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Vamos a resolver ahora un problema sobre el poder del mercado que tiene un monopolista. Bueno, lo que vamos a suponer es, pues eh, un mercado, el mercado de gamusinos en dos regiones distintas. Vamos a suponer que cada gamusino se produce siempre en cualquier parte del mundo. La forma de producir gamusinos, pues siempre es con un coste de 5, siempre cuesta 5 producir cada gamusino. Pues producir 10 gamusinos costará 50, producir 100 gamusinos costará 500, producir un gamusino costará 5.
Y vamos a suponer la situación de dos regiones distintas. Pues estamos suponiendo el eh en el Imperio Romano y en el Imperio Cartaginés, que tienen distintas demandas. Eh, ambos imperios suponemos que han otorgado el monopolio sobre la producción de un monopolio legal en cada uno de esos países imaginarios. Han establecido un monopolio legal de forma que hay una empresa en cada país que es el monopolio en ese país.
Vamos a suponer que la demanda en la demanda en Roma, pues viene dada por esa expresión. La cantidad demandada en Roma en función del precio será igual a 15 menos el precio. Y la cantidad demandada en Cartagena, en la otra región, pues será 50 menos dos veces el precio. Y lo que nos preguntamos es cuál de los dos monopolios, el monopolio del que hay en el Imperio Romano o el que hay en el Imperio Cartaginés, tiene un mayor poder de mercado. Es lo que vamos a estudiar.
Bueno, pues lo que vamos a hacer para para conocerlo es eh obtener el el índice de Lerner que tiene cada una de estas, que consigue cada una de estas empresas. Es decir, el el margen, el margen sobre el coste marginal que obtiene. Para hallarlo, lo que tenemos que hacer es el equilibrio de mercado en cada en cada región. En primer lugar, bueno, pues vamos a calcular aquí el equilibrio para Roma y aquí el equilibrio para Cartagena.
Lo que tenemos que hacer es igualar el ingreso marginal al coste marginal. ¿Cuánto es el coste? El coste marginal de producir cada gamusino en todo el mundo cuesta siempre 5. Es decir, lo que vamos a tener, lo pongo aquí abajo, es que el coste total de producir q unidades de gamusino es igual a 5co por q, ¿no? Pues 5 por cada unidad que se produzca. Muy bien. Entonces, el coste, el coste marginal que va a haber en cualquiera de las de las dos regiones, el coste marginal de producir cada unidad, pues es de 5, tanto en Roma como en Cartagena, porque es viene determinado por la tecnología.
Y ahora vamos a calcular el ingreso marginal que tendríamos, que tendrían las empresas en cada uno de estos dos mercados. Bueno, para calcularlo, tenemos que sacar primero las funciones inversas de demanda. En Roma sería el precio, que es igual a 15 menos q. Y en Cartagena, el precio, que sería igual a eh, si despejándola son eh. El ingreso total que depende de la cantidad para el monopolista será el precio que depende de la cantidad, no un por, sino q, el precio por la cantidad. Bueno, si el precio es 15 menos q, el precio es 15 menos Q en Roma, la función inversa de demanda es 15 menos q, pues el ingreso total será eso por Q, que es 15q menos q cuadr. Si este es el precio en Cartagena, el ingreso total en función de q será igual a 25 menos q cuadr, eh, perdón, 25q menos q cuadr partido por 2. Hemos multiplicado la q por el precio.
Bueno, pasamos a calcular el ingreso marginal en Roma, que será la derivada del ingreso total. Pues 15 por q, la derivada de eso es 15 menos q al cuad, pues 15 menos 2q. ¿Cuánto será en Cartagena? Pues el ingreso mar fin será la derivada de 25q, 25, menos la derivada de q cuadr, partido por 2, que no se nos queda menos q. El Q cuadrado, el cuadrado pasa multiplicando, nos queda 2q partido por 2, que es 2.
Bueno, ya tenemos los ingresos marginales en los dos sitios, tenemos los costes marginales en los dos sitios y ahora pues podemos calcular cuánta cantidad va a producir el monopolio Romano y el monopolio Cartaginés. Bueno, pues 15 menos 2q en Roma, el ingreso marginal en Roma debe ser igual a 5. Si de ahí lo sacamos, pues la cantidad que se producirá en Roma será igual a cuánto. Pues el 2q pasa al otro lado, el 5 pasa al otro lado y nos queda que esa cantidad será de cinco. En Cartagena, pues el ingreso marginal 25 menos q tendrá que ser igual al coste marginal 5. Y si despejamos de ahí, pues lo que nos queda es que la cantidad que se producirá en Cartagena será de 20 unidades.
Ya tenemos la cantidad de Roma y la cantidad de Cartagena. Vamos a calcular, vamos a ponerlo aquí, vamos a seguir separándolo eh aquí Roma Cartagena. La cantidad en Roma es igual a 5. La cantidad en Cartagena será igual a 20, como tenéis ahí calculado, igual a 20. Vamos a obtener ahora los precios. Esas cinco unidades en Roma, si vamos a la función inversa de demanda en Roma, que es 15 menos la cantidad, pues sustituimos por la cantidad y vemos que el precio al que se van a pagar los gamusinos en Roma será 15 menos esa cantidad, 10.
Vamos a calcular también el precio al que se pagarán los gamusinos en Cartagena. Bueno, esa cantidad de 20, si nos vamos aquí a la expresión del precio, será 25 menos la cantidad de Cartagena partido por 2. 25 menos 20 partido por 2 es 25 menos 10 y nos queda un precio de 15.
