Álgebra Lineal De Matias 15

Bueno. Vamos a continuar. Bueno, creo que ya platicamos algunas cosas interesantes que nos van a permitir ser más productivos en escenarios donde tengamos bases ortogonales. Y créeme, son muy frecuentes. Sí, la verdad es que es es muy extraño el el escenario en donde las bases que tengas de referencia no sean ortogonales. Yo, a mi a mi saber, solamente conozco uno, y pues este, pues es por una situación que ni siquiera entiendo. Sí, tengo un colega, o más de uno, que trabajan en el área de estudio de materiales y en el estudio de materiales, sobre todo a escala microscópica.

Ajá. Nos interesa entender eh algo que se llama la orientación de las celdas unitarias. Que para cuando estén más adelante en el estudio de la ciencia y tecnología de materiales, allí son pequeñas estructuras que se repiten de manera periódica en el arreglo atómico de los de los átomos. Val abundancia en el material sí, que le dan ciertas propiedades mecánicas diferentes a cada material. En este caso estoy hablando de de materiales metálicos en general. Sí.

Okay. Pues es muy importante porque si tú tienes una placa, por ejemplo como esta, y esta placa es de aluminio, pues la placa la estás viendo con esta forma, pero ¿qué orientación tiene ese patrón repetitivo llamado celda unitaria? Tendrá este, y está otra repetida acá atrás. Sí, ¿se me explico? Porque en función de qué orientación tenga, si lo ves en un plano lateral, esta sería la placa. Y si la celda esta orientación va a ser, va a tener propiedades mecánicas diferentes a que si la celda tiene esta orientación o así sucesivamente. Y este colega me platica que en un experimento que realizó en alguna máquina que se llaman, a ver si no me equivoco en el nombre, eh electroscopia de barrido, o sea unas máquinas bastante loc chonas, que por medio de un disparo de as de electrones pueden hacer una un mapeo de dónde está cada cada átomo de de de la de la celda unitaria. Me parece algo así funciona el principio, el principio físico eh le da una orientación por alguna razón de funcionamiento de la máquina en vectores que no son precisamente ortonormales. Creo que son ortogonales, pero no son de norma unitaria. Sí, lo que quiero decir es que en un escenario como ese tiene que hacer eh previamente una normalización, un proceso adicional, sale, y no sería tan fácil hacer esto. Pero híjole, ya estamos hablando de de casos ya muy particulares. La verdad es que en la mayoría de las situaciones, estructuras, robótica, mecanismos, siempre vas a tener la oportunidad de utilizar bases ortonormales como las que acabo de decir, y se simplifica mucho la descripción de una matriz de de cambio de base sabiendo que existe con eh esta relación importantísima con la matriz de rotación, sale. Bueno, entonces pues allí queda ya atendida esa parte. Vamos a, pues ya tenemos las dos matrices, ya verificamos que están bien por medio de la propiedad de identidad. Y por acá en azul debe de estar, ¿qué onda, verdad? Queremos el vector en la base estándar rotada. El vector es el 5,0, así que pues vamos para abajo y debe ser la roja, no, sí la no la negra, la negra transforma del que está en la estándar a la estándar rotada, y el vector que está en el que tiene coordenadas 5 está en la estándar original, sale. Así que pues vámonos para acá abajo y diríamos que el vector en la base estándar rotada sería igual a aplicar la matriz de cambio de base para un vector que está en la estándar original, pasarlo a la estándar rotada. Eso quiere decir que vamos a tener BX prima, B prima, que va a ser igual a esta matriz que debe estar por aquí arriba. Me la voy a copiar de acá, tú la vas escribiendo otra vez, es esta aplicada al vector en la base estándar original. El vector en la base estándar original, ¿cómo se escribiría? 5,0. Ahí estaría, sale.

Okay. Entonces pues haríamos las operaciones, díganme por favor los productos del primer renglón. ¿Qué cosas tendríamos que ir escribiendo? Ajá. [Música] siguiente renglón -2, 5. El primer resultado sería, es está muy facilito, ¿no? 2.5. Sí. Y pues el otro, pues ni modo. Pues creo que no va a haber otra, si quisiera el resultado. Exacto, tendría yo que poner 5 raíz cuadrada de 3. No, no hay forma de simplificar ya ese resultado, y a menos que quiera poner los decimales de la raíz, tal vez como coordenadas. Sí, me interesa hacerlo eh díganme por favor el resultado de esos decimales. Esto [Música] 2.5, 1.74. ¿Está bien así? 4.33. Okay. Pues esas son las coordenadas del vector. ¿Dudas, muchachos? ¿Preguntas? ¿Comentarios? ¿Inquietudes? ¿Curiosidades? Segurísimo. Déjenme ver si caigo algo más por aquí. Coordenas siendo [Música] lasen, no lo de la estructura. Ya se acabó el ejemplo de la estructura. Ya se acabó. Este fue el ejemplo original, el vector 5,0. Ajá. [Aplausos] Uh. Ah, ya veo, ya veo. Estaba olvidando un un tema [Música] importante. Okay. Ah [Música] vamos a estudiar ahora el concepto de espacio vectorial del conjunto de las funciones. Sale. Ya en algún momento habíamos hos escrito nosotros que de las funciones me interesan obviamente muchas cosas, pero me interesa sobre todo que tengan la característica de ser continuas. Nosotros, yo lo insisto en muchas ocasiones, y no lo digo de manera agresiva ni ni pretendiendo hacer un ataque o algo o algo juzgamos, vamos a decirlo así. Okay, pero de verdad tenemos que aceptar la realidad de que nosotros no somos matemáticos, no somos físicos. Okay. Nuestra aplicación de la matemática es pequeñísima comparada contra lo que hace un matemático puro, y nuestros objetivos son totalmente diferentes. Okay. Nosotros tenemos una colección de herramientas matemáticas muy pequeña comparada contra lo que estudia un matemático, pero después esa colección de