Transcription
Vamos a ver ahora un ejemplo de cómo obtenemos el el beneficio máximo que obtiene una empresa.
Bueno, pues vamos a suponer esta empresa que tiene una empresa genérica que tiene una función de costes. La función de coste total de esta empresa pues es 20 + q al cuadrado, como tenéis ahí indicado. Y una función de ingreso que es 100q - q al cuadrado.
Y lo que nos planteamos es para qué cantidad esta empresa va a maximizar sus beneficios. Es decir, buscamos eh el número de unidades con las que esta empresa gana lo máximo posible y la cuantía de dichos beneficios. Los beneficios, como tenéis ahí indicado, pues vienen dados por el ingreso total menos el coste total. Si sustituimos ingreso, ingreso, el ingreso total por la expresión que tenemos en los datos del problema, el ingreso total será 100q - q al cuadrado menos el coste total que es 20 + q al cuadrado, como tenéis ahí indicado. Esa será la función de beneficio.
Eh, si simplificamos esta expresión, pues nos queda que la función de beneficio de esta empresa es 100q - 2q al cuadrado. No, pues los beneficios de esta empresa dependen de la cantidad que produzca y serán igual, pues en este caso, a 100 * q - 2q al cuadrado - 20. Lo que buscamos es cuánto es el máximo beneficio que puede conseguir esta empresa. Cuántas unidades tiene que producir para tener el máximo de esos beneficios.
Bueno, ¿cómo hallamos el máximo de los beneficios? Pues igualando ingreso marginal a coste marginal. Por tanto, lo que tenemos que hacer ahora es encontrar las expresiones del eh coste marginal y y del ingreso marginal. En primer lugar, obtenemos la del coste marginal, que como sabemos es la derivada de la función de costes. No tenéis la función de costes ahí arriba indicada, 20 + q al cuadrado, su derivada 2q.
Por otro lado, la eh buscamos ahora la expresión del ingreso marginal, que es la derivada de la función de ingreso, ingreso total, que la teníais ahí arriba, 100q - q al cuadrado, su derivada es 100 - 2q.
Para Hallar el óptimo de la empresa, pues el óptimo de la de la empresa estará con la cantidad de producción que haga que el coste marginal sea igual al ingreso marginal. Y esto cuándo ocurre, pues cuando 2q sea igual a 100 - 2q. Y esto es así cuando q es igual a 25. Por tanto, esta empresa fabricando 25 unidades conseguirá el máximo de sus beneficios.
¿Cuánto será el máximo de sus beneficios? Bueno, pues el beneficio que consiga con esas 25 unidades, eh el beneficio que consiga con esas 25 unidades, si nos vamos a la expresión que teníamos antes para la función de beneficio, era, habíamos hallado que era 100 por q - 2 por q al cuadrado - 20. Si sustituimos la q por el 25, como hemos hecho aquí, tendremos 1230, que es el beneficio de la de la empresa. Es el máximo beneficio que esta empresa puede alcanzar, que una empresa con esos costes y esos ingresos puede alcanzar.
De todas formas, lo que hemos hallado podría ser un máximo o un mínimo, porque lo que hemos hallado es la condición de primer orden. Hemos hallado la hemos hallado la primera, la condición de primer orden, la derivada del beneficio igualada a cero, que eso implica ingreso marginal igual a coste marginal. Esto es el máximo de una, esto es el óptimo de una función que podría ser en teoría un máximo o un mínimo.
¿Cómo sabemos qué es un máximo? Pues pues comprobando con la condición de segundo orden, que para esa cantidad de q = 25 estamos en un máximo. Eso ocurre si la segunda derivada de la función cuando q es igual a 25 es negativa.
Bueno, pues vamos a calcular, como tenéis indicado, la segunda derivada de la función de beneficio para comprobar que es negativa en ese punto de la cantidad. La segunda derivada de la función de beneficio, como tenéis ahí, será la segunda derivada del ingreso respecto de la cantidad menos la segunda derivada del coste menos respecto de la cantidad, que es lo mismo que derivar la primera derivada respecto de la cantidad, es decir, es lo mismo que derivar el ingreso marginal respecto de la cantidad menos derivar el coste marginal respecto de la cantidad. Si hacéis esto, os quedará que esas esa segunda derivada es igual a -2, que es negativa, que es lo que necesitamos para saber que es un máximo.
Por tanto, lo que hemos comprobado aquí es que ese óptimo que habíamos encontrado de la función de beneficio es un máximo. Por tanto, esta empresa cuando produce esas q igual a 25 unidades está produciendo la cantidad que le genera un máximo de la función de beneficio, un máximo que es igual a 130. Es decir, esta empresa que tiene estas condiciones, esta función de costes y esta función de ingresos, lo mejor que puede hacer es producir 25 unidades de producto. Cuando produzca esas 25 unidades de producto conseguirá un beneficio de 130 unidades monetarias, 12230 euros. Y eso es lo máximo que puede hacer. Si produjera más o produjera menos, conseguiría un beneficio más pequeño y por tanto esta es la cantidad que debe producir la empresa.