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各位同學大家好，歡迎來到數位信號處理器。今天要講的是第二單元 Z轉換。那在這單元當中，我們要介紹Z轉換，它是一個非常有用的一個工具，主要用來分析數位系統的性質。所以我們會介紹它的定義，以及運算的方式。接下來我們會用它來分析我們的數位信號以及系統。好，那我們趕快來看下去吧。
這個單元的學習目標，我們首先會介紹Z轉換與反Z轉換。然後接下來我們會了解Z轉換與系統穩定度之分析。這個單元的大綱包含了Z轉換的用途以及定義，我們會介紹Z轉換的性質，還有介紹因果信號極點的位置，以及它時域行為的關係。然後最後介紹反Z轉換。我們也會介紹Z轉換用於因果線性非時變系統之穩定度分析。
好，我們首先來介紹Z轉換它的定義以及用途。首先我們來看Z轉換的用途，可以用在離散時域信號轉換到複數頻域上面。所以Z轉換用於離散信號，好像我們用拉普拉斯，拉普拉斯用於，拉普拉斯轉換用於連續時間信號的分析，然後Z轉換用來分析線性非時變系統的一項很重要的工具。離散信號的時域的旋積之Z轉換為個別信號之Z轉換之後在頻率的相乘的結果，這是一個Z轉換很重要的一個性質，我們之後會介紹。
好，介紹一個Z轉換的例子。如果因果離散線性非時變系統，它的輸入與輸出的關係為這個關係，也就是說我們的輸出 y(n) 它是等於1.1y(n-1)+x(n)，也就是說我們的輸出會是過去時間的輸出加上現在時間的輸入，這樣的一個因果離散線性非時變的系統，它的輸出輸入關係這樣。那我們可以想像說，這是一個很簡單回音的效果，也就是說我們的現在的輸出會由過去時間的輸出的結果當成現在時間的輸出，所以造成一個回音的效果，也就是說過去的時間的輸出會拉回現在的輸入。好，這樣的話，我們各位想想看，如果我們要實作這樣的系統，我們會想問說，這個系統穩定嗎？如果你想實作一個回音效果這樣的系統，那我們用這樣的公式來表示，我們必須評估說，這樣會不會造成系統不穩定，例如說我們到最後聲音會發散掉。好，如何來評估呢？我相信這個單元學完之後，我想各位同學可以透過Z轉換來做這樣的評估。好，我們先這邊先不做解答，我們最後再做解答。
Z轉換的定義，就是由這個式子可以看到，它就是由表示成X(z)，它是基本上是由x(n)乘上z的-n次方，然後把n考慮從-∞加到∞，所以z這邊是一個負數，一個變數。好，我們也可以這樣表示，用一個Z轉換，一個大Z的符號來表示說一個Z轉換的公式，也可以用一個箭頭，上面寫一個z。反Z轉換就是變成z的-1次方，就是z的inverse來表示說從X(z)轉換到x(n)。
接下來我們來看Z轉換如果將離散信號對應到複數平面，也就是Z平面之後，我們必須再提到收歛範圍。所謂收歛範圍就是我們講的ROC，ROC，也就是說我們在討論Z轉換的時候，在Z轉換的結果必須討論到說，在怎麼樣的Z的範圍之下，轉出來的X(z)基本上是收歛的。好，也就是在Z複數平面上面，某些區域我們會是收歛的。
我們來看幾個Z轉換的例子。首先x1(n)是這個數列，我們用Z轉換的公式來代，就是說我們可以發現就是X1(z)就是1乘上z的0次方加2乘上z的-1次方等等等。好，所以它的ROC就是整個z平面，除了Z等於0之外，因為我們知道當z等於0的時候，像z的-1次方這樣的一個項就會變成無窮大，所以整個Z轉換就會發散掉。
接下來另外一個例子x2(n)，它是另外一個例子，它這個Z轉換的公式裡面包含正的指數次方的z，還有負的，也就是說它有z平方、z1次方，還有z的-1、z的-2，所以它的ROC範圍是整個Z平面，除了Z等於0跟∞，因為當z等於0的時候，我們知道z的負指數次方就會變成∞，當z等於∞的時候，z的正指數次方就會變成∞。
我們來看這例子。這個例子我們來計算它的Z轉換。代公式之前，我們必須介紹這樣一個等比級數和的公式。好，我們這邊來複習一下，一個級數和，等比級數和的公式是這個公式。
接下來我們要用這個公式來算Z轉換，也就是說我們Z轉換它的公式就是Σn從0到∞(1/2)n次方乘上z的-n次方，因為就是代公式，所以我們可以知道說，它的公比就是(1/2)z的-1次方，也就是，也就是說我們可以得到最後結果是這個無窮等比級數的和。好，它的ROC就是，它的公比絕對值要小於1，也就是說它的|z|要大於1/2，就是它的ROC範圍。
接下來我們來計算這個，這個數列的Z轉換。好，這個數列是一個，是一個幾何的數列。好，它數列會越來越小，信號越來越小，所以一樣，我們可以馬上代Z轉換的公式，發現它是一個無窮等比級數和的公式，發現到說它的ROC是|z|>|α|。好，也就是說，它的ROC是大於α這個半徑的圓的外面，就是說看到斜線部分，就是它ROC的範圍。
另外一個例子，假設這個信號是一個反因果的，也就是說它在n小於0的時候才會有信號。好，跟上面例子它是個因果，上面例子是因果信號，就是反因果信號。所以一樣可以代無窮等比級數和的公式，得到說它的ROC是|z|<|α|，也就是說它ROC是斜線部分是在圓圈，這圓圈的半徑為|α|。
所以從上面兩個例子看到說，一個因果信號，它的Z轉換的結果是這個式子，下面那個是反因果信號，它的Z轉換也是這個式子。所以這兩個式子看起來，它的Z轉換是一樣的，我們沒有辦法分辨，所以要分辨這兩個結果，我們必須配合ROC，因為等於說我們之後要做反Z轉換的時候，雖然我們同樣的Z轉換的結果，我們要知道說，它的時域是哪個信號，是因果還是反因果，我們就必須配合ROC。上面那個ROC是大於圓，下面ROC是小於圓，所以因果信號的ROC是大於圓，然後反因果信號它的ROC是小於圓。配合ROC的範圍我們就可以知道說，它的時域信號是哪一個。
這邊是常見的Z轉換的表，也就是說我們看到說，有些Unit sample或是Unit step或是其他等等的相關的一些時域信號，我們透過Z轉換它的公式是什麼，我們必須把它記起來，因為我們之後會常常用到。各位同學，從這個Part我們知道Z轉換它的定義以及它的用途，我們也介紹了Z轉換，當我們提到它的時候，我們必須提到它的收歛範圍，因為我們知道在不同的信號，有可能它的Z轉換的表示方式是一樣的，但是透過ROC的範圍，我們就可以知道它的時域信號是從哪一個時域信號轉換過來的。好，那我們下一個Part，我們要介紹Z轉換的有用的性質。