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Exploremos la noción de un polinomio. Parece que es una palabra complicada, pero si la dividimos, podemos ver que empieza a cobrar sentido, especialmente cuando veamos ejemplos de polinomios.
En la primera parte de esta palabra tenemos "poli", que proviene del griego y significa mucho o numeroso. En este caso, muchos. "Nomio" proviene de latín y significa nombre. Así que podríamos decir que polinomio significa muchos nombres, pero en el contexto matemático, en realidad se refiere a términos.
Vamos a hablar un poco de lo que es un término para explicar lo que es un polinomio y lo que no es un polinomio. Les voy a dar algunos ejemplos y luego podremos escribir algunas reglas para ellos.
Entonces, un ejemplo de polinomio podría ser 10x a la séptima potencia - 9x cu + 15x a la tercera potencia + 9. Este es un polinomio. Otro ejemplo de polinomio es 9a cuada -5. Incluso si tengo un número, si escribo el número 6, oficialmente puede ser considerado como un polinomio. Si escribo 7y cu - 3y + pi, esto también es un polinomio. Estos son ejemplos de polinomios.
Ahora, ¿cuáles son algunos ejemplos de lo que no son polinomios? Bueno, si reemplazas la séptima potencia que tenemos aquí con una potencia negativa, digamos que escribo 10x a la séptima potencia negativa - 9x cu + 15x a la tercera potencia + 9, esto no sería un polinomio. Tal vez estés notando una regla de lo que no es un polinomio: no puede haber potencias negativas en las variables de cualquiera de los términos.
Y ya usé la palabra "términos", así que voy a explicarla porque me va a ayudar a explicar lo que es un polinomio. Un polinomio es algo que se compone de una suma de términos. Así, por ejemplo, en este primer polinomio, el primer término es 10x a la séptima potencia, el segundo término es -9x cu, el siguiente término es 15x a la tercera potencia, y el último término, podríamos decir que es el cuarto término, es nueve. Todos estos son términos. Aquí tenemos un polinomio de cuatro términos.
Y podrías pensar que esto que tenemos aquí escrito en rojo también tiene cuatro términos. Tenemos que poner más reglas para definir oficialmente lo que es un polinomio, especialmente un polinomio en una variable. Cada uno de estos términos tiene un coeficiente, que es lo que multiplica a la variable que está elevada a alguna potencia. Así que en el primer término, el coeficiente es 10. Aquí voy a escribir: coeficiente es otra palabra extravagante, pero simplemente es lo que multiplica a la variable, en este caso, a la x a la séptima potencia. El primer coeficiente es 10, el siguiente coeficiente es 9 negativo, el tercer coeficiente es 15, y tenemos este cuarto término o este cuarto número como en coeficiente, porque lo podemos reescribir de otra forma. En lugar de solo escribir 9, podemos escribirlo como 9x a la potencia 0, y así lo podemos ver más claramente como un coeficiente.
Entonces, en general, un polinomio es la suma de un número finito de términos, los cuales tienen un coeficiente que puedo representar por una letra, digamos "a", que multiplica a una variable que está elevada a una potencia entera no negativa. Esto es el coeficiente, que puede ser positivo o negativo, puede ser cualquier número real. Tenemos una variable, y luego el exponente que tenemos aquí tiene que ser un entero no negativo. Entero no negativo. Aquí, la razón por la que escribí esto en rojo es porque esto no es un polinomio: tiene un exponente que es un entero negativo.
Vamos a ver otros ejemplos de lo que no es un polinomio. Podemos tomar este segundo polinomio y cambiarlo. En lugar de 9a cuada, voy a escribir 9a a la potencia 1/2 - 5. Esto no es un polinomio porque el exponente que tenemos aquí no es entero, es 1/2, y esto es lo mismo que 9 * raíz cuadrada de a - 5. Esto no es un polinomio. O si escribimos 9a elevada a la potencia a - 5, tampoco es un polinomio, porque aquí el exponente es una variable y no es un entero no negativo. Así que todos estos son ejemplos de cosas que no son polinomios.
