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Qué tal amigos, espero que estén muy bien. Bienvenidos al curso de despejes de ecuaciones y ahora hablaremos de las propiedades de las igualdades.
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En este vídeo vamos a hablar de algo que ustedes, estoy seguro, que han escuchado, que es lo siguiente: el que está sumando pasa a restar. Entonces, aquí nos queda x = 7. Este número que está sumando pasa al otro lado a restar. Lo mismo aquí, cuando uno va a despejar esta ecuación, le dicen a uno: el que está multiplicando pasará a dividir. Entonces, aquí nos quedaría que x es igual a este 10 y este 5 que pasa a dividir.
Lo que vamos a ver en este vídeo es por qué o de dónde sacaron los matemáticos que el que está sumando pasa a restar, que el que está multiplicando pasa a dividir, que el que está restando pasa a sumar y así sucesivamente. Eso se basa en las propiedades de las igualdades.
Y pues, primero que todo, debemos hablar de qué es una igualdad. No, una igualdad, voy a decirlo con mis palabras, es una relación entre dos cosas o dos expresiones que obviamente tienen que ser iguales. No, por ejemplo, pues una igualdad muy sencilla que pues ni siquiera tiene sentido escribirla, pero esto es una igualdad: 5 es igual a 5. Todos sabemos que pues 5 es igual a 5. Entonces, esto es una igualdad y es una igualdad verdadera. Hay igualdades falsas, por ejemplo, podríamos escribir que 5 es igual a 4, pero eso no es verdad, no. Obviamente sabemos que 5 no es igual al número 4. Esta es un agua y una igualdad, pero como les decía, pues no tiene mucho sentido escribir esta igualdad porque pues como que para qué.
En cambio, ya hay igualdades que ya cobran un poco más de sentido, como por ejemplo, decir que 10 es igual a 7 + 3. Si ya tenemos dos expresiones diferentes y esas dos expresiones son iguales, no. Obviamente 10 es igual a 7 + 3, ¿por qué? Pues porque 7 + 3 es 10. O sea, aquí en realidad lo que dice es, con otras expresado de otra forma, que 10 es igual a 10. O por ejemplo, podemos escribir que 10 es igual a 5 * 2. Si, porque obviamente 10 es 5 * 2.
Pero las igualdades cobran muchísimo más sentido en las ecuaciones. Por ejemplo, cuando decimos que 10 es igual a x + 8. Si, esto ya cobra más sentido una igualdad. Aquí hay una historia, se llama una ecuación, porque porque es una igualdad en la que hay incógnitas. Eso ya lo vemos en el vídeo anterior, pero entonces aquí ya cobra más sentido las igualdades y ya cobra más sentido las propiedades de las igualdades, que ahora sí les vamos a empezar a ver.
Y vamos a empezar a hablar de las propiedades. Obviamente, desde la más sencilla hasta, no hay, no hay propiedades difíciles, solo pues todas tenemos debemos tenerlas en cuenta.
Primera propiedad de las igualdades: la propiedad reflexiva, que dice que todo número es igual a sí mismo, como lo hablamos anteriormente. No, esto se expresa de esta forma: a = a. Recordando que la "a" puede tomar cualquier valor, pero pues en esta ecuación, si yo digo que la "a" vale 10, pues entonces tendría que ir aquí que como la "a" vale 10, entonces 10 = 10. Y como aquí está otra vez la "a", pues tengo que escribir 10, porque estábamos diciendo que la "a" valía 10. No, entonces esto, la "a" toma cualquier valor, pero sea cual sea el el valor que tome, pues aquí nos quedará escrito el mismo número. No, 10 = 10, o 20 = 20, o negativo son raíces, -5 = -5. Si, como les decía, obviamente raíces, raíz cuadrada de 2, obviamente es igual a raíz cuadrada de 2. Esta es la propiedad reflexiva.
La segunda propiedad de las igualdades, pues no es en orden, o no es que esta sea la primera y esta la segunda, sino que son dos propiedades. Pero la segunda propiedad de la que vamos a hablar es la propiedad simétrica, que dice la propiedad simétrica. Aquí está escrito matemáticamente que si a = b, entonces, este símbolo en matemática se lee como "entonces", que es una flechita que va hacia ambos lados. Si a = b, pues entonces b tiene que ser igual a a. Vamos a hacer ejemplos.
