RM I - 01 - Funktionen 1 - Darstellung, Parameterform, Monotonie, Grenzwerte

Dann können wir in in Mediasres gehen und mit dem eigentlichen Inhalt der Vorlesung beginnen. Also das erste Kapitel, mit dem wir uns beschäftigen wollen, das sind Funktionen. In der Physik versuchen wir, Naturphänomene, also das, wie die Natur funktioniert, zu beschreiben, und zwar quantitativ, mit Zahlen. Und deswegen gibt es in der Physik gewisse Größen, normalerweise sind das reelle Zahlen, gewisse Größen, entweder konstante oder variable, konstante, das wär zum Beispiel die Lichtgeschwindigkeit, oder die bolzmatsche Konstante oder die blanksche Konstante, das sind Naturkonstanten, von denen wir annehmen, dass sie sich nicht ändern mit der Zeit. Gibt natürlich Leute, die darüber nachdenken, was passieren würde, wenn sich diese Naturkonstanten ändern, aber hier wollen wir einmal davon ausgehen, dass es gewisse Konstanten gibt, die sich nicht ändern.

Im Gegensatz dazu gibt's auch Variablen, zum Beispiel meine Position hier im Hörsaal, die verändert sich mit der Zeit, die Temperatur im Hörsaal verändert sich auch, wenn viele Leute drinnen sitzen, wird's irgendwann einmal wärmer. Der Druck in einem Gas ändert sich auch mit der Temperatur oder mit dem Volumen. Stellen Sie sich vor, stellen Sie sich vor, ich hab ein, einen, ein Volumen. In diesem Volumen, da ist ein Gas und es gibt es einen Kolben, der auf dieses Gas draufdrückt. Wenn ich dieses Volumen hier verändere, verändert sich auch der Druck, der Druck des Gases in diesem Volumen.

Wenn ich das Gas komprimier, steigt der Druck. Für ein ideales Gas gilt etwa b ist gleich n mal k t mal t k b durch v. N, das ist die Anzahl, das ist jetzt ein, die Zustandsgleichen für ein ideales Gas mehr oder weniger. Hier n, das ist die Anzahl der Gasgleiche hier drinnen, k, das ist die Bolzenmannkonstante t, das ist die Temperatur, und v ist das Volumen. So.

Ich möchte jetzt nicht, Sie werden sich mit dieser Formel noch ausgiebig beschäftigen im im Lauf der Vorlesung Physik eins, Einführung Physik eins, was ich hier nur darstellen wollte, ist, dass es eine Beziehung gibt. Eine Beziehung zum Beispiel zwischen dem Volumen, eine Variable, weil ich sie erinnern kann, und dem Druck im Gas, eine andere Variable. Dieser Zusammenhang hier beschreibt ein Naturgesetz. Sie könnten sich auch den Druck anschauen, man sagt, als Funktion der Temperatur. Was passiert, wenn ich bei gleichbleibendem Volumen die Temperatur ändert dieses Gases?

Dann ändert sich der Druck, ändert sich der Druck auch. Wenn die Temperatur steigt, steigt auch der Druck. Wenn das Volumen kleiner wird, wenn ich das Volumen komprimiere, steigt der Druck auch. Also, ich hab hier einen Zusammenhang hergestellt, für ein anderes Material, kann das natürlich ganz anders als schauen. Ich habe einen Zusammenhang hergestellt zwischen einer Variablen und einer anderen Variablen, sagen wir das Volumen.

Ich betrachte das den Druck als Funktion des Volumens, sagt man dann. Der Druck hängt vom Volumen ab und dieser Zusammenhang wird durch eine Funktion beschrieben. Eine Funktion ist ganz allgemein eine Zuordnung, ich schreibe hier hin, y ist eine Funktion von x. Was macht diese diese Funktion x? Sie nimmt sich eine Zahl her aus dem sogenannten Definitionsbereich, nennen wir ND, und ordnet diese Zahl, ich hab jetzt einfach dieses diese Kartoffel hier gezeichnet, und das soll irgendeine Zahl sein, zum Beispiel eine reelle Zahl, dann kann aber auch eine ganze Zahl sein, und die wird abgebildet auf eine andere Zahl.

Wir werden gleich Beispiele machen, eine Zahl aus dem Wertebereich. Diese Abbildung, die nennt man, diese Zuordnung, die nennt man Funktion und wir schreiben y als eine Funktion von x. Dabei ist x die unabhängige Variable, wird auch Argument genannt, und y ist die abhängige Variable, wird auch Funktionswert genannt. Beispiel, hier der Druck, der abhängt vom vom Volumen. Das Volumen ist die Größe, die ich kontrollier mit mithilfe des Kolbens, und der Druck ist die abhängige Größe, die ich messen kann als Funktion, also in Abhängigkeit der unabhängigen Variablen bei uns, wär das eben die das Volumen.

Was ist denn wichtig? Wichtig ist, dass es, dass die Funktionszuordnung eindeutig ist. Was nicht erlaubt ist, was nicht erlaubt ist, ist, dass dass es einen x-Wert gibt, der auf zwei verschiedene, Entschuldigung, einen x-Wert gibt, der auf zwei verschiedene y-Werte zeigt, ja. Es muss nur es es muss sichergestellt sein, dass es zu einem x-Wert nur einen y-Wert gibt, aber es kann natürlich schon sein, dass ein y-Wert von zwei x-Werten aus getroffen wird. Ich mach ihn hier noch an das Beispiel.

Also das wollen wir nicht. Das wär jetzt keine Funktion. Warum nicht? Weil ich hier sozusagen den Wert x, sowohl die negative als auch die positive Wurzel zuordne. Wenn ich die Wurzel aus vier hinschreib, dann wär das wär der Funktionswert plus zwei oder oder minus zwei, ja, welcher jetzt?

Für eine Funktion müssen wir das wissen. Wir müssen genau wissen, welcher y-Wert zu einem bestimmten x-Wert gehört. Was aber schon erlaubt ist, ist, dass es verschiedene Argumente gibt, die zum gleichen y-Wert führen. Also hier müssten wir, damit wir da so eine Funktion machen, uns entscheiden, ob wir jetzt den positiven Ast der Wurzeln nehmen oder den negativen. Was natürlich schon erlaubt ist, ist, ist so was.

Hier habe ich zwei verschiedene x-Werte, die zum gleichen y-Wert führen, zum Beispiel die beiden Werte minus eins und plus eins, haben als Quadrat beide eins. Das wär diese Situation hier, wo wo wir zwei verschiedene x-Werte haben, die zum gleichen y-Wert führen. Das ist erlaubt, ja. Also, das ist wichtig, dass es für eine Funktion eine eindeutige Zuordnung des Arguments zum Funktionswert geben muss. Wie können wir Funktionen darstellen?

Wir haben Funktionen hier schon dargestellt. Die wichtigste Darstellung einer Funktion ist die analytische Darstellung. Also, Sie können mich auch jederzeit unterbrechen, besonders dann, wenn ich was Falsches sag. Das hilft auch dann allen Kolleginnen und Kollegen, ja bitte. Ja, das da haben Sie ganz recht.

Das ist jetzt eine Frage der Betrachtungsweise. Es gibt ja auch für, da da damit werden wir auch uns beschäftigen, zu jeder Funktion zu jeder Funktion gibt es unter bestimmten Bedingungen eine Umkehrfunktion, bei der ich einfach die Betrachtungsweise änder. Die Kollegin meint ja, eigentlich könnte ich mir ja auch anscheinend, schauen das Volumen als Funktion des Drucks. Ich übe hier einfach eine bestimmte Kraft aus, die erzeugt einen gewissen Druck. Wie groß ist dann das Volumen?