conceptos nos dedicamos a aplicarla a diferentes áreas de nuestra ingeniería. Sí, estudiamos ecuaciones diferenciales no porque queramos competir contra un matemático, sino porque las ecuaciones diferenciales para nosotros en ingeniería las utilizamos para representar modelos físicos o fenómenos físicos por medio de ecuaciones. Y esa es la primera cosa que te debe quedar clarísima a ti como ingeniero: las matemáticas por sí mismas difícilmente nos importan; ellas, lo que nos importa de ellas es que sirven para plasmar en algo medible un fenómeno físico, un fenómeno físico que puedo observar a partir de instrumentos o a partir de mis sentidos. ¿Vamos bien hasta ahí? Y por medio de esos instrumentos y sentidos yo podré hacer o aplicar un razonamiento y convertirlo en una expresión matemática. Yo no controlo la naturaleza de esa expresión matemática. Sí, dependiendo del problema, un problema muy sencillo como el de una estructura hará un sistema de ecuaciones de n ecuaciones por n incógnitas, y será un sistema lineal, y al revisarlo visualmente y diré: si yo supiera matemáticas para resolver sistemas de ecuaciones lineales podría resolver más fácilmente estructuras. ¿Vamos bien hasta ahí? Sí. Pero pensemos que tienes un problema más complejo, como estudiar las vibraciones mecánicas de algo: un automóvil, una máquina, un edificio. O las vibraciones mecánicas tienen una representación análoga eh es decir, equivalente en cuanto a una señal de voltaje que está oscilando. Sí, entonces también una vibración eléctrica podríamos decirlo así, es una señal eléctrica, y estudiar cómo cambia esa vibración, esa onda, esa onda que cambia su amplitud, sí, su altura eh podría darnos datos importantes a nosotros. Yo no controlo las cosas. Al momento de hacer una observación adecuada a un fenómeno vibratorio, inevitablemente se convierte en una ecuación diferencial. No es que yo quiera, es que así resulta ser la cosa. Sí. Al momento de que lo convierto en una ecuación diferencial lo reviso, y es cuando yo como ingeniero digo: estaría muy padre tener las matemáticas suficientes para resolver una ecuación diferencial de este tipo. ¿Qué tipo es? Pues si supiera ecuaciones diferenciales, lo Sí. Bueno, el siguiente semestre vas a llevar ecuaciones diferenciales en tercero en cualquiera de las carreras eh de nuestra universidad, ya sea ingeniería civil, ingeniería mecánica, ingeniería electrónica, todos llevamos ecuaciones diferenciales en tercer semestre, y uno de los fundamentos más importantes para que entiendas la el tipo de ecuación diferencial más abundante en un curso introductorio de ecuaciones diferenciales es precisamente el álgebra lineal. ¿Por qué? Porque en las ecuaciones que estudiamos, no por nada reciben el nombre de ecuaciones diferenciales lineales, porque cumplen con la característica de poderse resolver por medio de muchas eh aplicaciones de conceptos de lo que vemos aquí en el álgebra lineal, sale, y de estas propiedades. Bueno, te voy a poner un ejemplo. Pensemos que queremos estudiar cómo altera un caminito, sí, cómo altera un caminito a un carrito, sale, es un volantito, según yo. Okay. Bueno, tenemos a nuestro carrito, que vamos a agregarle un detalle muy importante eh aquí tienes que aceptar primero una situación como ingeniería: a veces esto va a ser un pleito y un motivo de bullying y de memes, si así lo quieres incluso contra los físicos y los matemáticos. ¿Por qué? Porque en la ingeniería muchas veces parecemos despreocupados en cuanto a la exactitud de nuestras matemáticas. Yo he aprendido, no sé si me he echado a perder con el tiempo o más bien he ganado confianza en cuestión de decir, ¿por qué es que puedo tener esa tranquilidad? Ejemplo: en un libro leerías directamente algo como que puedes despreciar el peso de las llantas y de los rines, y a la hora de que tú cargas los cuatro rines y las cuatro llantas dices: ¡no manches! Esto no parece muy despreciable, ¿no? Pero tal vez parece despreciable con respecto al resto de la masa del vehículo que tal vez supere la tonelada. ¿Estamos bien hasta ahí? Sí. Y hay otros pequeños efectos que también puede ser que despreciemos, pero cuando a la vida real le agregas tantos otros factores dices: oye, si quisiera incluir cada uno de estos posibles factores que tienen efecto sobre el fenómeno, mi modelo matemático tal vez se haría imposible de resolver. ¿Vale la pena complicarse la vida matemáticamente tan gravemente a cambio de un cinco, diez por ciento de mejora en en la predicción de algo? Si después ese error resulta que puede ser absorbido por un, no sé, ya no existen actualmente, ya ya hemos mejorado mucho en nuestras normas de Protección Civil, pero hubo una temporada donde en algún momento decíamos: ¿sea cómo expresar esto? Vamos a meter a todas las personas posibles en un carro y llevemos auto sardina para que todos vengan a la feria de Chapultepec, no importa que sean diez vatos en un carro que solamente aguanta cuatro. Sí, todos tus cálculos se van a la fregada con eso. Así que dices: bueno, oye, ¿no sería más fácil hacer algo que va a ser sumamente criticado por un matemático, por un ingeniero, y decir: mira, mejor agreguemos un factor de seguridad, que sería el hecho de decir: yo diseñé esto para aguantar a cuatro personas, pero tú y yo que somos los dueños de la empresa que hace carritos sabemos que va a aguantar hasta siete sin romperse. Sí, pero lo vendes diciéndole que nunca le pongan más de cinco, porque si no tú no te haces responsable de los que se maten, se lastimen o lo que sea. Sí, ¿estamos de acuerdo? Así que obviamente allí viene esa protección, y es donde somos ligeramente criticados los los ingenieros en este en esta idealización de las cosas. Pero sinceramente, con la