t zu sich selbst proportional ist, nur dieses Mal wäre die Konstante eine andere gewesen: 1,0986. Du kannst ein wenig herumspielen, um zu sehen, was die Konstante für verschiedene Basen der Exponentialfunktion ergibt. Vielleicht kannst du Muster erkennen, wenn du das z.B. für 8 machst, dann würdest du sehen, dass die Konstante ungefähr 2,0794 ist. Und vielleicht, wenn du Glück hast und aufmerksam bist, siehst du, dass sie dreimal so groß ist wie die Konstante, die wir für Basis 2 bekommen haben.

Diese Zahlen sind also nicht völlig zufällig. Da gibt es irgendwann Muster. Aber welches Wasser 2 mit der Zahl 0,6931 zu tun und was hat 8 mit 2,0794 zu tun? Um das herauszufinden, hilft es zu sehen, ob es eine Zahl gibt, für die diese Konstante gleich eins ist. Eine Zahl, für die die Ableitung von e hoch t nicht nur proportional zu sich selbst ist, sondern genau sie selbst. Und die gibt es. Es ist diese spezielle Zahl, ungefähr 2,71828. Es ist nicht wirklich ein Zufall, dass e hier auftaucht. Es ist mehr oder weniger die Definition von e, wenn man fragt, warum e genau diese Eigenschaft hat, ist es in etwas wie zu fragen, warum pi das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu dessen Durchmesser ist. Weil das sind die Eigenschaften, die diese Zahlen erst ursprünglich definieren.

Alle Exponentialfunktionen sind proportional zu ihrer Ableitung, aber ist diese spezielle Zahl, für die die Konstante 1 ist, also e hoch t gleich seine eigenen Ableitung, eine Art, sich das vorzustellen? Betrachte den Funktionsgraphen und du wirst sehen, dass er die außergewöhnliche Eigenschaft hat, dass an jeder Stelle die Steigung der Kurve genau die Höhe der Kurve, also der Funktionswert, ist. Und das hilft uns jetzt, diese anderen mysteriösen Konstanten zu finden, weil es uns einen anderen Blickwinkel auf Funktionen gibt, deren Ableitungen proportional zu sich selbst sind.

Der Trick ist die Kettenregel zu verwenden. Zum Beispiel, was ist die Ableitung von e hoch 3t? Naja, man nimmt die Ableitung der äußeren Funktion, in diesem Fall e hoch t, und wir haben ja gerade gesehen, dass diese wiederum e hoch t ist. Einsetzen müssen wir natürlich wieder dann den alten Wert, also 3t. Das alles multiplizieren wir mit der Ableitung der inneren Funktion, 3t. Das ergibt also 3. Oder wenn du nicht nur blind in die Formel einsetzen magst, kannst du die Gelegenheit nutzen, um deine Intuition zur Kettenregel zu schärfen, wie wir es in Kapitel 4 gemacht haben. Auf jeden Fall ist die Ableitung von e hoch c*t gleich c mal sich selbst. Also e hoch c*t.

Und von hier ist es nur noch ein rechnerischer Trick, bis wir das Rätsel um die Konstanten lösen können. Wir können 2 hoch x schreiben als e hoch ln(2). Das ist nichts Besonderes. Es ist quasi die Definition des natürlichen Logarithmus. ln(x) beantwortet die Frage: "e hoch was ist gleich x?". Wenn wir also fragen: "e hoch was ist gleich 2?", dann ist das genau der natürliche Logarithmus von 2. Also ist die Funktion 2 hoch x gleich e hoch ln(2) mal x. Und wenn wir das kombinieren mit dem, was wir gerade herausgefunden haben, dass die Ableitung von e hoch c*x gleich c mal e hoch c*x ist, und einfach ln(2) für c einsetzen, dann sehen wir, dass die mysteriöse Konstante für die Exponentialfunktion mit Basis 2 der natürliche Logarithmus von 2 ist.

Und tatsächlich, wenn du einen Taschenrechner nimmst und den natürlichen Logarithmus von 2 berechnest, spuckt er dir 0,6931 aus, die wir auch vorhin hatten. Und dasselbe funktioniert auch für all die anderen Werte für die Basis der Exponentialfunktion. Die mysteriösen Konstanten sind die natürlichen Logarithmen dieser Basen.

Die Antwort auf die Frage "e hoch was ist diese Basis?" Es geht sogar so weit, dass der Mathematiker selten eine Funktion hoch x mit irgendeiner Basis a schreibt. Stattdessen wird die Exponentialfunktion fast immer als e hoch eine Konstante c mal t geschrieben. Das ist ja alles dasselbe, wie wir gerade gesehen haben. Die Funktionen 2 hoch t oder 3 hoch t können alle auch geschrieben werden als e hoch ln(2) mal t oder ln(3) mal t. Und auch wenn ich Gefahr laufe, dich hier mit Symbolen zu überladen, ich möchte noch dazu sagen, dass es viele Arten gibt, wie man Exponentialfunktionen und deren Konstanten schreiben kann. Und wenn du etwas siehst wie e hoch irgendetwas mal t, dann ist das eine Wahl, die getroffen wurde, und man hätte auch jede beliebige andere Basis verwenden können mit der dazugehörigen Konstante.

Was das Spezielle daran ist, eine Exponentialfunktion mit Basis e zu schreiben, ist, dass es der Konstante im Exponenten eine schöne Bedeutung gibt. Ich zeige dir, was ich damit meine. Viele natürliche Phänomene beinhalten Änderungsraten, die proportional zu dem sind, was sich ändert. Zum Beispiel die Wachstumsrate einer Population, besser gesagt der Masse, ist tatsächlich proportional zur Populationsmasse zu diesem Zeitpunkt, zumindest wenn es keine limitierten Güter wie Futter gibt, die das Wachstum verlangsamen könnten. Und wenn du eine Tasse heißes Wasser in einen kalten Raum stellst, dann ist die Rate, mit der sich die Temperatur des Wassers der Temperatur des Raumes annähert, proportional zu dem Unterschied der beiden Temperaturen. Oder anders gesagt, die Änderungsrate des Temperaturunterschieds ist proportional zu sich selbst. Wenn du dein Geld auf die Bank legst und Zinsen bekommst, dann ist der Zuwachs an Geld proportional zu dem, was dann auf der Bank liegt.

In all diesen Fällen, wo die Änderungsraten proportional zum Funktionswert selbst ist, handelt es sich um eine Exponentialfunktion. Und auch wenn man eine Exponentialfunktion auf viele verschiedene Arten schreiben kann, ist es sehr naheliegend, die Form e hoch eine Konstante c mal t zu verwenden, weil diese Konstante eine besondere Bedeutung hat. Es ist die mysteriöse Konstante, die das Verhältnis der Größe der Variable und deren Veränderungen für ganz kleine Änderungen angibt.