4 tétel: A matematikai logika elemei. Logikai műveletek.

A matematikai logika elemei: logikai műveletek, állítás és megfordítása, szükséges és elégséges feltételek bemutatásuk tételek megfogalmazásában és bizonyításában.

Feletemben beszélek a matematika logika tárgyáról, fogalmáról, a logikai műveletekről, állításról és annak megfordításáról, és a végén az alkalmazásokról. Az emberi tevékenység megkönnyítése sok tudományág kialakulásának kiindulópontja volt. Miután az emberek megalkották a tevékenységüket megkönnyítő eszközöket, utána fordultak a gondolkodás felé. Ahhoz, hogy ez matematikailag leírható legyen, szükség volt matematikai modellek megalkotására. Ezen folyamat során alakult ki a matematikai logika. Ennek egyik fontos ága az ítéletkalkulus. Ezzel foglalkozunk ebben a felületben.

Az ítéletkalkulus alapvető fogalmai közé tartozik a kijelentés vagy állítás. Ez olyan kijelentőmondat, amelyről egyértelműen el lehet dönteni, hogy igaz vagy hamis. A logikai érték az állítás igazságtartalma, ami lehet igaz vagy hamis. Definiáltunk olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a kijelentések vagy állítások halmaza, az értékkészlete pedig az igaz illetve hamis érték. Ha egy „a” állítás logikai értéke igaz, akkor azt így jelölhetjük: a = I-vel; illetve ha egy „b” állításé hamis, akkor |b| = H-val. Szokták az igaz értéket eggyel, a hamis értéket pedig nullával jelölni.

Elláthatunk állításokat tagadó szóval, vagy összekapcsolhatunk állításokat kötőszóval. Ekkor logikai műveleteket kapunk. A logikai műveleteket úgynevezett igazságtáblázattal adjuk meg. Nézzünk ezekre konkrét példát. Az első a negáció. Itt látható a negáció igazságtáblázata. Az igazságtáblázat a benne szereplő ítéletek logikai értékétől függően adja meg a művelet eredményének logikai értékét. Egy „a” állítás negációja vagy tagadása az az állítás, ami pontosan akkor igaz, amikor az „a” hamis, és pontosan akkor hamis, amikor az „a” igaz.

A negációval kapcsolatosan megfogalmazhatunk három tételt. Az első: a tagadás tagadása, vagyis egy állítás tagadásának tagadása egyenlő az állítással. Ezt az igazságtáblázat alapján elég könnyen végig lehet gondolni. Ha nem tagadjuk, akkor a hamisból igaz lesz, az igazból pedig hamis, és így visszakapjuk az eredeti állítást. Következő fontos tétel a negációval kapcsolatosan az ellentmondásmentesség elve, amely azt mondja ki, hogy egy állítás és tagadása nem lehet egyszerre igaz. A harmadik tétel pedig a harmadik kizárásának elve, amely kimondja, hogy egy állítás és tagadása nem lehet egyszerre hamis. Két „a”-tól és „b”-től függő állítás akkor és csak akkor igaz, ha a két állítás, „a” és „b”, minden lehetséges logikai értéke esetén ugyanazt a logikai értéket veszi fel. Ezt ki fogjuk használni a továbbiakban különböző tételek bizonyítására.

Először nézzünk néhány kétváltozós műveletet. A negációról, amiről az előbb beszéltünk, egyváltozós logikai művelet. Most nézzünk kétváltozós logikai műveleteket. Ezek közül az első a logikai VAGY, a diszjunkció. Mint ahogy az igazságtáblázat is mutatja, két állítás diszjunkciója akkor és csak akkor igaz, ha valamelyik állítás igaz, különben hamis. Következő kétváltozós művelet a konjunkció, vagy más néven logikai ÉS. Két állítás konjunkciója az az állítás, ami akkor és csak akkor igaz, ha mindkét állítás igaz, különben hamis. A diszjunkciót azt a két állítás közé írt „V” betűvel, a konjunkciót pedig a két állítás közé írt fordított „V” betűvel jelöljük.