práctica, cuando aprendes a ver que hay errores inherentes humanos, de los materiales, de la producción, de la fabricación, de las herramientas de corte, de tantas cosas que dices: oye, no, no manches, no puedo estar preocupándome por cada uno de estos aspectos; mejor en cada uno de ellos tal vez voy a considerar un factor de seguridad, un pequeño colchoncito que me garantice absorber esas variaciones. Sí. Bueno, pues esto que está aquí precisamente me permite hacer una idealización en donde diríamos: oye, pues no sería esto algo muy parecido a lo siguiente: idealiza el peso de todo este vehículo como una cajita, sí, que tiene una masa, y sabemos que este vehículo tiene un resortito y un amortiguador. ¿Estamos de acuerdo? Sí. El objetivo de esto de de un sistema de amortiguación es que eh eh muchos dicen que el objetivo de de un sistema de amortiguación es hacer confortable el paseo para para el usuario. Pero por otro lado, algunos ingenieros dicen que el objetivo del sistema de amortiguación es mantener al vehículo adherido al al camino, porque eso es más más importante. Okay. Entonces, pero en cualquiera de los dos casos se refleja en que esta masa estuviera en esta posición, es decir, que haga esto lo menos posible. Sí. Porque si en algún momento esa amplitud es demasiado grande, no le va a quedar de otra más que arrastrar a las llantas consigo y se va a despegar el vehículo de de del camino. ¿Si vamos bien hasta ahí? Okay. Muy bien. Entonces eh ahí viene otra idealización que ahorita estaría medio fea, yo debería de tener algo así, dos amortiguadores, vamos a estudiar algo sencillito primero, así sí, algo así de esta manera. Y ahora lo que va a pasar es que yo debo de tener un sistema de referencia. ¿Quién va a observar cómo se deforma o cómo sube y baja esto? Necesito forzosamente un sistema de referencia. Vamos a imaginar, tal vez no sea lo mejor, pero vamos a imaginar que el sistema de referencia son justamente el eje de las llantas. Sí, sí, vamos bien. Okay. Entonces quiere decir que ese resorte y amortiguador es como si estuvieran fijos en algún lado, sale, y yo lo que quiero estudiar es qué pasaría con esta cajita cuando reciba una perturbación. Por el principio de la tercera ley de Newton, cuando este carrito siga avanzando para acá y llegue a esta zona, obviamente esto se va a comprimir. Sí, y este peso grandote quiere quedarse en ese mismo lugar, pero se va a comprimir eh digamos en algo equivalente, nosotros pondríamos una fuerza por acá arriba, porque no la puedo poner aquí, sería como pegarle al piso, no haría nada. ¿Cómo perturba el sistema? Si estoy diciendo que el sistema de referencia en la llanta va a ser el fijo, pues mejor poniendo la fuerza en el carrito sería algo equivalente, va a hacer que vibre, sale. A esto nosotros le llamamos FT en términos de vibraciones mecánicas, ecuaciones diferenciales y dinámica de sistemas, que son tres materias que puedes llegar a llevar. Ajá. A esta fuerza le podemos decir de más de una forma: excitación del sistema, término no [Música] homogéneo, sí, vamos a decirlo así. Okay. Así de esta manera. Y a ti lo que te interesa es estudiar la posición de la cajita, que vamos a decir está dada por una respectiva Y. ¿Por qué es importante para ti estudiar la posición de esta cajita? Porque estos dispositivos tienen una carrera máxima, es decir, tal vez los puedas deformar por mucho 20 cm. Si la fuerza, yo detecto que genera un desplazamiento de más de 20 cm, quiere decir que en algún momento ese ese ese carro en realidad se va a despegar del piso. Sí, ¿si vamos bien? Yo lo que debería de verificar en estas vibraciones mecánicas es que nunca sean mayor o mayores a las de la carrera de de del amortiguador, porque si no se va a despegar. ¿Vamos bien hasta ahí? Okay. Muy bien. Pues respecto a un sistema de referencia, puedes considerar esta plática como una introducción a ecuaciones diferenciales del siguiente semestre. Okay. Para que aceptes la idea de que las funciones forman un espacio vectorial, si tú aplicas un poquito de de observación a esto y quieres estudiar esto, dices: a ver, yo quiero saber quién es la posición. Pero ¿cómo rayos le hago para para saber quién es la posición de esto? Hago un diagrama de cuerpo libre y estudio todo lo posible que está pasando aquí alrededor de él, en él hay una perturbación, una excitación del sistema, y vas a tener que hacer algo que hacemos en muchos procesos de transformar a nuestro fenómeno físico en una expresión matemática. Esto tiene un nombre: se llama modelar. Sale. Cuando tú transformas un fenómeno físico en un en un modelo matemático, a esto le llamamos modelado, sale. Bueno, pues en el proceso de modelado yo tengo que considerar todas las reglas de la física que yo tengo presentes, y tengo que hacer muchas suposiciones, suposiciones que debo de respetar a lo largo de todo el ejercicio. Yo voy a hacer una propuesta: esta cosa puede vibrar; mi dibujo es un instante, no es un video, no puedo hacer que mi dibujo esté cambiando la dirección de las flechitas. Sí, así que yo debo de hacer una propuesta. ¿Cuál es la tendencia de movimiento que se está mostrando en esa foto de de mi de mi cajita? Yo voy a decir que la tendencia de movimiento va para abajo. Sí, en esa foto que tenemos plasmada en este dibujo, tú vas a suponer que está yendo para abajo. Si está yendo para abajo, este resorte, tú que me podrías decir que está haciéndole a la caja: ¿la está ayudando a ir hacia esa dirección del movimiento o se está oponiendo a ir en esa dirección del movimiento? Se opone. Así que la fuerza que yo voy a dibujar que ejerce ese resorte sobre el cuerpo tendría que estar aquí, y va a ser la fuerza del resorte. ¿Estamos de acuerdo? El amortiguador, que es este, ¿qué