Bueno, pues ya tenemos cómo va a ser cada uno de los dos mercados. Los costes de las empresas son las mismas, como hemos visto, ¿no? Pues a las dos empresas le cuesta 5 producir cada unidad, pero eh producir, pero al ser las demandas distintas, el precio al que se venden en Roma es un precio de 10, eh, pues 10 unidades monetarias cada gamusino y se venden un total de cinco unidades, de cinco unidades. En Cartagena, el precio es de 15, el precio es de 15 y la cantidad es de 20.
Vamos a calcular ahora el índice de Lerner en un sitio y en el otro. ¿Cuánto es el índice? ¿Cómo tenemos el índice de Lerner, que es la medida del poder de mercado que tiene el monopolista? Pues el índice de Lerner será el precio menos el coste marginal partido por el precio, ¿no? Y esto es el precio menos el coste marginal partido por el precio es una medida del margen que tiene el monopolista sobre el coste marginal por encima de lo que podría conseguir en competencia perfecta.
Bueno, pues el precio del índice de Lerner para Roma será 10 menos 5 partido por 5, eh, perdón, partido por 10. 10 menos 5 partido por 10, que es 0,5. Esto quiere decir que de ese precio, del precio que tiene, 0,5, la mitad, un 50% es margen sobre el coste marginal. De los 10 unidades monetarias, del de las 10 unidades monetarias que es el precio en Roma, pues la mitad, el 50% es margen sobre coste marginal, es el poder de mercado del monopolista.
¿Cuánto sería en Cartagena? Pues el precio de Cartagena será, bueno, el índice de Lerner será, como hemos visto, precio menos coste marginal partido por precio. El precio en Cartagena será de 15 menos el coste marginal, que es 5, partido por 15. Bueno, esto es 10 entre 15, que es 0,66, 0,67 si redondeamos. Bien.
Como podemos ver, el índice de Lerner es mayor en Cartagena que en Roma. El monopolista de Cartagena, pues tendrá un mayor poder de mercado que el de Roma. ¿De qué dependía el poder de mercado? ¿De qué depende la capacidad del monopolista para poner para poner márgenes por encima del coste marginal? Bueno, pues esto depende básicamente de la elasticidad de la demanda.
Lo que vamos a hacer para comprobarlo es calcular el índice de Lerner de la otra forma que lo podemos calcular, que es como la inversa de la elasticidad de la demanda. Y vamos a comprobar que de las dos formas, pues obtenemos el mismo resultado. Vamos a calcular por tanto ahora la elasticidad de la demanda en este resultado, en en la producción del, en la producción del monopolista, en un sitio o en otro.
La elasticidad de la demanda, como sabemos, pues es la derivada de la función de demanda respecto del precio, es decir, cuánto varía la cantidad demandada frente al precio, por el precio entre la cantidad. Y esto lo que nos dice es eh en qué porcentaje responde la demanda a variaciones en porcentuales del precio. Bueno, vamos a calcular primero la derivada de la cantidad demandada respecto del precio. Eh, como tenemos aquí indicada, esta es la función de demanda, la derivada de esa cantidad respecto del precio, pues será el menos, bueno, como si recordáis, las deales solemos poner un signo negativo antes para anular el signo negativo que nos va a salir después, pues será menos el menos que viene aquí. La derivada de la elasticidad de la demanda en este caso es -1 por el precio entre la cantidad.
¿Cuál es el precio de la cantidad en Roma? Bueno, pues la cantidad será de cinco y el precio será de 10. El precio de 10 y la cantidad de cinco. Y esto es igual a menos, menos 1, 1 por 10 entre 5, 2. La elasticidad de la demanda en Roma es de 2.
¿Cuánto es la elasticidad de la demanda en Cartagena? Bueno, pues será menos la derivada de la cantidad demandada respecto del precio de la función de demanda respecto del precio, por el precio entre la cantidad. Y esto, ¿cuánto vale? Pues primero ponemos ese signo menos aquí. Después vamos a hacer la derivada de la cantidad demandada en Cartagena respecto del precio. La derivada de esta cantidad respecto de p es -2. -2 por el precio entre la cantidad. Si recordáis, el precio y la cantidad en Cartagena son 15 y 20. Un precio de 15 partido por una cantidad de 20. Y esto es igual a 30, a menos por menos más. 2 por 15, 30 entre 20, 30 entre 20 es 1,5.
Bueno, como podéis ver, la elasticidad en Roma es mayor que la elasticidad en Cartagena en el equilibrio. Es decir, en el en el equilibrio del monopolista, en el resultado del monopolista en en Roma, la gente responde más ante variaciones en el precio. Es decir, si el monopolista sube un 1% el precio, la cantidad que vendería disminuiría un 2%. Eso es menos fuerte en Cartagena, donde la gente no respondería tanto ante las variaciones en el precio. Por tanto, al ser más inelástica la demanda en Cartagena, lo que tenemos es que el monopolista tiene mayor poder de mercado. Como la gente responde menos a las variaciones en el precio, el monopolista va a tener una capacidad para subir el precio por encima, eh, va a tener mayor capacidad para subir el precio que en el otro mercado.
El índice de Lerner, si a partir de la fórmula, la fórmula de la elasticidad es un partido por la elasticidad de la demanda, que en este caso, pues será 1/2, que es 0,5. En Cartagena, lo mismo, el índice de Lerner, pues será 1 partido por la elasticidad de la demanda, que será en este caso 1 entre 1,5, que esto es lo mismo que 2/3, es 0,67. Bueno, el poder de mercado, como veis, en Cartagena es mayor, asociado a una mayor elasticidad de la demanda, que en que en Roma, asociado a una menor elasticidad de la demanda. Como podéis ver, el índice de Lerner calculado como la inversa de la elasticidad o calculado como lo hemos hecho antes con como los márgenes, pues nos da exactamente lo mismo. Son dos formas distintas de calcular una misma magnitud.