Esta propiedad ya debemos tener en cuenta en las ecuaciones y ya les voy a decir por qué. Por ejemplo, si yo y 5 = 2 + 3, lo que dice esta propiedad es que podemos voltear la igualdad y pues se sigue cumpliendo. No, si 5 = 2 + 3, entonces 2 + 3 también es igual a 5. No importa en qué parte de la igualdad esté cada expresión. Lo importante es que si las dos expresiones que, bueno, aquí les recuerdo, esta expresión, la que está a la izquierda del igual, se llama el miembro de la izquierda, y toda la expresión que esté a la derecha del igual se llama el miembro de la derecha. Por ejemplo, aquí en este caso, este es el miembro de la izquierda y el miembro de la derecha. Entonces, no importa cuál sea el miembro de la izquierda o de la derecha, lo importante es que como ya están relacionados con el signo igual, se supone y obviamente deben ser iguales. No, entonces no importa si dice 5 = 2 + 3, obviamente esto es verdad, entonces 2 + 3 también es igual a 5. Esto también es verdad.
Y porque esta es una de las propiedades que ya debemos tener en cuenta en las ecuaciones, porque muchas veces los estudiantes, en uno mismo, uno como profesor, se acostumbra que cuando está despejando una ecuación, uno siempre se acostumbraba que las x van a estar a la izquierda y los números van a estar a la derecha. Bueno, eso ya lo vamos a ver más adelante, pero no importa si en una ecuación, al final del ejercicio, nos dice que 5 = x. Eso ya es una respuesta. Aquí ya dice que la x tiene que valer 5, y esto es exactamente lo mismo que si dijera x = 5. O sea, si nosotros en un ejercicio tenemos 5 = x y queremos voltear la igualdad, o sea, el miembro de la izquierda pasarlo para la derecha y el de la derecha pasarlo para la izquierda, eso está totalmente correcto. Aquí no estamos pasando ni a sumar o restar, ya les voy a explicar qué es eso de pasar a sumar y restar. No, solamente estamos volteando la igualdad, porque eso nos lo dice la propiedad simétrica. Si 5 = x, pues obviamente x = 5. Entonces, cualquiera de las dos expresiones es igualmente correcta.
Y vamos a hablar ahora de otra propiedad, que en este caso es la propiedad transitiva. Que dice la propiedad transitiva. Bueno, esta ya se utiliza más que las dos anteriores, es más, esta propiedad se utiliza en un tema que se llama sistemas de ecuaciones, es un método de resolver sistemas de ecuaciones. Si ustedes no han visto el tema, estoy seguro que lo van a ver, y si ya lo vieron, espero que recuerden y tomen sentido cuál es la forma de solucionar un sistema de ecuaciones por el método de igualación.
Aquí, ¿qué dice la propiedad transitiva? Que si a = b, o sea, si tenemos dos valores que son iguales, y además b = c, otra igualdad, entonces por estas dos razones podemos concluir entonces que a = c. Vamos a quedar un ejemplo. Por ejemplo, digamos que la b vale 15. Entonces, yo puedo decir que 10 + 5 = 15. Que es lo que estamos diciendo aquí, que esta expresión es la expresión "a" y que esta expresión es la expresión "b". Si a = b, entonces 10 + 5 = 15. Eso es verdad. Ahora, voy a poner otra igualdad en la que aquí voy a escribir la "b". Como ya dije que la "b" vale 15, entonces para mi ejemplo, entonces voy a colocar ahora que 15 = 5 * 3. Obviamente, esto es igual, 15 = 5 * 3. Para mi ejemplo, aquí el 15 que era la "b" y 5 * 3 que es la "c". Entonces, si sabemos que 10 + 5 = 15, pero también sabemos que 15 = 5 * 3, entonces podemos hacer otra igualdad entre el valor "a" y el valor "c", y podremos entonces concluir que 10 + 5 = 5 * 3. Y miren que esto es verdad. 10 + 5 es exactamente es igual a 5 * 3, pues porque porque 10 + 5 es 15, que eso es igual a 5 * 3, que también es 15. Entonces, esto es lo que dice la propiedad transitiva, que como les decía, se utiliza en sistemas de ecuaciones.
