Transcription
[zene] Helló srácok, Roman vagyok, kvantitatív kutató és kereskedő, a Quankon Guild alapítója. Ma arról fogunk beszélni, hogyan árazza a Goldman Sachs a variancia swapokat. Kezdem egy rövid áttekintéssel arról, mi is az a variancia swap, hogyan működik a kifizetése, mit jelent hosszú vagy rövid pozíciót felvenni ebben a konkrét termékben. Rövid említést teszek néhány kritikus megjegyzésről a variancia swap kapcsán, a történetétől a diszkretizációig és a gyakorlati megvalósításig, majd pedig arra összpontosítunk, hogy stochasztikus kalkulus és a Carmadden replikációs tétel segítségével explicit módon levezessük ennek a konkrét terméknek, a variancia swapnak a kockázatmentes árát. Ha szeretnéd követni az írott jegyzeteket, a leírásban alább találod a linket a jegyzetekhez, amelyeket használok ehhez a megbeszéléshez. Ezeket fel fogom tenni a Quank könyvtárba a GitHubon is, ahol megtalálod az összes előadásjegyzetemet, Jupyter notebookomat, a hozzájuk tartozó YouTube videókat, és az összes forráskódot a Quant építményeimhez. Továbbá, ezeknek a videóknak az elkészítése rengeteg erőfeszítést igényel. Tehát, ha szeretnél segíteni a csatorna támogatásában, hogy továbbra is készíthessek hasonló videókat, kérlek, kedvelj, kommentelj, iratkozz fel, oszd meg. Ez rengeteget segít nekem. Mindig nagyra értékelem. És ha szeretnéd elsajátítani a kvantitatív készségeidet, nézd meg a quant.com oldalt. Talán üzleti, közgazdasági, számítástechnikai háttérrel rendelkezel, és nem vagy biztos benne, hol kezdj hozzá a kvant útmutatáshoz. Talán törekvő kvant vagy, vagy dolgozó szakember, aki szeretné élesíteni ezeket a technikai készségeket, vagy akár átállni a kvant területre. Mindenesetre a Quant Guild neked való. Több mint 90 kvant leckét kínálunk matematikából, valószínűségszámításból, pénzügyből, egy adaptív gyakorlórendszert, amely a készségszintedhez igazodik, így egyre nehezebb témákba haladhatsz elő gamifikált, rangalapú fejlődéssel. Több mint 100 óra előadásanyag, olyan témák, amelyeket egy pénzügyi mérnöki mesterképzésen is megtalálnál, de az ár töredékéért. Tehát, ha szeretnél segíteni a csatorna támogatásában és elsajátítani a kvantitatív készségeidet kereskedési és piaci pozíciókhoz, nézd meg a quankild.com oldalt. Minden további nélkül, kezdjük azzal, hogy megvitatjuk ezt a variancia swap ötletet. Mi is az a variancia swap? Nos, ez egyszerűen egy határidős szerződés az évesített varianciára egy adott mögöttes eszközön. Mi az a határidős szerződés? Nos, egy határidős szerződés egyszerűen meghatároz egy lejárati dátumot és egy szállítási árat. Ha én vagyok a szerződés hosszú pozíciója, akkor lejáratkor köteles vagyok megvásárolni a szállítási áron. Ha én vagyok a szerződés rövid pozíciója, akkor köteles vagyok eladni a szállítási áron. Nos, a mögöttes eszköz nem búza vagy marha. Ebben az esetben ez variancia lesz. Tehát, amikor hosszú vagy rövid pozíciót szeretnék felvenni egy variancia swapban, meghatározom a szállítási árat vagy az implikált variancia strike-ot. Ez lényegében az, ami K. Ez lesz a piac legjobb becslése arról, hogy mekkora lesz a realizált volatilitás a variancia swap élettartama alatt. Nos, természetesen valami egészen más fog történni, és ez lesz az, amit ténylegesen realizálunk. Ez lesz a realizált részvényvariancia. A variancia swap kifizetésének meghatározásához lejáratkor, kivonjuk a különbséget, a különbséget a szerződés élettartama alatt ténylegesen realizált variancia és az implikált variancia strike között. Ha a realizált variancia nagyobb, mint az implikált variancia, akkor ez pozitív lesz. Ha én vagyok a szerződés hosszú pozíciója, akkor lényegében a megvásárolhatom az implikált variancia strike-on, eladhatom a realizált részvényvariancián. Lényegében