Xin chào tất cả các em. Hôm nay, chúng ta sẽ đến với bài học về phương trình mặt phẳng trong hệ trục tọa độ không gian Oxyz.

Trước đó, các em đã học về các nội dung liên quan đến điểm và vectơ, đúng không? Trong phần tọa độ YZ, các em thấy rằng phần điểm hay tọa độ vectơ chỉ chiếm một lượng khá nhỏ trong tổng thể chương trình OXZ. Trong chương trình ở tập 1 học kỳ 1, các bạn đã học phần điểm một chút và vectơ cũng một ít. Sang học kỳ 2 này, có rất nhiều kiến thức về tọa độ XYZ mà các em sẽ học. Khởi đầu chính là bài phương trình mặt phẳng này.

Phương trình mặt phẳng này thì cũng dài lắm, các em ạ. Thế còn dài như thế nào thì bây giờ chúng ta sẽ đi vào nội dung mà các em có thể ghi chép.

Chúng ta sẽ bắt đầu với phần lý thuyết. Những lý thuyết mà lớp mình cần biết khi bài người hỏi về phương trình mặt phẳng, các em ghi giúp thầy như sau: về mặt lý thuyết, trước khi lao vào phần phương trình của mặt phẳng, thầy phải nói về một nội dung chiếm tỉ lệ xuất hiện rất nhiều trong các bài học của học kỳ hai, đó là về vectơ.

Vectơ cũng đã học ở học kỳ 1 rồi, các em đã làm quen với các công thức tọa độ về vectơ. Nhưng bây giờ, ta sẽ đi sâu vào hai loại vectơ. Thực ra, các em cũng đã từng nghe rồi, đó là vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương. Đây là hai vectơ sẽ liên tục xuất hiện trong học kỳ tiếp theo này.

Nói về vectơ trong mặt phẳng, các em hãy vẽ giúp thầy một mặt phẳng. Thường thì thầy trong không gian vẫn hay vẽ mặt phẳng dưới dạng hình bình hành. Đây, lớp mình vẽ giúp thầy cái hình bình hành, ví dụ mặt phẳng P, thầy ký hiệu là P.

Cái loại vectơ đầu tiên mà thầy muốn nhắc tới là vectơ pháp tuyến. Vectơ pháp tuyến thì thế nào? Chắc hẳn không phải lần đầu tiên các em nghe thấy từ vectơ pháp tuyến, đúng không? Các em đã từng nghe ở lớp bé, lớp dưới rồi. Các em vẫn nhớ rằng vectơ pháp tuyến là vectơ có tính chất gắn liền với sự vuông góc.

Nhắc tới pháp tuyến là ta nhắc đến sự vuông góc. Trong mặt phẳng này cũng vậy. Bây giờ, ta sẽ ghi giúp thầy khái niệm về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thường được ký hiệu bằng chữ N. Các em ghi này: vectơ N, vectơ N. Tất nhiên là phải khác vectơ 0 nhé.

Vectơ N sẽ được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P nếu nó có giá vuông góc với mặt phẳng P. Như vậy, một lần nữa, pháp tuyến lại gắn liền với góc vuông. Vậy thì lúc này, người ta gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P và ký hiệu là N. Thường người ta ký hiệu là N thêm chữ P ở đây.

Khi thầy ký hiệu như này, các em nhớ thầy là thầy đang muốn nói tới vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P. Thầy biểu diễn nó trên hình như sau: một vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng P thì thường thầy sẽ biểu diễn nó như thế này. Vectơ màu vàng đấy.

Vậy thì cũng rất giống như hồi trước đây khi các em học về pháp tuyến. Pháp tuyến vẫn giữ nguyên tính chất của nó là sự vuông góc. Lần này là vuông góc với mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì các em cũng biết rằng bên cạnh vectơ pháp tuyến, chúng ta còn có một vectơ nữa là vectơ chỉ phương.

Bây giờ, nó lại một lần nữa xuất hiện: vectơ chỉ phương. Phần tiếp theo thầy muốn nhắc tới là vectơ chỉ phương. Nhưng trong mặt phẳng, người ta không nhắc về một vectơ chỉ phương đâu. Trong mặt phẳng, người ta phải nhắc về một cặp vectơ chỉ phương.

Các em cũng biết rồi, vectơ chỉ phương là vectơ có tính chất mà giá của nó sẽ là song song hoặc trùng với đường thẳng. Nếu bây giờ thầy có một cái vectơ A nằm trên mặt phẳng như thế này, thì thầy vẫn gọi nó là vectơ chỉ phương.

Hay là một vectơ B song song với mặt phẳng chẳng hạn. Một vectơ B song song với mặt phẳng như thế này thì thầy cũng gọi nó là vectơ chỉ phương. Tức là vectơ chỉ phương là cái vectơ mà các em thấy là nó song song với mặt phẳng, có giá song song với mặt phẳng hoặc nằm trên mặt phẳng.

Tuy nhiên, để chúng nó tạo thành một cặp, thì hai cái vectơ này không được cùng phương. Thầy sẽ biểu diễn lại này: đây, ví dụ vectơ A đây và vectơ B đây. Các em ghi giúp thầy một khái niệm về cặp vectơ chỉ phương như sau: ta có hai vectơ A và B.

