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Saludos jóvenes. Continuamos entonces con las operaciones con polinomios. Vamos ahora a multiplicar polinomios.
Multiplicación del polinomio. Al multiplicar los polinomios aplicamos la propiedad distributiva, obteniendo un polinomio producto de grado m + n, siendo los factores de grado m y n. Es decir, que cuando nosotros multiplicamos el polinomio, el resultado va a ser de grado m + n. Se suman los grados de los polinomios y los grados de los factores van a ser de grado m y n respectivamente.
Al multiplicar polinomios, consideramos lo siguiente. Aquí hay una serie de tres pasos que considera. Primero, la propiedad distributiva. Esto debe considerarse, o sea, se cumple la propiedad distributiva. Y vamos a ver que el término que está afuera, que en este caso está, va a multiplicar por los dos que están dentro y se suman o se restan dependiendo de. De igual forma, vamos a ver aquí la propiedad de la potencia. Mire, esto se cumple también. Si nosotros tenemos la multiplicación del polinomio y la base son iguales, los exponentes se van a sumar. Se va a usar eso cuando tengo un multiplicar desaparezca la variable de esa forma.
También la regla de los signos. Es decir, cuando yo multiplico dos cantidades de igual signo, mire, el resultado va a ser todo el tiempo positivo. Pero cuando los signos son contrarios, el resultado va a ser entonces negativo. Eso debemos tomarlo en cuenta para multiplicar polinomios.
Por ejemplo, vamos a tener algunos algunas operaciones con polinomios. Vamos a multiplicar primero este -7x² se va a multiplicar por este trinomio 2x² - 3x. Se va a multiplicar por este de acá y este todo trinomio se van a multiplicar. Revisemos aquí. Vamos a tener entonces -7 por este. Multiplica este -7x lo va a multiplicar a los tres, a los tres los ha multiplicado. Ahí está.
Multipliquemos. -7 por 5 va a dar negativo 35 x² por x² x⁴. Recordar que se suman los exponentes. -7 por -6 positivo 42 x³. Aquí x² por x. Y menos 7 por 3 negativo 21. Es algo que no tiene variable. Ese sería mi resultado en este caso. El procedimiento aquí no es nada complicado. Miren que ahí no hay términos semejantes. Como no hay semejantes, bueno, sería el resultado.
Y el ejercicio número 2. Primero multiplicamos el 2 seguido por los tres. 2 por 5 10 x⁴. Se suman los exponentes. 2 por -3 -6 x³. Se suman los exponentes. Y 2 por 10 negativo 20 x. Luego al menos 3. Menos 3 por 5 negativo 15 x³. Este se multiplica por los tres. Menos 3 por 3 positivo 9 x². Y menos 3 por menos 10 positivo 30 x.
Ahora lo que hacemos aquí, ya terminamos la multiplicación. Sumar los que sean semejantes. Comenzamos con x⁴. Aquí tendríamos entonces 10 x⁴. Luego que x³ tengo dos aquí. Menos 6 x³ menos 15 x³ va a dar negativo 21 x³. Luego aquí x². Tengo menos 20 x² más 9 x² negativo 11 x². Luego aquí x. Solo el 30 positivo 30 x. Ahí es también resultado de la multiplicación. Nada complicado, un proceso bastante sencillo. Recordar que en este caso nosotros tenemos que revisar todo el tiempo los exponentes de los signos para no equivocarnos.
Finalmente, aquí vamos a hacer la misma operación, pero ahora lo vamos a hacer tres veces. Primero multiplicando. Primero multiplicamos aquí por el 9. El 9 por los tres. 9 por 6 54 x⁴. Se suma el exponente. 9 por -8 negativo 72 x³. Se suma el exponente. Y 9 por 1 positivo 9 x². Multiplicamos el primero. Ahora multipliquemos el segundo, que sería este -5. Menos 5 por 6 negativo 30 x³. Menos 5 por 8 positivo 40 x². Menos 5 por 1 menos 5 x. Me faltaría entonces todavía multiplicar. Todavía multiplicar el el 3. 3 por 6 positivo 18 x³. 3 por -8 negativo 24 x². Y 3 por 1 menos 3. Ahí tengo mis resultados.
Ahora ya multiplique. Ahora el trabajo sería hacer la suma. Comenzamos con 54 elevado a 4. Quedan 4. Luego tendríamos aquí x³ que sería este y este y este. 18 menos 30 negativo 12. Menos 12 más 18 positivo 6 x³. Luego aquí yo tengo x² que tengo aquí y aquí y aquí. 9 más 40 49. 49 menos 24 25 x². Luego aquí x. Me dio un -5 x y aquí tengo un -3. Menos 5x menos 3.
Ahí es también resultado de multiplicar los dos polinomios en cuestión. El trabajo nuestro ahora será bueno continuar con la segunda parte. Por ejemplo, más multiplicación. Aquí tenemos de dos variables. Cuidado con las dos variables, que los exponentes simplemente se van a sumar de la variable correspondiente.
Multipliquemos 9 a b por este. 9 por 2 18 a⁴. Se suman exponentes de las a. Este quedó con este 2 y la b pasa igual porque la b no tiene semejante en el primer término. 9 a b por menos 3 a² b² negativo 27 a³ b³. Luego 9 a b por 11 a³ b⁴ positivo 99 a⁴ b⁴.
Luego tengo que pasar a multiplicar este 5 a³ b² por los tres. 5 por 2 10 a⁵ b². 5 por menos 3 negativo 15 a⁴ b⁴. 5 por 11 positivo 55 a⁴ b⁵.
Ahora sumo los que sean semejantes. Busquemos entonces todo el que tenga a⁴ b⁴. Voy a tener menos 15 a⁴ b⁴ más 99 a⁴ b⁴. 84 a⁴ b⁴. Luego a³ b³. No hay más nadie más. Negativo 27 a³ b³. Luego a⁵ b². Tampoco. Más 10 a⁵ b². Luego a⁴ b⁵. Tampoco. Más 55 a⁴ b⁵.
Aquí tengo mis resultados. Miren que aquí no hubo términos semejantes, entonces todos pasaron.