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[Musik] Hallo zusammen. Hier ist Grad. Das hier ist das erste Video von einer Serie über die Grundlagen der Analysis. Grundlagen bedeutet, dass ich euch wirklich den Kern des Themas vermitteln möchte, und zwar in einer Videoserie, die man am Stück schauen kann. Aber bei einem Thema, das so umfassend ist wie die Analyse, kann das vieles bedeuten. Ich habe daher folgendes vor: Die Analysis hat viele Regeln und Formeln, die oft nur als Dinge zum Auswendiglernen unterrichtet werden. Viele verschiedene Ableitungsformeln, die Produkt- und Kettenregel, implizite Ableitung, die Tatsache, dass Integrale und Ableitungen das Gegenteil voneinander sind, oder die TV-Serie und so weiter. Aber mein Ziel ist es, dass du am Ende das Gefühl hast, du hättest die Analyse selbst entwickeln können. Das bedeutet, dass ich diese Konzepte so erklären möchte, dass ihr Ursprung und ihre wahre Bedeutung klar werden, und dass ich sie immer bildlich im Video darstellen werde. Die Mathematik neu zu entwickeln, machen wir nicht nur zum Spaß. Es macht einen großen Unterschied für das Verständnis, ob einem Dinge erklärt werden oder ob man sie von Grund auf selbst entwickelt. Aber ich möchte, dass du folgendes immer im Hinterkopf behältst: Wenn du eines der Mathe-Genies von früher gewesen wärst und auf die richtige Weise über diese Ideen nachgegrübelt hättest, wäre es dann möglich, dass du über die gleichen Wahrheiten gestolpert wärst?
In diesem Einführungsvideo will ich zeigen, wie man über die Kernideen der Analysis stolpern kann, wenn man sehr genau über ein spezielles Stück der Geometrie nachdenkt: den Flächeninhalt eines Kreises. Vielleicht weißt du, dass der Flächeninhalt Pi mal dem Radius zum Quadrat ist, aber warum? Gibt es eine praktische Möglichkeit, darüber nachzudenken, woher diese genaue Formel kommt? Wenn du über dieses Problem nachdenkst und dich den interessanten Ideen öffnest, die dabei auftauchen, kannst du tatsächlich Einblicke in diese drei Meilensteine der Analysis bekommen: Integrale, Ableitungen und die Tatsache, dass sie Gegensätze sind. Aber fangen wir zunächst einfacher an. Nur du und dein Kreis. Sagen wir, mit Radius 3. Du versuchst, deine Fläche zu bestimmen. Nach mehreren Versuchen, die Fläche aufzuteilen und stückweise umzuordnen, von denen viele vielleicht zu eigenen interessanten Ergebnissen führen, probierst du, den Kreis in mehrere konzentrische Ringe aufzuteilen. Das ist vielversprechend, da es die Symmetrie des Kreises berücksichtigt, und die Mathematik tendiert dazu, diejenigen zu belohnen, die ihre Symmetrien berücksichtigen. Nehmen wir also einen dieser Ringe, der einen inneren Radius R zwischen null und drei hat. Wenn wir einen schönen Ausdruck für die Fläche eines jeden solchen Ringes finden können und einen geschickten Weg, diese Fläche aufzuaddieren, könnte das uns helfen, die Fläche des gesamten Kreises zu beschreiben.
Vielleicht beginnst du damit, den Ring gerade zu biegen. Du könntest dir überlegen, was genau diese neue Form und deren Fläche wäre. Aber der Einfachheit halber lasst sie uns einfach einem Rechteck annähern. Die Breite dieses Rechtecks ist der Umfang des ursprünglichen Rings, also 2 * Pi * Radius, richtig? Das ist ja im Grunde genommen die Definition von Pi. Und die Dicke? Naja, die hängt davon ab, wie fein man den Kreis vorher aufgeteilt hat, was ja ein bisschen willkürlich war im Sinne der Konventionen der Analysis. Wenn wir diese Dicke dR für jeden winzig kleinen Unterschied von einem Radius eines Rings zum nächsten – stell dir dR vielleicht in der Größenordnung von 0,1 vor – nähern wir jetzt diesen abgewickelten Ring einem dünnen Rechteck an. Sein Flächeninhalt ist 2 * Pi * Radius * dR. Das ist natürlich nicht perfekt, aber für kleiner und kleiner werdendes dR wird diese Annäherung des Flächeninhalts immer besser, da sich die Ober- und Unterseite dieser Form in ihrer Länge mehr und mehr angleichen. Also machen wir mit dieser Annäherung einfach mal weiter. Dabei behalten wir für den Moment im Hinterkopf, dass das zwar ein wenig falsch ist, aber mit immer kleiner werdendem dR stetig genauer wird. Im Prinzip schneiden wir den Ring in immer dünnere Stücke.