csak ezt a különbséget gyűjtöm be, és a kifizetésem természetesen a volatilitási pontonkénti nominális összeg határozza meg, attól függően, hogy mekkora volt a pozícióm ebben a konkrét variancia swapban. Nos, ne feledd, hogy valójában nincs semmi, amit át kellene adni. Ez egyszerűen csak pénzmozgás lesz. Nos, ha a realizált részvényvariancia kisebb, mint az implikált variancia strike, akkor ez negatív lesz. Ha hosszú pozícióm lenne, akkor kénytelen lennék megvásárolni a magasabb implikált variancia strike-on, és eladni az alacsonyabb realizált részvényvariancián, természetesen a volatilitási pontonkénti nominális összeghez képest, ami a pozícióm mérete ebben a variancia swapban, és veszteséget realizálnék, negatív pénzmozgást. Ha rövid pozíciót vettem volna fel, akkor ez a két pénzmozgás megfordulna. Ez lényegében, mit jelent hosszú vagy rövid pozíciót felvenni egy variancia swapban. Ha hosszú vagyok, akkor azt akarom, hogy a realizált részvényvariancia tetszőlegesen magasabb legyen, mint az implikált variancia strike. És fordítva, ha rövid vagyok, akkor azt akarom, hogy a realizált variancia alacsonyabb legyen, mint az implikált variancia strike. Akkor a kifizetésem természetesen a pozícióm méretéhez képest fog alakulni ebben a konkrét swapban. Nos, mielőtt továbblépnénk a variancia swapok árazásához, van néhány kritikus megjegyzés. Először is, a kifizetés lejáratkor történik. Ellentétben hasonló termékekkel, mint például a kamatswapok, amelyek a szerződés élettartama alatt realizálhatnak pénzmozgást, ebben az esetben csak lejáratkor realizáljuk a variancia swap kifizetését. És ez a konvexitás érdekes problémája miatt van. Ha a variancia korán az egész szerződés élettartama alatt felugrik, hatalmas kifizetés lehet, de ez nem indokolható a teljes szerződésre realizálandó variancia kontextusában. Tehát e probléma miatt a kifizetés lejáratkor történik. Továbbá, ez technikailag nem egy tiszta volatilitási játék. Ez a variancia additivitásához kapcsolódik a variancia négyzetgyökéhez képest. De ezt részletesebben dokumentálom az előadásjegyzetemben, amelynek linkje a leírásban található, ha szeretnéd megnézni, pontosan mit értek ezen. A Goldman Sachs és a SIBO megvalósítása a VIX esetében a diszkretizációs logika elérhető, de én nem fogom explicit módon tárgyalni ebben a videóban. Nagyon örülnék egy videónak, amely a folytonos formula diszkretizációjának szentelt. Ha van rá érdeklődés, kérlek, jelezd a kommentekben alább. De minden esetre ez is szerepelni fog az előadásjegyzetemben. És meg akartam jegyezni, hogy a teljes történet megértése mindenképpen teljesebb képet fest erről az árazási érvelésről. Szeretnék egy videót szentelni ennek a konkrét terméknek a történetének is, Carm-tól a Goldman Sachs csapatáig és így tovább. Minden tudományos publikáció és asztali jegyzet, jelezd, ha van rá érdeklődés. Írj egy kommentet alább. Tehát mi a célunk itt? Célunk a határidős szerződés, a szállítási ár vagy az implikált variancia strike KVAR méltányos árának meghatározása az évesített varianciára egy adott mögöttes eszközön, a variancia swapon. Ehhez arbitrázs árazási elméletet fogunk használni. Célunk a KVAR kockázatmentes értelemben történő megtalálása. Ehhez először is, mivel derivatív szerződést kereskedünk, feltételeznünk kell néhány dinamikát a mögöttes eszközre. Tehát azt fogom mondani, hogy a mögöttes eszköz ezt a diffúziót követi. Az azonnali hozam egy sodródási komponensre és egy volatilitási komponensre bomlik, ahol a w(t) csak egy standard Brownian mozgás. Nos, mit is keresünk valójában? Nos, az évesített realizált varianciát keressük. Ez egyszerűen a következő integrálként lesz definiálva. Ez 1/T lesz. Az integrál nullától T-ig a négyzetes volatilitásokról