Ableitungsregeln geometrisch erklärt - Das Wesen der Infinitesimalrechnung 4

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Willkommen zum vierten Video der Serie. In den letzten Videos habe ich über die Ableitungen von einfachen Funktionen gesprochen und das Ziel dieser Videos war, dass du verstehst, oder vorstellen kannst, woher diese Ableitungen kommen. In Wirklichkeit sind die meisten Funktionen, die man verwendet, um Phänomene in der echten Welt zu modellieren, etwas komplexer, oft eine Zusammensetzung von einfachen Funktionen. Also ist unser nächster Schritt zu verstehen, wie man die Ableitungen von diesen zusammengesetzten Funktionen berechnen kann. Und nochmal, ich möchte nicht, dass das etwas ist, das du auswendig lernst. Ich möchte, dass du ein klares Bild davon hast, woher diese Regeln kommen.

Es gibt drei sehr häufige Arten, wie sich eine Funktion aus anderen Funktionen zusammensetzen lässt. Man kann sie addieren, man kann sie multiplizieren und man kann eine in die andere einsetzen. Das nennt man auch das Verketten von Funktionen. Klar, man könnte auch Superhirn dazu nehmen, aber man kann das auch sehen als das Addieren der Funktion, die noch mit -1 multipliziert wird. Und dasselbe für die Division. Das ist dasselbe, als würde man die Funktion im Nenner in die Funktion 1/x einsetzen. Also diese beiden Funktionen miteinander verkettet und danach mit der Funktion Zähler multiplizieren. Also, wenn man darüber nachdenkt, fast alle Funktionen kann man als irgend eine Kombination dieser drei Arten von einfachen Funktionen darstellen. Auch wenn es keine Grenze gibt, wie riesig und verrückt diese Kombinationen werden können. Der Punkt ist, solange du weißt, wie du mit diesen drei Arten von Kombinationen umgehen kannst, kannst du das Problem immer schrittweise lösen.

Lasst uns also sehen, was die Ableitungen von der Summe, dem Produkt und der Verkettung von Funktionen ist. Die Summenregel ist die einfachste, auch wenn es ein kleiner Zungenbrecher ist. Die Ableitung der Summe von Funktionen ist gleich die Summe der Ableitungen der Funktionen. Aber sehen wir uns einmal an, was das überhaupt bedeutet. Die Ableitung einer Summe von Funktionen zu nehmen. Sehen wir uns die Funktion f(x) = sin(x) + x² an. Für jeden Wert x berechnen wir also sin(x) und dann addieren wir diese beiden Werte. Zum Beispiel für x = 0,5 ist die Höhe der Sinuskurve dieser vertikale Balken und die Höhe der x²-Parabel ist dieser etwas niedrigere Balken und deren Summe ist einfach das Auseinandersetzen der beiden Balken.

Für die Ableitung von f(x) stellen wir uns wieder diese kleine Änderung dx vor, die wir nach rechts gehen. Die Änderung des Funktionswertes von f nennen wir wieder df und diese Änderung von f setzt sich zusammen aus der Änderung der Sinusfunktion (sin(x+dx) - sin(x)) plus der Änderung der x²-Funktion ( (x+dx)² - x² ). Und wir wissen ja, dass die Ableitung der Sinusfunktion die Kosinusfunktion ist. Wie du dich erinnerst, bedeutet das, dass diese Änderung sin(x+dx) - sin(x) gleich cos(x) * dx ist. Das ist proportional zu dieser kleinen Änderung dx und diese Proportion ist, was auch immer cos(0,5) ist. Genauso wissen wir, dass die Ableitung von x² gleich 2x ist. Also der zweite Term ist 2x * dx. Wenn man also umformt, sehen wir, dass df/dx gleich cos(x) + 2x ist. Also die Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen.