Hay otra terminología que es importante que conozcamos. Binomio es un término general que se usa para estas expresiones que tienen muchos términos, un número finito de términos, no infinito, y que tienen esta forma. Pero hay una terminología más específica: cuando tienes un solo término o dos términos o tres términos. Cuando tienes un término, se llama monomio. Monomio. Este es un ejemplo de monomio. Lo podríamos escribir como 6x a la potencia 0. Otro ejemplo de monomio podría ser 10 Z a la décima potencia. Esto también es un monomio. El coeficiente podría ser pi, digamos pi * B a la quinta potencia. Cualquiera de estos ejemplos es un monomio.
Ahora, ¿qué es un binomio? Un binomio tiene dos términos. Un monomio tiene un término. Mono significa uno, binomio son dos términos. Aquí tenemos un binomio. Binomio. Y todos son polinomios, pero existen subclasificaciones. Esto es un binomio, aquí tenemos un término y dos términos. Otro ejemplo de binomio podría ser 3y c + 5y. Una vez más, son dos términos que tienen esta forma que tenemos aquí.
También escucharás el término trinomio. Un trinomio tiene tres términos. Trinomio. Y este es un ejemplo. Este es el primer término, el segundo y el tercero.
Ahora, la siguiente palabra que escucharás repetidamente en el contexto de polinomios es la noción de grado de un polinomio. Escucharás a la gente decir: "¿Cuál es el grado de un polinomio?" o "¿Cuál es el grado de un término dado de un polinomio?". Vamos a empezar con el grado de un término dado de un polinomio. Vamos a este polinomio que tenemos aquí. Tenemos este primer término, 10x a la séptima potencia. El grado es la potencia a la que está elevada la variable. Así que este es un término de séptimo grado. El segundo es un término de segundo grado. El tercer término es de tercer grado. Y puedes ver este término como un término constante, que en realidad es solo un nueve. Podrías verlo así. Simplemente algunos dirán que es un término constante, y algunos le llamarán el término de grado cero.
Si hablamos del grado del polinomio entero, entonces tenemos que ver cuál es el término con el grado más grande. Ese será el grado del polinomio entero. Así que en este primer ejemplo, tenemos un polinomio de séptimo grado. Este de aquí es un polinomio de segundo grado, porque tiene un término de segundo grado y es el término de mayor grado. Este es de tercer grado. Podemos llamarlo binomio de tercer grado, porque su término de mayor grado es de tercero. Si aquí tuviéramos 5y a la séptima en lugar de 5y, entonces sería un binomio de séptimo grado. Aquí tenemos un monomio de grado 15. Este es un trinomio de grado...
Otra cosa que quiero introducir aquí es la idea de término principal y de coeficiente principal. ¿Qué significa ser principal? Si hablamos del término principal, es el primer término. Si hablamos de coeficiente principal, es el coeficiente del primer término. Pero a menudo se asocia con un polinomio que está escrito en la forma estándar. Forma estándar es escribir los términos en orden de grado, empezando por el término de grado... por ejemplo, lo que tengo aquí arriba no está escrito en forma estándar, porque aquí tengo el término de mayor grado al principio, pero luego aquí debería ir el término de siguiente grado mayor, que es x a la tercera potencia, pero aquí tenemos x cuada. Así que esto no es la forma estándar.
Si quiero escribirlo en la forma estándar, debo tener 10x a la séptima potencia, que es el término de mayor grado, es de séptimo grado. Y luego 15x a la tercera potencia, que es el siguiente mayor grado. Luego 9 negativo por x cu, que es el siguiente mayor grado. Y luego el término de menor grado, + 9, o + 9x a la potencia 0. Ahora este polinomio está escrito en la forma estándar. Lo escribí en orden de grado decreciente, con el grado mayor al principio. Aquí está claro que el término principal es 10x a la séptima potencia, porque es el primer término, y el coeficiente principal es el número 10.
Hay mucho en este video, pero espero que la noción de polinomio no sea demasiado intimidante hasta este punto, y vimos palabras realmente útiles para que se familiaricen con ellas en su viaje por las matemáticas.