Um noch mal zusammenzufassen, wo wir jetzt sind: Du hast also den Kreis in all diese Ringe aufgebrochen und näherst den Flächeninhalt jeder dieser Ringe der Formel 2 * Pi * Radius * dR an, wobei der konkrete Wert des Radius sich zwischen 0 für den kleinsten Ring und etwas weniger als 3 für den größten Ring bewegt, je nachdem, welche Dicke dR du festgelegt hast, zum Beispiel 0,1. Und beachte, dass hier dR die Dicke des Rechtecks ist, also die Differenz vom Radius eines Rings zum nächsten. Man kann diese Rechtecke sehr schön veranschaulichen, wenn man sie sich nebeneinander entlang dieser Achse aufgereiht vorstellt. Jedes besitzt die Dicke dR, deswegen passen sie auch alle so gut hier rein. Und die Höhe jedes dieser Rechtecke mit seinem konkreten Wert R, wie zum Beispiel 0,6, ist eben genau 2 * Pi * R. Das ist der Umfang des Rings, den wir dem Rechteck annähern wollen. In dieser Darstellung kann 2 * Pi * R ganz schön groß werden. Ich meine, 2 * Pi * 3 ist ungefähr 19. Also skalieren wir die Y-Achse einfach etwas anders, damit alle Rechtecke auf den Bildschirm passen. Man kann über diesen Aufbau sehr schön nachdenken, indem man den Graphen von 2 * Pi * R zeichnet, also eine Gerade mit der Steigung 2 * Pi. Jedes dieser Rechtecke reicht so weit nach oben, dass es gerade so den Graphen berührt. Und nochmal: Wir nutzen nach wie vor nur Näherung. Die Fläche jedes dieser Rechtecke ist nur näherungsweise gleich der Fläche des korrespondierenden Rings. Aber denk daran, dass diese Näherung immer besser wird, je kleiner wir unser dR wählen.
Und das passt wunderbar, wenn wir jetzt die Summe der Flächeninhalte dieser Rechtecke betrachten. Man könnte denken, dass mit kleiner werdendem dR diese Summe gigantisch groß wird. Wir müssen ja sehr viele Rechtecke summieren, und die Dezimal-Annäherung jeder dieser Flächen wurde zum absoluten Albtraum. Aber schon mal: Alle Flächen zusammen sehen wie die Fläche unter einem Graphen aus. Und diese Fläche unter dem Graphen sieht ganz einfach wie ein Dreieck aus. Ein Dreieck mit der Grundlinie 3 und der Höhe 2 * Pi * 3. Also ist sein Flächeninhalt 1/2 * Grundlinie * Höhe, einfach Pi * 3^2. Oder wenn der Radius des ursprünglichen Kreises R ein anderer wäre, dann betrüge der Flächeninhalt allgemein Pi * R^2. Und das ist die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises. Wer auch immer du bist oder was auch immer du von Mathematik hältst, das hier ist einfach ein wunderschöner Beweis. Aber wenn du wie eine richtige Mathematikerin oder ein richtiger Mathematiker denken willst, dann geht es dir nicht nur darum, die richtige Antwort zu finden. Eigentlich willst du allgemeine Problemlösungsstrategien entwickeln. Und denke jetzt mal einen Moment darüber nach, was hier gerade passiert ist und warum es funktioniert hat.
Der subtile Weg, den wir genommen haben, um von einer Annäherung zu einem präzisen Ergebnis zu kommen, zeigt eines der essentiellen Merkmale der Analysis auf. Hier wurde eine Frage gestellt, und der Antwort konntest du dich mit der Summe vieler kleiner Zahlen annähern. Jede sah wie 2 * Pi * R * dR für die Werte von R zwischen null und drei aus. Denk dran, unsere kleine Zahl dR repräsentiert die von uns gewählte Dicke jedes Rings, zum Beispiel 0,1. Dafür sind zwei Aspekte besonders wichtig: Zunächst einmal ist dR nicht nur ein Faktor, zusammengesetzt aus Werten, die wir aufsummieren (2 * Pi * R). dR bestimmt auch den Abstand zwischen den verschiedenen Werten für R. Außerdem ist unsere Annäherung besser, je kleiner die dR wird. Das Addieren dieser Zahlen kann man sich auch anders vorstellen, und zwar als das Addieren der Flächeninhalte all dieser dünnen Rechtecke unter dem Graphen. In diesem Fall unter dem Graphen der Funktion 2 * Pi * R. Und dann, und das ist das Wichtige, lassen wir die dR immer kleiner werden, damit unsere Näherungslösung für das ursprüngliche Problem immer besser wird. Dadurch nähert sich die Summe aller Rechtecke dem Flächeninhalt des Dreiecks unter dem Graphen an. Daraus lässt sich folgern, dass die Antwort auf die ursprüngliche Frage die Fläche ist, die durch den Graphen eingeschlossen wird, und zwar mit absoluter und nicht angenäherter Präzision.