Für Produkte sieht die Sache etwas anders aus. Wir werden gleich sehen, warum. In diesem Fall ist es nicht so hilfreich, die Funktionskurven zu sehen. Ziemlich oft in der Mathematik, eigentlich fast immer, ist es sinnvoll, ein Produkt als irgendeine Fläche anzusehen. Zum Beispiel dieser Box, die die Seitenlängen sin(x) und x² hat. Jetzt kann man sich natürlich fragen, was das bedeutet. Und naja, weil in diesen Seitenlängen der Box x vorkommt, kannst du dir vorstellen, wie sich diese verändern, wenn wir verschiedene x ansehen. Um das ein wenig klarer zu machen, sehen wir uns die Breite der Box sin(x) an. Wenn wir x immer näher gegen die halbe Pi gehen lassen, geht der Wert von sin(x) und damit die Breite Richtung 1 und danach wird die Breite wieder kleiner, bis sie wieder 0 wird. Und genau genommen danach negativ, aber das ändert unser Argument hier nicht. Ganz ähnlich funktioniert es bei der Höhe, die einfach immer größer wird, wie bei der x²-Funktion. Nehmen wir die Funktion f(x), die das Produkt von sin(x) * x² ist, ist eben die Fläche dieser Box.

Für die Ableitung sehen wir uns wieder diese kleine Änderung von x, dx, an und wie das f(x), also die Fläche, verändert. Was ist die resultierende Änderung der Fläche, df? Naja, also die Breite muss sich ja um sin(x) verändern. Das ist ja schließlich der Wert, um den sich die Sinusfunktion ändert, wenn man die Funktion um dx verändert. Und ganz ähnlich ändert sich die Höhe um x². So entstehen drei kleine Rechtecke. Der Balken unten ist sin(x) breit und dx hoch. Das dünne Rechteck rechts ist x² hoch und sin(x) breit. Es bleibt noch das kleine Rechteck unten rechts übrig, aber das können wir ignorieren, weil es schlussendlich einem dx²-Term enthält und wir diese ignorieren können, wenn wir dx gegen Null gehen lassen. Aber es ist eine tolle Übung, das nachzurechnen. Also, wenn du neugierig bist, pausiere das Video und probiere es aus. Das Ganze erinnert sich vielleicht an die Visualisierung, die wir über x² im letzten Video hatten. Und so wie dort verwende ich ziemlich große dx-Werte, damit man die Flächen überhaupt sehen kann. Aber erinnere dich, dass wir schlussendlich dx immer gegen Null gehen lassen.

Wenn wir jetzt anwenden, was wir schon wissen, dann können wir für dx² 2x dx einsetzen und für sin(x) cos(x) dx. Und wie immer dividieren wir durch dx, um den Term für die Ableitung links stehen zu haben, df/dx. Und die ist also sin(x) * (Ableitung von x²) + x² * (Ableitung von sin(x)). Und da ist nichts Spezielles an sin(x) und x². Dasselbe Argument würde für zwei beliebige Funktionen g(x) und h(x) funktionieren. Genauer genommen müssen die beiden Funktionen differenzierbar sein, aber das sind zum Glück alle Funktionen, die man in der Schule lernt. Im Englischen gibt es eine schöne Merkregel dafür: "low d-high plus high d-low" oder übersetzt: "links d-rechts plus rechts d-links". In unserem Beispiel, wo wir sin(x) * x² betrachtet haben, bedeutet "links d-rechts", dass wir die linke Funktion sin(x) mal der Ableitung der rechten Funktion x² genommen haben. Und dann geht es genauso weiter mit "rechts d-links": x² mal der Ableitung von sin(x), also cos(x).

Wenn man das nie gesehen hat, ist das doch irgendwie seltsam, oder? Warum ist es nicht über der Summe, wo wir die Ableitungen summieren? Sprich, warum multiplizieren wir nicht einfach die beiden Ableitungen miteinander? Aber wenn wir an die Visualisierung von vorher denken, können wir die beiden Terme, also die größeren Rechtecke, sehen: "links d-rechts" ist das Rechteck unten und "rechts d-links" ist das Rechteck auf der rechten Seite. Das kleine Rechteck ist übrigens das Produkt der Ableitungen, und das ist ja so klein, dass wir es vernachlässigen können. Übrigens, wenn man mit einer Konstanten multipliziert, z.B. 2, da kann man es sich auch leichter machen. Die Ableitung kann man einfach hinein ziehen. In diesem Fall 2 * cos(x). Du kannst gerne das Video anhalten und darüber nachdenken, warum das so ist.