Hai vectơ A và B nhưng đầu tiên phải không cùng phương nhé. Nó không cùng phương. Thứ hai là nó có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng. Có giá vectơ song song hoặc nằm trên mặt phẳng P.

Thì tôi gọi nó là một cặp vectơ chỉ phương của P. Thì được gọi là một cặp vectơ chỉ phương của P. Như vậy là lần này nó đi theo đôi, theo cặp, đúng không? Thực ra, cái tác dụng của nó sẽ đi theo cặp thôi.

Vì sao lại phải đi theo cặp? Thì nó như thế này: thực ra, cái mặt phẳng này rất cần vectơ pháp tuyến. Vectơ pháp tuyến mới là cái gọi là đại diện, gọi là đặc sản của cái mặt phẳng này. Nhưng mà cặp vectơ chỉ phương này cũng lại liên hệ rất mật thiết đến vectơ pháp tuyến.

Tức là hai cái vectơ màu đen này liên hệ rất sát với vectơ pháp tuyến bằng một kiến thức như sau: đó là kiến thức liên quan đến tích có hướng của hai vectơ. Tích có hướng này đã từng nghe một loại tích đó là tích vô hướng rồi, đúng không?

Tích vô hướng thì mình thường viết là ví dụ tích vô hướng của vectơ A và vectơ B, tôi viết là A.B hoặc là tôi viết là A nhân B. Tôi sẽ nhớ là tôi tính bằng công thức là tôi lấy hoành độ nhân hoành độ cộng tung độ nhân tung độ cộng cao độ nhân cao độ và kết quả tôi ra một hàng số. Đấy là tích nhưng mà là tích vô hướng.

Phải làm quen với một khái niệm nữa đó là tích có hướng. Cụ thể tích có hướng này như thế nào thì chút nữa đến bài tập cần dùng, thầy sẽ nói rõ. Nhưng bây giờ, các em phải ghi cho thầy một lý thuyết như thế này: đó là mối quan hệ giữa vectơ pháp tuyến màu vàng và cặp vectơ chỉ phương này thể hiện như sau.

Các em nhớ là tích có hướng được ký hiệu bằng ngoặc vuông này. Tích có hướng của hai vectơ được ký hiệu bằng dấu này: tích có hướng của vectơ A với vectơ B, trong đó A và B là cặp vectơ chỉ phương. Thì đây, các ký hiệu vectơ tích có hướng.

Chút nữa, đến đoạn cần làm rõ, thầy sẽ nói thật sâu về phần này. Nhưng hiện tại, các em nhớ thầy ký hiệu nhé. Tích có hướng của cặp vectơ chỉ phương sẽ giúp các em tìm ra tọa độ của vectơ pháp tuyến. Đây là một tính chất hết sức lưu ý nhé.

Cặp vectơ chỉ phương, các em tính tích có hướng sẽ sinh ra được tọa độ vectơ pháp tuyến. Thì tính như thế nào, tí nữa thầy sẽ hướng dẫn mọi người. Nhưng đấy, khi các em học về mặt phẳng, các em chú ý cho thầy ba cái nội dung về vectơ.

Đầu tiên là vectơ pháp tuyến, vectơ có giá vuông với mặt phẳng, cặp vectơ chỉ phương, hai vectơ không cùng phương, song song có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng. Và nhớ là mối quan hệ giữa chúng là cặp vectơ này mà tích có hướng sinh ra được vectơ pháp tuyến.

Thế còn bây giờ, chúng ta mới vào nội dung liên quan đến phương trình. Vừa rồi, thầy giới thiệu về các loại vectơ sẽ có mặt trong nội dung bài này.

Phần tiếp theo, thầy muốn nói tới là nội dung chính thức về phương trình của mặt phẳng. Thế thì cái phương trình này, mọi người sẽ gọi nó là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Các em chú ý cho thầy về nội dung phương trình tổng quát nhé.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng là gì? Ta học về hình tọa độ, ta thấy rằng ta rất quan trọng với phần phương trình. Nếu các em còn nhớ, trong chương trình học lớp 10, các bạn học về phương trình đường thẳng. Thì bây giờ, chúng ta học về phương trình mặt phẳng.

Phương trình thì công thức là gì? Phương trình ra sao? Nó có dạng tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0. Đây là phương trình tổng quát của một mặt phẳng. Trong đó, các em chú ý cho thầy là A, B và C này không được phép đồng thời cùng bằng 0.

Các em hình dung là cái thằng này bằng 0, thằng này cũng bằng 0, thằng này cũng bằng 0 thì còn gì đâu phương trình mà dùng cho. Nên điều kiện ở đây nhé, A, B, C là các em lưu ý là không đồng thời cùng bằng 0 nhé. Không đồng thời bằng 0. Có thể một trong những cái đó bằng 0.

Ok, nhưng mà tất cả cùng bằng 0 thì còn đâu ra mà học nữa, đúng không? Cái này bằng 0, cái này bằng 0, này m học cái gì nữa?