Viele weitere schwierige Probleme in der Mathematik und Wissenschaft können zerlegt und aus vielen kleinen Teilen als Annäherung berechnet werden. Zum Beispiel kann man die zurückgelegte Strecke eines Autos berechnen, indem man sich anschaut, wie schnell es zu jedem Zeitpunkt gefahren ist. Man kann sich vielleicht mehrere Zeitpunkte anschauen und zu jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit mit einer kleinen Zeitänderung dt multiplizieren und daraus die zurückgelegte Strecke berechnen. Ich werde später in der Reihe genauer auf solche Beispiele eingehen, aber im Prinzip geht es bei allen diesen Problemen darum, den Flächeninhalt unter irgendeinem Graphen zu berechnen, genau wie bei unserem Kreis. Diese Herangehensweise bietet sich immer an, wenn man sich die Stücke, die wir zur Annäherung unseres Problems aufaddieren möchten, als dünne, nebeneinander liegende Rechtecke vorstellen kann. Immer wenn wir einen Abstand immer feiner aufteilen und uns dadurch annähern können, können wir unser Problem lösen, indem wir die Fläche unter dem Graphen bestimmen.
Nochmal: Diesen Gedankengang werden wir später in der Reihe wieder begegnen, also mach dir keine Sorgen, wenn du das jetzt noch nicht zu 100 Prozent verstanden hast. Das Wesentliche ist, dass du hier gerade ein Problem umformuliert hast und die Lösung als Fläche unter einem Graphen gefunden hast. Wir hatten Glück, dass sich bei unserem Kreis die Fläche als ein Dreieck herausgestellt hat. Aber jetzt könntest du darüber nachdenken, wie man die Fläche unter einem anderen Graphen berechnen könnte. Stell dir statt eines Kreises mal eine Parabel vor, den Graphen der Funktion x^2. Was ist die Fläche unter der Kurve, zum Beispiel zwischen x gleich null und x gleich drei? Ziemlich schwer vorzustellen, oder? Lass mich die Frage noch mal anders stellen: Die linke Seite fixieren wir bei x gleich null, aber die rechte Grenze bleibt verschiebbar. Bist du in der Lage, eine Funktion F(x) zu finden, die die Fläche unter dem Graphen zwischen null und x ausspuckt? Eine solche Funktion F(x) nennt man ein Integral der Funktion x^2. Die Analysis besitzt Werkzeuge, um ein solches Integral genau zu bestimmen, aber im Moment ist es für uns nur eine mysteriöse Funktion. Wir wissen, dass das Integral die Fläche unter dem Graphen von x^2 zwischen einer festen linken Grenze und einer verschiebbaren rechten Grenze angibt, aber wir wissen nicht, wie diese Fläche genau aussieht.
Nochmal: Wir interessieren uns für eine solche Frage nicht nur, weil wir harte Geometrieaufgaben so gerne mögen, sondern weil viele praktische Probleme, die wir durch das Aufsummieren kleiner Teile lösen, als Flächeninhalt unter irgendeinem Graphen formuliert werden können. Ich sage dir hier schon mal, dass es wirklich schwer ist, diese Fläche oder diese Integral-Funktion zu finden. Generell empfiehlt es sich in der Mathematik bei schweren Problemen, nicht direkt nach der Antwort zu suchen, sondern erst einmal ohne spezielles Ziel mit der Idee herumzuspielen und um ein paar Ecken zu denken. Nimm dir etwas Zeit, dich mit dem Wechselspiel zwischen dem Graphen der Funktion (in unserem Fall x^2) und der Funktion, die den Flächeninhalt ergibt, auseinanderzusetzen. In dieser spielerischen Stimmung hast du vielleicht Glück und bemerkst folgendes: Wenn du x um ein kleines Stück dx erhöhst, kannst du dir ansehen, wie sich der Flächeninhalt ändert. Das ist dieser kleine Streifen hier, den ich als Änderung der Fläche nennen werde. Dieser Streifen kann ziemlich gut einem Rechteck mit Höhe x^2 und Breite dx angenähert werden. Und je kleiner dx wir wählen, desto mehr sieht dieser Streifen wirklich wie ein Rechteck aus. Das zeigt uns die interessante Beziehung zwischen F(x) und x^2: Eine Änderung der Fläche ist ungefähr gleich x^2 mal dx, wobei x der ursprüngliche Wert ist, bei dem wir angefangen haben, und dx diese kleine Veränderung entlang der x-Achse. Umgeformt gibt das dann das Verhältnis dF durch dx, das Verhältnis einer kleinen Änderung zu einer kleinen Änderung von x, die die Änderung des Flächenverbrauchs. Das wäre ungefähr x^2 an diesem Punkt. Diese Annäherung wird mit kleiner werdendem dx immer besser. Was genau F(x) ist, bleibt ein Rätsel, aber wir kennen eine Eigenschaft dieser mysteriösen Funktion.
