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Hola y bienvenidos a otro vídeo de Mate Fácil. En este vídeo vamos a resolver este ejercicio que fue el que le dejé al final del vídeo anterior. Nos pide calcular 1 + i elevado a la N para diferentes valores de N.
Cuando N vale 0, 1, 2, etcétera, y así diferentes valores. Claro que una manera de resolver este ejercicio podría ser aplicar la fórmula del binomio de Newton, pero esa manera de hacerlo es bastante tediosa y bastante larga. Hay una manera mucho más simple de resolver este ejercicio y es la que voy a mostrarles en este vídeo.
Vamos a empezar elevando al exponente cero. Bueno, igual que ocurre con los números reales, cuando nosotros elevamos algo al exponente cero, eso nos da uno. Entonces, 1 + i al acero simplemente es uno. Bueno, y si elevamos al exponente uno, también igual que los números reales, elevar a exponente uno nos deja la misma cantidad, nos deja uno más i. Entonces, realmente estos dos casos pues eran muy simples.
Ahora, cuando elevamos al exponente dos, 1 + i al cuadrado. Vamos a desarrollar el binomio al cuadrado, recordando la regla que es el primer término al cuadrado más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado más el segundo término al cuadrado. Entonces nos queda lo siguiente: 1 al cuadrado más el doble producto de 1 por i, o sea, 2i, más el cuadrado del segundo término. Aquí hay que recordar que i al cuadrado nos da menos uno. Y aquí este uno con este menos uno se hace cero y simplemente nos queda 2i.
Este resultado es el que nos va a ayudar a calcular varias de estas potencias porque fíjense que ahora para elevar 1 + i al cubo, podríamos también desarrollarlo como un binomio al cubo, pero podemos ahorrarnos bastante si hacemos lo siguiente. Igual que ocurre con los números reales, podemos aplicar aquí algunas leyes de exponentes. En este caso, 1 + i al cubo lo vamos a separar como 1 + i al cuadrado por 1 + i. Entonces, este 1 + i al cuadrado por lo que estuvimos aquí arriba nos da 2i. Así que hay que multiplicar el 2i que nos queda aquí de resultado por 1 + i. Multiplicamos 2i por uno, nos da 2i, y 2i por i, como i por i es menos uno, por dos, nos queda menos dos. Ya tenemos entonces 1 + i al cubo sin necesidad de haber desarrollado binomio al cubo.
Claro que de la misma manera podemos desarrollar ahora 1 + i a la cuarta. Lo separamos como 1 + i al cuadrado por 1 + i al cuadrado. Y cada 1 + i al cuadrado nos da 2i. Así que hay que multiplicar 2i por 2i. Dos por dos nos da cuatro, y i por i nos da menos uno. Así que aquí nos queda como resultado menos cuatro.
Y si elevamos 1 + i a la quinta. Bueno, en este caso podemos separarlo de varias maneras. Podríamos separarlo como 1 + i al cubo por 1 + i al cuadrado y multiplicar esto de aquí, pero también podemos hacerlo mucho más fácil todavía. Si lo separamos como 1 + i a la cuarta por 1 + i, porque el 1 + i a la cuarta nos da menos cuatro, y simplemente había que multiplicar el menos cuatro que nos queda aquí por uno más i. Al multiplicar menos cuatro por uno queda menos cuatro, y menos cuatro por i queda menos cuatro i.
Ahora, 1 + i a la sexta. En este caso vamos a separar como 1 + i a la cuarta por 1 + i al cuadrado. Esto de aquí nos da menos cuatro, esto de aquí nos da dos i. Menos cuatro por dos nos queda menos ocho. Así que el resultado es menos ocho.
Y 1 + i a la siete. Lo podemos hacer como 1 + i a la sexta por 1 + i. Y uno más i a la sexta es el que acabamos de calcular aquí arriba que nos dio menos ocho i. Y simplemente hay que multiplicarlo por uno más i. Entonces multiplicamos y nos queda esto de aquí. Aquí simplemente menos ocho i por uno queda menos ocho i, y menos ocho i por i es menos ocho i al cuadrado. Como i al cuadrado es menos uno, menos ocho por menos uno nos da más ocho.
Uno más i a la octava. Podemos separarlo de muchas maneras, pero una muy fácil pues es separarlo como uno más i a la cuarta por uno más i a la cuarta, porque eso nos da menos cuatro. Y simplemente hay que multiplicar menos cuatro por menos cuatro, que nos da dieciséis positivo.
Y uno más i a la novena. Lo podemos separar como uno más i a la octava por uno más i, que es multiplicar el dieciséis que nos quedó del uno más i a la ocho por uno más i. Al multiplicar obtenemos esto de aquí. Bueno, hasta ahí hemos calculado del cero al nueve, pero el ejercicio también nos pide calcular las potencias 10, 25, 50 y 100. Claro que para calcularlas no hace falta ir calculando todos así como yo lo hice aquí. Vamos a poder simplificar bastante aplicando leyes de exponentes.
