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Qué tal amigazos, integral indefinida versus definida. Veremos las principales características y diferencias entre ambas.
Y bueno, primero debemos considerar que a la integral también se le conoce como la antiderivada. Y dependiendo de cómo se encuentre planteada esta, nos permite calcular, por ejemplo, el área de regiones o el volumen de sólidos.
Entonces, de entrada, una de las diferencias que podemos observar es que la integral definida tiene límites de integración: el límite inferior y el límite superior.
Ahora bien, en ambos casos vamos a integrar la misma función FX que es igual a x cuadrado. Miren, para resolver una integral hay varias reglas, varios métodos, y el proceso a utilizar dependerá del tipo de función. Acá tenemos una función algebraica o del tipo x elevado a una potencia n a un exponente n.
Entonces, la integral de esta función es igual a la variable, en este caso x, elevado a n + 1 sobre n + 1 + C, recordando que n, el exponente, debe ser un número diferente de -1. Y posiblemente esta regla de integración es una de las principales y básicas que todos debemos conocer.
Bueno, regresemos a nuestro ejemplo. Entonces, para integrar, mantenemos la variable, muy bien, x, al exponente le sumamos 1, 2 + 1 es 3, y este exponente también lo ubicamos como denominador. Siempre en una integral indefinida debemos sumar una constante de integración que se simboliza con la letra C. Y listo, tenemos el resultado de nuestra integral indefinida.
Y seguramente en este momento se estarán preguntando, ¿por qué debemos sumar una constante C? ¿Qué representa esta constante de integración? Como ya sabemos, a la integral también se le conoce como la antiderivada. Esto significa que si derivamos la función resultante, regresaremos a la función original.
Bueno, en primera instancia, vamos a dejar de lado a la constante de integración y derivamos la función x cúbica sobre 3, aplicando la regla de la potencia que ya la hemos estudiado en videos anteriores. Les dejo el enlace para que puedan repasar.
Entonces, el exponente baja a multiplicar al coeficiente. Acá se encuentra el número 1, 3 * 1 es 3, mantenemos la variable, al exponente le restamos 1, 3 - 1 es 2, y todo esto se encuentra sobre 3. Acá podemos simplificar o dividir 3 sobre 3, 1. La respuesta nos queda x cuadrada.
Y observen que acabamos de obtener la función que inicialmente integramos. Y en este momento es donde ingresa la constante de integración C, que puede ser cualquier número real. ¿Qué les parece si a C le asignamos 5? Así que la función más 5. Y ahora derivamos esta función. Ya sabemos que la derivada de x cúbica sobre 3 es x cuadrada, y el número 5 es una constante, y la derivada de cualquier constante equivale a 0. Por ello nos queda x cuadrada + 0, pero el 0 no hace falta escribirlo.
Y miren lo que pasó, también llegamos a la función original. Y así podemos analizar varios ejemplos. Acá C toma el valor de -2. Al derivar esta función, llegamos a x al cuadrado. Y por acá le hemos asignado a C el valor de pi, que es un número irracional, pero también real, y al ser una constante, su derivada es 0, obteniendo nuevamente x cuadrada.
Entonces, hay una familia de funciones donde todas tienen un término en común, x cúbica sobre 3, pero con diferentes constantes. Y al ser derivada cada una de estas funciones, el resultado es el mismo, que corresponde a la función original a la cual en un inicio integramos. Y bueno, en esta primera función debemos tomar en cuenta que como no se encuentra la constante, significa que C toma el valor de cero. Y esta, queridos amigos, es la explicación del porqué en una integral indefinida se suma una constante de integración.
Bueno, ahora pasamos a la integral definida en los límites de 0 a 3 de la función x cuadrada por el diferencial de X. Como ya mencionamos, esta integral se caracteriza porque tiene límites de integración. En este ejemplo, el límite inferior es 0 y el superior es 3. Y como estamos integrando la misma función x cuadrada, obtendremos x cúbica muy bien sobre 3.
Pero atención, en la integral definida no se suma la constante de integración, sino debemos aplicar el teorema fundamental del cálculo o, siendo más específicos, la regla de Barrow. Esto significa que en la función resultante, evaluamos el límite superior y el límite inferior, y al final calculamos la diferencia.
Así que en la variable x, reemplazamos primero el límite superior, que es 3, luego el límite inferior, que es 0. Y es así que calculando 0 al cubo es 0, sobre 3, 0. Nos queda simplemente 3 al cubo, 27, y 27 dividido entre 3 nos da un resultado de 9. Y escuchen, para este caso, el valor encontrado representa el área de una región, por ello lo debemos expresar como unidad al cuadrado. Y ya tenemos la respuesta para esta integral definida.
Pero, ¿qué les parece si vamos un poquito más allá y realizamos un análisis geométrico que es demasiado importante? Lo primero que haremos es representar en el plano cartesiano la gráfica de esta función cuadrática, la cual es una parábola. Y por fines prácticos, hemos utilizado la siguiente escala.
Bien, esta parte es importante, ya que estamos integrando respecto a x. Los límites de integración son rectas verticales. El límite inferior es x = 0 y el límite superior es x = 3. Y es así como los límites de integración, conjuntamente con la gráfica de la función, generan una región. Entonces, el área de esta región equivale a 9 unidades al cuadrado. Y esto, amigazos, representa la integral definida: el área bajo la curva o el área de una región.
Y bien, amigasos, como acotación final, al resolver una integral indefinida se obtiene otra función, pero en la integral definida se obtiene un número real. Sin más, espero que esta pequeña clase, corta pero importante, les haya parecido interesante. Cuídense mucho. Amor.
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