Das kann ich mir, kann ich mich natürlich auch fragen. Das Volumen als Funktion des Drucks wär dann die Umkehrfunktion des Drucks als Funktion des Volumens. Mit der Umkehrfunktion werden wir uns noch beschäftigen. Das, was wir als unabhängige Variable und was wir als abhängige Variable bezeichnen, ist eine Frage der Betrachtungsweise. Beide sind natürlich möglich.

Sind aber nicht alle Funktionen umkehrbar oder nur unter bestimmten Bedingungen, unter bestimmten, wenn ich bestimmte Vorkehrungen treffe. Also analytische Darstellung, da gibt es einmal die explizite Darstellung, die haben wir jetzt schon kennengelernt. F von x ist gleich x Quadrat. Oder y schreiben wir das so hin, y ist gleich x Quadrat. Hier kann ich für jeden x-Wert ganz einfach den y-Wert ausrechnen.

Ich nehme den Taschenrechner her und quadriere die Zahl, die ich hab. Funktionswert ist einfach das Quadrat des Arguments. So was nennt man eine explizite Darstellung, weil ich das y auf einer Seite stehen hab und auf der anderen Seite nur x stehen hab. Aber es gibt auch die sogenannte implizite Darstellung. Die implizite Darstellung, was ist zum Beispiel, wenn ich hinschreib, x Quadrat plus y Quadrat ist gleich eins.

Diese Gleichung stellt auch eine Beziehung her zwischen x und y, und diese Beziehung kann unter Umständen auch, wenn ich für die Eindeutigkeit sorge, eine Funktion sein. Ich kann ja zum Beispiel versuchen, das y zu isolieren auf eine Seite zu bringen, also das y lasse ich hier und schreib hin, eins minus x Quadrat. Dann ziehe ich noch die Wurzel. Jetzt muss ich mich entscheiden, ob ich die positive oder die negative Wurzel nehme, ja. Ich hätt natürlich genauso gut eine andere Funktion hinschreiben können, nennen wir die x y eins, y zwei mit einem negativen Vorzeichen hier.

Jetzt haben wir die die implizite Darstellung, wo das y und das x auf einer Seite stehen, umgewandelt in eine explizite Darsteller, wo ich auf einer Seite das x hab, auf der anderen Seite das y. Ja, bitte. Ja, also Sie können das natürlich so hinschreiben, wenn Sie wollen, und das ist auch üblich, aber dann müssen Sie sich im Klaren sein, dass Sie es dann eigentlich mit zwei Funktionen zu tun haben, nicht? Also, wir werden auch gleich über die grafische Darstellung reden, aber was wir hier gemacht haben, ist, das ist die Gleichung für den Kreis. Sie sind ja schon vertraut mit der grafischen Darstellung, denke ich.

Die meisten fangen jetzt so, dass ich das hier verwenden kann. Das ist die Gleichung für den Kreis. Die Punkte, die diese Gleichung erfüllen, sind Punkte auf dem Kreis. Und wenn ich das jetzt so auflöse, dann habe ich hier zwei, zwei Äste dieser Funktion, und zwar hier den positiven Ast, das wär die positive Wurzel, das wär jetzt plus, Wurzellast eins minus x Quadrat, also y ist plus, Wurzellast eins minus x Quadrat, und dieser Ast hier unten, dieser Teil der Funktion hier unten, das wär eben Minus. Ja?

Also hier haben wir die die implizite die implizite Darstellung in eine explizite Darstellung verwendet. Die implizite Darstellung, das können wir immer so schreiben, als ein f von x und y und da setzen wir gleich null. Wenn wir diese Darstellung hier haben, wenn wir dieses Beispiel hier betrachten, Das x Quadrat plus y Quadrat ist gleich eins, das ist die Gleichung, die von Punkten auf einem Einheitskreis erfüllt wird. Die können wir solchen schreiben, x Quadrat plus y Quadrat minus eins ist gleich null. Also das, was ganz rechts steht, das kann ich immer alles auf die andere Seite hinüberschaufeln.

Und dann betrachte ich das einfach als eine Funktion von zwei Variablen, x und y. Eine Funktion kann ja nicht nur von einer Variablen abhängen, sondern von mehreren. Schauen Sie sich diesen Druck hier an. Der Druck ist eine Funktion ist eine Funktion des Volumens, der Temperatur und auch der Anzahl der Teilchen im Gas. Wie viel Gas ist denn da, ja?

Also, hier hatten wir schon eine Funktion von mehreren Variablen. Wir haben es jetzt in unserer Diskussion als eine Funktion von nur einer Variablen betrachtet, weil wir die anderen Variablen festgehalten haben, aber im Prinzip ist das eine Funktion von mehreren Variablen, und genauso kann ich hier die linke Seite der Gleichung betrachten als eine Funktion von zwei Variablen x und y, und ich setze diese Funktion, die ich groß f nenne, einfach gleich null. Und das stellt mir diesen impliziten Zusammenhang her zwischen der Variablen y und der Variablen x, ja? Wenn ich das so hinschreib, f von x y ist gleich null, dann habe ich natürlich noch gar nicht entschieden, was ist jetzt die unabhängige Variable und was ist die abhängige Variable? Das entscheide ich dann, wenn ich versuch, eine, wenn ich versuche, die Variablen zu trennen und und das y auf eine Seite schreib und dann einen komplizierten Ausdruck mit der x enthält auf der einen anderen Seite hat, ne.

Das ist die implizite Darstellung. Es wird es, Sie werden sich mit Übungen beschäftigen, in denen Sie die implizite Darstellung, also diese, in eine explizite Darstellung, also in diese, verwandeln sollen. In der Physik gibt es eine weitere Darstellung, die sehr wichtig ist, und das ist die Darstellung eines funktionalen Zusammenhanges, also eines Zusammenhanges zwischen zwei Variablen in Parameterform. Wenn ich eine Funktion in Parameterform darstelle, dann stelle ich mich, da stelle ich mir vor, dass ich eine zusätzliche Hilfsvariable habe. Eine Hilfsvariable nennen wir sie t, eine Hilfsvariable klein t, zum Beispiel die Zeit, und ich betrachte jetzt sowohl x als auch y als eine Funktion dieser Hilfsvariablen t.

Das stellt mir jetzt natürlich auch einen Zusammenhang her zwischen x und y. Lassen Sie mich ein Beispiel machen, ein einfaches Beispiel aus, ein einfaches physikalisches Beispiel. Stellen Sie sich Folgendes vor. Stellen Sie sich vor, ich hab hier ein Objekt, das befindet sich im Nullpunkt, das befindet sich im Nullpunkt und das, dieses Objekt schieße ich jetzt in x-Richtung los, mit einer gewissen Geschwindigkeit v null. Unter dem Einfluss der Schwerkraft.

Hier gibt es eine Schwerkraft mit der, hier gibt es eine gewisse Schwerkraft mit der Erdbeschleunigung, g. Und unter dem Einfluss dieser Erdbeschleunigung wird dieses Objekt, das ich hier horizontal loswerfe, nach unten fallen. Und zwar eine solche Bahn beschreiben. Zum Zeitpunkt t gleich eins, sagen wir eine Sekunde, wenn Sie die Zeit in Sekunden messen wollen, bin ich hier zum Zeitpunkt zwei hier, zum Zeitpunkt drei vielleicht schon hier unten und so weiter, ja? Also Sie sehen, wenn ich das die die Zeit los loslaufen lasse, von null weg, bei null bin ich hier, bei eins hier, bei zwei hier, dann erzeugt mir das auch einen Zusammenhang zwischen x und y.

Sie sehen also, dass diese dieser Darstellung in Parameterform auch eine einen Zusammenhang erzeugt, eine eine Funktion erzeugt, die x auf y abbildet. Wir können es auch einfach hinschreiben. Es ist in der Physik oft einfach, in der Mechanik die Parameterform zu wählen, weil da können wir die Bewegungen x und in y Richtung zunächst als unabhängig voneinander betrachten. Das folgt jetzt eigentlich aus den Newtonschen Bewegungsgleichen für dieses für dieses Objekt, damit will ich Sie jetzt nicht behelligen. Glauben Sie mir einfach, dass die Bewegung in x-Richtung einfach, also die verläuft unabhängig von der Bewegung in y-Richtung, und das ist eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, wenn ich jetzt den Luftwiderstand vernachlässige.