Ngoài ra, A, B, C này chính là tọa độ của vectơ mà tôi vừa mới nói tới, là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ N, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ có tọa độ lấy hệ số x, y, z này A, B, C. Đây là một trong các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Các em rất chú ý về các hệ số này nhé. Còn số tự do, đây thầy lấy ví dụ nhé. Lấy ví dụ này: phương trình 3x + 4y - 2z + 10 = 0. Đây chính là một điển hình cho một cái phương trình mặt phẳng.

Khi tôi nhìn vào cái mặt phẳng này, tôi thấy là 3, 4, -2. Hệ số x, hệ số y, hệ số z là tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Một vectơ pháp tuyến có tọa độ là 3, 4 và -2, đúng không?

Thế thì các em chú ý là khi em lập phương trình mặt phẳng, các em cũng cố gắng đưa về dạng tổng quát này. Mà thực ra, trong đầu bài, người ta cũng cho mình vectơ, cho mình cái dạng tổng quát này rồi. Nhưng làm sao để lập ra được mặt phẳng mới là vấn đề.

Đây là dạng phương trình tổng quát mặt phẳng rồi, nhưng mà làm sao để lập ra thì đây, các em ghi giúp thầy phần tiếp theo: cách xác định mặt phẳng. Cách xác định một phương trình mặt phẳng thì thông thường, phương trình mặt phẳng sẽ được xác định bởi điểm và vectơ pháp tuyến.

Thầy xét một cặp, gọi là combo luôn, đúng không? Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P có tọa độ là A, B, C. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P có tọa độ là A, B và C nhé. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P có tọa độ là A, B, C và một điểm, ví dụ điểm M có tọa độ x0, y0, z0 thuộc mặt phẳng P.

Thế thì nếu mặt phẳng P có được vectơ pháp tuyến và có thấy được một điểm nằm trên đấy, thì lúc này mặt phẳng P sẽ được hình thành như sau: phương trình mặt phẳng P sẽ được hình thành.

Thầy sẽ viết phương trình như sau: hệ số A, B, C chính là của x, y, z này. Đấy chính là tọa độ vectơ pháp tuyến nhé. Thầy viết A này, thầy cách ra một đoạn, B này, thầy cách ra một đoạn, C này.

Với A, B, C là tọa độ của vectơ pháp tuyến, hoành độ, tung độ, cao độ. Tiếp theo, thầy lấy điểm này M đi qua điểm x0, y0, z0.

Thì x - x0 + y - y0 + z - z0 = 0. Đây là cách lập phương trình mặt phẳng từ vectơ pháp tuyến và điểm.

Thầy nhắc lại: hệ số của các cái ngoặc này chính là tọa độ của vectơ pháp tuyến nhé. A là hệ số của X, B là hệ số của Y, C là hệ số của Z. Còn điểm đi qua, tôi bắt đầu thay vào: x0 thì sẽ là x - x0, y0, z0.

Rồi em nhân tung ra, đúng không? Xong sau đó em rút gọn thì nó sẽ về được dạng phương trình tổng quát. Đấy, bạn nhân phá ra rồi bạn rút gọn, nó sẽ giúp các em có được phương trình tổng quát cuối cùng.

Thì trên đây là cách phổ biến nhất để có thể xác định ra được một cái phương trình mặt phẳng. Đương nhiên rồi, chút mình sẽ có rất nhiều bài tập như thế này để các em làm. Nhưng ít nhất là các em phải ghi cho thầy cái lý thuyết này đã nhé.

Đấy là cách xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhưng bên cạnh phương trình tổng quát, mình sẽ có một vài phương trình đặc biệt mà các em cần phải ghi nhớ.

Thầy bây giờ thì các em sẽ ghi giúp thầy phần tiếp theo, đó là một số phương trình đặc biệt nho nhỏ nhé. Lớp mình ghi tiếp giúp thầy nhé.

Thầy xét cái hệ trục tọa độ Oxyz này. Trên hệ trục Oxyz này có mấy cái mặt phẳng rất hay ho. Các em biết rồi, hệ trục Oxyz gồm ba trục, đúng không? Ox, Oy và Oz.

Đây, ba cái trục này vuông góc với nhau. Thế thì bây giờ, nguyên ba cái trục này tạo cho tôi ba cái mặt phẳng mà chắc là học kỳ một mọi người biết rồi. Đó là mặt phẳng Oxy, thầy vẫn hay gọi là mặt ở dưới, mặt đáy, đúng không? Mặt phẳng Oxy.

Rồi tạo cho tôi thêm mặt phẳng là OyZ, đúng không? Mặt bên này, OyZ. Nó tạo cho tôi thêm một cái loại mặt phẳng nữa là mặt phẳng xOz. Như vậy là có ba cái mặt phẳng.

Cái quan trọng là phương trình của chúng. Tại vì mình đang học về bài phương trình mà tôi đâu cần nhìn thấy hình của nó, tôi cần cái phương trình của chúng. Thì phương trình rất dễ thuộc thôi.

Ví dụ mặt phẳng Oxy thì sẽ có phương trình là: các em thấy thiếu cái gì? Các em thiếu Z, không? Z = 0 nhé.