A diszjunkciónál és a konjunkciónál is léteznek műveleti tulajdonságok. Ezek a következők: kommutatív mind a kettő, azaz a V b = b V a-val; hasonlóan a ∧ b = b ∧ a-val. Asszociatív mindkettő, vagyis a V (b V c) = (a V b) V c; hasonló felírható az ÉS-re, vagyis a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c. Disztributív a diszfunkció a konjunkcióra nézve, illetve a konjunkció a diszjunkcióra nézve, vagyis a V (b ∧ c) = (a V b) ∧ (a V c); és hasonlóan a ∧ (b V c) = (a ∧ b) V (a ∧ c). Megfogalmazhatjuk a De Morgan azonosságokat is, vagyis ¬(a V b) = ¬a ∧ ¬b; illetve ¬(a ∧ b) = ¬a V ¬b. Ha egy állítást VAGY-gyal kapcsolunk össze önmagával, akkor az állítást kapjuk; ha ÉS-sel, akkor ugyancsak az állítást kapjuk. Ezenkívül az állításnak és tagadásának a VAGY-gyal való összekapcsolásával egy igaz állítást kapunk; az állításnak és tagadásának az ÉS-sel való összekapcsolásával pedig hamis állítást.

Következő kétváltozós művelet az implikáció. Az implikáció a „ha a, akkor b” állítás, ami pontosan akkor hamis, amikor az „a” igaz és a „b” hamis, különben igaz. Jelölése: a → b. Ezzel kapcsolatosan megfogalmazhatunk egy tételt, hogy az „a” és „b” állítás implikációja azonosan egyenlő a ¬a V b állítással. Ezt igazságtáblázattal bizonyíthatjuk. A ¬a V b igazságtáblázata megegyezik az a → b igazságtáblázatával, hisz pontosan akkor hamis, ha az „a” igaz és a „b” hamis, különben igaz. Ebből következik, hogy a két állítás megegyezik egymással, vagyis az implikáció azonosan egyenlő a ¬a V b-vel.

A következő kétváltozós logikai művelet az ekvivalencia. Az „a” és „b” állítás ekvivalenciája pontosan akkor igaz, ha mind a két állítás igaz, vagy mind a két állítás hamis, különben hamis. Az „a” és „b” állítás ekvivalenciájával kapcsolatosan be lehet bizonyítani az alábbi tételt: az a ≡ b azonosan egyenlő azzal, hogy (a → b) ∧ (b → a).

Ezek után foglalkozunk az állítás és megfordításával, a szükséges és elégséges feltételekkel. Ha az „a” állítás igazságából következik a „b” állítás igazsága, akkor azt mondjuk, hogy az „a” állítás a „b” állítás elégséges feltétele, illetve hogy a „b” állítás az „a” állítás szükséges feltétele. Például nézzük a következőt: ha egy négyszög rombusz, akkor átlói merőlegesek egymásra. Itt az „a” állítás: a négyszög rombusz; a „b” állítás: az átlók merőlegesek egymásra. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy annak, hogy egy négyszög átlói merőlegesek legyenek egymásra, elégséges feltétele az, hogy a négyszög rombusz legyen; illetve ha egy négyszög rombusz, abból szükségképpen következik, hogy az átlói merőlegesek egymásra. Kérdés, hogy ez a tétel megfordítható-e? Ez alatt azt értjük, hogy megcseréljük a „b” és az „a” állítást, vagyis a „b” állításból következik-e az „a” állítás. Ezt úgy fogalmazhatjuk meg jelen esetben: ha egy négyszög átlói merőlegesek egymásra, akkor a négyszög rombusz. Ez nyilván nem igaz, és ilyenkor elég csak egy ellenpéldát mutatni. Például fölveszünk két szakaszt, ami merőleges egymásra, legyen az „a” és „b”, és ezek végpontjai meghatároznak egy négyszöget, ami láthatóan nem rombusz, mert az oldalai nem egyenlőek. Ugyanakkor vannak olyan állítások, amik megfordíthatók. Erre jó példa a Pitagorasz tétel, és a továbbiakban ezt kimondjuk, bebizonyítjuk a megfordítását is, bebizonyítjuk és megfogalmazzuk az ehhez tartozó szükséges és elégséges feltételt is.

