Transcription
Hi, willkommen zum sechsten Video der Serie. Als ich das gelernt habe, gab es etwas, das ich sehr seltsam fand.
Nehmen wir einen Kreis mit Radius 5 mit Mittelpunkt im Ursprung. Die Punkte des Kreises sind die, deren x- und y-Koordinaten die Gleichung x² + y² = 5² erfüllen. Also alle Punkte sind fünf Einheiten vom Ursprung entfernt und die Gleichung ist einfach nur Pythagoras-Formel: Die Summe der Katheten zum Quadrat ist gleich die Hypotenuse zum Quadrat.
Stell dir vor, du möchtest die Steigung einer Tangente an einem Punkt auf dem Kreis finden, zum Beispiel an Punkten mit den Koordinaten x = 3 und y = 4. Wenn du schon Vorwissen aus der Geometrie hast, dann weißt du, dass die Tangente im rechten Winkel steht zum Radius an der Stelle. Aber tun wir mal so, als ob du das noch nicht wusstest.
Und was auch cool ist: Die Methode, die wir uns gleich ansehen werden, funktioniert auch für ganz andere Kurven. Der Trick ist, nah genug hineinzuzoomen, so dass die Kurve des Kreises quasi so aussieht wie die Tangente und sich dann einen kleinen Schritt entlang dieser Kurve ansieht. Die y-Komponente dieses Schrittes nennen wir dy und den Anteil in x-Richtung dx. Die Steigung ist also dy/dx.
Aber anders als wir es bereits kennen, ist die Kurve hier nicht von einer Funktion gegeben, die wir einfach ableiten konnten, um die Steigung der Tangente zu bekommen. Es ist kein Argument und y ist kein Funktionswert. Es sind beides Variablen, die gemeinsam eine Gleichung erfüllen müssen. Man nennt das eine implizite Kurve. Das ist die Menge aller Punkte mit den Koordinaten (x, y), die eine Gleichung erfüllen, in denen x und y vorkommen.
Und wie man diese Steigung, dy/dx, hier findet, ist, was ich so seltsam fand. Man nimmt einfach die Ableitung der Gleichung von beiden Variablen. Also wird x² zu 2x, dx, und y² zu 2y, dy. Und die Ableitung von 25 ist einfach 0. Vielleicht verstehst du, was ich so seltsam fand. Man nimmt die Ableitung einer Funktion, die mehrere Variablen enthält.
Und woher kommen diese dx und dy? Aber man kann auch einfach weitermachen und auf dy/dx umformen. Und in diese Formeln können wir dann einfach einsetzen, wenn wir die Steigung der Tangente an einem Punkt wissen wollen. Für unseren Punkt mit den Koordinaten (3, 4) kommt also -3/4 heraus. Diesen seltsamen Trick nennt man auch implizite Differenzierung. Und keine Sorge, ich habe eine Erklärung dafür, wie du eine Ableitung einer Gleichung mit zwei Variablen, wie hier, nehmen kannst. Aber zuerst möchte ich noch ein anderes Beispiel zeigen.
Im Englischen wird es "related rates" genannt, also in etwa zusammenhängende Änderungsraten. Stell dir eine fünf Meter lange Leiter vor, die gegen eine Wand lehnt. Die Spitze der Leiter ist vier Meter über dem Boden, was nach dem Satz von Pythagoras bedeutet, dass der Beginn der Leiter drei Meter von der Wand entfernt sein muss. Und die Leiter rutscht ab und zwar mit einer Geschwindigkeit von einem Meter pro Sekunde. Die Frage ist: Wie schnell bewegt sich das untere Ende der Leiter am Beginn von der Wand weg?
Und das ist doch interessant, oder? Die Distanz von der Wand ist zu 100 Prozent bestimmt von der Höhe, an der sie liegt. Also müssen wir genug Information haben, um die Frage beantworten zu können, wie die Veränderungsraten miteinander zusammenhängen. Zuerst lasst uns den Dingen einen Namen geben. Nennen wir die Distanz von der Spitze der Leiter zum Boden y(t), also eine Funktion von der Zeit, weil sie sich ändert. Genauso nennen wir die Distanz vom unteren Punkt der Leiter zur Wand x(t).
Was wir über diese beiden Variablen wissen ist, dass sie die Pythagoras-Formel x(t)² + y(t)² = 5² erfüllen müssen. Und was die Formel so nützlich macht, ist, dass sie zu jedem Zeitpunkt erfüllt ist. Ein Weg, das zu lösen, wäre, nach x(t) umzuformen, herauszufinden, was y(t) sein muss, um die gegebenen Bedingungen zu erfüllen, und dann x(t) nach t abzuleiten, was genau die Änderungsrate ist, mit der sich die untere Strecke mit der Zeit ändert. Und das würde funktionieren. Du musst die Kettenregel ein paar Mal verwenden und eben y(t) berechnet, aber am Ende kannst du es so berechnen.