Mặt phẳng OyZ thì thiếu gì? Các em thiếu X, X = 0. Rất dễ nhớ thôi. Mặt phẳng xOz thì thiếu gì? Thiếu Y. Như vậy, nếu câu hỏi hỏi tôi là phương trình mặt phẳng Oxy là gì, tôi trả lời phương trình đó là Z = 0.

Vì tôi thấy thiếu Z. Mặt phẳng xOz là gì? Thì Y = 0.

Đấy, nhưng ngoài ba cái mặt phẳng này ra, tôi còn một loại mặt phẳng nữa cực kỳ nổi bật, đó là loại sau. Tôi xét một mặt phẳng Alpha.

Xét một mặt phẳng Alpha, mặt phẳng này cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu bây giờ có một cái mặt phẳng nó cắt vào ba trục này tại ba điểm này, nó cắt Ox tại điểm A, Oy tại điểm B và Oz tại điểm C.

Nếu cắt Ox tại điểm A, thì điểm A này chỉ có hoành độ thôi, A(0, 0, 0). Điểm B chỉ có tung độ thôi, (0, b, 0). Còn điểm C chỉ có cao độ thôi, (0, 0, c).

Vậy lúc này, cái mặt phẳng này còn có một tên gọi khác ngoài mặt phẳng Alpha, tôi gọi nó là mặt phẳng ABC cũng được. Vì nó đi qua ba điểm ABC mà nó cắt ba trục tại ba điểm ABC, đúng không?

Nó đi qua ba điểm ABC. Khi đó, phương trình mặt phẳng Alpha hoặc là bạn viết là phương trình mặt phẳng ABC cũng được nhé, tùy em.

Phương trình mặt phẳng ABC sẽ có dạng hơi đặc biệt như sau: nó sẽ dựa vào tọa độ của điểm A, điểm B, điểm C này. Điểm A là cắt Ox, đúng không? Có hoành độ A, x chia A.

Cộng với điểm B có hoành độ tung độ B, y chia B. Cộng z chia C và bằng 1 nhé, các em. Đây, x chia A, A là hoành độ điểm A này, y chia B, B là tung độ điểm B, z chia C, C là cao độ.

Ví dụ, đây là 1, 2, 3 chẳng hạn thì sẽ là x chia 1 + y chia 2 + z chia 3 = 1 nhé, các em nhớ bằng 1.

Cái phương trình này người ta có tên gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Mặt phẳng theo đoạn chắn. Tất nhiên, A, B, C phải khác 0 rồi nhé, chứ chia 0 thì làm sao được, đúng không?

Đấy, phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Thỉnh thoảng thầy sẽ đọc tắt là mặt chắn. Các bạn nhớ đọc đúng là mặt phẳng theo đoạn chắn.

Còn thỉnh thoảng thầy sẽ đọc tắt là mặt chắn, thì mọi người tự hiểu giúp thầy. Chứ ngày này lúc nào cũng bắt thầy đọc cả cái câu này dài quá.

Rồi, tóm lại, phương trình này được hình thành khi em thấy mặt phẳng đi qua ba điểm mà ba điểm này rất đặc biệt là ba điểm thuộc ba trục. Ví dụ, điểm A chỉ có hoành, điểm B chỉ có tung, điểm C chỉ có cao.

Thì đấy, các em sẽ lập theo kiểu này. Được chưa? Rồi, thì trên đây chính là nội dung về các loại phương trình mặt phẳng thôi. Lý thuyết vậy thôi.

Còn bây giờ, chúng ta phải đi vào nội dung bài tập thôi. Bây giờ ta sẽ đến các dạng bài tập rất tiêu biểu mà các em sẽ luôn gặp trong đề thi.

Từ câu 1 cho tới câu 11, trong đó từ câu 1 cho tới câu 6 là xác định tọa độ vectơ pháp tuyến. Cách xác định tọa độ vectơ pháp tuyến hãy nhớ là cái mặt phẳng ấy rất quan trọng vectơ pháp tuyến nhé.

Các em rất quan trọng pháp tuyến. Cách tìm vectơ pháp tuyến thì vô cùng đơn giản thôi, đó là lấy hệ số của x, của y và của z.

Ví dụ, ở trong câu 1 này, người ta hỏi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có tọa độ là bao nhiêu. Thì 1, 1, 1. Lấy hệ số x, y, z này 1, 1, 1.

Rồi, có nghĩa đáp án của mình đó là đáp án C nhé. Tuy nhiên, các em cũng để ý cho thầy rằng câu hỏi của nó ấy, người ta hỏi rất chuẩn là mặt phẳng này có một vectơ pháp tuyến là gì.

Vì sao lại có cái từ một ở đây? Tại sao người ta không nói là có vectơ pháp tuyến là gì mà người ta lại nói là có một vectơ pháp tuyến là gì? Bởi vì các em phải hiểu rằng một mặt phẳng nào theo mọi người, một mặt phẳng P này có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

Một mặt phẳng thì có vô số vectơ pháp tuyến, đúng không? Đây vuông góc là pháp tuyến, thằng này vuông góc cũng pháp tuyến, thằng này vuông cũng pháp tuyến. Rất rất nhiều cái vuông đấy.