az időben, ez formálisan definiálja az évesített realizált varianciánkat a szerződés élettartama alatt a mögöttes folyamathoz képest. Nos, természetesen nem tudunk csak közvetlenül kereskedni varianciával. Ezt meg kell fejeznünk megfigyelhető piaci változókban. Ennek eléréséhez nézzük meg az eredeti árfolyamfolyamat transzformációját. Azt fogom csinálni, hogy definiálok egy f(s_t) függvényt. Ez az s_t részvényárfolyamatunk. És ez egyszerűen a részvényárfolyamat természetes logaritmusa lesz. Nos, geometriai multiplikatív dinamikával foglalkozunk. Ha vesszük a logaritmust, akkor additív dinamikával fogunk foglalkozni. Tehát ez nem szokatlan. Továbbá, ez a transzformáció ténylegesen kielégíti a derivatív követelményt, hogy be tudjuk helyettesíteni a megfigyelhető piaci jellemzőket erre a varianciára. Tehát most, hogy megvan ez a transzformáció a részvényárfolyamatunkra, mit fogunk csinálni? Nos, megnézzük a differenciált. Ez egy időfüggő függvény stochasztikus folyamatának differenciálja. Ez Itô-lemmát fog igényelni. Vegyük észre, hogy nincs explicit időfüggőség. Tehát, ha alkalmazom az Itô-lemmát, akkor d(f(s_t)) marad, ami megegyezik a d(ln(s_t)) kifejezéssel. Ez csak az első deriváltból fog állni az s_t-re vonatkozóan, ds_t, plusz 1/2. Ez a másodrendű tag. A másodrendű derivált az s_t-re vonatkozóan. És természetesen foglalkozni fogunk ezzel a másodrendű taggal, ds_t^2. Szerencsére számunkra az első és a másodrendű derivált nagyon könnyen megtalálható. Ez csak a természetes logaritmus első deriváltja lesz. Ez csak 1/s lesz. És az 1/s deriváltja a másodrendű deriváltunkhoz -1/s_t^2 lesz. Tehát ezek meglehetősen triviálisak megtalálni. De mi a helyzet ezekkel a srácokkal? Nos, ezeket csak a mögöttes dinamikánk fogja megadni. Tehát tudjuk, hogy ds_t = mu_t * s_t * dt + sigma_t * s_t * dw_t. De mi a helyzet ds_t^2? Nos, ez az egésznek a négyzete lesz. De mit tudunk a stochasztikus kalkulus szabályairól? Nos, tudjuk, hogy dt^2 nullává válik. Tudjuk, hogy dw_t*dt nullává válik. És tudjuk, hogy dw_t^2, ez természetesen a kvadratikus variációnk. Nem lehet végtelenül sima. Akkumulálni fogja a variációt aszerint, hogy dt-vé válik. Tehát más szóval, amikor ténylegesen kibontom ezt a négyzetet, az első tag négyzete nullává válik, mert a dt^2 nullává válik. A kereszt-tag, két ilyen srác szorzata, nos, az nullává válik, mert a dt*dw_t nullává válik. Mi a helyzet az utolsó taggal itt, amikor ezt az egészet négyzetre emelem? Nos, ez nem válik nullává, mert dw_t^2-et kapok. Tudjuk, hogy ez dt-vé válik. Tehát kiderül, hogy ds_t^2 = sigma^2 * dt * s_t^2 lesz, és a dw_t^2 csak dt-vé válik. Ez lényegében csak az Itô-lemma alkalmazása erre a transzformációra. És akkor megnézzük a mögöttes dinamikánkat, és használjuk a stochasztikus kalkulus szabályait, hogy bizonyos tagokat eltávolítsunk. Most, hogy megvannak ezek a dinamikák, mit veszünk észre? Nos, van ez a variancia tag, ami mindenképpen kívánatos. Piaci megfigyelhető jellemzőket keresünk, amelyeket lényegében be tudunk helyettesíteni ebbe az egyenletbe az évesített realizált varianciára. És úgy tűnik, hogy majdnem ott vagyunk. Tehát most, hogy megvan ez az információ, csak dugjuk vissza ezt a differenciált ide. Tehát lemásolom ezt a srácot. Beillesztem ide. Szerencsére tudjuk, mi minden most. Tehát csak be tudjuk helyettesíteni. Azt fogom csinálni, hogy kezdem az első taggal itt. Tudjuk, hogy a részvényárfolyamatunk log transzformációjának első deriváltja csak 1/s_t lesz. És akkor csak a ds_t differenciál marad. És ez a második komponens csak a transzformációnk, a log transzformációnk második deriváltjából fog állni a részvényárfolyamatra vonatkozóan. És tudjuk, hogy ez csak ennek a srácnak a deriváltja lesz, ami valójában