Ich will dir hier aber einen anderen Blickwinkel zeigen, um das Problem zu lösen. Die linke Seite dieser Gleichung ist eine Funktion der Zeit. Oder, sie ergibt zwar eine Konstante, die rechte Seite ändert sich nicht über die Zeit. Aber trotzdem sind die Terme auf der linken Seite von der Zeit abhängig. Das heißt, wir können dieselben Dinge machen wie mit anderen Funktionen, die von der Zeit abhängig sind, wie zum Beispiel sie abzuleiten. Das heißt also, dass wir danach fragen, was passiert, wenn wir einen ganz kurzen Zeitraum dt kleiner werden lassen, indem y(t) ein wenig kleiner und x(t) ein wenig größer wird. Also, wie viel ändert sich dieser Ausdruck? Und wir wissen, dass die Ableitung davon null sein sollte, weil sich die Länge der Leiter nicht ändert, also eine Konstante ist.
Aber was bekommt man auf der linken Seite, wenn man die Ableitung berechnet? Naja, die Ableitung von x(t)² ist 2x(t) mal die Ableitung von x nach t. Das wissen wir von der Kettenregel, die wir im vorletzten Video besprochen haben. Die äußere Funktion ist g(x) = x² und die innere Funktion ist x(t). Es ist eine gute Übung mit Variablen umzugehen, wenn du dir das selbst überlegst. Genau so bekommst du auf der rechten Seite 2y(t) mal die Ableitung von y nach t. Und dieser Ausdruck muss ja null ergeben.
Die Formel sagt, dass x(t)² + y(t)² der Konstante 25 ergibt. Am Anfang, also bei t = 0, ist die Höhe der Leiter y(t) = 4 Meter und die Distanz von der Wand x(t) = 3 Meter. Und weil die Leiter zu Beginn mit einem Meter pro Sekunde fällt, ist die Änderungsrate dy/dt = -1 Meter pro Sekunde. Jetzt können wir also nach dx/dt umformen, um die Änderungsrate in x-Richtung zu bekommen. Und wenn du das machst, dann sollten 4/3 Meter pro Sekunde herauskommen.
Der Grund, warum ich dieses Leiter-Beispiel gezeigt habe, ist, damit du das mit dem Kreis-Beispiel vergleichen kannst, wo wir die Steigung der Tangente an einem Punkt am Kreis suchen. In beiden Beispielen hatten wir die Gleichung x² + y² = 5² und beide Male haben wir dann die Ableitung auf beiden Seiten dieser Gleichung genommen. Aber für das Leiter-Beispiel waren das Funktionen, die von der Zeit abhängig waren. Also hatte die Ableitung einen Sinn. Es waren die Änderungsraten der Terme bezüglich einer kleinen Zeitänderung dt.
Aber was das Kreis-Beispiel so seltsam macht, ist, dass man nicht fragt, was nach einer kurzen Zeit passiert, sondern einfach diese Terme dx und dy frei herumschwirren hat, ohne dass sie an eine andere Variable, wie z.B. die Zeit, gebunden sind. Ich zeige dir eine schöne Art, um das zu verstehen. Geben wir dem Ausdruck x² + y² einen Namen, z.B. S. Und es ist damit eine Funktion von den beiden Variablen x und y. Sie nimmt jeden Punkt (x, y) im Koordinatensystem und spuckt dafür eine Zahl aus. Für Punkte auf dem Kreis kommt eben 25 heraus. Wenn man einen kleinen Schritt vom Kreis nach außen geht, wird der Wert größer und wenn man stattdessen Richtung Ursprung geht, wird er kleiner.
Was es bedeutet, die Ableitung dieser Funktion zu nehmen, ist, sich zu fragen, was passiert, wenn man beide Variablen ein wenig ändert. Eine kleine Änderung dx von x und eine kleine Änderung dy von y. Und diese kleine Änderung muss uns nicht unbedingt am Kreis belassen. Es ist eine beliebige Änderung dx bzw. dy. Und die Ableitung ist dann die Antwort auf die Frage, um wie viel sich die Funktion S verändert. Und diese Veränderung ist, was ich hier mit dS bezeichnen.
Zum Beispiel starten wir hier bei x = 3 und y = 4 und sagen wir, dass der kleine Schritt, den ich hier gezeichnet habe, sich aus dx = -0,02 und dy = -0,01 zusammensetzt. Die Änderung von S nach diesem kleinen Schritt ist circa 2x * dx + 2y * dy. Das ist es, was diese Ableitungsformel dS = 2x dx + 2y dy eigentlich bedeutet. Es ist die beste lineare Annäherung für die Änderung von S für kleine Änderungen dx und dy von einem Punkt (x, y). Und diese Annäherung wird immer besser, je kleiner dx und dy sind.