Die Bewegung in in x-Richtung verläuft mit einer gewissen konstanten Geschwindigkeit. Die Bewegung in y-Richtung ist aber eine beschleunigte Bewegung. Und wenn Sie die Newtonschen Bewegungsgleichungen unter diesen Umständen integrieren, dann finden Sie heraus, dass die Y-Koordinate proportional ist zum Quadrat der Zeit proportional zur Erdbeschleunigung und da gibt's noch einen Faktor, einhalb, und zwar brauche ich da auch ein Minus, weil die Bewegung ja nach unten geht. Sie werden das im Laufe der, Sie werden sehen, warum das so ist, im Laufe der Vorlesung einführen in die Physik eins. Und Sie werden auch Experimente dazu machen.

Das ist jetzt die Darstellung dieser Funktion in Parameterform. Sie sehen, ich hab hier die zusätzliche Variable, in unserem Beispiel ist das die Zeit, aber wir können die einfach als eine Hilfsvariable betrachten und beide Variablen x und y hängen von dieser Hilfsvarialien ab. Jetzt kann ich auch diese Darstellung in Parameterform ganz einfach in eine explizite Form verwandeln. Ich schreib einfach das x, ich nehm die erste Gleichung und form sie zu x durch v null ist gleich t. Also ich isoliere die ich isoliere die Hilfsvariable und dann setze ich die Hilfsvariable einfach hier ein und erhalte, das ist minus einhalb g mal x durch v null zum Quadrat.

Lassen Sie mich das etwas umordnen, das ist g durch v null, damit ich die Konstanten alle zusammenhab, mal x Quadrat. Sie sehen, das entspricht einer invertierten Parabel. Ich hab hier das x Quadrat, das hier ist ja, ist eine Konstante mit der Also, was wir hier getan haben, ist, die Parameterform in eine explizite Form zu verwandeln, wo die abhängige Variable, also der Funktionswert, auf eine explizite Weise vom Argument abhängt. Wenn Sie wenn Sie experimentieren, und das werden Sie im Praktikum schon sehr bald tun, versuchen Sie auch, funktionale Zusammenhänge zu beschreiben, aber Sie in Form von Messwerten, die Sie messen, die Sie im Experiment bestimmen. Und da ist dann auch die Darstellung, das mag jetzt vielleicht trivial klingen, als eine Tabelle wichtig, wo Sie die x-Variable meinetwegen hier eintragen, die y-Variable, die Sie messen, meinetwegen Spannung, die Sie anlegen, Strom, der dann durch den Widerstand fließt, oder die Position des Teilchens in x-Richtung und y-Richtung, die messen Sie, eins, zwei, drei, vier und so weiter, und dann erhalten Sie halt eine eine Reihe von Messwerten.

Das ist auch die Darstellung eines funktionalen Zusammenhanges, den Sie empirisch ermittelt haben im Experiment, für den Sie vielleicht eine eine analytische Darstellung gern haben möchten, aber die ist nicht immer, ist nicht immer so leicht zu kriegen. Eine weitere Darstellung, die wir eigentlich schon verwendet haben, ich möcht Sie nur noch einmal wiederholen, einige Begriffe zu klären, ist die grafische Darstellung. Diese grafische Darstellung, eine viel benutzte grafische Darstellung ist in einem kardesischen Koordinatensystem, wo ich zwei Achsen hab, die senkrecht aufeinanderstehen, die eine Achse. Die nenne ich die x-Achse, die andere die y-Achse, die x-Achse heißt auch abszisse und die y-Achse heißt auch Ordinate. Und wenn ich jetzt für jeden x-Wert den y-Wert ausrechne und als Punkt in diesem Koordinatensystem Eintrag, hier habe ich einen x-Wert, hier habe ich einen y-Wert, einen bestimmten, und das für verschiedene x-Wert x-Werte mache, erhalte ich eine Linie und die nennt man den den Graphen der Funktion.

Das ist der Funktionsgraph. Hier können wir uns auch überlegen, was das bedeutet, dass eine Funktion eine eindeutige Zuordnung der der unabhängigen zur Abhängigen Variablen sein muss. Was bedeutet das grafisch dargestellt? Hier haben Hier haben wir ein Problem. Hier haben wir ein Eindeutigkeitsproblem, weil wir nicht wissen, also für diesen x, bestimmten x-Wert hier, wo ist denn jetzt der y-Wert?

Ist es der da oder ist es der da? Das ist keine Funktion, weil der x-Wert nicht eindeutig einem bestimmten y-Wert zugeordnet ist. Sowas ist nicht erlaubt, was Sie hier machen können, ja. Aber wenn Sie den Definitionsbereich einschränken, zum Beispiel von da bis da, hilft Ihnen das nix. Sie können den, Sie können aber sagen, okay, ich betrachte jetzt nur den, ich schränke den Wertebereich ein, von hier nach oben und von hier nach unten.

Ich sag, das ist das ist deine Teil der Funktion. Nennen wir das f eins von x oder oder y eins von x. Und das Stück hier unten, machen Sie es rot, das ist jetzt y zwei von x. Sie teilen das in zwei unterschiedliche Funktionen und dann ist alles okay. Ja.

Ja, aber das ist eine andere Funktion, das ist die Umkehrfunktion. Sie können natürlich sagen, ich betrachte jetzt nichts x als die unabhängige Variable, sondern y, wie Sie's nennen, ist ja wurscht, aber dann haben Sie eine Funktion, die vielleicht so ausschaut. Und das ist schon erlaubt, nicht? Hier haben Sie zwar für unterschiedliche x-Werte, für für einen bestimmten y-Wert Zwei verschiedene x-Werte nennen wir sie x eins und x zwei, aber das ist kein Problem, weil weil sie die Eindeutigkeit haben. Sie ordnen jeden x-Wert einen bestimmten y-Wert zu, dass es hier dazu kommen kann, dass es für einen bestimmten y-Wert, für den aber genauso für alle anderen bisher, zwei verschiedene x-Werte gibt, die dazu führen, das ist für eine Funktion okay.

Ja, das ist so üblich, aber das ist eine Konvention, nicht. Wir könnten uns darauf einigen, das auch anders zu machen, aber es ist so üblich, die unabhängige Variable auf der Horizontalen Achse aufzutragen und die abhängige Variable auf der vertikalen Achse. So, jetzt müssen wir uns mit einigen mit einigen wichtigen Eigenschaften von Funktionen beschäftigen. Das ist jetzt vielleicht ein bisschen eine Aufzählung, aber aber so ist es halt, da müssen wir durch. Ich hoffe, es wird dann auch noch interessanter.

Der Definitionsbereich, den haben wir schon besprochen, der Definitionsbereich ist der Bereich, für den wir die Funktion definieren, für den die Funktion definiert ist. Als Definitionsbereich benutzen wir oft gewisse Intervalle der reellen Zahlen. Sie wissen, was die reellen Zahlen sind, das sind die Zahlen eins, zwei, drei, die gehören da dazu, aber auch alle rationalen Zahlen und da auch alle irrationalen Zahlen. Die reellen Zahlen können wir darstellen auf einer Zahlengeraden. Und wir haben, wir benutzen als Definitionsbereiche oft gewisse gewisse Interballe auf der reellen Zahlen oder wie man auch sagt, auf der reellen Achse.