negatív. Tehát kapunk -1/2 * 1/s_t^2. Aztán mi a helyzet a diffúziós komponensünkkel négyzetre emelve? Nos, tudjuk, hogy ez csak azzal a sráccal lesz egyenlő. Használtuk a stochasztikus kalkulus szabályait. Eltávolítottuk a dt^2-et és a kereszt-tagot. A dw_t^2 dt-ként fog viselkedni. Tehát maradunk sigma^2 * t * s_t^2 * dt. Szerencsére ezek a srácok ki fognak esni. És ha emlékszel, ez az egész d(ln(s_t)) volt. Ez volt az, amit egész idő alatt kerestünk, és ezért alkalmaztuk az Itô-lemmát. Itt van a log transzformációnk. Azt keresem, hogy egy időfüggő függvény stochasztikus folyamatának differenciálja. És most ez a kifejezés marad. Ez lesz d(ln(s_t)) = ds_t / s_t - 1/2 * sigma^2 * dt. A célom a variancia izolálása. Oké. Tehát, ha hozzáadom a varianciát, kivonom a transzformációnk differenciálját, akkor 1/2 * sigma^2 * dt marad. Ez egyenlő lesz ds_t / s_t - a log transzformációnk differenciálja. Nos, ez differenciális formában van, de integrálnunk kell a realizált variancia megtalálásához. Ez a célunk. Emlékezz, egy olyan ekvivalensét próbáljuk megtalálni, amely kereskedhető instrumentumokat használ. Tehát, ha lejövök ide, most integrál formában fogom kifejezni. Tehát integrálni fogok 0-tól T-ig sigma^2 * dt. Ez egyenlő lesz, majd a másik oldalt is integrálom. 0-tól T-ig ds_t / s_t - az integrál 0-tól T-ig d(ln(s_t)). Rendben. Tehát mit tudunk valójában megoldani itt? Nos, ezt egészen könnyen megoldhatjuk az alaptétel segítségével. Ha csak az lns_t deriváltját integráljuk a T index szerint, akkor ez csak a logaritmusok különbsége lesz. És a logaritmusok különbsége egyszerűen a logaritmusok arányának különbségévé válik. Tehát ez 1/2 * integrál 0-tól T-ig sigma^2 * dt lesz. Ez egyenlő lesz 0-tól T-ig ds_t / s_t - ez csak ln(s_T) / s_0 lesz. Ha mindkét oldalt megszorozom 2/T-vel, csak minden szorzom 2/T-vel. Mit kapok? Nos, 1/T * integrál 0-tól T-ig sigma^2 * dt. Ez egyenlő lesz 2/T * integrál 0-tól T-ig ds_t / s_t - ln(s_T) / s_0. Nos, miért fantasztikus ez? Nos, mert ez mire hasonlít itt? Ez az évesített realizált varianciánk. Ez V. Most már csak be tudjuk helyettesíteni. És tudjuk, hogy V = 2/T * integrál 0-tól T-ig ds_t / s_t - ln(s_T) / s_0. És lényegében megtaláltuk a módját, hogy az évesített realizált varianciát piaci instrumentumok, olyan dolgok kifejezésére, amelyeket ténylegesen megfigyelhetünk és kereskedhetünk a piacon. Rendben. Még technikailag, miért ez olyan nagy dolog? Nos, lényegében az évesített realizált varianciát egy összetett portfólió fejezi ki, amely folyamatosan újratöltött részvénypozíciót és egy log kifizetésű instrumentum rövid pozícióját tartja. [szipog] És ha ez a helyzet, akkor az arbitrázs árazási elmélet és egy arbitrázsmentes érv használatával, ha megtaláljuk a kockázatmentes elvárást, akkor levezetjük a méltányos árat, a határidős szerződés szállítási árát, a variancia swap implikált variancia strike-ját. Hogy néz ez ki valójában? Nos, csak vesszük a kockázatmentes elvárást. Tehát azt fogom mondani, hogy a KVAR, amit kerestünk, egyenlő lesz V kockázatmentes elvárásával. És ez lesz a kockázatmentes elvárás arról, amit éppen megoldottunk: 2/T * integrál 0-tól T-ig ebből a részvénypozícióból, mínusz ez a rövid pozíció egy log kifizetésű instrumentumban. Rendben. Nos, szerencsére tudjuk, hogy ezen a kockázatmentes mérlegen működünk. Nos, már nincs ez a fogalom a valós világ P mérlegéről, amelyet a mögöttes dinamikánkra javasoltunk. Tehát tudjuk, hogy ahhoz, hogy ezek a dinamikák kockázatmentesek legyenek, ennek a részvénypozíciónak a kockázatmentes kamatot kell keresnie. Az elvárás linearitása miatt megengedett, hogy ezt az elvárást elosszam minden egyes tagra. Ez természetesen nem véletlenszerű. Tehát ami itt történni fog, az a T-re fog