Schau dir zwei nahe gelegene Stellen an, zum Beispiel 3 und 3,001, und achte auf die Änderung des Flächennutzens. Die Differenz der mysteriösen Funktion bei 3 und bei 3,001, diese Differenz geteilt durch die Differenz der beiden Werte (in diesem Fall 0,001) sollte ungefähr dieselbe sein wie der Wert für x^2 an der Stelle, an der wir angefangen haben. Hier ist F'(x) gleich 3. Diese Beziehung zwischen kleinen Änderungen der mysteriösen Funktion und den Werten für x^2 geht an allen Stellen, nicht nur bei 3. Das sagt uns nicht direkt, wie wir F(x) berechnen, aber es gibt uns eine gute Abschätzung, mit der wir arbeiten können. Dabei ist der Graph von x^2 nichts Besonderes. Jede Funktion, definiert als die Fläche unter irgendeinem Graphen, hat die Eigenschaft, dass dF durch dx, die kleine Flächenänderung geteilt durch die Differenz der x-Werte, ungefähr gleich der Höhe des Graphen an dieser Stelle ist. Nochmal: Diese Annäherung wird besser, je kleiner die dx wählen.
Hier beginnt ein weiteres großes Konzept: die Ableitung. Dieses Verhältnis dF durch dx wird die Ableitung von F genannt. Genau genommen ist die Ableitung das, was man erhält, wenn man dx immer kleiner werden lässt. Auf das Konzept der Ableitung werde ich im nächsten Video noch sehr genau eingehen, aber grob gesagt ist sie ein Maß dafür, wie empfindlich eine Funktion auf eine kleine Änderung des Eingangswertes reagiert. Du wirst im Laufe der Reihe sehen, dass es viele Wege gibt, Ableitungen zu visualisieren, je nachdem, welche Funktionen man betrachtet und wie man über kleine Änderungen des Funktionswertes nachdenkt. Wir interessieren uns für Ableitungen, weil sie uns helfen, Probleme zu lösen, und in unserem Beispiel hier haben wir bereits eine erste Idee, wofür man sie benutzt: Sie sind der Schlüssel dazu, Integralaufgaben zu lösen, also für Probleme, bei denen wir den Flächeninhalt unter einer Kurve berechnen müssen. Wenn du einmal gelernt hast, sicher mit Ableitungen umzugehen, wirst du dir auch Situationen anschauen können, bei denen du die Funktion gar nicht kennst, aber weißt, dass ihre Ableitung x^2 ist. Von da aus kannst du dann rückwärts gehen, um die Funktion zu finden.
Dieses Vor- und Zurück zwischen Integralen und Ableitungen nennt man den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Dabei ergibt die Ableitung für die Funktion des Flächeninhalts unter einem Graphen die Funktion, die den Graphen beschreibt. Der Hauptsatz verbindet die zwei großen Konzepte von Ableitung und Integral und zeigt gewissermaßen, dass das eine das Inverse, also das Umgekehrte vom anderen ist. Das Ganze hier ist nur ein Überblick, ein kleiner Einblick in die zentralen Konzepte der Analysis. Was in der Serie folgt, sind die Details für Ableitungen, Integrale und noch mehr. Ich möchte dir dabei immer das Gefühl vermitteln, dass du die Analysis selber hättest entwickeln können und dass diese Formeln, Regeln und Konstrukte, die vorgestellt werden, auch einfach aus deinen eigenen Betrachtungen entstehen können, wenn du die richtigen Bilder zeichnest und mit jeder Idee genau richtig herumspielst.
Bevor du gehst, möchte ich mich ganz herzlich bei allen Menschen bedanken, die diesen Kanal und den Hauptkanal unterstützen. Diese Serie ist schon vor einiger Zeit auf dem Hauptkanal Freeflow an Brown erschienen und wurde jetzt aus dem Englischen ins Deutsche übersetzt und neu vertont. Falls es dir gefallen hat, überlege dir doch, diesen Kanal zu abonnieren und das Video zu liken. Bis zum nächsten Mal. [Musik]