Zum Beispiel das offene Intervall, das schreiben wir so, das entspricht einem gewissen Abschnitt auf der reellen Achse, der so gewählt ist, dass alle Werte, die kleiner sind als die größer sind als die untere Grenze und kleiner sind als die obere Grenze da dazugehören. Wenn wir das grafisch auftragen wollen, stellen Sie sich vor, da ist einfach eine Linie, da ist null, und dann habe ich hier a und b. Und alle Werte, die da dazwischen sind, die gehören zu diesem Intervall, den ich als Definitionsbereich benutzen könnte für eine bestimmte Funktion. Alle, die außerhalb sind, nicht, und zwar auf eine solche Weise, dass die Endpunkte nicht zum Intervall gehören, das nennt man ein offenes Intervall. Im Gegensatz dazu gibt es auch das abgeschlossene Intervall.

Und beim abgeschlossenen Intervall, das sind alle Werte x aus den reellen Zahlen, also alle Punkte auf der reellen Achse, der Zahlengeraden. Und dann nehme ich die die Endpunkte dazu. Sehen Sie, hier ist, x darf auch gleich a sein und gleich b. Hier war das nicht so. Hier durften die nicht gleich sein, die mussten strikt größer sein.

Für manche Funktionen muss ich auf den Definition, darf ich nicht die die ganz neue Zahlen nehmen. Wenn ich zum Beispiel die Funktion mir anschaue, eins minus x Quadrat und die Wurzel aus. Für welche Werte x macht das Sinn? Was ist mit null? Wurzel, wenn x gleich null ist, dann ist habe ich hier die Wurzel aus eins.

Okay, das passt. Viereinhalb geht's auch. Allerwerte Betrag kleiner gleich eins, da passt's, aber wenn x zum Beispiel zwei ist, also einen Betrag hat, der größer ist als eins, dann habe ich hier minus vier, eins minus vier ist minus drei und die Wurzel aus minus drei, die kann ich nicht ziehen, weil jede Zahl, die quadriert wird, eine positive Zahl ergibt. Also die Wurzel plus minus drei, da müsste ich dann in die imaginären in die komplexen Zahlen ausweichen, damit wollen wir uns später beschäftigen, aber in den realen Zahlen ist das nicht erlaubt. Hier keine Probleme zu zu kriegen, sag ich dann, okay, der Definitionsbereich für diese Funktion, den schränke ich ein auf minus eins bis plus eins.

Oder wie der Kollege gesagt hat, das sind alle x aus den reellen Zahlen, für die gilt, dass der Betrag von x kleiner gleich ist eins. So hätten wir das auch hinschreiben können. Aber Sie sehen, wir müssen einfach bei bestimmten Funktionen den Definitionsbereich passend einschränken, damit hier alles in Ordnung ist. Jetzt ist es aber so, dass in der Physik sehr oft der Definitionsbereich nicht einmal erwähnt wird. Dann muss aus dem Zusammenhang erkannt werden, ja.

Das ist überhaupt ein Problem in der Physik. In in der Mathematikliteratur wird immer alles ganz genau definiert und Definitionsbereich, Wertebereich, in der Physik ist das nicht so. Da werden Sie oft auch auf sehr schlampige, mathematisch sehr schlampige Notation oder Terminologie treffen. Wir schreiben die Funktion hin und kümmern kümmern uns nicht weiter den Definitionsbereich. Und auch da kümmern wir uns oft nicht, ob die Funktion überhaupt überall definiert ist.

Das muss dann irgendwie aus dem Zusammenhang erkannt werden, aber daran müssen Sie sich leider gewöhnen, dass, vielleicht wurde Ihnen in der Schule eingebläut, ohne Definitionsbereich ist es keine Funktion und das stimmt auch. Strikt streng genommen müssen wir, wenn wir von einer Funktion sprechen, auch den Definitionsbereich genau definieren, aber das wird halt nicht immer gemacht. So was steht als Nächstes im Skript, nämlich Nullstellen, ja, Nullstellen ist sehr einfach. Der Ort auf der, der Ort auf der x-Achse, wo die Funktion gleich null ist, wo die abhängige Variable gleich null ist, die Stellen, die nennen wir Nullstellen. Wenn das jetzt Null wär, ich hab das Koordinatensystem jetzt so gezeichnet, dass im Ursprung sowohl x als auch y null ist, dann wären die null die die Nullstellen wo.

Das sind einfach diese diese beiden Stellen hier, wo die Funktion die x-Achse schneidet, wo die Funktion den Wert null hat dort die Punkte, nennen wir sie x, die diese Bedingung erfüllen. Und hier in diesem Beispiel ist das x eins und x zwei, das sind die Nullstellen der Funktion. Da gibt's eigentlich nicht mehr dazu zu sagen. Ein weiterer wichtiger Begriff ist der der der der geraden und der ungeraden Funktion. Es gibt gerade Funktionen, es gibt ungerade Funktionen, es gibt aber auch Funktionen, die sind weder noch.

Die geraden Funktionen haben die Eigenschaft, die geraden Funktionen hatten die Eigenschaft, dass, wenn ich den, wenn ich das Vorzeichen des Arguments ändere, dann basiert mit der Funktion selber nix. F von x ist gleich f von minus x. Ein Beispiel wär die Funktion, ein Beispiel wär die Funktion, ja, was was nehmen wir denn? Wir nehmen y ist gleich x gebaut plus eins. Wie schaut die aus?

Das ist eine Parabel, die hier durch eins geht. Und wenn Sie sich das anschauen, die ist spiegelsymmetrisch bezüglich der y-Achse und der Funktionswert an der Stelle x und der Funktionswert an der Stelle minus x an der entsprechenden Stelle, die sind immer gleich. So was nennt man eine eine gerade Funktion. Im Gegensatz dazu gibt's auch die ungeraden Funktionen, Und die haben die Eigenschaft, dass der Vorzeichenwechsel im Argument auch zu einem Vorzeichenwechsel des Funktionswerts führt, sonst nix. Das ist also minus f von minus x.

Zum Beispiel die Funktion y ist gleich x hoch drei. Wenn x gleich eins ist zum Beispiel, dann ist der Funktionswert eins, Wenn x gleich minus eins ist, dann ist der Funktionswert minus eins. Wenn x gleich zwei ist, dann ist der Funktionswert zwei, mal zwei ist vier, mal zwei ist acht. Wenn x gleich minus zwei ist, dann ist minus zwei, mal minus zwei ist plus vier, mal minus zwei ist minus acht. Also dann dann habe ich denselben Betrag, aber das umgekehrte Vorzeichen.

Grafisch schaut das so aus, vielleicht so ähnlich, die Funktion ist symmetrisch bezüglich des Ursprungs. Also für jeden x-Wert, wenn ich den x-Wert im Vorzeichen umkehr, dann kehrt sich auch das Vorzeichen der Funktion Das ist die Definition einer ungeraden und einer geraden Funktion. So. Also, eine monotone Funktion ist nicht eine fade Funktion, sondern eine Funktion, die das die immer wächst oder immer fällt. Einmal hat ein Kollege über den Vortrag eines anderen einen über den Vortrag eines anderen Kollegen gelästert und er hat gesagt, also der Vortrag war konvergent, nämlich beschränkt und monoton.

Sie werden, was das bedeutet, noch in der Mathematikvorlesung genauer lernen und dann lernen und dann werden Sie das vielleicht zu schätzen, wie's Also, was ist eine monotone Funktion? Monotonie. Stellen Sie sich vor, Sie betrachten zwei Werte x eins und x zwei. Und diese beiden Werte, ich gebe es ein bisschen weiter rauf, sonst wird's hier finster, und diese beiden Werte x eins und x zwei, die haben die Eigenschaft, dass x eins kleiner ist als x zwei. Es aus dieser Bedingung, dass x eins kleiner ist als x zwei, immer folgt, dass f von x eins kleiner ist als f von x zwei, wenn das immer folgt, wenn für x eins kleiner x zwei immer folgt, dass f von x eins kleiner ist als f von x zwei, dann nennt man diese Funktion streng monoton steigend.