estaría haciendo? ¿Lo ayuda a ir hacia esa dirección o se opone? También se opone. El amortiguador es es eh tienes que ejercer una fuerza para desplazar al fluido, ¿no?, que que tenga en su interior. Entonces se opone, y es se pone así, sale. Hay otra fuerza presente aquí que puede pasar algo desapercibida, pero está relacionada con la primera y la segunda ley de Newton, sí, la ley de la inercia, sale, que todo objeto tiene una inercia, una oposición a cambiar su estado de movimiento. Si tú me dices que quieres mover esto para acá abajo, debe de haber una oposición de la de la caja solamente por su masa. Esa masa se opone a ir a favor del movimiento. Así que aquí estaría la fuerza de la masa, la la fuerza inercial, vamos a decirle así. Sí, ¿estamos de acuerdo? Esa se puede considerar la normal. Ah, caray, eso nunca me había salido. ¿Qué qué es eso? Mantenga su spen alejado de la pantalla, no sé qué hice. Luego veo, me decía: perdón. Esa se puede considerar como la normal. No, no, porque la fuerza normal es de que se está apoyando en una superficie, y esa la vamos a utilizar cuando queramos estudiar una fuerza de fricción. Sí. Entonces en este caso no. Bueno, pues esas son las tres fuerzas presentes aquí en esta cajita. ¿Cómo quedaría una sumatoria de fuerzas de acuerdo a nuestro sistema de referencia x, y, y todo lo que apunte para arriba es positivo, todo lo que apunte para abajo es negativo? Así que tenemos la fuerza de la masa más la fuerza del amortiguador más la fuerza del resorte menos la excitación del sistema. Hay un principio de la física muy muy bonito eh es difícil platicarlo el porqué de esto ahorita, pero se llama principio de d'Alembert, que habla de algo eh conocido como un equilibrio dinámico. Quiere decir que las fuerzas que hacen que un objeto se mueva van a hacer que aparezcan como reacciones otras fuerzas que van a variar en función de las que hacen que se mueva; es decir, hay fuerzas activas que vienen de fuera del cuerpo, hay fuerzas reactivas que son producto de las fuerzas activas, son respuesta a eso, y hay fuerzas inerciales, como su peso y la tendencia de movimiento eh u otras como la la fuerza de fricción. Todas esas deben de estar en un equilibrio. Es una, hasta cierto punto, es una consecuencia del enunciado de la energía: no se crea ni se destruye, solo se transforma. Sí, la fuerza impresa a ese objeto debe de convertirse en otro tipo de fuerzas, pero no puede ser que yo ponga 100 newtons de fuerza a un objeto y mágicamente se transforme en 200 newt de fuerza en otra cosa. Debe de haber un intercambio de algo, sale. Okay. Entonces eso es para decirles que el equilibrio de esas fuerzas es cero. Así le pongo F de T porque es una fuerza que puede cambiar respecto al tiempo. Sí. Okay. Despejo la excitación del sistema, queda como F de T, así de esta forma. Es algo muy común en los modelos matemáticos despejar y dejar solita a esa fuerza que es la culpable de que el sistema funcione o se mueva, es decir, la excitación del sistema. Muy bien. Si yo utilizara lo que sé de física, yo sé que la fuerza de la masa es equivalente a la masa del objeto por la aceleración que tiene este objeto, según la segunda ley de Newton. Aceleración es inversamente directamente proporcional a la sumatoria de todas las fuerzas e inversamente proporcional a la masa, y ahí viene este resultado. El amortiguador. Ocurre algo muy muy curioso, no sé si tú lo recuerdas o lo has visto la experiencia en algún restaurante, puerta de alguna plaza, algunos edificios tienen puertas de cierre automático que tienen justamente un amortiguador. También tienen un resorte, pero ahorita me interesa el aspecto del amortiguador, que se cierra solita a una cierta velocidad. No sé si te haya causado ansiedad o desesperación el ver la lentitud con la que se cierra y hayas querido intentar cerrarla más rápido. ¿Alguien lo ha intentado? No puedo creer que no allá confiesen tres compañeros que sí. Acá sí pueden decirnos qué experimentan ustedes al momento de querer cerrarla más rápido. Se pone más dura la la puerta, se p se pone difícil la puerta. Sí. Okay. Entonces eh eso es debido al principio físico del amortiguador, sale eh la fuerza que va a oponer un amortiguador va en función de a qué velocidad quieras hacer el desplazamiento del amortiguador. ¿Quieres desplazar el amortiguador a una velocidad muy rápida? Aumenta tu fuerza. ¿Quieres desplazarlo despacito? Con una fuerza pequeñita es suficiente, sale. Sí, ¿vamos bien hasta ahí? De ahí que yo les comente que este término se escribe como la constante de amortiguación por la velocidad a la que lo desplaces. Y la fuerza del resorte, esa sí te la presentaron en la preparatoria, se llama ley de Hooke, es la constante del resorte por la deformación del resorte. En física de la prepa era kx, pero para ser exactos con mi diagrama, la deformación se da en el eje y, así que vamos a poner y. Sí, ¿estamos de acuerdo? ¿Conoces la aceleración de la caja? ¿Conocerías la aceleración de la caja? Ajá. Bueno, la gravedad es parte d Pero si tú le pegas así no se va a mover nada más de acuerdo a la aceleración de la gravedad. Efectivamente, la gravedad siempre va a estar ahí de metiche, ¿verdad? Pero no es la aceleración neta que tiene la caja. Así es, a lo que quiero llegar es que aquí no conoces la aceleración, primera incógnita; no conoces la velocidad, segunda incógnita; no conoces la posición, tercera incógnita. Suena a un problema muy difícil porque dices: oye, tengo tres incógnitas y una ecuación. Bueno, tú te imaginas también la siguiente situación: le pegas a este sistema, va a vibrar, va a vibrar para toda la vida; tarde o temprano se va a quedar quieto. O sea que ni su aceleración, ni su velocidad, ni su posición son