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Hola, hola. Bienvenidos una vez más a Aula Amateur. En este video veremos duopolio, el caso especial de la solución de Cournot.
En este ejercicio nos señalan que una industria está integrada por sólo dos empresas, cuyas respectivas funciones de costos totales están definidas por las siguientes expresiones. Además, nos señalan la función de demanda a la cual se enfrentan estas dos empresas.
Consideremos que la cantidad total a producir en este mercado equivale a la suma de la producción de la empresa 1 más la producción de la empresa 2. Nos solicitan obtener el equilibrio de Cournot.
Comenzamos con la empresa 1. El ingreso total se define como el producto entre el precio y la cantidad producida por la empresa 1. El precio lo obtenemos desde la función de demanda. Reemplazamos, resolvemos y obtenemos nuestra función de ingreso total para la empresa uno. Luego, derivamos esta expresión obteniendo que el ingreso marginal de la empresa 1 es igual a 30 menos 2q1 menos 2q2.
El costo marginal de la empresa 1 lo obtenemos derivando la función de costo total de la empresa 1, obteniendo que el costo marginal es igual a 0.5q1. La empresa maximiza sus beneficios en donde el ingreso marginal es igual al costo marginal. Reemplazamos nuestros resultados anteriormente obtenidos y despejamos, obteniendo que q1 es igual a 8 menos dos quintos q2. Esta expresión corresponde a la función de reacción de la empresa 1.
Continuamos con la empresa 2. El procedimiento es análogo a lo que recién hicimos con la empresa 1. Construimos nuestro ingreso total, reemplazamos la función de demanda en el precio, resolvemos y obtenemos nuestra función de ingreso total. Para obtener el ingreso marginal, derivamos la función de ingreso total con respecto a q2, obteniendo que el ingreso marginal de la empresa 2 es igual a 30 menos q1 menos 2q2.
El costo marginal de la empresa 2 lo obtenemos derivando la función de costo total de la empresa 2 con respecto a q2, dándonos que el costo marginal de la empresa 2 es igual a dos tercios q2 más 8. Esta empresa maximiza sus beneficios en donde el ingreso marginal es igual al costo marginal. Reemplazamos nuestros resultados anteriormente obtenidos, despejamos para construir q2, obteniendo la función de reacción de la empresa 2.
La solución de Cournot se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones entre la función de reacción de la empresa 1 y la función de reacción de la empresa 2. Existen tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción. En este caso, yo ocuparé el método de sustitución. Tomaré q2 de la segunda ecuación y lo voy a sustituir en la primera ecuación, obteniendo que q1 es 5.53.
Este resultado lo reemplazamos en la ecuación 2, resultando que q2 es 6.18. Gráficamente, representamos por una recta roja la función de reacción de la empresa 2. Luego, graficamos la función de reacción de la empresa 1, señalando la cantidad óptima a producir por la empresa 2, 6.18, y la cantidad óptima a producir por la empresa 1, 5.53. Este punto de equilibrio se denomina solución de Cournot.
La cantidad total a producir por este duopolio es de 11.6, a un precio de 18.4. Finalmente, en el mercado, este duopolio en conjunto se enfrenta a la función de demanda definida por P igual 30 menos Q, produciendo un total de 11.6 unidades, las cuales se transarán a un precio de 18.4. Este punto se denomina equilibrio del duopolio de Cournot.
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