Das heißt, es geht immer aufwärts, ja, wenn ich die beiden Punkte auf der x-Achse beliebig wählen kann und immer ist der rechts größer als der links, der Funktionswert, dann ist die Funktion monoton streng monoton steigend. Es kann ja auch sein, dass die Funktion irgendwann einmal eine horizontale Stelle hat, dann hätte ich den Fall, dass die Funktionswert, dass der Funktionswert hier zum Beispiel und hier gleich sind. In dem Fall, wenn ich, wenn daraus nur folgt, dass die Funktion kleiner gleich der Funktion an der Stelle x zwei ist, dann nennt man diese Funktion nicht streng monoton steigend, sondern einfach nur monoton steigend. Dasselbe gibt's natürlich auch für fallende Funktionen. Wenn ich eine Funktion hab, die so ausschaut, also anschaulich ist es ja ganz einfach, eine Funktion, bei der es ständig nur bergab geht, die ist streng monoton fallend.

Wenn die Funktion auch teilweise horizontal verlaufen kann, dann ist sie eben nur monoton fallend, nicht streng monoton fallend. Also da gibt's genau das analoge auch für die fallenden Funktionen. Ja, das Nächste, was ich Ihnen erzählen will, ist der Grenzwert und dazu will ich wirklich nicht viel sagen. Sie werden sich mit dem Grenzwert in der Analysisvorlesung ausführlich beschäftigen. Und Sie werden sich da auch mit dieser ganzen Epsilonik beschäftigen, wo Sie Epsilon Umgebungen betrachten und Delta Umgebungen betrachten und Folgen und so weiter und so fort.

Und diese Begriffe werden Sie dann benutzen, Grenzwerte zu definieren und mit Tiefe der Grenzwerte auch die Stetigkeit einer Funktion zu definieren. Für uns hier wollen wir uns damit begnügen, dass der Grenzwert einer Funktion, wir schreiben das als Limes, ich schreibe Ihnen, ich Ich schreibe Ihnen, ich ich behandle den Grenzwert hier nur, damit Sie sich an die Notation, damit Sie die Notation kennenlernen. Und ich möchte gern, dass Sie anschaulich verstehen, was man darunter versteht, aber streng mathematisch muss ich Sie da die Mathematikvorlesung verweisen, weil diese Zeit haben wir nicht. Also, was ist der Grenzwert einer Funktion? Der Grenzwert einer Funktion an der Stelle x null ist der Funktionswert, den wir uns immer mehr, ist der Wert, sollte ich sagen, dem wir uns immer mehr nähern, wenn sich x x null nähert.

Also grafisch kann man sich das so vorstellen, ich hab hier ich hab hier, ja, ja, ich hab hier einen einen Wert x null, und jetzt näher ich mich dem Wert x null irgendwie auf der y-Achse, auf der x-Achse, ja. Hier hab ich hab ich eine Funktion und der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle ist jener Wert, dem sich der Funktionswert immer mehr nähert, wenn ich mit x nach x null gehe. Hier wärs halt dieser Punkt da. Also, das ist jetzt trivial, nicht, weil hier ist auch der Funktionswert der Funktion gleicht dem Grenzwert, wenn wir den Grenzwert g, das ist einfach dieser Wert hier. Aber ich könnte auch ganz willkürlich eine eine Funktion definieren, die hier nur an dieser Stelle den den den Funktionswert hier oben hätte, ja.

Trotzdem wär das der Grenzwert, weil das der der Wert ist, dem sich der Funktionswert immer mehr nähert, vielleicht nie ganz erreicht, aber immer mehr nähert, wenn ich mit x nach x null gehe, ne. Das ist einfach der Grenzwert. Wir betrachten auch Grenzwerte für x gegen unendlich. Ich lasse x immer größer werden. Was passiert dann mit der Funktion f von x?

Zum Beispiel, was ist der Grenzwert? So ähnliches Beispiel ist im Skriptum drin, x Quadrat plus x plus eins, irgendwie so, zwei x Quadrat plus fünf. Was ist der Grenzwert von diesem Bruch, wenn ich x gegen unendlich gehen lasse? Ist ein bissel, ich mein, das da oben wird immer größer, weil das x Quadrat immer größer wird, Unten im Nenner wird's auch immer größer. Also was ist der Grenzwert?

Diese Funktion nähert sich aber, wenn ich x gegen unendlich, wenn x immer größer werden lasse, dann nähert sich das einen bestimmten Wert und der ist? Ein halb. Genau, und wie sieht man das? Ich kann ja oben und unten, oben und unten, also den Zähler und dem Nenner, durch x Quadrat dividieren, dann habe ich hier eins plus eins durch x plus eins durch x Quadrat. Und hier habe ich zwei plus fünf durch x Quadrat.

Und wenn ich jetzt x sehr groß werden lasse, dann wird dieser Term hier sehr klein, auch dieser Term wird sehr klein und der auch, und übrig bleibt nur einhalb. Also, solche Überlegungen machen wir in der Physik sehr oft, weil da gewisse sehr komplizierte Ausdrücke dann unter bestimmten Bedingungen für x gegen unendlich oder für x gegen null oder für x gegen einen bestimmten Wert, einfache Formen annehmen und hier wird dieser ganze Bruch, der nähert sich immer mehr dem Wert einhalb. Er wird nie wirklich einhalb, weil bis nach unendlich kann ich nicht gehen, aber wenn ich mir vorstelle, dass ich immer weitergehe und den die Variable x gegen unendlich schick, dann nähert sich dieser Bruch, also der Funktionswert, in diesem Fall ist das dieser Bruch, immer mehr der Zahl eineinhalb. Und das ist der Grenzwert. Mehr wollen wir hier nicht, auf Englisch sagt man, das ist etwas Handwaving, diese diese Definition, aber für uns hier sollte das reichen.

Das ist der Wert, den die Funktion, dem sich die Funktion nähert, wenn ich mich mit dem da unabhängig variabel, den Wert x null, oder aber auch dem Wert unendlich immer mehr näher. Es muss natürlich auch der Fall sein, dass es keine Rolle spielt, wie ich mich dem Punkt näher. Ich muss mich dem Punkt beliebig nähern können, ja? Aber der Grenzwert kann ja unterschiedlich sein, von welcher Seite Sie sich nähern? Ja, dann muss ich das spezifizieren.

Sie haben ganz recht, ich könnte eine eine eine Funktion haben, die meinetwegen so ausschaut und hier an dieser Stelle ganz gar nicht definiert ist, dann wär der Grenzwert, wenn ich mich von hier näher, natürlich eine andere, wär der Grenzwert, wenn ich mich von der anderen Seite von von positiven x-Werten nähere. Da müsste ich das dann entsprechend spezifizieren, das ist ein Grenzwert, den ich von links erreiche oder von rechts erreiche. Das kann man natürlich auch tun. Aber auch da muss es unabhängig sein, in welcher, also in welcher Form man macht das eigentlich dann mit einer Folge und Aber da da möchte ich jetzt, das möchte ich hier nicht behandeln. Ja, können ja sich auch überlegen, was passiert denn mit dem was passiert denn zum Beispiel mit dem Bruch, mit dem mit demselben Ausdruck?

Wenn ich x nach Minus unendlich schick, können sie auch machen, passiert genau dasselbe. Weil auch wenn ich x gegen Minus unendlich schicke, dann wird dieser Term hier sehr klein, dieser Term auch und dieser Term auch und und auch für, das ist der gleiche Ausdruck, auch das ist dann ein halb. Und es kann natürlich Funktionen geben, wo der Grenzwert bei minus unendlich eine andere ist. Zum Beispiel eine Funktion, die sich die sich so verhält, ja, wie der Tangenzypabolicus zum Beispiel, den wir noch behandelt werden, da wär das irgendwie der Grenzwert für x gegen Minus unendlich, und das hier wär der Grenzwert für x gegen Plus unendlich, muss nicht dasselbe sein. Der nächste Begriff, den wir noch, den ich noch kurz behandeln möchte oder mehr als erwähnen kann ich nicht, das ist der Begriff der Stetigkeit.

