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Der Ausdruck exponentielles Wachstum ist den meisten Menschen bekannt und dennoch fällt es uns schwer, den Begriff richtig einzuordnen. Wir können uns durch eine Abfolge klein erscheinender Zahlen täuschen lassen und dann überrascht sein, wenn sie plötzlich sehr groß werden, auch wenn sie konsistent einem exponentiellen Wachstum entsprechen.
Hier sind die Daten aller aufgezeichneten Corona-Fälle außerhalb Chinas. Da ich nie eine gute Gelegenheit für eine Mathestunde verpasse, dachte ich, dies ist ein guter Zeitpunkt, um zu den Grundlagen zurückzukehren. Was ist exponentielles Wachstum? Woher kommt es? Was impliziert es? Und am dringendsten: Wie weiß man, wann es endet?
Exponentielles Wachstum bedeutet, dass man von einem Tag zum nächsten mit einer konstanten multipliziert. In unseren Daten ist die Zahl der infizierten Personen täglich 1,15 bis 1,25-fach so hoch wie am Vortag. Viren sind ein Lehrbuchbeispiel dieser Art des Wachstums, denn neue Fälle entstehen durch bestehende Fälle. Wenn die Anzahl der Fälle an einem Tag $n$ beträgt und wir sagen, jeder Infizierte ist im Schnitt jeden Tag mit $m$ Personen in Kontakt und jeder Kontakt hat eine Wahrscheinlichkeit $p$, eine Infektion zu werden, dann ist die Anzahl der neuen Fälle $m \cdot p \cdot n$. Die Tatsache, dass die Zahl der Infizierten selbst ihr Wachstum mitbestimmt, lässt alles sehr schnell gehen, denn wenn $n$ groß wird, bedeutet es, dass die Wachstumsrate auch groß wird. Wenn man die neuen Fälle des kommenden Tages addiert, kann man ausklammern, also ist es das Gleiche wie mit einer konstanten Größe $1+r$ zu multiplizieren.
Dies ist manchmal leichter zu sehen, wenn wir die Y-Achse logarithmisch darstellen. Jeder Schritt mit feststehendem Abstand entspricht dann der Multiplikation mit einem bestimmten Faktor. In diesem Fall ist jeder Schritt eine Zehnerpotenz mehr. Mit dieser Skalierung sollte exponentielles Wachstum wie eine gerade Linie aussehen. In unseren Daten hat es 20 Tage von 100 bis 10.000 und weitere 13 Tage bis 100.000 infizierte gedauert.
Führt man eine lineare Regression durch, um die passendste Gerade zu finden, kann man aus der Steigung der Geraden schließen, dass sich die Fälle im Schnitt alle 16 Tage verzehnfachen. Diese Regression gibt auch eine quantitative Auskunft darüber, wie gut eine Exponentialfunktion zu unseren Daten passt. Im Fachjargon gesagt: Sie passt verdammt gut. Aber es kann schwer zu verstehen sein, was das wirklich bedeutet. Wenn wir ein Land mit 6.000 Fällen sehen, während ein anderes 60 hat, ist es leicht anzunehmen, dass das zweite Land hundertfach besser dran ist und kein Problem hat. Aber da sich die Zahlen in 16 Tagen verzehnfachen, könnte man auch sagen, dass das zweite Land nur einen Monat hinterher ist. Das ist natürlich ziemlich besorgniserregend.
Wenn man die Gerade verlängert, nehme ich das Video am sechsten März auf. Und wenn sich der gegenwärtige Trend fortsetzt, würden wir in 30 Tagen eine Million Fälle, in 47 Tagen zehn Millionen, in 64 Tagen 100 Millionen und in 80 Tagen, also am 26. Mai, eine Milliarde Fälle erreichen. Natürlich kann man die Gerade nicht unendlich weit ziehen. Sie muss irgendwann die Ausbreitung verlangsamen. Die essentielle Frage ist: Wann ist es wie beim SARS-Ausbruch von 2002, auf etwa 8.000 Fälle begrenzt, oder wie bei der Spanischen Grippe von 1918, die schlussendlich etwa 27 Prozent der Weltbevölkerung infizierte?
Im Allgemeinen macht eine Gerade durch die Daten ohne Kontext keine guten Vorhersagen. Aber es gibt ja einen guten Grund, exponentielles Wachstum zu erwarten. Wenn die Anzahl der neuen Fälle pro Tag proportional zu der Anzahl der bestehenden Fälle ist, dann multiplizieren wir jeden Tag mit einer Konstanten. Tage voranzuschreiten bedeutet, $n$-mal mit dieser Konstanten zu multiplizieren.