constantes, son cambiantes en el tiempo. Sí. O sea que podríamos decir que la aceleración, velocidad y posición son, saca todo tu primer semestre, funciones, son valores que varían respecto a otra variable, son funciones del tiempo. Aceleración, velocidad y posición son funciones del tiempo. ¿Estamos de acuerdo? Sí. Entonces debes de considerar que esto es masa por una función que no conoces que se llama aceleración respecto al tiempo, más constante de amortiguación por la velocidad como función del tiempo, más constante del resorte por la posición como función del tiempo, igual a una fuerza que se le aplicó al al vehículo que también es función del tiempo. Sí. Hay un enunciado o un hecho de la física que seguramente el profe de cálculo de la te lo dijo una y otra vez para tratar de mantenerte interesado en en que el cálculo tenía una utilidad: te dicen que si tienes una función que describe la posición de una partícula, su derivada es, no, su velocidad, y la derivada de la función de velocidad es la aceleración. Entonces esas tres funciones desconocidas que tenemos aquí presentes en realidad están relacionadas todas con una misma función, la función de la posición, porque así como esta posición cambia, pues si cambia con respecto al tiempo es porque tienes una velocidad, y si la velocidad de esta caja cambia es porque tiene una aceleración. Entonces, segunda derivada respecto al tiempo de la posición será la aceleración, la primera derivada de la posición de la caja respecto al tiempo será la velocidad, y esta es la función de posición. Fíjate nada más qué rápido se puso bien difícil esta cosa. Te presento a la a las ecuaciones diferenciales. Esa es una ecuación diferencial. ¿Qué cosa es una ecuación diferencial? Una igualdad de dos miembros, de dos expresiones. Aquí tenemos miembro izquierdo con miembro derecho, donde ecuación diferencial ya tengo cubierto el término ecuación; la parte diferencial es porque tienes derivadas de una función desconocida. La función desconocida es y, y la primera derivada de y, y la segunda derivada de y. Esa es una ecuación diferencial. Si yo pudiera resolver esto eh podría saber cómo vibra la caja y podría entender el fenómeno físico, porque el resultado de saber quién es y pues no sé qué rayos vaya a dar, pero pensemos que de algo así como e a la 2x coseno de x, algo así, bueno, t + 4x e a la 2t seno de t, por ejemplo, no, no sé, algo así. Sí. Si tú graficas esto, se va a ver así. Esta es la gráfica de la solución de la ecuación diferencial, y es una función, una de una infinidad de funciones que existe en el club llamado club de las funciones, solamente una que es capaz de hacer verdadera.

a esta expresión. Sí, vamos bien hasta ahí. ¿Cómo la encuentras? Si está tan grande el club, es… es infinito, literalmente tiene una cantidad infinita de funciones. Bueno, pues ahí es donde sale el álgebra lineal y dice: a ver, a ver, tratemos de poner orden. ¿Qué te interesa de esta función? Porque la función, para el matemático, puede tener muchas otras aplicaciones. Pero a ti, ¿qué te importa? ¿Para qué la vas a usar? No, pues para representar a este sistema vibratorio. Pues mira, el matemático se preocupa por muchas más cosas de lo que normalmente se preocupa el ingeniero. El matemático quiere resolver la ecuación diferencial sin importar eh la condición inicial, valores iniciales, coeficientes, etcétera, etcétera. Pero tú no eres matemático, tú eres ingeniero. El… el matemático va a querer resolver la ecuación diferencial para todo el dominio de la función, acuérdate. El dominio de la función es ¿para quién es? ¿Para quién se grafica esta función? En términos ingenieriles significa que tú quisieras estudiar un sistema que está vibrando desde el principio de los tiempos y va a vibrar hasta el final de los tiempos del universo. Eso no me interesa; a mí me interesa estudiarlo desde las 2 de la tarde hasta las 3. ¿Sí? En un intervalo muy concreto. Por eso a mí… lo único que me interesa es que la función sea continua de las 2 de la tarde de tal día a las 3 de la tarde de tal día, durante 60 minutos o 3600 segundos, dependiendo en cuánto quieras discretizar el tiempo. Sí, vamos bien. Sí. Solamente ahí te interesa eso. Y cuando aprendas un poquito más de ecuaciones diferenciales, te va a interesar en ese intervalo, porque vas a aprender que las técnicas de ecuaciones diferenciales indirectamente implican procesos de integración, y una integral no se puede realizar si la función no es continua. ¿Estamos de acuerdo? Sí. Bueno, entonces pues del universo infinitamente grande que se llama funciones eh este… el espacio vectorial de las funciones continuas, te interesa un cachito llamado conjunto de las funciones continuas en este cierto intervalo. Algunos te lo van a poner así: desde un valor a hasta un valor b. Solamente me interesa las que estén allí. Sale. Sí, vamos bien. Vamos a poner un ejemplo: funciones continuas de 0 a 10, porque pensemos que esos son segundos. Quiero estudiar fenómenos que duran 10 segundos. ¿La función x es continua de 0 a 10? Sí, sin broncas; puede sustituir cualquier valor de 0 a 10 y no pasa nada. La función raíz de x es continua de 0 a 10. Sí, sin ningún problema. La función 15 – raíz de x es continua de 0 a 10. ¿Es así? La función x – 15 es continua de 0 a 10… eh, ya no. Ella no merece estar en el club C010, no pertenece aquí. ¿Por qué? Si tú… si tú sustituyes cero, te da –15. Sí, sí, bien. Y pues no hay raíz de –15. Entonces no hay… no está definida la función para ese intervalo; no es continua. Si tú sustituyes 1, 2, 3, cualquiera… pero es más, ya… ya con uno que no cumpla, ya olvídate, no pertenece al club. Sí. Entonces ella queda excluida del club, y estas sí están adentro. Sí, vamos bien hasta ahí.