Da haben wir da noch Platz vielleicht, Oder vielleicht auch nicht? Also mit stetigen und unstetigen Funktionen werden Sie sich in der Analysis Vorlesung noch sehr ausgiebig beschäftigen. Was ich hier, ja? Ja, zum Beispiel eine Funktion, die das macht, die wär die die ist monoton, ja, weil immer aus x eins kleiner, aus x zwei folgt, dass der Funktionswert auch dieselbe Ordnung hat sozusagen, dann ist die natürlich, aber wir haben auch nicht gesagt, dass Stetigkeit ist, aber die Funktion, die hat hier einen Sprung und die ist hier nicht stetig, ist aber trotzdem monoton. Die fällt nicht immer.

Ja, die fällt immer, ja. Die die Funktion eins drückst, die schaut so aus. Also sie, die ist hier, die fällt fast immer. Die fällt nämlich überall hier und überall hier, aber hier nicht. Hier geht's auf einmal vom Minus und endlich nach Plus unendlich.

Hier habe ich eine eine Funktion, die ist fast, ich meine, die hat fast überall eine negative Ableitung. Hier bei null ist die Ableitung nicht definiert, aber da springt die Funktion sozusagen vom Minus endlich nach Plus unendlich. Aber die Frage war, ob es eine Funktion gibt, die unstetig ist, aber trotzdem am Montag. Stetig bedeutet eigentlich, dass der Grenzwert der Funktion einer, also eine Funktion nennt man an einer Stelle x null stetig, wenn der Grenzwert der Funktion an der Stelle existiert und gleich dem Funktionswert ist. Was bedeutet das?

Das bedeutet einfach, dass die Funktion, wenn Sie so wollen, keine Lücken und keine keine Singularitäten hat. Eine Singularität ist eine Stelle, wo eine Funktion über alle Grenzen wächst, entweder nach Plus unendlich oder nach minus unendlich. Und wenn das nicht der Fall ist und Sie auch keine Sprünge hat, dann nennen wir eine Funktion stetig. Wenn Sie wollen, ist eine eine stetige Funktion eine Funktion, die, wenn Sie den Graphen zeichnen, wenn Sie das den Graphen zeichnen können, ohne die den Bleistift abzusetzen. Ich mache Ihnen Beispiele von unstetigen Funktionen, die auch eine gewisse Rolle spielen in der Physik.

Eine ein Beispiel ist die Signumsfunktion. Die Signungsfunktion ist minus eins für alle x-Werte, die kleiner sind als null. Null, wenn x gleich null ist und plus eins, wenn x größer ist als null. Wie schaut das grafisch aus? Einmal x und y, haben wir das in rot.

Die Signumsfunktion, also Signum, das heißt das Vorzeichen, nicht? Das ist eine Funktion, die gibt mir das Vorzeichen zurück. Die gibt mir das Vorzeichen des Arguments zurück. Wenn das eine Zahl ist, die kleiner ist als null, dann kriege ich minus eins. So, wenn das minus zehn ist, dann gib mir die, wenn x minus zehn ist, x minus zehn ist kleiner als null, also kriege ich minus eins zurück.

Schaut so aus. Wenn für positive Zahlen ist sie, ist sie eins, aber für null, genau für null ist sie null. Also ich mal das jetzt so, mal da einen Punkt hin und hier mal ich so offenen Kriege hin. Einfach, deutlich zu machen, dass die Funktion, dass das der Funktionswert ist an der Stelle null für alle Argumente größer als null hat die Funktion den Wert eins, für alle Funktionswerte größer als kleiner als null hat sie den Wert minus eins. Und diese Funktion hat eine Unstetigkeitsstelle an der Stelle null.

Hier macht die Funktion einen Sprung. Genauso wie diese Funktion hier einen Sprung macht zwischen hier und hier, das ist auch ein Beispiel einer unstetigen Funktion. Diese Funktion, was sagt man, hat eine Unstetigkeitsstelle hier an der Stelle x eins, diese Signumsfunktion, die hat eine Unstetigkeitsstelle an der Stelle null. Weil bei null springt die Funktion so zuerst von minus eins auf null und dann von null auf eins. Genau an der Stelle null ist die, hat die Funktion den Funktionswert null.

Weil bei null können wir nicht entscheiden, ob jetzt das Vorzeichen positiv oder negativ ist, würde auch keine Rolle spielen, aber die Konvention ist, dass an dieser Stelle die Siedlungsfunktion den Funktionswert null besitzt. Und das ist ein Beispiel dafür für eine Funktion, bei der der Funktionswert nicht gleich dem Grenzwert ist, egal ob er jetzt von links oder von rechts kommt. Weil der Grenzwert der Funktion, wenn ich von hier runtergehe, dann ist das der Grenzwert. Weil der Funktionswert, solange ich positiv bin, immer eins ist. Also ist der Grenzwert der Funktion, wenn ich mich auf der x-Achse, den Wert null, von rechts näher, eins, wenn ich von links komm, ist er minus eins, aber an der Stelle null, ist der Funktionswert null.

Also, der Funktionswert unterscheidet sich vom sowohl vom linksseitigen, als auf rechtsseitigen, als auch vom linksseitigen Grenzwert. Anschaulich bedeutet das einfach, dass die Funktion einen Sprung macht, ne, genauso wie genauso wie die Haviside Stufenfunktion, benannt nach dem Herrn Haviside, wie die, wie der Name schon sagt, ist es eine Funktion, die eine Stufe hat und die Stufe, die ist an der Stelle null, zum Gelb. Die Funktion ist für negative x-Werte gleich null. Für positive x-Werte gleich eins. Und an der Stelle null hat sie den Wert eins, glaube ich.

Aber das ist eine Frage der Definition, das zeichne ich jetzt so. Also mathematisch hingeschrieben, man schaut es oft mit einem Theta, also der griechische Buchstabe Theta. Für x kleiner als für x klein als null ist sie null und für x größer gleich null ist sie eins. Ich schreib auf die Nuller mit einem Strich. Also diese Funktion hat klarerweise hier eine Sprungstelle an der Stelle null und hier ist die Funktion nicht stetig, überall sonst ist sie stetig.

Was ist mit der Funktion? Ist die stetig? Was ich hier gezeichnet habe, ist y Betrag von x. Ist die Funktion stetig oder nicht? Bitte?

Hat keine Spruckstelle, infolgedessen ist sie stetig. Ja. Diese Funktion hat hier diesen Knick, hier ist sie nicht differenzierbar, wir werden noch sehen, was das bedeutet, aber stetig ist sie schon. Ich kann die Funktion zeichnen, ohne abzusetzen. Eine weitere Stelle, die man auch als Unstechigkeitsstelle bezeichnet, ist eine Stelle, wo eine Singularität basiert.

Wir hatten schon wir hatten schon die die Funktion, eins durch x betrachtet. Und was passiert mit der Funktion, wenn wenn ich mich x nähere? Dann gibt es hier eine Singularität. Eine Singularität findet an jener Stelle statt, wo die Funktion über alle Grenzen wächst, entweder nach plus unendlich oder nach minus unendlich. Wenn ich x von positiven Zahlen kommend, immer kleiner werden lasse, dann wird eins durch x immer größer.

Oder wenn Sie wollen, wenn ich von links komm, für negative Zahlen immer stärker, immer stärker negativ. Diese Funktion hat das an der Stelle null eine Singularität, diese diese Funktion auch, ja. Diese Funktion ist aber links und rechts, sozusagen gleich. Auch diese Funktion, ein Rücks Quadrat, hat an der Stelle null eine Singularität, weil an dieser Stelle die Funktion über alle Grenzen wächst. Auch eine Singularität, auch bei einer Singularität sagt man, dass die Funktion eine Unstetigkeitsstelle hat.