Wie kann das Ganze enden? Die Variable $n$ und/oder $p$ muss niedriger werden. Dies wird zwangsläufig passieren. Selbst im bösartigsten und damit besten Fall für ein Virus, wo jeden Tag jede infizierte Person mit einer zufälligen Teilmenge der Weltbevölkerung in Kontakt käme, werden irgendwann die meisten, die mit der infizierten Person in Kontakt kommen, schon infiziert sein und können damit keine neuen Fälle werden. In unserer Gleichung bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit der Infektion eines Kontaktes einen Faktor beinhaltet, dass die Person schon infiziert ist. Für ein zufälliges Exposition-Modell wie dieses wäre das $1 - \text{der Anteil aller Menschen, die schon infiziert sind}$.
Wenn man diesen Faktor mit einbezieht und die Wachstums-Gleichung nach $n$ auflöst, erhält man eine logistische Kurve, die am Anfang kaum von einer exponentiellen Kurve zu unterscheiden ist, aber sich letztendlich der Anzahl der kompletten Weltbevölkerung annähert. Wahre exponentielle Funktionen können in der echten Welt nicht existieren. Jede exponentielle Funktion ist nur der Beginn einer logistischen Kurve. Der Punkt, an dem diese Kurve von einer Links- zu einer Rechtskurve wird, heißt Wendepunkt. Zu diesem Zeitpunkt nimmt die Anzahl an neuen Fällen pro Tag nicht mehr zu und bleibt stattdessen ungefähr gleich, bis sie schließlich abnimmt.
Eine Kennzahl, der man bei Epidemien folgt, ist der Wachstumsfaktor. Das Verhältnis neuer Fälle an einem Tag zu den neuen Fällen des Vortages. Schaut man auf die Gesamtsumme von einem zum nächsten Tag und berechnet dann alle Änderungen zwischen den Tagen, dann ist der Wachstumsfaktor das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Änderungen. Während der exponentiellen Wachstumsphase bleibt der Wachstumsfaktor konstant über 1, wohingegen ein Wachstumsfaktor um 1 den Wendepunkt kennzeichnet.
Dies führt zu einer weiteren kontraintuitiven Eigenschaft. Wenn man den Daten folgt, wie fühlt es sich an, wenn die Anzahl der Neuerkrankungen etwa 15% höher wäre als die Anzahl der Neuerkrankungen des vorherigen Tages, und wie fühlt es sich an, wenn die Anzahl ungefähr gleich ist? Wenn man nur die Gesamtsumme betrachtet, erscheint es nicht allzu unterschiedlich. Aber wenn der Wachstumsfaktor 1 ist, könnte man sich am Wendepunkt der logistischen Kurve befinden. Das würde bedeuten, dass die finale Zahl der Fälle sich vermutlich maximal verdoppeln wird. Aber ein Wachstumsfaktor größer als 1 bedeutet, dass man sich noch in der exponentiellen Phase befindet. Es könnte bedeuten, dass man noch mehrere Zehnerpotenzen an neuen Fällen zu befürchten hätte.
Es ist richtig, dass im schlimmsten Fall der Sättigungspunkt die Gesamtbevölkerung ist. Es ist allerdings nicht wahr, dass infizierte Menschen zufällig in die Weltbevölkerung gemischt werden. Menschen sind in lokalen Gemeinschaften gruppiert. Selbst Simulationen, bei denen Menschen ein wenig zwischen Gruppierungen reisen, zeigen, dass das Wachstum sich hier nicht großartig anders verhält. Es zeigt sich eine Art fatale Struktur, in der Gruppierungen wie Individuen funktionieren. Jede Gruppierung hat eine gewisse Exposition mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit der Infektion, also gelten die gleichen exponentielles Wachstum auslösenden Grundlagen.
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Glücklicherweise ist eine Sättigung der Weltbevölkerung nicht das Einzige, das die zwei Faktoren, die für uns kritisch sind, verringert. Die Exposition von Kranken gegenüber Gesunden wird kleiner, wenn Menschen sich weniger versammeln, und die Infektionsrate sinkt, wenn die Leute sich öfter die Hände waschen. Was bei exponentiellem Wachstum auch kontraintuitiv ist, dieses Mal ist etwas Positives: seine Sensibilität bezüglich Veränderungen. Dieser Faktor ist beispielsweise 15%. Wie zum Zeitpunkt dieser Aufnahme mit etwa 21.000 Fällen, würde es bedeuten, dass wir in 61 Tagen bei über 100 Millionen Fällen angekommen sind. Aber wenn der Faktor durch etwas weniger Exposition und Infektionswahrscheinlichkeit auf 5% fällt, fällt die Vorhersage nicht nur um das Dreifache, sie fällt tatsächlich auf ungefähr 400.000 Fälle. Wenn die Leute also ausreichend besorgt sind, gibt es viel weniger zu befürchten. Aber wenn niemand besorgt ist, dann müssen wir uns Sorgen machen.