Para discutir la idea de espacio vectorial, tienes que recordar los axiomas. Axioma de la cerradura: un vector del conjunto más otro vector del conjunto es otro vector del conjunto. Manzanas con manzanas dan manzanas, decíamos nosotros. En términos de funciones, yo te diría: una función continua de 0 a 10 más otra función continua de 0 a 10 sigue siendo una tercera nueva función de 0 a 10, sin broncas. x + raíz de x es una… eh… una nueva función que sigue siendo continua de 0 a 10. También lo es la raíz de x + x. Segundo axioma: conmutatividad. Tercer axioma: asociatividad. ¿Hay algún problema de cómo quieras agrupar estas funciones? No, no importa que las escriba así o después la x, las junte la raíz de x con x, raíz de x con 15 – x, no importa. Tercer axioma: asociatividad. Cuarto axioma: elemento neutro aditivo. ¿Existe una función que sea neutra aditiva? ¿Qué pasa si yo te digo la función f(x) = 5? ¿Cómo… qué… qué tipo de función decimos que es? Así es. Es una función constante. ¿Cómo se ve una función constante? Es una recta horizontal. Aquí sería 1, 2, 3, 4, 5; sería una rayota que pasa aquí. Esta es y = 5 o f(x) = 5 para cualquier x, da 5. ¿Estamos de acuerdo? Sí. ¿Puedes pensar en una función neutra aditiva? Te acabo de dar la pista: eh… la función constante f(x) = 0, una recta constante horizontal a la altura de y = 0. Tú le sumas esta a cualquiera del conjunto, vuelve a quedar la misma: x + 0 = x; raíz de x + 0 = raíz de x. Entonces existe el neutro aditivo. Para cualquier función que se te ocurra de este conjunto, existe el inverso aditivo, y que también sea parte del club. x es continua de 0 a 10. ¿Quién sería su inversa? –x. La pregunta sería: –x es continua de 0 a 10. No, no, no es de 0 a –1; es el mismo intervalo de 0 a 10. Sí, tú me estás diciendo más bien su recorrido, porque al sustituir el 0 a 10, 0 da 0, 1 da –1, 2 da –2. Tú me estás diciendo los resultados de la evaluación. Pero la pregunta es: ¿puedo evaluar los datos del 0 al 10 en –x? Sí, sin problema. Sí, sí, sí, podemos. Sale. O sea que también pertenece al club llamado funciones continuas de 0 a 10. Para cualquiera continua de 0 a 10 tenemos su inversa de 0 a 10 también, que en cualquiera de los casos da el neutro aditivo. Pues ahí está, esa es la… la existencia y unicidad del inverso aditivo. Sale. Ya tenemos el quinto: cualquier múltiplo de cualquier función es parte del club. x es parte del club; 3x sigue siendo continua de 0 a 10; 4x, 5 veces raíz de x, 3 veces 15x… esta es continua, 3 veces eso también sigue siendo continua. Ya te diste cuenta que este club cumple con los axiomas de espacio vectorial. Okay, si cumple con los axiomas de espacios vectoriales, debe de ser posible entonces tener combinaciones lineales de funciones y… y poder identificar funciones linealmente independientes y además funciones linealmente dependientes. ¿Estamos de acuerdo? ¿Cómo le podría yo hacer para identificar qué… eh… qué funciones son LI y qué funciones son LD? Porque eso va a servir muchísimo para el estudio de las… de las ecuaciones diferenciales, de verdad se los juro. Bueno, pues vamos a empezar con eso justamente, ya que te di una pequeña introducción… susto… de ecuaciones diferenciales, una introducción, presentación, pues vamos a ver qué pasa. Ya que vimos que cumple con… con todas las… con todos los axiomas y que es un espacio vectorial. Esa es la presentación. Sale. En ecuaciones diferenciales se te va a decir que la solución, es decir, la función desconocida que tú buscas, forma parte de un club más chiquito que se llama funciones continuas de un cierto intervalo con al menos n primeras derivadas sucesivas. ¿Qué quiere decir esto? Tengo el club que se llama funciones continuas y en el intervalo de 0 a 10 segundos. No me interesa qué otra propiedad tengas, solamente que seas continua de 0 a 10. Pero hay otro club más VIP dentro del club. Sí, algo así como un antro VIP dentro de una privada en Las Lomas o algo así. No es un segundo filtro que se llama Cⁱ; o sea, también debes de ser continua en ese mismo intervalo, si no no habrías pasado el primer filtro, y que además tengas al menos n primeras derivadas sucesivas. La función que es solución de esta ecuación diferencial debe ser capaz de al menos tener n primeras derivadas sucesivas. Sí, así que olvídate de que la x pueda ser eh solución de la ecuación diferencial, porque nada más tiene una; la constante y la siguiente sigue siendo otra constante que es cero. Sí, entonces pues eso nos ayuda a plantear un… este… vamos a decirlo así… un espacio de búsqueda más pequeño, un lugar de búsqueda más chiquitito. Bueno, así como existe una base para eh… para un espacio vectorial de… de flechitas o cosas por el estilo, también debe de existir una base para el espacio vectorial de las funciones. Pero ¿te acuerdas cuáles son las características que debe tener un conjunto para hacer una base de un espacio vectorial? Que sean LI. Ajá. ¿Qué más? Ser un conjunto generador a todo el espacio vectorial a partir de puras combinaciones lineales de ellos. Bueno.