Wenn Sie so wollen, dann können Sie sagen, ja, dann, das kann ich ja nicht zeichnen, ohne abzusetzen. So, das waren jetzt ein paar wichtige Eigenschaften von Funktionen, die ich erwähnen wollte, damit wir uns über Funktionen gut und, ja. Sinus eins durch x hat eigentlich, Sinus eins durch x hat ein Problem, aber keine Singularität. Weil Sinus, was passiert mit dem Sinus eins durch Also wenn Sie mich schon fragen lassen, was passiert denn mit dem Sinus eins von x? Sinus eins durch x?

Dass Sie wissen, wie der Sinus von x ausschaut, und wenn Sie's nicht wissen, dann werden wir das lernen morgen oder übermorgen. Sinus von x ist eine Funktion, die so ausschaut. Das ist eine periodische Funktion. Und diese Funktion, die oszilliert zwischen zwischen minus eins und plus eins und hat die Periode zwei b. Nullstellen bei null und b und zwei b und allen ganzeiligen Vielfachen von zwei p.

So, was passiert jetzt mit dieser Funktion? Zeichnen wir diese Funktion. Was passiert jetzt mit dieser Funktion, sinus eins durch x, wenn x gegen null geht? Wenn x gegen null geht, dann wird das Argument hier immer größer. Und zwar sehr schnell größer, ja.

Das heißt, wenn ich mit eins, wenn ich mit x gegen null gehe, hier, dann passiert dasselbe wie mit dem Sinus x, wenn ich gegen unendlich gehe. Aber wenn ich hier gegen unendlich gehe, dann passiert mit dem Sinus eigentlich nichts, außer dass er immer auf und ab geht. Es geht immer so weit. Ist ja eine periodische Funktion, die immer so weitergeht, immer weiter oszilliert. Wenn ich mit x hier gegen null geht, dann wird das auch immer weiter oszillieren, nur, das ist immer schneller oszilliert.

Also wir würden es ausschauen. Es wird so ausschauen und dann immer schnell oszillieren, bis es hier praktisch unendlich oft auf und ab geht. Und was bei null passiert, das kann man nicht sagen, ne. Für alle Werte, die unterschiedlich sind von null, hat die Funktion einen bestimmten Wert. Die Oszillationen werden aber immer schneller und genau bei null kann man nicht sagen, was der was der Funktionswert dieser Funktion ist, ja.

Aber Singularität ist das keine, weil die Funktion hier nicht die Wahl der Grenzen wächst. So. Gilt das als Unstetigkeit, ist kein Grenzwert definiert, also würde ich sagen, ist es auch eine Unstetigkeitsstelle. Wir wollen uns jetzt noch damit beschäftigen, wie wir aus alten Funktionen neue machen. Wie wir Funktionen miteinander kombinieren.

Wenn wir, stellen Sie sich vor, wir machen jetzt aus alten Funktionen neue Funktionen. Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei Funktionen gegeben, f von x und g von x, beides Funktionen von x. Ich ich schreibe das wie üblich sehr schlampig hin, weil eigentlich wär ja f von x der Funktionswert an der Stelle x, aber wenn ich f von x hinschreibe, dann meine ich ja oft die ganze Funktion, die gesamte Abbildung. Ich hab hier zwei Funktionen von x, f von x und g von x, zum Beispiel den Sinus von x und das x Quadrat. Das wär ein Beispiel.

Schauen wir mal Beispiel hin. F von x ist gleich x Quadrat und g von x ist gleich der Sinus von x. Jetzt kann ich natürlich eine neue Funktion bilden aus diesen beiden, indem ich sie zusammenzähle. Ich kann eine Funktion h von x bilden, indem ich f von x und g von x zusammenzähl. Ich kann sie auch subtrahieren, ich kann sie auch multiplizieren, ich kann sie auch von durcheinander dividieren, muss ich allerdings aufpassen mit den Nullstellen.

Aber wenn man auf den Definitionsbereich aufpasst, dann kann man aufs auf auf die auf durch Kombination von Funktionen, Sie können ja auch noch Faktoren davor schreiben, neue Funktionen erzeugen. Aber zwei bis ganz besondere Arten von der Kombination von zwei Funktionen möchte ich jetzt oder besondere Arten, neue Funktionen zu erzeugen als gegebene Funktionen, möchte ich jetzt mit Ihnen besprechen. Und das erste Beispiel, das der erste Punkt ist die Verkettung von Funktionen. Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei Funktionen, f von x g von x, zum Beispiel diese beiden Funktionen hier, und Sie führen davor eine Funktion aus, dadurch kriegen Sie einen Funktionswert. Und den Funktionswert, den Sie in der durch die erste auf ausführende Funktion erhalten haben, den verwenden Sie jetzt als Argument für die zweite Funktion.

Sie berechnen davor eine Variable z. Ich nenne jetzt die die abhängige variable z. Variablen Namen spielen keine Rolle, kann ich so nennen, wie ich will, obwohl es Sinn macht, wenn Sie die Temperatur dehnen und das Volumen v, weil dann verstehen Sie sich mit anderen Leuten. Aber wenn Sie wollten, könnten Sie's genau umgekehrt machen und das Volumen dehnen und die Temperatur v, aber das verursacht dann Missverständnis. Also ich nenne jetzt einfach die unabhängige Variante z und jetzt nehme ich das z, das ich hier erhalten hab, und steck das z in das Argument der Funktion g.

Und dass es herauskommt, das nenne ich y. Also ich geh gewissermaßen von x nach z, das erledigt die Funktion f, und von z nach y, das erledigt die Funktion g. Jetzt kann ich hier das z auch ersetzen durch das f von x und das soschreiben als g von f von x. Also was bedeutet das? Das bedeutet, dass ich das Argument x nehme, den Funktionswert berechne mithilfe der Funktion f für x und dann das, was dabei herauskommt, als Argument für g verwende.

Ich führe f und g nacheinander aus. Ich berechne davor das z aus dem x und danach das y aus dem z, Und das Ganze kann ich aufpassen als eine Hintereinanderausführung der Funktionen f und g, davor führe ich f aus und dann g. Und dafür gibt's auch eine andere Scheibe, also nämlich so g ring f von x. Was man damit meint, ist genau das, nämlich dass ich davor f ausführe, dass das die Funktion, die näher am Argument steht, und danach g. Das nennt man auch die Verkettung von zwei Funktionen oder hintereinander Ausführung von zwei Funktionen.

Schauen wir uns das an, wie das für das Beispiel da oben ausschaut. Berechnen wir, berechnen wir, was wollen wir berechnen? G bringen f von x. Oder anders hingeschrieben, g von f von x. Also das f von x ist das x Quadrat.

Also das erste, was ich tun muss, ist das Quadrat zu bilden. Ich ersetze also das f von x durch das Quadrat, aber das die Funktion g ist ja die Sinusfunktion. Also muss ich das jetzt nehmen und den Sinus daraus bilden, ist der Sinus von x Quadrat. Ich mache eine Klammer drumherum, damit klar ist, was ich mein. Sie können aber das Ganze auch umgekehrt machen, nicht?

Sie können betrachten f ring g von x, also f verkredit mit x, und das bedeutet, dass Sie g zuerst ausführen. Schreiben wir das halt so hin, f von g von x. Und das bedeutet, dass Sie zunächst einmal den Sinus von x berechnen müssen und das, was dabei herauskommt, dann noch quadrieren müssen. Also das ist g vom Sinus von x, f, Entschuldigung, richtig, f vom Sinus von x, und das ist gleich dem Sinus von x, und jetzt mache ich die Klammer so, Quadrat. Und Sie sehen, das ist nicht dasselbe.