menni, lényegében 0-tól T-ig, ha fenntartjuk ezt a folyamatosan újratöltött pozíciót, akkor a kockázatmentes kamatot kell keresnünk. Tehát ez 2/T * r * T lesz, amivé ez az első tag lényegében vált, mínusz a log kifizetés ezen részének kockázatmentes feltételes elvárása. Ha azon gondolkodsz, honnan jött ez az rT, az egyszerűen csak a mérlegváltás. A P mérlegből a Q mérlegbe megyünk. Már nem kompenzálnak minket a kockázat viseléséért. Csak az elvárásban fogjuk keresni a kockázatmentes kamatot R időben 0-tól T-ig. Ez az időbeli különbség egyszerűen T. És ezért maradunk az R és T szorzata. Ez egyszerűen elvárásban a kockázatmentes mérleg alatt. A kockázatmentes kamatot fogjuk keresni. Pontosan ezt sugallja, és ez a mérlegváltás fogalma. Ne feledd, a célunk az, hogy ma megtaláljuk a határidős szerződés kockázatmentes vagy méltányos árát, az implikált variancia strike-ot, a variancia swap szállítási árát, KVAR, és már elvégeztük a munka nagy részét. Megmutattuk, hogy az évesített realizált varianciát egy folyamatosan újratöltött részvénypozíció portfóliójaként tudjuk reprezentálni, amely a kockázatmentes elvárás után egyszerűen a kockázatmentes kamattá válik, amelyet idővel felhalmozunk, mínusz persze lényegében egy rövid pozíció ebben a log kifizetésben. Tehát nem tudjuk közvetlenül kereskedni ezt a log kifizetést. Tehát itt vagyunk, ahol kezdtük, igaz? Szükségünk volt egy módra a variancia kereskedhetővé tehető dolgokban, egy kereskedhető portfólióban történő kifejezésére. Ezt megtettük. Nos, most nem közvetlenül a varianciával foglalkozunk, de nem tudjuk közvetlenül kereskedni ezt a log kifizetést a piacokon. Szerencsére van a Carmaten replikációs tétel, amely kimondja, hogy bármely kétszer differenciálható függvény vagy kifizetési függvény esetében, amellyel itt minden bizonnyal rendelkezünk. Ez a hányados logaritmusa minden bizonnyal kétszer differenciálható, képesek leszünk ezt a kifizetést opciós szerződések sorozatával replikálni. Tehát nézzük meg, hogyan működik ez valójában. Tehát a Carmine replikációs tétel szerint megnézzük a kiterjesztést egy tetszőleges pont körül ehhez a kifizetési függvényhez képest. Tehát ebben az esetben már nem f-fel foglalkozunk, mint transzformációnkkal. f-fel foglalkozunk, mint a kifizetési függvényünkkel. Tehát itt azt fogom mondani, hogy f(s_T) = -ln(s_T / s_star). És ebben az esetben csak egy tetszőleges S* pontot választunk. Tehát most ezzel a kifizetéssel foglalkozunk. Ezt próbáljuk replikálni opciós szerződésekkel. Tehát, ha kibontjuk ezt a tetszőleges S* pont körül, akkor azt kapjuk, hogy ez egyenlő, és ez csak a függvény S*-ban kiértékelt kiterjesztése, plusz az első derivált S*-ban kiértékelve, szorozva természetesen a különbséggel. Eddig egészen standard. Most vannak a putjaink és a calljaink. Lényegében integrálni fogunk 0-tól S*-ig. Ezek a putjaink. A második derivált K-ban kiértékelve. K - s_T pozitív DK. Ez lesz a put komponens. És akkor van a call komponensünk. Tehát S*-tól végtelenig. Ez lesz a call komponensünk. Rendben. Nos, szerencsére ezek meglehetősen könnyen megtalálhatók. A kifizetési függvény kiértékelése specifikus pontokban. Tehát, ha kiértékeljük a kifizetési függvényt mondjuk S*-ban, akkor ezzel a sráccal kezdjük. Kapunk f(S*) = -ln(S* / S*). Ez -ln(1), ami természetesen 0 lesz. Aztán, ha megnézzük az f első deriváltját S*-ra vonatkozóan, akkor -1/S*-ot kapunk. És ha megnézzük a második deriváltat, nem S-ben, hanem K-ban kiértékelve, ami a put és call komponenseinkhez szükséges, akkor 1/K^2-ot kapunk. Rendben. Tehát ez lesz lényegében az együttható mindegyik taghoz itt. Most mindent be tudunk helyettesíteni, és azt kapjuk, hogy -ln(s_T / S*) = elkezdem ezzel a sráccal. Kapunk lényegében csak 0-t. Aztán be kell