Abgesehen von Addition und Multiplikation ist die Verkettung eine häufig vorkommende Art, Funktionen zusammenzusetzen. Es kommt wirklich ständig vor. Zum Beispiel können wir die Funktion x² nehmen und einfach in der Funktion sin(x) einsetzen und wir bekommen diese neue Funktion sin(x²). Was glaubst du, die Ableitung dieser neuen Funktion? Um das herauszufinden, verwende ich eine neue Art, die Dinge zu visualisieren. Das zeigt vielleicht auch, wie viele Möglichkeiten es in der Mathematik gibt. Wir sehen uns drei verschiedene Zahlen geraten an. Die erste verwenden wir für x, die zweite für x² und die dritte für sin(x²). Also bringt uns die Funktion x² von der ersten in die zweite Zeile und die Sinusfunktion von der Zeile 2 auf Zeile 3. Wenn du also den Wert x änderst, zum Beispiel auf 1,5 setzt, dann bewegt sich der zweite Wert dorthin, wo x² ist, in diesem Fall 2,25. Und der unterste Wert sin(x²) ist also sin(2,25), was ungefähr 0,778 ist.

Um herauszufinden, was die Ableitung ist, sehen wir uns also wieder mal an, was passiert, wenn wir x um diesen kleinen Wert dx verändern. Und ich glaube, es ist sinnvoll, wenn wir uns vorstellen, dass es bei einer konkreten Zahl beginnt, z.B. x = 1,5. Wir wissen schon, dass die resultierende Änderung von x², dx², gleich 2x dx ist. Es hilft aber, das vorerst noch nicht als dx² zu schreiben. Ich gehe sogar einen Schritt weiter, ich nenne x² einfach h und dx² wird also einfach dh. Das macht es ein bisschen einfacher. In der dritten Zeile, wo wir auf sin(h) stehen, der Wert verändert sich also um die Sinus von h, also die kleine Änderung, die durch dh verursacht wurde. Und übrigens, dass die Sinus von h nach links geht, bedeutet einfach, dass die Arbeit hier negativ ist. Hier können wir wieder unser Wissen über die Ableitung der Sinusfunktion verwenden. Diese kleine Änderung muss cos(h) * dh sein. Und wenn wir für h wieder x² einsetzen, dann sehen wir, dass die Änderung ganz unten cos(x²) * dx² ist. Wir können sogar noch einen Schritt weiter gehen. Wir wissen ja, dass dx² gleich 2x dx ist.

Erinnern wir uns kurz daran, was dieser Ausdruck eigentlich bedeutet. Wir sind bei x = 1,5 gestartet und sind einen kleinen Wert dx nach rechts gegangen. Und was unten steht, ist, dass wir in dieser dritten Zeile cos(x²) * 2x dx nach rechts gehen. Also ist cos(x²) mal der Faktor, mit dem wir dx multiplizieren müssen, um dann die Änderung der Funktion sin(x²) zu bekommen. Das ist es, was es bedeutet, die Ableitung zu sein. Es ist die beste konstante Annäherung an den Punkt. In diesem Fall ist eben cos(1,5²) * 2 * 1,5 * dx die beste Annäherung für die kleine Änderung von x um dx in der Funktion sin(x²). Und weil cos(1,5²) positiv ist, wird der ganze Ausdruck positiv und deswegen gehen wir nach rechts.

Fassen wir noch einmal zusammen, was gerade passiert ist. Wir haben die Ableitung der äußeren Funktion, in der noch immer die innere Funktion steckt, und das multiplizieren wir mit der Ableitung der inneren Funktion. Und wieder ist nichts Spezielles an sin(x) oder x². Wenn du beliebige Funktionen g(x) und h(x) hast, dann ist die Ableitung ihrer Verkettung gleich die Ableitung von g, ausgewertet bei h(x), mal der Ableitung von h(x). Diese Regel wird Kettenregel genannt, weil es um die Verkettung von Funktionen geht. Beachte, wie ich hier für die Ableitung von g, dg/dh, geschrieben habe. Symbolisch erinnert uns das daran, dass wir immer noch die innere Funktion h verwenden und einsetzen. Aber noch wichtiger, es zeigt, was die Ableitung dieser äußeren Funktion eigentlich bedeutet.