Die Idee hier ist, dass wenn man sich auf Schritte einschränkt, die uns am Kreis belassen, dass wir damit auch sagen, dass S sich nicht ändern soll, also dS = 0 ist. Es ist ja vor 25 und es soll noch 25 bleiben. Also haben wir durch das Nullsetzen des Ausdrucks 2x dx + 2y dy sichergestellt, dass wir auf dem Kreis bleiben. Genauer gesagt, bleiben wir eigentlich auf der Tangente des Punktes (x, y). Aber für super kleine Schritte sind der Kreisring und die Tangente quasi dasselbe.
Und da ist nichts Besonderes am Ausdruck x² + y² = 5². Und es ist immer gut, sich andere Beispiele anzusehen, um das Verständnis zu stärken. Also sehen wir uns den Ausdruck sin(x) * y² = x an. Die Punkte, die diese Gleichung erfüllen, bilden diese Kurven. Stell dir vor, du gehst einen kleinen Schritt dx und dy, und der muss sich nicht unbedingt auf der Kurve belassen. Die Ableitung von beiden Seiten dieses Ausdrucks zu nehmen, sagt uns, wie viel sich diese ändert, wenn wir einen kleinen Schritt machen.
Auf der linken Seite können wir die Produktregel anwenden, also: linke Seite mal Ableitung der rechten Seite plus rechte Seite mal Ableitung der linken Seite. Also: x mal die Änderung von y², was also 2y dy ist, plus y² mal die Änderung von sin(x), also cos(x) dx. Die rechte Seite ist x, also ist die Änderung davon ja genau dx.
Diese beiden Seiten gleich zu setzen, bedeutet zu sagen, dass wenn du einen kleinen Schritt mit den Koordinaten dx und dy machst, der diese Gleichung erfüllt, dass dieser dich sehr nahe an der Kurve bleiben lässt. Genauer gesagt, dass du auf der Tangente bleibst. Von hier kann man dann rechnen. Meistens möchte man auf dy/dx umformen, um die Steigung der Tangente zu bekommen.
Als letztes Beispiel möchte ich zeigen, wie du diese Technik verwenden kannst, um neue Ableitungen finden zu können. Wir wissen ja aus dem letzten Video, dass die Ableitung von e^x die Funktion selbst ist. Aber was ist mit der Umkehrungsfunktion, oder inversen Funktion, dem natürlichen Logarithmus von x? Naja, die Kurve von ln(x) kann man sich als implizite Kurve vorstellen, wo alle Punkte (x, y) die Gleichung y = ln(x) erfüllen. Nur sind die Variablen hier nicht so vermischt wie bei den vorigen Beispielen.
Die Steigung dieser Kurve, dy/dx, ist also die Ableitung von ln(x). Und um die zu finden, können wir zuerst mal die Formel umformen, indem wir auf beiden Seiten die Exponentialfunktion anwenden. Also haben wir e^y = x. Das ist auch genau, was der natürliche Logarithmus macht. Er beantwortet die Frage: e hoch was ist gleich x? Der Trick ist, dass wir jetzt von beiden Seiten die Ableitung können. Von e^y bekommen wir e^y dy, und x wird einfach zu dx. Überlege dir das mal in Ruhe durch und sieh dir das vorige Beispiel noch mal an, falls es dir nicht ganz klar ist.
Und wie zuvor ist das ein Ausdruck dafür, wie die kleinen Schritte dx und dy zusammenhängen müssen, um bei einem gewissen Punkt auf der Tangente der Kurve zu bleiben. Also konkret muss e^y * dy = dx ergeben. Wenn man umformt, bekommt man dy/dx, die Steigung dieser Kurve, ist gleich 1 / e^y. Und solange wir auf der Kurve sind, wissen wir, dass e^y = x ist. Also ist die Steigung gleich 1/x. Und wenn man die Steigung einer Funktionskurve, so wie hier, in x ausdrücken kann, also y nicht verwendet, dann muss das die Ableitung der Funktion sein.
Zusammenfassend, also wissen wir, dass die Ableitung von ln(x) gleich 1/x ist. Das ist, was wir hier gesehen haben. Das ist ein kleiner Einblick in Multivariablen-Analysis, wo man sich Funktionen mit mehreren Argumenten ansieht und herausfinden möchte, wie sich diese Funktionen ändern und wie sie miteinander zusammenhängen. Und wie immer ist es da wichtig, ein klares Bild davon zu haben, wie sich kleine Änderungen auswirken und wie sie miteinander zusammenhängen.
Im nächsten Video sehen wir uns die formale Definition der Ableitung und einen berühmten Trick, den man damit machen kann, an.