helyettesítenünk az f'(S*) + a különbséget. Ez csak ez a hányados lesz: -1/S*. Tehát kapunk (s_T - S*) / S*. És ez az egész negatív lesz. Aztán van a put komponensünk, ami 1/K^2 lesz. Az integrál 0-tól S*-ig K - s_T pozitív DK. És akkor van a call komponensünk is, plusz az integrál S*-tól végtelenig 1/K^2 * K - s_T - K pozitív DK. Szuper. Tehát most, hogy megvan ez a reprezentáció lényegében a log kifizetésre, mit próbálunk csinálni? Nos, a kockázatmentes elvárást próbáljuk megtalálni. Tehát vegyük mindkét oldalának a kockázatmentes elvárását az egyenletnek. Tehát amit itt fogok csinálni, lényegében, és talán egyszerűség kedvéért átméretezem, az az, hogy mindkét oldalának a kockázatmentes elvárását veszem ennek az egyenletnek. Tehát azt fogom találni, hogy ez a rövid pozíció, ez a kockázatmentes elvárás a log kifizetésre, képes lesz reprezentálhatóként ezen a jobb oldalon, és minden a jobb oldalon kereskedhető. Lényegében, és ez lehet, hogy egy végtelen sorozat callokból és putokból, de kereskedhetők. Tehát szükségünk lesz néhány kiigazításra a diszkretizációhoz. Persze. De minden esetre ez elméletileg megalapozott. Tehát foglalkozni fogunk a kockázatmentes feltételes elvárásával ennek a srácnak itt. S* egy tetszőleges referencia pont. Tehát ez nem véletlenszerű, és csak s_T-vel foglalkozunk, ami a kockázatmentes dinamika alatt egyszerűen a spot ár lesz, amely elvárásban felhalmozza a kockázatmentes kamatot. Tehát foglalkozni fogunk -S_0, a spot árral, amely a kockázatmentes kamattal fejlődik, mínusz S* / S*. Aztán, amikor vesszük az integrálok kockázatmentes elvárását, mivel foglalkozunk itt? Nos, lényegében csak a putjainkkal és a calljainkkal foglalkozunk. Ha emlékszünk a kockázatmentes elvárásra s_T - K pozitív alatt az általunk feltételezett diffúziós dinamika mellett, ez csak egy call értéke lesz ebben az esetben, vagy ha a strike és az árfolyam közötti különbség lejáratkor. Ez lesz a mi putunk. Tehát valójában csak különböző callokkal és putokkal foglalkozunk. Tehát callokkal és putokkal foglalkozunk különböző strike-okon. Tehát amikor használjuk a linearitást, és elosztjuk ezt a kockázatmentes elvárást ezekre a végtelen sorozatokra a callokból és putokból, ez a végtelen opciósáv, valójában csak azt mondjuk, hogy van callunk és putunk különböző strike-okon, amelyeket fel kell használnunk a log kifizetés replikálásához. És ez teszi ezt a képletet, vagy ezt az integrált, azt kell mondanom, hogy e^rt, és ezt vissza kell diszkontálnunk a jelenbe, vagy figyelembe kell vennünk a diszkontálást előre tekintő módon. Ez a kockázatmentes kamattal fog fejlődni. Integrálni fogunk 0-tól S*-ig 1/K^2. Ez lesz a súlyozás, és ebben az esetben csak a putunk van, tehát ez lesz a put egy adott strike-on, és lényegében integrálni fogunk a strike-okon keresztül, tehát ez a mi put sávunk. Most van a call sávunk. Tehát S*-tól végtelenig fogunk menni 1/K^2, a callok, integrálva a callokon keresztül. Tehát ez lényegében, hogyan jutunk el csak ezekből a kifizetési dinamikákból a tényleges callokhoz és putokhoz a különböző strike-okon, mert ezeknek a kockázatmentes dinamikáknak a mögöttes diffúzióhoz adott, csak callokkal és putokkal foglalkozunk. Ez az, amit ez a max függvény csinál. Végül is, ez csak egy put kifizetés és egy call kifizetés lesz. És nem tudjuk, mi az árfolyam T időben. De a Black-Scholes révén tudjuk, mi az a kockázatmentes értelemben a diffúziós dinamikánk révén. Tehát akkor csak paraméterezhetjük egy K szerint. És ez lényegében minden, amit mondunk. Rendben. Tehát ez valójában ezt a jobb oldalt fogja eredményezni, ez a log kifizetés kockázatmentes feltételes elvárása. Tehát reprezentálhatjuk ezt a portfólióként a spot árral, ezzel a konkrét portfólióval a spot árral, amivel