Và cứ những cái vectơ cùng phương với nhau này, cùng song song thì tự khác nó đều là pháp tuyến thôi. Như vậy là có vô số. Thì một trong số đó nhé, một trong số đó là vectơ (1, 1, 1) đấy.

Còn rất nhiều các vectơ khác nữa, đúng không? Bạn thấy là ti tỷ vectơ vô số mà cho nên người ta dùng từ một vectơ pháp tuyến là rất chuẩn.

Còn đầy vectơ pháp tuyến khác chỉ cần song song cùng phương với thằng này đều là đúng, đúng không?

Thế là hiểu kỹ là thế. Còn thực ra, câu 2 nào đấy cũng giống thế thôi. Câu 2, hệ số x, y, z sẽ là 2, 1, 3. Đáp án là 213, đáp án A nhé.

Câu 3 này, câu 3 này thì cẩn thận một chút bởi vì không có y. Bạn nào mà ẩu quá lại tự... Hãy nhớ rằng cái này không có y thì y của nó bằng 0, đúng không?

3, 0, -1. Đáp án A nhé. Câu 4 này, ở câu 4 chính là cái câu mà nó nói về cái vấn đề là có nhiều vectơ pháp tuyến đấy.

Cái vectơ pháp tuyến ở câu 4 ấy thì mình có thể nhìn bằng hệ số thì mình ra được là 2, -1 và 3. 2, -1 và 3. Nhưng nếu mà nhìn lại đáp án thì mình thấy là không có đáp án nào là 2, -1 và 3.

Có nghĩa là người ta không nói về vectơ kia mà họ muốn nói một vectơ cùng phương với nó. Bởi vì có rất nhiều cái thằng pháp tuyến mà.

Thì mình xem trong bốn đáp án này, đáp án nào cùng phương với thằng này thì có đáp án D này: -2, 1, -3. -2, 1, -3.

Thì đó là một cái vectơ mà nhân tất cả với bao nhiêu? Nhớ -1. Khi bạn nhân tất cả với -1 thì vectơ đó là vectơ cùng phương với cái vectơ ban đầu.

Và cùng phương với ban đầu thì cũng là một vectơ pháp tuyến. Bởi vì mấy thằng song song đều là pháp tuyến hết, đúng không?

Các bạn thấy hai vectơ song song với nhau thì đều được gọi là pháp tuyến của P cả. Cho nên bạn nhân tất cả với cùng một số thì ra được số vectơ cùng phương thì vẫn được coi là pháp tuyến nhé.

Nhân tất cả với -1 ra đáp án D. Thế thôi. Tương tự, mọi người làm một câu dưới. Câu 5 này, vectơ pháp tuyến tọa độ là gì?

Ở đây vectơ pháp tuyến ta thấy rằng là 2, -6 và -8, đúng không? 2, -6, -8. Nhưng mà không có đáp án là 2, -6, -8 cho nên mình phải tìm một thằng cùng phương với nó.

Thì trong ba đáp án này, đáp án nào là cùng phương với thằng 2, -6, -8 này? Tức là cùng một tỉ lệ đấy. Thì có thằng C thôi, chia tất cả cho 2, đúng không?

Hoặc là nhân với 1/2 cũng được. Có thằng C này là cùng tỉ lệ với cái thằng này, chia tất cả cho 2 là 1, -3, -4.

Câu 6 này, câu 6 này người ta gọi là phương trình gì ấ nhỉ? Mặt gì? Các bạn, mặt chắn đúng không?

Phương trình mặt chắn mà mặt chắn thì vẫn lấy hệ số x, y, z thôi nhé, chứ không phải là lấy cái mẫu đâu. Các bạn cẩn thận không nhầm.

Vẫn lấy hệ số x, y, z. Hệ số x ở đây là -1/2 nhé, -1 và 1/3 nhé. Vẫn là hệ số x, y, z ấy chứ đừng có lấy cái mẫu, cái mẫu là sai đấy.

-1/2, hệ số x, z -1 và 1/3. Như không có đáp án đúng không? Thì mình phải tìm thằng cùng phương nào.

Thằng nào cùng phương đây? Đầu tiên là hai cái dấu ở đây nó phải cùng dấu. Thằng này khác dấu này. Thì trong đó thì cũng chả biết cái nào nhỉ? Nhân tất cả với mấy đi nhỉ? Nhân với -6 đi.

Nhân tất cả với -6 thôi mà. Nhân với -6 thì thầy được vectơ mới này: -1/2 nhân -6 là 3, đấy.

6 này và -2 đấy. Khi thầy nhân tất cả với -6 thì thầy được đáp án A. Chứ còn các đáp án còn lại là không có cùng tỉ lệ đâu, các bạn nhé.

Các đáp án còn lại, các bạn không thể tìm được số nào để nhân ra nó đâu. Đấy, chỉ có đáp án A thôi. Nhân tất cả với -6.

Tức là bạn đi tìm những cái cùng tỉ lệ thôi. Đúng không? Câu 7 này, trong không gian Oxyz, mặt phẳng Oxz có phương trình là gì? À, ta thấy là Oxz là phương trình thiếu gì? Các bạn thiếu Y, đúng không? Thiếu Y là Y = 0.

