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Sylvia, come filosofa della matematica, come affronti quella domanda perenne: la matematica è scoperta o inventata?
Suppongo di affrontarla proprio come tutti gli altri nella filosofia della matematica. Valuto gli argomenti a favore e contro le diverse posizioni. Ehm, ma devo dire che trovo gli argomenti a favore del platonismo matematico molto più convincenti di quelli a favore del nominalismo.
Quali sono gli argomenti da entrambe le parti?
Quindi, ehm, argomenti tipici a favore del platonismo matematico, la visione che gli oggetti matematici esistano realmente, sono che, ehm, prima di tutto, ha un vantaggio semantico, nel senso che possiamo spiegare cosa rende vere affermazioni regolari come "questa gonna è rossa" e un'affermazione come "2 più 2 fa 4". Ehm, ciò che le rende vere è che gli oggetti a cui si riferiscono esistono. Quindi questo è un vantaggio semantico. Ehm, un altro vantaggio del platonismo è che ci offre un modo per spiegare l'efficacia, quasi miracolosa, della matematica nelle scienze naturali.
E penso che questo sia probabilmente il motivo per cui la maggior parte delle persone che hanno questa inclinazione si sentono attratte dal platonismo: questo legame molto stretto con le scienze naturali. D'altra parte, dal punto di vista nominalista, suppongo che l'argomento più forte contro il platonismo sia un argomento contro la necessità della matematica per le scienze naturali. Ad esempio, Quine ha scritto questo libro nel 1980 chiamato "Science Without Numbers" dove ha dimostrato che si poteva fare, si poteva esprimere la teoria gravitazionale newtoniana senza l'uso della matematica, senza fare riferimento a oggetti matematici.
Che la matematica sia più un modello del mondo che un'attualità del mondo.
Giusto, o forse uno strumento per rendere, ehm, l'espressione delle teorie scientifiche più economica, più elegante, ma non un linguaggio descrittivo che si riferisce a oggetti realmente esistenti.
E altri argomenti contro il platonismo.
Ehm, quindi, argomenti linguistici.
C'è, beh, c'è un argomento epistemologico contro il platonismo matematico, ed è il problema di spiegare l'accesso epistemico a quegli oggetti. Quindi, se ci sono oggetti matematici là fuori, come facciamo a sapere cose su di loro, dato che non li percepiamo con nessuno dei nostri cinque sensi. Ehm, e trovare una risposta a questa domanda è forse uno dei problemi più urgenti per i platonisti matematici.
Ma penso che a quella domanda si possa dare una risposta, anche se ciò comporterebbe l'adozione di una forma molto particolare di platonismo matematico, che è la forma pluralista, il platonismo a tutto tondo, come viene talvolta chiamato.
Quindi ci sono diversi livelli di platonismo?
Beh, sì, c'è, ehm, c'è il platonismo riguardo, beh, ci sono platonisti che credono che esista esattamente un universo matematico, il che implica che per ogni affermazione matematica c'è esattamente una risposta univocamente vera o falsa. E questa è una sorta di visione standard della matematica che esiste da molto tempo. E negli ultimi anni, direi negli ultimi 10 o 15 anni, l'idea che la matematica sia in realtà, beh, il cosmo matematico comprende in realtà un multiverso di universi matematici ha preso piede e sta diventando sempre più popolare. E secondo quella visione, il problema dell'accesso epistemico riceve una risposta piuttosto semplice. La risposta è che abbiamo accesso epistemico agli oggetti matematici o alle teorie matematiche comprendendo che quelle teorie sono coerenti. Quindi, per comprendere la coerenza di una teoria, non è necessario avere accesso all'oggetto di cui parla. Devi solo capire la coerenza scritta sulla carta, per così dire.
E il multiverso di universi matematici richiede di usare una coerenza interna per ciascuno per renderlo legittimo.
Esatto. Quindi il modo in cui funziona e il modo in cui non risulta internamente incoerente è che, beh, si guarda sempre solo a un universo alla volta e all'interno del linguaggio matematico non si ha un modo per quantificare sull'intera totalità dell'universo matematico.
E questo è tutto. Il principale sostenitore di questa visione, Joe Hamkins, ha un argomento a favore di questa visione che trovo piuttosto convincente, ed è che ci sono certe domande sulla matematica che sono rimaste irrisolte o indecise per molto tempo. La più famosa è l'ipotesi del continuo, che è l'ipotesi che dice che i numeri reali sono la seconda infinità più grande dopo i numeri naturali, ed è stato uno dei problemi aperti più importanti della matematica e non c'è ancora una soluzione classica ad esso. Ehm, ma ci sono stati molti progressi nella teoria degli insiemi e ora possiamo costruire universi teorici degli insiemi in cui l'ipotesi del continuo vale, alcuni in cui è falsa. E Hamkins sostiene che questo è semplicemente ciò che è. Ecco la tua risposta all'ipotesi del continuo. E trovo quella risposta molto convincente. Ora, alcuni userebbero la, ehm, molteplicità di universi matematici come un modo per minare l'importanza del potere, ehm, irrealistico della matematica nella scienza, perché ci sono così tanti oggetti matematici e modi di pensare là fuori che stiamo selezionando alcuni che comprendono la scienza. Quindi, non è che la matematica sia così totalmente legata alla spiegazione scientifica. Ma, in questo vasto numero transfinito di universi matematici, alcuni lo sono e altri no, e noi scegliamo quelli che lo sono. Quindi questo mina quell'argomento.
Esatto. C'è un'implicazione per l'argomento dell'indispensabilità che il pluralismo matematico ha. Quindi, lasciatemi solo delineare brevemente la struttura dell'argomento dell'indispensabilità. L'idea è di dire, beh, se possiamo dimostrare che la matematica non funziona solo come uno strumento che rende più facile formulare teorie scientifiche, ma se possiamo dimostrare che la matematica contribuisce effettivamente in modo sostanziale alla spiegazione scientifica, allora questa è una ragione molto forte per credere che, sai, la matematica, beh, la matematica esista o che le parti matematiche di una teoria si riferiscano a qualcosa che esiste realmente.
E quindi, con quale grado di fiducia sei una platonista riguardo alla matematica?
Abbastanza fiduciosa, direi.
Quindi, su una scala da uno a cento, dove si colloca "abbastanza fiduciosa"?
Ottantasette.