Vamos a desarrollar ahora uno más i a la diez. Y vamos a utilizar el resultado del cuadrado que estuvimos antes, por eso lo dejé por aquí. Uno más i a la diez podemos separarlo de varias maneras utilizando resultados que vimos antes, pero vamos a hacerlo de otra forma aplicando otra de las leyes de exponentes. En este caso, esto lo podemos separar como uno más i al cuadrado, todo elevado a la quinta, porque recuerden que cuando tienen una potencia elevada a otro exponente, los exponentes se multiplican y aquí dos por cinco nos daría diez. Entonces, simplemente estamos separando el diez como dos por cinco, adentro dejamos el exponente dos y afuera dejamos el cinco. Y entonces esto equivale a elevar 2i, que es el resultado de lo que está aquí adentro, elevarlo a la quinta. Y esto ya sabemos hacerlo. Simplemente aplicamos el exponente a cada término. Nos queda 2 a la quinta, que es multiplicar 2 por 2 por 2 cinco veces, eso nos da como resultado 32. Y también hay que elevar i a la quinta. Esto ya lo vimos en un vídeo anterior cómo calcular diferentes potencias de i. Si no ha visto ese vídeo, los invito a que lo vean. En la descripción de este vídeo pueden encontrar el enlace al curso completo. Bueno, y a la quinta, de todas formas, voy a desarrollar por aquí un poquito. Y a la quinta lo podemos separar como i a la cuarta por i. Y aquí no hay que olvidar es que i a la cuarta vale uno. Esto es así porque i a la cuarta se puede separar como i al cuadrado por i al cuadrado, y como sabemos, i al cuadrado es menos uno, así que menos uno por menos uno nos da uno positivo. Por eso i a la cuarta es uno. Y por i, pues uno por i, así que i a la quinta es lo mismo que i. Por eso esto lo podemos escribir como 32i. Así que siempre que tengamos alguna potencia de i, es conveniente realizar la operación y recordar que nos puede quedar alguno de cuatro posibles resultados. Cualquier potencia entera de i nos puede dar o bien i, como fue en este caso que i a la quinta es i. A ver, si nos puede quedar uno, como i a la cuarta, que es uno. También nos puede quedar menos uno, como cuando elevamos a i al cuadrado. O también nos puede quedar menos i, que es resultado de elevar i al cubo, por ejemplo.
Bueno, vamos ahora a calcular esta potencia a 25. Uno más i a la 25. Bueno, en este caso podemos hacerlo de esta manera. Lo separamos como uno más i a la 24 por uno más i. Lo hacemos así porque ahora este uno más i a la 24 podemos expresarlo como uno más i al cuadrado y todo elevado a la 12, y el resultado por uno más i que tenemos aquí. Esta es una manera de hacerlo. Claro que puede haber bastantes más. De hecho, yo los invito a que ustedes intenten hacerlo de diferentes maneras y vean que llegan al mismo resultado. Uno más i al cuadrado nos queda 2i. Entonces tendremos que elevar 2i a la 12. Todavía, igual que hicimos aquí arriba, pues aplicamos el exponente a cada lado. Nos queda entonces 2 a la 12 por i a la 12. Y hay que calcular i a la 12. Tranquilo que vamos a recordar una regla que mostramos en el vídeo, que es que cuando elevamos i a un múltiplo de cuatro, el resultado siempre es uno. Como el 12 es un múltiplo de cuatro, porque es lo mismo que 3 por 4, entonces i a la 12 vale uno. Así que simplemente nos queda 2 a la 12, que nos da 4096. Y hay que multiplicarlo todavía por uno más i. Y al multiplicar, pues nos queda eso de aquí.
Ahora vamos a calcular 1 + i elevado a exponente 50. Eso lo vamos a hacer de esta manera: uno más i al cuadrado y luego al exponente 25. Uno más i al cuadrado nos da 2i. Hay que elevarlo a la 25. Nos queda 2 a la 25 por i a la 25. Y calculamos i a la 25. I a la 25 se puede separar como i a la 24 por i. Y como el 24 es un múltiplo de cuatro, esta parte nos da uno. Y uno por i nos queda simplemente i. Así que aquí nos queda i. Y 2 a la 25. Bueno, podemos dejarlo indicado si no queremos escribir todo el número que implica. No podemos hacerlo en una calculadora y nos da toda esa cantidad de aquí.