En sistemas de ecuaciones, pues ya se trabaja. Voy a hacerles un ejemplo sencillo. Ya se trabaja con letras, no. Por ejemplo, yo puedo decir que x = y. Aquí tenemos una igualdad, x = y. Pero también voy a decir, por ejemplo, que y = 7. Si, si sabemos que x = y y también sabemos que y = 7, entonces podemos concluir que miren como la y es igual a x y como la y es igual a 7, entonces podemos concluir que estos dos valores también son iguales. O sea, puedo concluir que x = 7. Si, obviamente, si y es 7, puedo reemplazar aquí el valor de la y con 7, entonces me queda que x = 7.
Y por último, vamos a hablar de la propiedad de la que les hablé al comienzo del vídeo. Si, esta es la propiedad en la que se basan todos los despejes de ecuaciones, que es la propiedad uniforme. ¿Qué es lo que dice la propiedad uniforme? Vamos a verlo aquí con ejemplos. Primero que todo, pues vamos a empezar del ejemplo sencillo al más difícil, entre comillas, y vamos a ver, pues este ejemplo. No, aquí tenemos una igualdad. Voy a escribir una igualdad que pueda ser muy sencilla: 5 = 5.
¿Qué es lo que dice la propiedad de uniforme? Que yo puedo sumar o restar o multiplicar y dividir a ambos lados de la igualdad, y la igualdad sigue siendo una igualdad. Por ejemplo, no les puedo preguntar a ustedes, pero voy a colocar el número 3. Por ejemplo, ¿qué pasa si yo sumo a ambos lados de la igualdad el mismo número? O sea, ¿qué pasa si podría correr este 5 para atrás? 5 = 5, y eso es verdad. ¿Qué pasa si le sumo 3 a ambos lados de la igualdad? Miren que esta es una igualdad verdadera. ¿Qué pasa si le sumo 3 a la izquierda y también le sumo 3 a la derecha? Pues que ahora esto quedó convertido en 5 + 3, que eso es 8, igual a 5 + 3, que eso es 8. Quedó convertida en otra igualdad, obviamente, porque no es no era la misma. La primera era 5 = 5, ahora 8 = 8, pero esta igualdad sigue siendo una igualdad verdadera.
Seguimos ahora con otro ejemplo. Supongamos que tenemos 10 = 8 + 2. Esto es verdad, 10 = 8 + 2. ¿Qué pasa si a los dos lados de la igualdad sumamos 3? Esto se puede hacer con cualquier número, no, o sea, fue porque yo a mí se me ocurrió dar el número 3, pero puede ser el número 10, el número, pueden ser números negativos, decimales, fracciones, y esto va a seguir cumpliéndose. Así, supongamos que yo no hubiera dicho 3, 5 - 5, hubiéramos sumado -5, o sea, colocado -5 acá y -5. ¿Qué pasa si yo a esta igualdad le sumo 3 a los dos miembros? Cuidado que siempre tiene que ser el mismo número a los dos miembros. Aquí colocaríamos 10 + 3, una igualdad que era verdadera, y aquí colocamos 8 + 2 + 3. Pues lo que sucede es que vamos a obtener otra igualdad, pero que también es verdadera. 10 + 3, eso es 13, que eso es igual a 8 + 2 + 3, que es 13. Conseguimos otra igualdad, pero es otra igualdad que también es verdadera.
Y ahora sí, vamos a ver la aplicación en las ecuaciones. Aquí ya tenemos una ecuación: x - 3 = 12. Obviamente, es una ecuación muy sencilla que ustedes pueden solucionar mentalmente sin necesidad de hacer despejes. Un número que al restarle 3 me da igual a 12. Supongamos que no supiéramos la respuesta, entonces ahí es donde utilizamos esta propiedad, la propiedad uniforme. La forma fácil de resolver esta ecuación, y obviamente la forma más fácil sería la mental, pero la forma fácil sería despejar la x. ¿Qué es despejar la x? Como vimos en el vídeo anterior, es dejarla sola. ¿Cómo tendríamos que hacer para quitar este -3? La forma fácil sería sumarle 3 a los dos miembros de la igualdad. O sea, si aquí le sumo 3 y aquí también le sumo 3, ¿cómo nos queda expresada esta igualdad? Pues nos queda expresada x - 3 + 3 = 12 + 3. Y miren que automáticamente por aplicar la propiedad me quedó despejada la x. Aquí es donde nos basamos en decir que el que está restando pasa a sumar. No es que el que esté restando pase a sumar, sino que nos obviamos este paso y resultamos diciendo: miren que aquí tuvimos que sumar 3. Entonces, lo que hace uno ya es saltarse el paso y decir: ah, no, en lugar de sumar 3 a ambos lados de la igualdad, pues yo ya sé que si le sumo 3 aquí se elimina y más bien coloco aquí + 3. Entonces, no es que pasemos a sumar, sino que como estaba el -3, tendría que haber sumado 3.