Các em phải chủ động đọc câu hỏi trước nhé. Phát tài liệu trước là để các ông đọc câu hỏi trước chứ không phải là phát tài liệu xong rồi đến bây giờ thì các ông bắt đầu mới đọc.

Thế thì phát tài liệu làm gì? Rồi, 7D nhé. Đấy, tương tự là câu 8, đúng không? Phương trình mặt phẳng OyZ. OyZ là một phương trình thiếu X. Thiếu X như vậy là X = 0 thôi.

8 là B này, thiếu X. Thiếu gì? Cái đấy bằng 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy đấy.

Vectơ pháp tuyến mặt phẳng Oxy thì có rất nhiều cách xác định nhé. Cách một này, đó là các em thuộc mặt phẳng. À, thuộc phương trình mặt phẳng.

Mặt phẳng Oxy thì có phương trình là gì? Oxy thì có phương trình là Z = 0, đúng không? Oxy là thiếu X mà thiếu Z mà phương trình Z = 0.

Z = 0 thì các bạn hiểu rằng là gì? Z = 0 chính là 0x + 0y + 1z thì bằng 0. 0x + 0y + Z thì bằng 0.

Vậy vectơ pháp tuyến là (0, 0, 1). Đấy, đáp án D thôi. Đấy là cách số 1, tức là bạn thuộc phương trình của nó nhé.

Bạn thuộc phương trình mà bạn viết phương trình dưới dạng đầy đủ. Cách hai đó là em nhìn vào hệ trục tọa độ này.

Các bạn nhìn vào hệ trục tọa độ đấy. Nhìn vào hệ trục tọa độ thì các bạn thấy là mặt phẳng Oxy này là cái mặt phẳng đáy.

Thầy vẫn hay nói nó là mặt phẳng đáy này, đúng không? Thế thì mặt phẳng đáy này có vectơ vuông góc là vectơ gì đấy? Các bạn còn nhớ không?

Đây này, chính cái Oz là vuông góc với Ox, đúng không? Và các em nhớ là trên vectơ Oz luôn tồn tại một vectơ đơn vị của nó tên là vectơ k.

Vectơ k đại diện cho Oz có tọa độ là (0, 0, 1). Đấy, thì đây chính là vectơ vuông góc với mặt phẳng Oxy.

Tóm lại, mặt phẳng Oxy là mặt đáy này thì đoạn Oz là vuông góc với đáy. Vậy vectơ pháp tuyến là (0, 0, 1).

Đấy, thì bạn vẽ hình ra, bạn thấy Oxy là mặt đáy này thì đoạn Oz là vuông góc với đáy.

Không, 001. Còn bạn viết theo phương trình cũng thế. Ở đây thầy giải thích thế cho nó kỹ. Bạn chọn cách nào cũng được.

Đây, các bạn nhìn để biết điểm nào là điểm thuộc mặt phẳng đấy. Thì đầu tiên là thầy sẽ phải nhập cái phần vế trái của mặt phẳng vào máy này và tính.

Nhập giúp thầy cái, các em nhớ giúp thầy là máy này nó có cả chữ X, chữ Y, chữ Z nằm ở đây này, nó liền nhau này.

X, Y, Z. Đúng không? BN ấn Alpha vào đây ra chữ X này. Ấn Alpha vào đây ra chữ Y này. Ấn Alpha vào đây ra chữ Z.

Đấy, thì bây giờ thầy sẽ nhập bên trái nhé: x - 2y + z - 5. Đấy, bạn nào máy 570 không có chữ Z thì bạn thay cho nó bằng chữ M cho thầy.

Thì nó cũng chỉ là chữ cái thôi mà. -5. Đấy, x - 2y + z - 5. Nhập về trái thôi.

Thế sau khi nhập xong cái phương trình này rồi, x - 2y + z - 5, thầy ấm phím cal là phím thử, đúng không? Phím thay đấy.

C này này. Đấy, thì mình bắt đầu mình thử từng đáp án một. Ví dụ đáp án A, thầy nhập là căn x = 0, y = 0 và z = -5.

Đấy, -10, đúng không? Sai. -10 là sai bởi vì bằng mấy mới đúng? Các em bằng 0 mới đúng, đúng không?

X = 0, y = 0, z = -5 bằ 0 mới đúng. C này 1, 1, 6. Đấy, bằng 0 mới đúng này.

À, bây giờ ví dụ cal tiếp này. C 2, -15. Thầy nhắc lại, bạn 570 thì các bạn nhập chữ M nhé.

Đấy, thì C bằng 4, không 4 là sai. Tức là không thuộc. Thế thôi. Còn bạn K phải ra 0 mới đúng chứ, đúng không?

Đấy, tương tự câu 11. C phần này là phần làm quen, làm quen với cả thế nào là mặt phẳng nào thay N vào thôi.

Phương trình mặt phẳng x + y + z - 6 = 0. Nào, và thằng nào không thuộc nhé.

Nào, x + y + z - 6 = 0. Máy tính nhập giúp thầy vào trong này là x + y + z - 6. Ai không có chữ Z nhập chữ M nhé.