kereskedünk, és egy gyűjtemény. Ez valójában egy végtelen sáv putokból és callokból. Ha mindent összevetünk, látni fogjuk, hogy lényegében replikáltuk az évesített realizált varianciát, mint egy folyamatosan újratöltött részvénypozíció portfólióját. Ezzel a log kifizetéssel nem tudunk közvetlenül kereskedni. Tehát használtuk a Carmaten replikációs tételt. Látjuk, hogy lényegében ezt a log kifizetést egy végtelen sáv callokból és putokból tudjuk reprezentálni. Összekapcsoljuk ezeket a puzzle darabokat. Megkapjuk a kockázatmentes, a méltányos szállítási árat, a variancia swap, KVAR implikált variancia strike-ját. Tehát csak tegyük meg. Összeillesztjük ezeket a darabokat. Mielőtt ezt megtennénk, mert egy tetszőleges S* pontot kaptunk, ezt általánosan tettük, általánosíthatjuk ezt az implikált variancia strike-ot. Ezt megtevéssel csak emlékeznünk kell egy log azonosságra. Ha van ln(s_T / s_0) hányadosom, akkor lényegében szorozhatom S*/S*-tal, ami csak 1. Ha egy kis átrendezést végzek, akkor kapok ln. Ez lesz s_T / S* * S* / s_0. És akkor a log szabályaink szerint ez a szorzat csak az összeadás lesz. Tehát ez lesz -ln(s_T / S*) + ln(S* / s_0). Tehát most már tudjuk, mi minden, és ennek megfelelően be tudjuk helyettesíteni. Tehát tudjuk, hogy KVAR csak egy kis algebrával = 2/T * r*T - s_0 / S* fejlődik a kockázatmentes kamattal - 1 - a természetes logaritmus a S* / s_0 hányadosból 0 + e^rt. Ez lesz a put sávunk. 0-tól S*-ig P(K) súlyozva K^2 DK. És ugyanez a callok esetében. S*-tól végtelenig megyünk, C(K) K^2 DK. És ez lényegében a kockázatmentes ár, a határidős szerződés méltányos ára, a variancia swap. Ha hosszú pozícióban vagyunk ebben a variancia swapban, és a realizált volatilitás magasabb, mint ez a szállítási ár, ez az implikált variancia strike, akkor kifizetést kapunk. De ha a realizált alacsonyabb, és hosszúak vagyunk, akkor elveszítjük a különbséget. És fordítva, ha rövidek vagyunk. Ha átmegyünk az emanuelman.com oldalra, láthatunk egy kvantitatív stratégiai jegyzetet a Goldman Sachs-tól, amelyet 1999-ben publikáltak. Több, mint amennyit valaha is tudni akartál a volatilitási swapokról '99, nagyszerű év. Imádom ezt, de kevesebb mondható el. Lássuk, mit vezetnek le a kockázatmentes variancia swap képletükként. Hasonló módszertant láthatunk itt. Hiszem, hogy ott lenne, tessék. Itt láthatjuk, hogy a jövőbeli variancia méltányos értéke összefüggésbe hozható a 21. egyenlet jobb oldalán álló egyes tagok kezdeti méltányos értékével a 23-25. azonosságok használatával. Megkapjuk, hogy az implikált variancia strike pontosan az lesz, amit itt kaptunk. És ez lényegében az az érv, az az érv, amellyel levezetjük a variancia swap kockázatmentes árát. Ez csak egy határidős szerződés, és természetesen ugyanazt az árat kapjuk. Arbitrázsmentes érv, arbitrázs árazási elmélet használunk az ár előállításához. Ha különböző árakat kapnánk, akkor arbitrázs létezne. Zárjuk egy rövid összefoglalóval és egy minőségi megbeszéléssel arról, hogy ezek a tagok valójában mik. Mi ez az S* tag? Miért végeztük ezt a transzformációt? Miért vettük bele ezt a kiterjesztést, amikor a Carmadden replikációt végeztük erre a log kifizetésre? Nos, hogy a tetejéről kezdjük, csak hogy egy rövid összefoglalót adjunk az érvről, amit keresünk, lényegében a szállítási ár, a méltányos ár, a variancia swap implikált variancia strike-ja. Ez csak egy határidős szerződés. Arbitrázs árazási érvre fogunk támaszkodni. Feltételezzük a standard diffúziós dinamikát. Megtalálhatjuk az évesített realizált varianciát ebben a folytonos integrálban. És először egy log transzformációt fogunk megfontolni az árfolyamon. Miután ezt megtettük, észrevesszük, hogy ha alkalmazzuk az Itô-lemmát, akkor képesek leszünk egy kifejezést