Sinus x zum Quadrat ist nicht dasselbe wie Sinus von x Quadrat. Das heißt, dass es bei der Hintereinanderausführung von Funktionen auf die Reihenfolge drauf ankommt, f ring g ist nicht gleich g ring f, denn man sagt auch, die Operation der Verkettung ist nicht kommutativ. Wenn's kommutativ wär, dann würde es Kommutativ bedeutet, dass es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge ich die Operation ausführe. Nichtkommutativ bedeutet das Gegenteil, nämlich dass es eine Rolle spielt. Noch ein kleines Beispiel, Noch ein kleines Beispiel, ist auch im Skript drin.

Rechnen wir das gemeinsam. F von x ist eins durch x und f g von x g von x ist gleich, ja, machen wir, schreiben wir x x Quadrat hin, damit es ein bisschen anders ist als im Skript. Also helfen Sie mir. Was ist das g bring f von x? Was bedeutet das?

Das bedeutet, dass ich davor f anwenden muss, Und f, die Funktion f schnappt sich das Argument und macht dann eins durch x, eins durch Argumente aus. Also ich berechne davor das eins durch x und dann, oh, das ist dasselbe. Für das Beispiel macht es, spielt es keine Rolle. Schauen Sie sich das an. Das ist ein eins durch x und dann quadriere ich das, ja, so was gibt's natürlich auch.

Und wenn ich das f ring g mach, dann tue ich's davor quadrieren und danach eins durch die durch die Zahl dividieren, aber das ist natürlich genau dasselbe. Zwei jetzt ein Zufall, ja? Bitte? Das, wenn ich das hier, wenn ich das eins durch x jetzt nehme, dann heißt das nicht, dass ich das mit x Quadrat multiplizieren muss, sondern dass ich das quadrieren muss, nicht? Und wenn ich das quadriere, dann kommt das heraus, aber eins zum Quadrat ist natürlich eins und dann habe ich hier eins durch x Quadrat.

Und hier quadriere ich davor und bilde erst danach den den Kehrwert. Und das ergibt mir das eins durch x Quadrat. Also es gibt Beispiele, wo es wo es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge ich die Operation ausführe, aber im Allgemeinen ist die Operation nicht komutativ. So, jetzt haben wir noch ein bisschen Zeit, ich habe jetzt geprast mit dem Platz, ich hab mir gedacht, ich komm mit einer. Ja?

G von y, wo hab ich das schon Ah ja, das ist natürlich ein Blödsinn, weil da muss natürlich jetzt die gleiche stehen wie da. Falsch, ah, falsch. Schwierig, überhaupt am Anfang vom Semester. So, jetzt kommen wir zurück auf die Frage der Kollegin, die nämlich gemeint hat, na ja, wir müssen ja nicht das den Druck als Funktion des Volumens betrachten, na, oder sie hätten nicht das Volumen als Funktion des Drucks, sondern den Druck als Funktion des Volumens. Das können wir natürlich tun.

Das bedeutet das eigentlich grafisch. Wir ich hab eine gewisse Funktion, eine gewisse Funktion y ist gleich f von x. Und was macht mir diese Funktion? Die Funktion y ist gleich f von x, die nimmt sich ein Argument x und sagt mir, was der zugehöriger Wert y ist. Also die Funktion f von x, wenn Sie so wollen, die geht in diese Richtung, nicht?

Die nimmt einen x-Wert hier und sagt mir, was der zugehörige y-Wert ist für beliebiges x im Definitionsbereich. Jetzt könnte ich mich aber die umgekehrte Frage fragen, nämlich, was ist 'n, woher ist für einen bestimmten y-Wert die Funktion eigentlich gekommen? Was ist der x-Wert, der für den die Funktion f mir diesen y-Wert erzeugt. Das ist auch eine eine berechtigte Frage und die Antwort entspricht der Umkehrung dieses Files, nicht? Weil dann gehe ich hierher bis zur Kurve und dann runter und dann weiß ich, aha, dieser y-Wert wurde erzeugt durch diesen x-Wert.

Kann ich nicht immer machen, weil es ja mehr Möglichkeiten gibt, aber nehmen wir mal an jetzt, da einfach jetzt halber die Funktion schaut so aus. Die Funktion, die die umgekehrte Abbildung macht, die nennt man die Umkehrfunktion. Da haben wir ein Beispiel, Sie haben 'n Skript so drinnen, Fläche eines Quadrats, y, nennen wir die Fläche y, ist gleich x Quadrat, x ist die Seite. Jetzt sage ich Ihnen einmal die Fläche und Sie wollen die Seitenlänge berechnen, dann dann drehen Sie das natürlich dann sagen Sie x, das ist die Wurzel aus y. Das ist jetzt mein f von x, ja.

Diese Wurzel, die ich hier bilde, das ist die Umkehrfunktion, weil ich da genau das umgekehrt mach. Ich hab nicht die Kantenlänge und berechne daraus die Fläche, sondern ich hab die Fläche und berechne daraus die Kantenlänge. Die Quadratwurzel ist die Umkehrfunktion des Quadrats. Und wenn f von x gleich x Quadrat ist, dann ist die Umkehrfunktion und die bezeichne ich mit minus eins f hoch minus eins von y gleich die Wurzel aus y. Jetzt habe ich hier das y hingeschrieben, weil ich auch hier das y als Name für das Argument für die unabhängige Variable verwendet hab.

Aber ich kann natürlich die Namen so wählen, wie ich will. Und ich kann sagen, okay, diese Funktion Wurzel ist x ist die Umkehrfunktion von der Funktion f von x gleich x Quadrat. Ich habe jetzt ein paar von Funktionen zu jeder Funktion f von x, das heißt nicht zu jeder, aber zu zu unter gewissen Bedingungen kann ich für eine Funktion die Umkehrfunktion bilden, und wenn ich die hintereinander ausführe, was ergibt 'n das? Ist eigentlich ganz leicht zu sehen, wenn Sie sich das grafisch überlegen, was die Umkehrfunktion Vergessen Sie nicht, was die Umkehrfunktion eigentlich tut. Die Umkehrfunktion findet für einen bestimmten y-Wert den zugehörigen x-Wert.

Also, wenn ich davor für einen bestimmten x-Wert den zugehörigen y-Wert finde und danach für diesen y-Wert, den zugehörigen x-Wert, dann bringt mich das genau an den Anfangspunkt zurück. Das heißt, die Hintereinander Ausführung von Funktion und Umkehrfunktion ergibt mir genau wieder das x, führt mich zum ursprünglichen Punkt zurück. Machen wir noch ein ein kleines Beispiel. Wir haben noch dreißig Sekunden. Wir sagen y, das ist, glaube ich, auch im Skript so drinnen.

So, jetzt möchte ich das, das sei jetzt meine Funktion, ich möchte jetzt die Umkehrfunktion bilden. Das zu tun, muss ich die Funktion nach x auf, diese gleichen nach x auflösen. Ich quadriere das zuvor. Und dann bringe ich das x auf auf die eine Seite und das y auf die andere Seite. Dann dividier ich durch vier und zieh zieh die Wurzel und finde, dass das x gleich ein Halb Wurzel aus eins minus y ist.

Und weil ich gewohnt bin, die abhängige Variable immer als y, also x zu, die unabhängige Variable immer als y, die unabhängige Variante mir als x bezeichnen, sage ich, okay, jetzt nenne ich diese, nenne nenne ich die Variablen und die Umkehrfunktion der Funktion f von x eins minus vier y x Quadrat ist ein Halb mal Wurzel ist eins minus x. Sie sehen, Sie kriegen hier ein Paar von Funktionen, die Funktion und die Umkehrfunktion und die Zeit ist jetzt leider Morgen erzähle ich Ihnen noch kurz, was die Bedingungen dafür sind, dass ich eine Funktion auch umkehren kann. Dankeschön für heute.