Rồi bắt đầu thử xem thằng nào không thuộc. Không thuộc tức là thay vào nó không bằng 0 là không thuộc đấy.

Đáp án A này, căn x = 3, y = 3, z = 0. Đấy, như vậy bằng 0, bằng 0 là thuộc đấy nhé, các bạn.

Thầy thay 330 vào, thầy thấy là nó bằng 0, tức là thuộc ấy. B đây, người ta hỏi không thuộc cơ. 222 nào đấy bằng 0.

Thằng này cũng thuộc nhé. Thằng này cũng thuộc, bằng 0 là thuộc. K1, 2, 3 cũng thuộc.

C 1, -1, 1. Thế thì khi mình K 1, -1, 1, nó ra -5. Không, -5 bằng 0 mới là thuộc.

Còn bằng -5 là không thuộc. Thằng này là không thuộc. Và người ta lại hỏi cái không thuộc mặt phẳng là cái D đấy.

Thì vừa rồi mọi người có nhìn qua về hình thức của một cái phương trình mặt phẳng Ax + By + Cz = 0, đúng không?

Các bạn nhìn phương trình mặt phẳng, trong đó thì hệ số của x, của y, của z chính là tọa độ vectơ pháp tuyến.

Thế thì trong đề thi bao giờ khởi đầu với câu này là những câu không cần nghĩ. Bạn đọc là khoanh luôn, biết chữ là biết làm.

Tiếp theo nào, các câu hỏi về lập phương trình mặt phẳng. Cái chủ đề lập phương trình mặt phẳng thì rất dài nhé.

Các bạn để tạo ra được một cái mặt phẳng thì nó vô vàn tình huống nhiều lắm. Thì ở đây, trước khi làm, thầy cũng chia luôn ra thành nhóm.

Có rất nhiều tình huống nhé. Hôm nay ta học ba tình huống đã. Từ câu 1 đến câu 3, đó là tình huống lập phương trình mặt phẳng theo mặt chắn.

Đấy, tức giờ mình xem lại lý thuyết mặt chắn cho thầy này. Tiếp theo, từ câu 4 đến câu 8 là theo cái gọi là cái kết hợp giữa vectơ pháp tuyến và điểm.

Đấy, vectơ pháp tuyến và điểm. Tiếp theo, câu 9 cho tới câu làm sau đấy. Hôm nay học ba nhóm đã là vectơ pháp tuyến nhưng lại tính bằng tích có hướng của hai vectơ chỉ phương và điểm.

Tức là khi mình không có pháp tuyến ấy, thì mình lại đi tìm hai chỉ phương. Tìm hai chỉ phương, được chưa? Xong là tìm điểm.

Thế thì hôm nay mình học ba loại đã. Còn thầy có nói rồi, nó phải có rất nhiều loại. Ví dụ câu hỏi số 1 trong không gian Oxyz cho ba điểm MNP và yêu cầu lập phương trình mặt phẳng MNP.

Thế thì để lập mặt phẳng MNP, thì lớp mình phải nhìn xem là ba cái điểm MNP này nó có cái gì đặc biệt. À, có gì đặc biệt không?

Ba điểm này không phải là ba điểm ngẫu nhiên trên không gian. M này 2 tức là chỉ có x thôi. Có nghĩa là nó thuộc trục gì? Các bạn trục Ox này.

M thuộc Ox này, điểm N này 0, -1 chỉ có đúng cái y là có số thôi. Hai thằng này không thuộc Oy, này thuộc Oz này.

Đấy, và như vậy thì đây là mặt chắn nhé. Ba điểm thuộc ba trục MNP được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đấy.

Trong lý thuyết thầy có ghi lúc đầu giờ nhé, phương trình là x trên A, A ở đây là x của nó.

Đấy, x trên 2 cộng y trên -1 đấy, cộng với z trên 2 nhé, z trên 2 thì bên này là bằng mấy đấy? Các em bằng 1 nhé.

Xem lại lý thuyết lúc nãy nhé, bằng 1 hết rồi. Như vậy, đáp án đúng nó phải là cái đáp án C. Như vậy thôi, ba điểm thuộc ba trục.

Y hệt đó là câu 2, đúng không? Cho phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm nhưng ba cái điểm này không phải là ba điểm bình thường.

Điểm này chỉ có x, tức là nó thuộc Ox. Điểm này chỉ có y, tức là thuộc Oy. Điểm này chỉ có z, là thuộc Oz.

Như vậy, phương trình được xây dựng là phương trình mặt chắn. Cụ thể ở đây, đó là x trên -3, x trên -3 cộng y trên 4, đúng không?

Cộng y trên 4 và cộng z trên gì? Các bạn nhỉ? -2 bằng 1 nhé. Nhớ là bên này bằng 1.

Nhưng đáp án thì không có cho nên là mình sẽ phải quy đồng lên để ra đáp án với hệ số x là 4. Thì tức là mình đã nhân cả hai vế với bao nhiêu thì mới ra hệ số x là 4 đây?

-10, -12, đúng không? Nhân cả hai vế với -12 lên. Nhân hai vế như thế thôi mà.