kapni a varianciára. És ténylegesen képesek leszünk ezt az évesített realizált varianciát kereskedhető instrumentumokban kifejezni. És itt kapjuk ezt a kifejezést. Lényegében képesek vagyunk izolálni a variancia akkumulációját az időben egy folyamatosan újratöltött részvénypozíció és egy log kifizetés dekompozíciójának használatával. Most vesszük a kockázatmentes elvárást, és megkapjuk a sodródás akkumulációját a kockázatmentes értelemben. Elvárásban csak a kockázatmentes kamatot fogjuk keresni, és egy rövid pozícióban leszünk ebben a log kifizetésben. De a gyakorlatban nem tudjuk közvetlenül kereskedni ezt a log kifizetést. Tehát mit fogunk csinálni, Carmadden-t és a replikációs tételüket fogjuk használni, hogy lényegében egy végtelen sáv callokból és putokból reprezentáljuk. De ha észreveszed, egy tetszőleges S* pontot választottam. Ez tipikusan egy zsanérnak vagy pivotnak nevezett pont. Ez fogja elválasztani a pénzben lévő és a pénzen kívüli callokat és putokat. Más szóval, nem akarok pénzben lévő opciókkal kereskedni. Ezek likvidek. Nehezebbek, drágábbak kereskedni. Likvid, pénzen kívüli opciókkal akarok kereskedni. Ezért vettem bele ezt az S*-ot. Ez általánosság elvesztése nélkül van. Tehát most, ha lejövök ide, alkalmazom a kockázatmentes elvárást, azt találjuk, hogy a log kifizetést ebben a kapacitásban, azt a portfóliót tartva tudjuk reprezentálni. Összeillesztjük a puzzle darabjait. Megjegyezzük, hogy a kívánt log kifizetést lényegében ebben a különbségként tudjuk reprezentálni a zsanér vagy pivot pontjainkhoz képest. És ez a variancia swap árazási képlet marad. Tehát lényegében ezek a kiigazítási tagjaink a zsanérral, a pivot ponttal való működéshez. Ha ezt egyenlővé tennénk a határidős vagy a spot határidős ügyletekkel, akkor csak egy végtelen sorozat, egy végtelen sáv lenne, lényegében pénzben lévő és pénzen kívüli opciókból. Nem lenne kiigazítási tagunk. De ebben az esetben a zsanér lehetővé teszi számunkra, hogy csak a kívánt opciókat válasszuk ki kereskedésre. És ez az, amit ez a jobb oldal lényegében csinál. Ez replikálja a log kifizetést, amely replikálja az évesített realizált varianciát, de megadhatjuk ezt a zsanér pontot itt. Rendben. Nos, tipikusan a VIX és a SIBO megvalósításának kontextusában, ehhez a kiválasztáshoz az első strike-ot fogjuk használni a határidős ügylet alatt. És így választják meg diszkretizált kapacitásban, mert természetesen nem tudunk közvetlenül kereskedni egy végtelen opciósávval. Tehát a valóságban véges számú opciót fogunk használni. Diszkretizálni fogjuk ezeket az integrálokat, és a SIBO által a VIX konstruálásához használt módszertan az S*-ot az első strike-nak fogja tekinteni a határidős ügylet alatt. Ha szeretnél egy videót a variancia swap árazási képlet diszkretizációjáról, nagyon szívesen megtenném. Veghetnénk egy opciós láncot. Előállíthatnánk a variancia swap árát, és aztán talán összehasonlíthatnánk a realizáltal, hogy lássuk, mennyire jól tükrözik az árak a valós volatilitást, és akár a volatilitás teremtő stratégiákról is beszélhetnénk a variancia swapokról. Tehát, ha érdekel, mindenképpen jelezd a kommentekben alább. Egyébként ez lesz minden erre a videóra arról, hogyan árazza a Goldman Sachs a variancia swapokat. Remélem, élvezted. Remélem, tanultál valamit. Ez a videó minden bizonnyal rengeteg erőfeszítést igényelt az elkészítése. Tehát, ha élvezted, és szeretnél többet látni hasonlókat a jövőben, kérlek, kedvelj, kommentelj, iratkozz fel, oszd meg. Ismétlem, ez rengeteget segít nekem. Mindig nagyra értékelem. Nézd meg a quongild.com oldalt, hogy elsajátítsd a kvantitatív készségeidet kereskedési és piaci szerepekhez. Ezen kívül szeretnék nagyon megköszönni a figyelmet, és a következő videóban találkozunk.