Después de intentar convencerte que existe un club llamado funciones continuas en un cierto intervalo que cumple con los axiomas de un espacio vectorial, dicho espacio vectorial debe de tener una base. Y si quiero hacer un chorro de cálculos con estas cosas llamadas funciones de este club, debo de saber encontrar una base. Pero antes de saber encontrar una base, debo saber determinar la dependencia lineal, porque quiero un conjunto LI. ¿Estamos de acuerdo? Así que vamos a poner justamente eso: dependencia lineal de funciones. Sale, muy bien. Vamos a ver. Pensemos que tenemos un espacio vectorial que es el espacio vectorial de las funciones continuas en un cierto intervalo de estudio, y tenemos un cachito de ese espacio vectorial al cual le vamos a llamar S; ese es un subconjunto de Cⁱ, subconjunto, no subespacio, o sea, solamente agarré algunos. Sale. S son funciones que vamos a decir… es f₁, f₂, y así sucesivamente hasta f_N. Es el símbolo que está… bueno, la S de subconjunto… subconjunto S es un subconjunto de C. Dudo que estas cosas tan específicas las vayan a alcanzar a revisar en… en… en… en los resultados de… de APA. Y sirve que nos sirve para hacer… amén a la clase en lo que copian algunas cosas. Pero veo mi reloj y pienso: cómo cambia la vida. Cuando era más joven me hubiera emocionado tener un reloj como este. Para los que estén viendo el video, pues no saben qué tipo de reloj es, pero es uno deportivo, eh, porque me hubiera encantado ver cuando era joven este… bueno, más joven eh… cuántos pasos llevaba, cuántas calorías había quemado. Eso hubiera sido el gusto de haber tenido un reloj como estos, y hoy con mi hipertensión el gusto es ver que mi frecuencia cardíaca no rebasa los 80 latidos por minuto. ¡Cómo cambia la aplicación de las herramientas, muchachos! Pero bueno, espero dentro de poco volverme a preocupar por… por el deporte y no nada más por… no… no traer la frecuencia elevada. Bueno, ya está. Okay, entonces hacemos… la pregunta es: ¿S es LI o LD? Vamos a plantear nuestra prueba que habíamos determinado… ajá… o habíamos desarrollado para los vectores con componentes. Un problema aquí es que una función no tiene componentes. Un vector de R² tiene la primera y la segunda componente; un vector de R³ tiene primera, segunda y tercera; pero las funciones, ¿dónde están sus componentes? No las tienen. Sí, no tienen primer cachito, segundo cachito, tercero… no lo tienen. Aún así… vamos a ponernos de necios con escribir la expresión para afrontar a nuestro problema. Nuestro problema es que tendríamos que plantear la ecuación de la dependencia lineal que dice que tienes un… un primer coeficiente por una primera función más un segundo coeficiente por una segunda función más un tercero por tercera función y así sucesivamente hasta la enésima función, y debería de ser igual a la función neutra aditiva que sería cero. Solo para la solución trivial, si la única opción para que d = 0 es que todas las lambdas sean cero, el conjunto es LI. El problema es que estoy viendo que tengo n incógnitas. ¿Y cuántas ecuaciones? Una. Debo tener la forma o debo de buscar la manera de generar más ecuaciones con las mismas incógnitas y que dichas ecuaciones sigan siendo válidas, sigan siendo verdaderas. Porque claro que las puedo escribir a azar y a lo loco nada más, pero eso no tendría ningún sentido. La verdad es que aquí eh… vamos a partir del hecho de… de… de dos… este… de dos ideas que si bien una pudiera parecer que es justamente a la que quiero llegar, al menos es una conclusión que puedo sacar por adelantado de manera sencilla. ¿Qué puedo sacar por adelantado? Voy a hacer una nota aquí: pensemos… tengo a la función uno que pensemos es x³, sí, y tengo a la función dos que sería tres veces x². ¿Puedes contestarme cómo es el subconjunto formado por estas dos funciones? ¿Es LI o LD? Eh… LD. ¿Por qué sería LD? Solo estás extendiendo el x³; tres veces x² es un múltiplo de la primera. La segunda función es una combinación lineal de la primera y es claramente obvio. Sí, es tres veces la primera; es una combinación lineal de ella. ¿Estamos de acuerdo? Sí. Okay. Y eso es extremadamente fácil de ver. Sale. Vamos a ver ahora lo siguiente: si yo tuviera una función f₁ que sea x³, ¿cómo sería la función x² con respecto a la primera derivada de ella? ¿Quién sería su primera derivada? 2x. Sí. Y pensemos en el subconjunto S, f₁ y su respectiva derivada. ¿Cómo sería este conjunto LI o LD? ¿Cómo crees? Para que sean LD debería de ser posible encontrar a cualquiera de ellas después de multiplicar a una por un número, es decir, puedes multiplicar a 2x por un número y que se convierta en x². No abusados con la pregunta, eh, porque es muy diferente a preguntar si en algún momento las dos funciones valen lo mismo. Si la respuesta es sí, pues significa que las funciones se interceptan en un punto, pero nada más; no quiere decir que las funciones sean iguales en toda su extensión. Preguntar que sean LD es porque literalmente son múltiplos. Sí, sí, vamos bien. Entonces ese es linealmente independiente porque no puedo encontrar a ninguna de ellas por medio de una multiplicación o combinación lineal de las otras. ¿Estamos de acuerdo? Este pequeño aprendizaje lo puedo extender a esta prueba, a esta idea y decir: oye, pues me parece una buena