Pitagorasz tétel és a tétel megfordítása.

Pitagorasz tétel: Bármely derékszögű háromszögben a két befogó hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével. Nézzük a tétel bizonyítását. A Pitagorasz tételre egy rövid, egyszerű, elegáns bizonyítást adunk a befogótétel felhasználásával. Vegyünk föl egy derékszögű háromszöget, és húzzuk be az átfogóra merőleges magasságot. Legyen az átfogója két végpontja A és B, a derékszögű csúcs C. A behúzott magasság talppontja legyen T. Szokásos jelöléseknek megfelelően a befogók a és b, az átfogó pedig c hosszúságú legyen. Az AT szakasz x, a TB szakasz y. A befogótételből tudjuk, hogy a befogó négyzete = y * c (az átfogóra eső merőleges vetületének, tehát az x-nek és az átfogónak a szorzatával). Hasonlóan a befogó négyzete = y * c (az átfogóra eső merőleges vetületének, tehát y-nak és az átfogónak a szorzatával). Ezekből következik, hogy a két befogó négyzetösszege: a² + b² = x * c + y * c = c * (x + y) = c². Ezzel a Pitagorasz tételt bebizonyítottuk.

Pitagorasz tétel megfordítása: Ha egy háromszög két oldalhosszának a négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának a négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. A két kisebbik oldal a két befogó, a legnagyobb az átfogó. Nézzük a tétel bizonyítását. Először vegyünk föl egy háromszöget, melynek oldalairól tudjuk, hogy két oldal hosszának a négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának a négyzetével. Tehát az ABC háromszögről tudjuk, hogy a² + b² = c². Most vegyünk fel egy A', B', C' derékszögű háromszöget, amelynek két befogója legyen a és b, az átfogóját jelöljük c'-vel. Mivel ez a háromszög derékszögű, ezért Pitagorasz tételét felírhatjuk a háromszög oldalaira, vagyis teljesül, hogy a² + b² = c'². Mivel a² + b² = c², másrészt a² + b² = c'², ezért ebből a két egyenlőségből következik, hogy c² = c'², és mivel pozitív számokat emeltünk négyzetre, ezért c = c'. Ebből következik, hogy a két háromszög oldalai páronként egyenlőek. Emiatt az ABC háromszög egybevágó az A'B'C' háromszöggel, és mivel az A'B'C' háromszögre teljesül, hogy a B'C'A' szöge 90 fok, ezért az ABC háromszögben is az ACB szög 90 fok. Tehát az ABC háromszög derékszögű. Ezzel Pitagorasz tételének megfordítását beláttuk. Most már megfogalmazhatjuk Pitagorasz tételét és annak megfordítását együtt: Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha két oldal hosszának a négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának a négyzetével.

Alkalmazások: Definíciók, tételek pontos kimondására alkalmazzuk, tétel és megfordítása megfogalmazására, bizonyítási módszerekben, például az indirekt bizonyításban, ahol az állítás tagadásáról bebizonyítjuk, hogy hamis; ebből következik, hogy az állítás igaz. Itt az ellentmondásmentesség elvét alkalmazzuk. Használjuk a logika elemeit a kombinatorikában, a valószínűségszámításban, halmazelméletben, ahol a logikai műveletek megfelelnek a különböző halmazelméleti műveleteknek; például az ÉS a metszetnek, a VAGY az uniónak, a negáció a komplementernek. Használják a logika elemeit az informatikában, illetve egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásánál törekszünk az ekvivalens átalakításokra; tehát ott is megjelennek a logika elemei. Ezzel a feleletemet befejeztem.