In unserem dreiteiligen Beispiel haben wir ja unten die kleine Änderung der Sinus von h auch als cos(h) * dh geschrieben. Das haben wir gemacht, weil wir noch nicht wussten, wie viel die Änderungen unten von der Änderung von x abhängt. Das war ja, was wir eigentlich herausfinden wollten. Aber wir konnten die Ableitung bezüglich der mittleren Variablen berechnen, die wir h getauft haben. Das bedeutet, wir haben die Änderung der dritten Zeile als Vielfaches von dh ausgedrückt, das war die kleine Änderung der mittleren Zeile. Und erst später haben wir dann für dh, dx² eingesetzt. Also sagt die Kettenregel so aus: Schau dir die Änderungsraten an von einer kleinen Änderung gehen, die durch eine kleine Änderung ihres Arguments entstanden ist, und h ist auch das, was wir in diese Ableitung einsetzen. In unserem Beispiel ist das also cos(h) und nach dem Einsetzen cos(x²). Das alles multiplizieren wir mit der kleinen Änderung im h durch die kleine Änderung in x, die sie verursacht hat. In unserem Beispiel ist das 2x. Und wenn du aufmerksam bist, siehst du, dass sich die dhs weg kürzen und was übrig bleibt, ist genau die kleine Änderung der äußeren Funktion durch die kleine Änderung von x, die sie über Umwege verursacht hat. Und das ist nicht nur ein symbolischer Trick, sondern spiegelt wider, was hier eigentlich passiert mit diesen kleinen Änderungen, die hinter allem stecken, was wir hier mit Ableitungen machen. Der Trick ist eigentlich, wie wir den Ausdruck dg/dx, den wir nicht berechnen können, um dh erweitert haben und dann in zwei Teile aufgeteilt, die wir beide berechnen können.

Das sind also die drei Hauptwerkzeuge, um Funktionen abzuleiten, die aus einfacheren Funktionen zusammengesetzt sind. Wir haben die Summenregel, die Produktregel und die Kettenregel kennen gelernt. Und ich will ehrlich sein, es ist ein riesen Unterschied dazwischen, zu wissen, was die Kettenregel und die Produktregel und die Summenregel sind, und diese auch in der wildesten Situation sicher einzusetzen und zu verwenden. Sich Videos über Mathematik anzusehen, egal welche, kann nie das Üben an konkreten Beispielen ersetzen, um das alles selbst zu können. Ich würde das wirklich gerne alles abnehmen, aber leider sind die Gehirn-Computer-Schnittstellen noch nicht so weit. Und es liegt an dir, jetzt zu üben. Was sich anbieten kann, und ich hoffe, das hat funktioniert, ist dir zu zeigen, woher diese Regeln kommen und zu zeigen, dass das nicht nur Formen sind, die du auswendig lernen musst, sondern dass das ganz natürliche Phänomene sind, auf die du selbst hättest kommen können, wenn du mit viel Geduld und ein wenig Glück herumexperimentiert und darüber nachgedacht hättest, was eine Ableitung eigentlich bedeutet.

Im nächsten Video werden wir uns eine Funktion ansehen, die wir bisher ausgelassen haben, aber sehr eng mit der Differentialrechnung verwoben ist: die Exponentialfunktion.

Das ursprüngliche Video wurde von den Vorgängen Peter Uns ermöglicht und von Bülent gesprochen. Und auch wenn ich nichts davon bekomme, kann ich Brilliant auch für alle empfehlen, die der englischen Sprache mächtig sind. Ich habe die Seite selbst ausprobiert und finde sie wirklich super. Die Philosophie ist ganz ähnlich wie die dieser Videos: Dinge wirklich verstehen, oder wie ihre Maske sagt: "Learn from first principles". Und noch besser, dort kann man das sogar üben. Auf der Webseite gibt es die verschiedensten Themengebiete, von Chemie über Programmieren, Mathematik, Physik und so weiter, und überall haben sie tolle Erklärungen und Quiz, die dich wirklich schlauer machen. Schau dir zum Beispiel die Reihe "Calculus Done Right" an, die zu diesen Videos passt, oder auch toll sind die Wahrscheinlichkeit und Komplexität.