Ahora vamos a calcular 1 + i al exponente 100. Esto lo hacemos ahora utilizando el resultado que vimos para el exponente 4. Es una manera de hacerlo. Claro que también podríamos ponerlo como uno más i al cuadrado elevado a la 50 y tendríamos que llegar al mismo resultado. Pero yo lo voy a hacer de esta manera, como uno más i a la cuarta elevado a la 25, porque 4 por 25 nos da 100. Y el uno más i a la cuarta nos da menos cuatro. Así que nos va a quedar menos cuatro elevado a la 25. Hacemos el desarrollo o simplemente dejamos indicado la potencia. En este caso, también hay que recordar que cuando elevamos un número negativo a un exponente impar, el resultado es negativo. Así que eso también lo podemos poner así, sin los paréntesis, con esto estamos indicando que esta potencia, el resultado que nos da es negativo. Bueno, podemos dejarlo entonces indicado o hacerlo en una calculadora y en este caso nos daría toda esta cantidad.
Bueno, esos son los casos para estos exponentes. Ahora vamos a dar una fórmula general para exponente N, para dos casos: cuando el exponente es par o cuando el exponente es impar.
Bueno, vamos a calcular entonces uno más i a la N, ahora para cualquier exponente N, empezando por el caso cuando el exponente N es un número par. Un número par se puede representar como un número de la forma 2K, donde K es un número entero positivo, 1, 2, 3, etcétera. Por ejemplo, si K valiera uno, pues aquí tendríamos 2 por 1, que es 2, es un número par. Si K valiera dos, pues nos quedaría 2 por 2, que es 4, que es par. Ustedes pueden verificar que para cualquier entero positivo K, 2 por K, pues el resultado siempre es par. Por eso podemos expresarlo de esta manera. Entonces, estamos calculando uno más i a la N, que es lo mismo que uno más i a la 2K. Si N es par, y aquí lo que podemos hacer es la separación que vimos en los últimos ejercicios, de ponerlo como uno más i al cuadrado y todo eso elevado a exponente K. Uno más i al cuadrado, como vimos antes, es 2i. Y entonces nos queda 2i elevado a la K, que es lo mismo que 2 a la K por i a la K. Hasta aquí podemos llegar, porque en realidad el valor de esta expresión depende del valor de K. Como ya hemos visto, dependiendo del valor de K, la potencia de i nos puede dar i, 1, menos 1, o menos i. Entonces, hasta aquí lo dejamos.
¿Qué pasa si N es impar? Bueno, para empezar, un número impar se puede expresar como un número par más uno, porque siempre que a un número par le sumamos uno, lo que obtenemos es un impar. Así que esto lo podemos expresar entonces como 2K más uno, para valores de K enteros positivos. Por ejemplo, si K vale digamos 5, bueno, nos quedaría aquí 2 por 5, 10, más 1, 11, qué es un número impar. Entonces, en este caso, uno más i a la N, no podemos poner como uno más i elevado al exponente 2K más uno. Lo podemos separar como uno más i elevado a 2K por uno más i. Y el uno más i a la 2K, aquí lo tenemos arriba, es 2 a la K por i a la K. Entonces lo ponemos, y luego simplemente multiplicamos aquí, y nos queda esa expresión, que también va a depender del valor de K.
En el siguiente vídeo vamos a hablar acerca de campos ordenados. En realidad, lo que voy a mostrar es que no se puede definir un orden en el campo complejo que extienda al orden de los números reales. Recuerden que los números reales nosotros podemos decir siempre si un número es mayor que otro. Siempre que nos dan un par de números reales, ocurre una de tres cosas: o el primero es mayor que el segundo, o los dos son iguales, o el primero es menor que el segundo. Siempre vamos a poder dar una relación de orden entre los números reales. Entonces, por ejemplo, el 5 y el 2, o sabemos que el 5 es mayor que 2. Entre -7 y el 4, sabemos que -7 es menor que 4, porque cualquier negativo es menor que un positivo. Entre pi y raíz cuadrada de 2, sabemos que pi vale más que la raíz de 2. Más fácil ver esto con los números decimales, porque este sería 3.14 más decimales y este es 1.4 más decimales. Entonces por eso es mayor. Pero por ejemplo, ¿qué pasa con los números complejos? Si tenemos el número 3 - 12i y el número 1 + 5i, ¿podemos decir que este es menor que este con el orden de los números reales, o podemos decir que es mayor? ¿Cuál va a ser la regla en este caso? Bueno, pues lo que vamos a ver en el siguiente vídeo es que en realidad no podemos extender el orden de los números reales para incluir a los números complejos. Eso hace que los números reales sigan teniendo muchísima importancia, a pesar de que los números complejos son un conjunto con más números que nos puede ayudar a resolver ecuaciones que no se pueden resolver con números reales. Los números reales tienen importancia porque tienen esta relación de orden. Y para explicar eso, vamos a preguntarnos si el número i es un número positivo o un número negativo. Si existiera la relación de orden que existe en los números reales, como el cero es bueno, un número real y por lo tanto un número complejo igual, deberíamos poder comparar el número i con el número cero para decir si el i es positivo o es negativo. Y vamos a ver que ninguna de las dos cosas es posible, lo cual nos va a decir que no existe ese orden dentro de los números complejos. Entonces, los invito a que miren el siguiente vídeo para que entiendan mucho mejor todos estos temas.
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