Pero vamos a verlo ahora con otro ejemplo, como para que nos quede un poco más claro. Voy a escribir aquí otra ecuación, por ejemplo: x - 12 = 20. Si, utilizando esta propiedad, la propiedad uniforme, podemos resolver esta ecuación. Bueno, obviamente, esta nuevamente es una ecuación muy sencilla de resolver mentalmente, pero voy a hacerlo utilizando la propiedad uniforme. Puede volver a copiar esto aquí abajo para aplicar la propiedad uniforme.
Entonces, la idea de aplicar la propiedad uniforme es que ya sabemos que podemos sumar a ambos lados de la igualdad, o también restar a ambos lados de la igualdad, o multiplicar o dividir. Ya lo vamos a comprobar con la multiplicación y la división, y la igualdad sigue siendo una igualdad verdadera. Entonces, la idea aquí es que la x esté sola. O sea, vamos a quitar este -12. ¿Qué tendríamos que hacer para quitar este -12? Colocarle la operación contraria, o sea, + 12, porque porque -12 + 12 se va a dar. Pero, ¿qué me dice la propiedad uniforme? Que si yo sumé al lado izquierdo de la igualdad, tengo que sumar lo mismo también al lado derecho: + 12. Y esto, ¿para qué me sirve? Pues porque miren aquí, -12 + 12, eso es 0. Entonces, como esto da 0, nos queda x = 20 + 12. Que, como les decía, nos estamos saltando este paso y lo que uno se acostumbra a decir es: el que está restando lo paso al otro lado a sumar. Y entonces me queda x = 20 + 12, que bueno, obviamente eso es x = 32. Si, esta es la razón de por qué nosotros los profesores decimos: el que está sumando pasa a restar. Y ya vamos a ver lo demás.
Entonces, la respuesta de la ecuación era x será igual a 32, obviamente, ¿por qué? Pues porque 32 - 12 = 20. Pero como les decía, esta propiedad funciona también con la división, la multiplicación. Por ejemplo, cuando tenemos la ecuación x / 4 = 5. Por ejemplo, ¿qué dice la propiedad transitiva? Que puedo multiplicar, dividir o lo que sea en los dos lados de la igualdad, y la igualdad para seguir siendo otra igualdad. Por ejemplo, en este caso, la x está acompañada del 4. La idea sería quitar ese 4. ¿Cómo haríamos para quitar este 4? Aplicando la propiedad contraria. El 4 en este caso está dividiendo, entonces lo que haríamos sería decir: voy a multiplicar el lado izquierdo de la igualdad por este número, por el número 4, y voy a multiplicar este lado de la igualdad también por 4, porque porque si multipliqué por 4 al lado izquierdo, también tengo que multiplicar por el mismo número al lado derecho. Y para qué hicimos esto, pues porque ya sabemos que si tenemos números iguales arriba y abajo, los podemos simplificar. Entonces, uno generalmente dice: elimino el 4 de arriba con el de abajo, pero no es que se elimine, es que simplificamos. Aquí podemos decir: cuarta de 4 es 1 y cuarta de 4 es 1. Entonces, ¿qué me quedó acá? Me quedó x * 1, que eso es x / 1, el / 1 cuando es el 1 en el denominador no se escribe, pues porque es lo mismo, ¿no? Igual a 5 * 4, que eso es 20. Entonces, lo que hicimos, ¿qué fue? Quitar el 4 aplicando la operación inversa. Entonces, ya como les decía, no es que el 4 que está dividiendo pasa a multiplicar, sino que nos estamos saltando este paso y estamos multiplicando por 4. Aquí ya lo eliminamos mentalmente y aquí nos queda 5 * 4, que era 20.
