Transcription
Hola, clase de número 6 de nuestro curso de física. Durante esta clase trabajaremos la aceleración media y aceleración instantánea, basados en el mismo problema del corredor que hicimos la clase anterior.
En una competencia de atletismo, un observador analiza el movimiento de un corredor. La velocidad del corredor varía con el tiempo según la ecuación v = 12 + 0.5t².
a. Determine el cambio de velocidad del corredor entre el tiempo t1 = 1 segundo y el tiempo t2 = 3 segundos.
b. Encuentre la aceleración media en dicho intervalo.
c. Obtenga la aceleración instantánea en los tiempos t1 = 1 segundo y t2 = 3 segundos.
Bien, entonces nuestro corredor, el mismo de la clase anterior. Ahora nuestro observador se da cuenta que él arranca a una velocidad cero, pero cuando va a una velocidad inicial de 12 metros sobre segundo, empieza a tomarle el tiempo. El tiempo es cero cuando él va a 12 metros sobre segundo. Y vamos a determinar su variación de velocidad entre el tiempo t1 = 1 segundo y el tiempo t2 = 3 segundos.
¿Cuál fue el cambio de velocidad basado en esta función velocidad? Se observa que tengo aquí, que además la velocidad en el tiempo es una parábola, porque es una función cuadrática del tiempo. Y al ser una curva, una función cuadrática, nuestra aceleración es variable. Aquí no tengo aceleración constante. Recuerda que la aceleración es la variación de la velocidad en el tiempo.
Entonces, y determinar cuál es el cambio de velocidad, la variación de la velocidad. Este cambio sería la velocidad en el intervalo, en el tiempo t2 menos la velocidad en el tiempo t1. Es decir, la velocidad a un segundo. Aquí estamos a 12, pero entonces vamos a ver cuánto es a un segundo, porque en 0 segundos son 12 metros sobre segundo. En el primer segundo vamos a averiguar cuánto es y a los tres segundos de cuánto es.
Pues entonces, la velocidad para un segundo viene siendo v = 12 + 0.5 * (1)² = 12 + 0.5 * 1 = 12.5 metros sobre segundo. Entonces, esta velocidad es de 12.5, que es la imagen a un segundo de la velocidad que lleva un segundo. Después, la velocidad a los tres segundos, en el tiempo t2, que son tres segundos, sería v = 12 + 0.5 * (3)² = 12 + 0.5 * 9 = 12 + 4.5 = 16.5 metros sobre segundo, que es la velocidad de este corredor. Esta velocidad a los 3 segundos es 16.5 metros sobre segundo.
Por lo tanto, esta velocidad v1 es de 12.5 y esta v2 es de 16.5 metros sobre segundo. Bien, ¿cuál es el cambio de velocidad? Este cambio de velocidad es este delta v, una variación de la velocidad en este intervalo de tiempo, un delta t de 2 segundos. Por lo tanto, esta variación de velocidad, que es la primera pregunta que nos hacen, es delta v. Sería v2 - v1, y la velocidad 2, que es a los tres segundos, es 16.5 metros sobre segundo menos 12.5 metros sobre segundo, que me dan 4. Por lo tanto, mi variación de velocidad de aquí acá son 4 metros sobre segundo. Esa es la primera respuesta.
Ahora, para la parte b, me piden la aceleración media. La aceleración media, recuerda que la aceleración es la variación de velocidad en el intervalo de tiempo. Entonces, la aceleración media en estos dos puntos, en realidad, vamos a determinar la pendiente de esta recta. Esa pendiente de esta recta sería este delta v, que ya lo determinamos, que es de 4 metros sobre segundo, la variación de velocidad de aquí acá entre 1 y 3 segundos, y el delta t, que sería 3 - 1 = 2 segundos. Por lo tanto, me queda 4 / 2 = 2 metros sobre segundo al cuadrado. Esta es entonces la aceleración media entre el punto 1 y el punto 3.
Ahora, la aceleración instantánea, la parte c del problema. Entonces, la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad como función del tiempo. Viene siendo el límite cuando este delta t tiende a cero de la variación de la velocidad en el tiempo. Por lo tanto, ahí estaríamos determinando la pendiente de la recta tangente a la curva en este punto, en un solo punto. Aquí teníamos dos puntos, no hubo problemas, pero aquí en la instantánea hay que derivar, hay que trabajar con el límite.
Por lo tanto, simplemente derivamos acá y volvemos aquí para determinar. Esta aceleración instantánea sería la derivada de la velocidad como función del tiempo, que la derivada de 12 es 0 por ser una constante y 0.5 * 2t me da 1t. Entonces, la aceleración en este caso sería igual al tiempo. Si la aceleración es igual al tiempo, entonces la aceleración para el tiempo t1 = 1, que es la aceleración aquí, esta aceleración sería de 1 metro sobre segundo al cuadrado. Y la aceleración para el tiempo t2 = 3, para los tres segundos, es la pendiente de esta recta tangente a la curva en ese punto. Esta aceleración para t = 3 ya vimos que la aceleración para t = 1 era de 1 metro sobre segundo al cuadrado. Y ahora la aceleración instantánea en el tiempo t = 3 va a ser de 3 metros sobre segundo al cuadrado. Aquí sería de 3 metros sobre segundo al cuadrado, la aceleración que lleva este corredor a los 3 segundos, cuando su velocidad es de 16.5 metros sobre segundo.
Bien, espero que hayas podido entender la aceleración media y la aceleración instantánea. Suscríbete a nuestro curso de física, comparte entre tus amigos, escribe todos tus comentarios y que tengas un gran día.