Đấy, nhân -12 này, -12 chia -3 nhé là bằng 4 này. 4x này, -12 chia 4 là 3y này.

[Âm nhạc] Nhân cái với -12 rồi nhớ chuyển cái -12 sang 4x này. A nhé. Câu 3 cũng thế, đúng không?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho một điểm M tọa độ (1, 2, 3). Gọi điểm A, điểm B, điểm C là hình chiếu của điểm M lên các trục Ox, Oy và Oz.

Hỏi phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm này là gì? Thế như vậy, ABC ở đây hình chiếu lên Ox tức là phải thuộc Ox.

B là hình chiếu lên Oy, thuộc Oy. C là hình chiếu lên Oz, thuộc Oz. Như vậy, phương trình mặt phẳng đi qua cả ba điểm thì tên của mặt phẳng đó là ABC luôn.

X trừ 1, y trừ 2, x trừ 1, c y trừ 2 cộng z trừ 3 thì bằng 1 nhé. C. Đấy, thì ba câu đầu tiên ta làm các câu hỏi liên quan đến phương trình mặt chắn là mặt phẳng đi qua ba điểm nhưng ba điểm đấy lại thuộc ba trục.

Tiếp theo, từ câu 4 cho tới câu 8 nhé, thì nhớ là phương trình chính tắc được hình thành như sau này. Thầy viết lại lý thuyết nhé.

Khi một cái mặt phẳng P mà nó có đủ hai yếu tố, đó là phát tuyến, vectơ phát tuyến này tọa độ A, B, C và một điểm nữa x0, y0 và z0.

Khi đó, ABC này, A, B, C, x0, y0, z0, x0 này x - x0, y0. Thay vào đây này, y - y0 và z0 thì vào đây, z - z0.

Tức là khi mình đã có được pháp tuyến và điểm rồi, pháp tuyến là cái vuông góc ấy, thì mình nên viết tọa độ A, B, C.

Nó cách cách ra nhé. Nó cách cách ra một tí này. Xong bắt đầu thay điểm vào. Thay điểm vào, thay điểm vào.

Thường thầy thì viết thế cho đỡ lẫn lộn giữa các cái tọa độ. Các bạn có thể tự viết theo cách của mình được, miễn đáp án đúng rồi.

5, 6, 7, 8 đi nào. Câu hỏi 5 này, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.

Đây, viết một cái phương trình mặt phẳng P nhé, đặt tên là P này, đi qua điểm A này, chứa điểm A này và vuông góc với đường thẳng BC thôi.

Vuông góc với BC. Đây, viết một cái phương trình mặt phẳng P nhé, đặt tên là P này, đi qua điểm A này, chứa điểm A này và vuông góc với đường thẳng BC thôi.

Vuông góc với BC. Đây, ví dụ đường thẳng BC đây. Thế khi mình vẽ ra thì mình thấy ngay là vì nó vuông góc với đường BC cho nên nó cũng sẽ vuông góc với cái vectơ gì các bạn nhỉ? Vectơ BC.

Đấy, chính là vectơ pháp tuyến. Các em nhớ là vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc mà vectơ pháp tuyến là vectơ BC luôn.

Vì vuông góc với BC đấy. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm chính là vectơ BC.

Vì nó vuông góc với BC đấy. Vậy vectơ BC thì lấy C - B. C - B là -5, 1 trừ đi 2, 1 trừ đi 2 là bao nhiêu? -1, -3 trừ đi -1 là -2.

Như vậy, vectơ pháp tuyến là -5, -1, -2. Có một pháp tuyến này, điểm thì người ta bảo đi qua điểm A.

Như vậy có thêm một điểm nữa là điểm A(1, -2, 4). Vậy thì kiểm tra lại, mình thấy đủ rồi. Pháp tuyến có điểm, có hết.

Vậy suy ra phương trình thôi. Thầy viết theo thói quen của thầy thì thầy hay viết cái vectơ pháp tuyến trước. -5, -1, -2.

Thầy viết pháp tuyến trước cho đỡ nhầm. Bây giờ bắt đầu mới thay điểm này, điểm sau này. 3, đúng không?

X - 3, cộng này 1, đúng không? Y - 1, cộng này 1, đúng không? Z - 4 thì bằng 0. X - 3, Y - 1, Z - 4 thì bằng 0.

Đấy, và nhân ra nhé. Trừ x này, cộng y, cộng 2z - 2 = 0. Rút gọn đi thôi, ta được là -x này, cộng y, cộng 2z bằng 0.

Đấy, 3 - 1 - 2 là hết rồi. Vậy phương trình này đáp án A nhé.

Thế thì khi mà mình đã tìm được pháp tuyến là vectơ vuông góc với mặt thì mình nhớ viết tọa độ nó trước, cách cách ra, đỡ nhầm.

Xong thay điểm vào, thay điểm vào, thay điểm vào. Thường thầy thì viết thế cho đỡ lẫn lộn giữa các cái tọa độ.

Các bạn có thể tự viết theo cách của mình được, miễn đáp án đúng rồi. 5, 6, 7, 8 đi nào.

Câu hỏi 5 này, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.