Y eso mismo sucede con todas las propiedades. Por ejemplo, si tenemos x² = 16. Ya sabemos por la propiedad uniforme que podemos aplicar la misma operación a ambos lados de la igualdad y la igualdad se va a seguir manteniendo. Entonces, aquí simplemente quedaríamos para quitar el cuadrado. Ya espero que lo sepan, colocamos raíz cuadrada. Y como colocamos raíz cuadrada al lado izquierdo, también tenemos que colocar raíz cuadrada al lado derecho de la igualdad. Esta raíz debe abarcar todo lo que esté al lado izquierdo y también todo lo que esté al lado derecho. Si, por ejemplo, que dijera 16 + x, más que la raíz debería quedar con toda la expresión que esté a la derecha. Bueno, ¿por qué colocamos la raíz cuadrada? Porque la raíz cuadrada la podemos eliminar con el cuadrado. Bueno, tampoco es que se elimine la raíz con el cuadrado, sino que al hacer la operación, ya nos acostumbramos a saber que hay una propiedad que dice que esto se puede eliminar entre comillas. No, entonces aquí nos queda x = √16, que eso es 4, porque porque 4 * 4 = 16. Pero acordémonos que la raíz tiene dos respuestas: la respuesta positiva y la respuesta negativa.
Y por último, la propiedad uniforme también la podemos aplicar cuando haya una ecuación con raíces. Por ejemplo, si tenemos √x = 2. Entonces, ¿qué hacemos para quitar esta raíz? Elevamos al cuadrado. Entonces, elevamos al cuadrado el miembro de la izquierda y como elevamos al cuadrado el miembro de la izquierda, el de la derecha también lo elevamos al cuadrado, porque porque la raíz se elimina con el cuadrado. Entonces, aquí nos queda que x = 2², que 2² es 2 * 2. Y miren que aquí ya tenemos la ecuación despejada, pero aplicando la propiedad uniforme.
Y con esto termino mi explicación. Como siempre, por último, les voy a dejar un ejercicio para que ustedes practiquen. Ya saben que pueden pausar el vídeo. Ustedes van a utilizar la propiedad uniforme de las igualdades para despejar estas cuatro ecuaciones y la respuesta va a aparecer en 3, 2, 1.
Espero que ya les esté quedando un poco más claro que lo que hacemos es aplicar la la operación inversa a lo que hay que hacer. Vuelvo a decirles, en el curso ya no les voy a decir que sumamos a ambos lados de la igualdad, lo multiplicamos, sino ya pues tenemos que acostumbrarnos que el que está sumando pasa a restar, pero porque es la razón. No, lo importante es que sepamos por qué el que está sumando pasa a restar, el que está multiplicando pasa a dividir y así con todos.
Bueno, entonces aquí, como el número que está con la x es -7, o sea, la x se estaba restando, lo que tenemos que hacer es sumarle 7 a ambos lados de la igualdad, porque porque 7 - 7, eso es 0. Entonces, aquí nos queda que x = 9.
Acá, como la x está multiplicando por 5, lo que tenemos que hacer es dividir por ese número. Miren que siempre tenemos que colocar el número que está acompañando la x. Y entonces, como se está restando 7, sumamos 7. Como se está multiplicando 5, dividimos entre 5 los dos miembros de la igualdad. Aquí obviamente se elimina el 5 con el 5, que es simplificamos, y nos queda x = 30 / 5, que eso es 6.
Acá, como se estaba sumando 5, entonces restamos 5 a los dos lados de la igualdad, porque porque 5 - 5, eso es 0. Entonces, nos queda que x = 8.
Y aquí, como se estaba dividiendo 7, para quitarlo tenemos que multiplicar por 7, para qué, para poder simplificar el 7 de arriba con el de abajo y que nos quede x = 12 * 7, 84.
Bueno, amigos, espero que les haya gustado la clase. Si les gustó, los invito a que vean el curso completo para que profundicen un poco más sobre este tema o algunos vídeos recomendados. Y si están aquí por alguna tarea o evaluación, espero que les vaya muy bien. Los invito a que se suscriban, comenten, compartan y le den like al vídeo. Y no siendo más, ¡bye bye!