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Si estás estudiando cálculo diferencial, ya viste temas de límites y ahora vas a entrar al tema de la derivada. Estás en el video correcto, porque te explico su definición, interpretación geométrica y aplicaciones.
Y para entender la noción de la derivada de una función, es importante pensar y entender en diferencia de valores. Esto implica una variación o cambio. Por ejemplo, un caso que se va a trabajar bastante es analizar diferencias en un eje horizontal. El punto de inicio se propone como x1 y el punto final se propone como x2. La diferencia que existe en este segmento se representa como x2 menos x1. En forma de símbolo, simplemente se utiliza delta subíndice x.
Un ejemplo para entender una diferencia en un eje horizontal sería proponer que en la recta numérica iniciamos en 5 y vamos a suponer que terminamos en 8 unidades. Por lo tanto, la diferencia en x es igual a, en este caso, el punto final 8 y se resta con el valor del punto inicial que son 5 unidades. Para este caso, y entonces la diferencia son tres unidades positivas.
Y para analizar una diferencia vertical, el procedimiento es similar. Se propone un punto inicial, en este caso y1, se encuentra hasta abajo y vamos a suponer que en su recta tiene un valor de 10 unidades. Y el punto final, que se encuentra hasta acá arriba, como y2, se encuentra en la recta en un valor de 14.5. Por lo tanto, el cambio o variación entre estos puntos se calcula mediante la diferencia de y2 menos y1, que se representa simplemente como delta subíndice, en este caso con la variable y, y es igual a, en este caso, 14.5 y restamos con el valor inicial que es de 10 unidades. Por lo tanto, la diferencia de las yes es igual a 4.5 unidades.
Es importante resaltar que hay varias formas de representar la derivada de una función, ya que cuando se inició formalmente el cálculo diferencial e integral, los padres fundadores empezaron a representar la derivada al gusto de ellos. Y por lo tanto, ya cada autor del libro o en la escuela se debe de elegir una de estas notaciones, pero vuelvo a decir, todas significan lo mismo.
Por ejemplo, la primera derivada. Si se elige una notación de Leibniz, utiliza el cociente de la función con respecto al diferencial de la variable con respecto a la que se deriva. En el caso de Lagrange, que es muy popular porque es una notación muy simplificada, se pone la función acompañada de prima. Este símbolo que está acá a la derecha, en la parte superior. En el caso de la notación de Newton, en la primera derivada, simplemente se coloca un punto arriba de la función. En la notación de Cauchy, se utiliza una d que hace referencia al diferencial, en este caso con respecto a x, y se anota después la función.
Para el caso de la segunda derivada, en notación Leibniz, se anota un número dos después de la d en la parte de arriba y en la parte de abajo se coloca después de x con respecto a la variable que se está derivando. En el caso de Lagrange, en la segunda derivada, se utiliza doble prima. En el caso de la notación de Newton, se utilizan dos puntos en la parte de arriba. Y en la notación de Cauchy, la segunda derivada se coloca un dos después de terminar la anotación de d y la variable con respecto a la que se deriva.
Una vez que se entiende cómo se modifican estas notaciones, podemos representar la segunda, tercera, cuarta, quinta y así sucesivamente derivada de una función. Asumiendo que se tiene una función f(x) que es continua, entonces utilizando la notación de Lagrange, la primera derivada de la función f(x) es igual a calcular el límite cuando el incremento de x tiende a cero de una razón o división entre cambios en la variable dependiente o y y cambios entre dos puntos en la variable independiente o x. Todo esto se puede reducir a decir simplemente que la primera derivada es una división de cambios o una razón de cambio.
Y aprovechando que estamos definiendo a la derivada, se recomienda tener un poco de datos históricos del cálculo infinitesimal. Por el siglo XVII, los padres del cálculo, bueno, oficialmente, porque hay otros datos que históricamente años y años y cientos de años atrás ya a inicios del concepto de infinito y cálculo, pero bueno, a partir del siglo XVII, Leibniz por un lado y Newton por otro, estuvieron desarrollando ya conceptos de cálculo diferencial e integral. Y pasaron básicamente 200 años y hubo otros personajes que también formalizaron ya todo lo que se había iniciado por 1600, como Riemann, Euler, Lagrange, Cauchy y entre otros personajes.
Una vez que ya entiendes la definición de derivada, viene adelante su interpretación geométrica y aplicaciones. Pero antes, estamos en el espacio del Profe Andalón para que presionen el botón de suscribirte y te lleguen los videos antes que nadie que subimos acá en YouTube Shorts, videos normales, información que subimos a la sección de comunidad. Así que no dudes ser parte de la comunidad más de mí. Y si eres parte, recuerda pasar la voz. Por cierto, acá te dejo otros videos de apoyo: derivación, reglas directas, utilizando regla de los cuatro pasos. Por ahí tenemos un video de 50 derivadas, te lo recomiendo mucho, búscalo en YouTube.