idea que esta expresión… ¿qué te parece si la derivamos? Si yo la derivo, voy a obtener la derivada de f₁, que va a ser f₁ prima. f₁ prima no es… es un múltiplo escalar, no es una combinación lineal de f₁. Sí, como resultado la nueva ecuación que sería una derivada de esta no sería una ecuación dependiente de la primera en cuanto a combinación lineal. Sí, no la puedes eliminar en un proceso de… de… de Gauss-Jordan. Vamos, no va a ocurrir que al aplicar Gauss-Jordan se generen un chorro de renglones con ceros. Me explico: vas a generar una ecuación nueva con las mismas incógnitas, λ₁, λ₂, etcétera, eh… linealmente independiente. Sí. Bueno, pues esa es la idea que se saca nuestro querido amigo matemático. Grönwall es lo único que me acuerdo de este señor. ¿Tendría algún otro nombre? A ver si lo tengo aquí en mis apuntes. Ay, será… yo tenía idea que sí le había dado su lugar a este señor. No, un gacho, y no… no lo puse. Bueno, luego te lo comento, pero que yo sepa se apellidaba Grönwall, y de ahí la… la… el método que vamos a utilizar se llama Grönwall. Okay. Okay, entonces de esta primera ecuación, como no tienen componentes, lo primero que… lo siguiente que vamos a hacer es: ah, pues sácate otra ecuación derivando esto: f₁ prima + λ₂ * f₂ prima + λ₃ * f₃ prima y así hasta la enésima función, enésima derivada, perdón. Rayos, gracias. Ahí se alcanzaría o debería de alcanzarse a vislumbrar una pequeña deficiencia de esta idea. La idea no está mal, pero el único problema es que donde una de esas funciones que estés estudiando ya no tenga una enésima derivada sucesiva, todo va a ser cero a partir de allí y va a causar muchos problemas. Entonces, normalmente funciona principalmente para estudiar la dependencia lineal entre funciones trascendentes, es decir, que tengan chorros de derivadas: funciones exponenciales y trigonométricas o que no tengas tantas funciones, que no tengas un número de funciones más grandes que la derivada que tengas. Tienes un polinomio de grado tres, pues él nada más tiene tres primeras derivadas. Así que espero que no quieras estudiar su dependencia lineal con más de otras dos funciones, porque solamente podría una matriz de 3 x 3 eh… útil, vamos a decirlo así. Sí, ¿estamos de acuerdo? Sí. Okay. Vamos a ver cómo se ve este asunto con algo como esto. A ver, a ver. Acá traigo un ejemplo. A ver, a ver. Tenemos a la función uno que es e^x y la función dos que es e^2x, así, y están formando un conjunto que me interesa saber si es LI o LD, pero ya de manera analítica. Sale, ¿vamos bien hasta ahí? Ah, okay. Entonces pues yo tendría que plantear la prueba: λ₁ por f₁ + λ₂ * f₂ = 0. Y acá yo tendría que poner λ₁ * f₁ prima + λ₂ * f₂ prima = 0. Sustituyo qué es cada una de esas cosas y me queda e^x + λ₂ por e^2x. Ahora λ₁, derivada de e^x vuelve a dar el mismo, ¿verdad? Sí. Más, aquí abajo iría la derivada de e^2x… dos [Música] veces e^2x. No, así. Sale. Y ahora tendría que resolver esto. No es extraño porque aquí las… las… las incógnitas son las lambdas y deberías de tratar incluso a la expresión algebraica… ajá… es decir, el… las… las funciones e^x, e^2x como… como parte de la… del coeficiente. Así que esto convendría más escribirlo como e^x por λ₁ + e^2x por λ₂ = 0. Y acá esto me quedaría como e^x también por λ₁ más dos veces e^2x por λ₂. Y aplicando el mismo principio del determinante de la prueba del determinante, si el determinante general de este sistema es diferente de cero, concluimos que el conjunto es LI; si el determinante es igual a cero, concluimos que es LD. Pero los coeficientes son funciones. Ahora sí. Así que el determinante general del sistema es igual a determinante de e^x, e^2x; e^x, dos veces e^2x. Determinante de esto sí que sabemos muy fácilmente aquí sería eh… e^x por dos veces e^2x menos lo que da de e^x * e^2x. Sí, ¿estamos de acuerdo? Puedes hacerlo de muchas formas. Aquí, por ejemplo, vamos a escribir eh… no son bases. Exactamente. Bueno, sí son iguales, no, la base es e. En un lado tiene exponente x y en el otro 2x. Así que esto sería dos veces e^3x, porque se suman sus exponentes de acuerdo a las leyes de los exponentes, y acá menos e^3x. Por términos semejantes, esto nos da e^3x, que en general es diferente de cero. Por lo tanto, S es LI. A esta matriz que nosotros tenemos aquí, o al determinante de esta matriz, nosotros le llamamos wronskiano de las funciones f₁ y f₂, que es el wronskiano. El determinante de una matriz donde tengo en cada renglón a las funciones involucradas, es decir, f₁, f₂, y así sucesivamente, van a aparecer sus siguientes derivadas: f₁ prima, f₂ prima. Si aquí hubiera tres funciones, el determinante crece hasta el tercer renglón en la segunda derivada. Si hubiera cinco funciones, el determinante crece hasta el quinto renglón con la cuarta derivada. Sí, ¿vamos bien? Sí. Y es una prueba que nos puede ayudar a determinar la dependencia lineal de funciones. ¿Está chido o no está chido, verdad? Que sí, sí. El método del wronskiano se explota un poco más allá en ecuaciones diferenciales en algunas técnicas, pero pues… bueno, al menos ya… ya sabes medianamente de dónde sale: de la misma prueba de la dependencia lineal de que hicimos para espacios como Rⁿ. Sí, pues aquí está, muchachos. Creo que está… está bien dejarle hoy allí. Le voy a quitar el video.