Una de las principales aplicaciones de la derivada es interpretarla geométricamente para analizar el comportamiento de una función. Para esto, empecemos con la base. A partir de una recta que está compuesta por una infinidad de puntos, se pueden elegir dos al azar. Por ejemplo, aquí tenemos un punto uno y un punto dos que pertenecen a una misma recta y siempre será posible realizar las proyecciones para el eje horizontal y vertical. A partir de hacer esto, se tiene un triángulo rectángulo donde el ángulo en la base se identifica como ángulo theta y, por lo tanto, si se calcula la tangente de este ángulo, se está calculando la pendiente de la recta.
Sin embargo, me interesa ir involucrando coordenadas de los puntos y el concepto de cambio entre un punto y otro. Por lo tanto, a partir del origen, que nos tenemos que mover una distancia horizontal, en este caso positiva, voy a nombrarla como x minúscula y, por lo tanto, su resultado lo voy a nombrar como f(x). Y en este caso, la entrada que es x minúscula, vamos a introducir un incremento que lo voy a nombrar como delta subíndice x y, por lo tanto, hasta este punto es igual a x más este incremento que se llama delta x. Por lo tanto, el resultado o el valor de la ordenada de este punto es igual a la función con entrada x + delta x.
Y para calcular la pendiente de una recta a partir de conocer las coordenadas de dos puntos que pertenecen a ella, por geometría analítica se sabe que es la división entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas. En este caso, involucrando a la variable de entrada x y el incremento, se sabe que la ordenada del punto 2 tiene una altura aquí de f(x + delta x) y se resta en este caso la ordenada del punto inicial que tiene una altura o valor de f(x) con una entrada x. Todo esto se divide entre el incremento de x, que ya está definido con este símbolo. Representa toda esta medida del triángulo. De hecho, la medida vertical está definida por delta y, pero necesitamos representarla en función de x e incremento. En la parte del denominador ya está involucrada esta notación, por eso se escribe así. Y aunque realicemos la resta, vamos a llegar a él. Y de esta forma se tiene representada a la pendiente de una recta en función de la variable x y el incremento delta x.
Entonces, al tener una gráfica cualquiera representada con esta curva oscura, se puede elegir dos puntos aleatorios en ella, P y Q, unirlos con una línea recta y si se quiere calcular su pendiente, se utiliza esta expresión que se analizó previamente. Aquí lo importante es empezar a involucrar el concepto de cambio o variación. Así que voy a fijar un punto, por ejemplo P, y qué pasa si este punto Q se empieza a acercar al punto P. Eso sucede cuando la diferencia en las abscisas se hace menor. Y qué pasa si esta diferencia tiende a cero. Lo que sucede es que al casi no existir el punto P, estarían coincidiendo con el punto Q y entonces en lugar de tener una recta que corte en dos puntos a la gráfica de la función, ahora se tiene a una recta tangente en un solo punto a la gráfica de la función. Y como este escenario involucra a un límite de una variable que tiende a cero de una razón de cambio, cumple las características o definición de la derivada. Por eso, geométricamente, la pendiente de una recta que es tangente a una curva en un punto dado es calcular la derivada de la función.
Al trabajar con derivadas de una función, es importante diferenciar que al proponer valores de entrada en una función que no ha sido derivada, lo que va a arrojar es un resultado, el cual te permite ubicar un punto en la gráfica de la función. Así que puedo proponer un valor que en x lo sustituyo en la función, hago las operaciones, me da un resultado y este me permite ubicar un punto en su gráfica. Y al tener muchos puntos, los uno y puedo tener la gráfica de la función.
Pero al sustituir valores de entrada x en la expresión que representa la primera derivada, lo que se obtiene es valores dependientes que son tangentes a la curva en este punto de x. Es decir, se puede poner el mismo valor de entrada x1, pero el resultado no va a dar el mismo. Acá me dice, no sea una pendiente negativa porque tiene esta inclinación la recta. Por acá me puede dar un valor positivo porque la recta tiene esta inclinación. En algún punto dará cero porque se encuentra máximo o mínimo. Así que valores de entrada al sustituirlos en función no derivada que ayuda a graficar y sustituir valores de entrada en la primera derivada te ayuda a entender el comportamiento de una función a partir de sus pendientes.
Algunas de las aplicaciones de la derivada, porque básicamente en todo lo que cambia ahí está este concepto de derivada, sería la pendiente de una recta tangente a una función o curva en un punto dado, obtener el valor máximo o mínimo relativo de una función, calcular la velocidad o aceleración en un momento exacto, entre otras aplicaciones.
¿Te gusta más la geometría? Porque es muy visual, uno hace ciertos trazos y sin darte cuenta pasan cosas muy increíbles y siempre suceden bajo ciertas condiciones.