Transcription
En función de la estructura de los pagos, se pueden diferenciar distintos tipos de juego bipersonal; el más conocido es el llamado dilema del prisionero.
Podríamos resumir la historia que da nombre al juego de la manera siguiente: la policía sabe que dos individuos han cometido un crimen, aunque no puede probarlo, pero sí que tiene pruebas para incriminarlos por un delito menor. Ante la alarma social levantada, los policías se ven obligados a tener un culpable rápidamente, por lo que ponen a ambos sospechosos en celdas separadas y les hacen la siguiente propuesta: si delatas al otro como autor del crimen, te perdonamos tu delito menor.
El dilema al que ambos delincuentes se encuentran es el siguiente. Lo ideal sería que no nos declaráramos ninguno, pues de esta forma sólo tendrían pruebas para condenarlos por el delito menor. Pero si no delato al otro y él me delata, voy directo al calabozo como único autor del crimen. Por otro lado, si él no me delata y yo sí que le delato a él, salgo libre ahora mismo. El problema es que, haga lo que haga el otro, cada uno está mejor si delata al otro, pero si ambos lo hacen, se encuentran en la peor de las es posibles; ambos serán condenados por el crimen.
Consideremos el juego siguiente, que es un dilema del prisionero entre dos jugadores. Se trata de un dilema del prisionero, pues los pagos están ordenados de la manera siguiente: T > R > C > P. Las letras utilizadas nos sirven para describir los pagos en los distintos escenarios, de forma que T es el pago de la tentación que supone no cooperar si el otro sí que lo hace. R es la recompensa que obtienen por haber tenido ambos jugadores un comportamiento cooperativo. C es el pago del castigo por el hecho de que la estrategia seguida por ambos jugadores es la no cooperativa, y finalmente, P es el pago del pardillo, aquel que coopera y es traicionado por el otro jugador que no coopera.
En muchas ocasiones, se impone un requisito adicional a la matriz de pagos del dilema del prisionero, que es que P + T ha de ser menor que 2R; es decir, que la suma de los pagos que obtienen ambos jugadores en una situación en la que uno coopera y el otro no lo hace, ha de ser menor que el pago que obtienen ambos en conjunto cooperando. Este requisito implica que los jugadores no pueden obtener un pago superior al correspondiente a una situación cooperativa, llegando, por ejemplo, a un acuerdo en el que uno coopera y el otro no, y después se reparte el pago conjunto.
En un dilema del prisionero, ambos jugadores tienen una estrategia dominante. En efecto, independientemente de la estrategia que siga el otro jugador, la estrategia óptima para cada uno de ellos es la de no cooperar.
Un ejemplo numérico del dilema del prisionero podría ser el siguiente, en el que hemos calculado el equilibrio de Nash al seleccionar la mejor estrategia de cada jugador, dada la del otro. El equilibrio de Nash que surge, por tanto, como se puede apreciar, es el de la mutua defección, el de que nadie coopera. Al tratarse de un equilibrio de Nash en estrategias dominantes, además, es imposible que surja ningún otro equilibrio de Nash en estrategias mixtas.
El dilema se plantea, por consiguiente, debido a que, si ambos cooperasen, se encontrarían en la mejor situación colectiva, pero existe el miedo a adoptar una estrategia cooperativa y obtener el pago como consecuencia de la traición del otro, si es que éste no actúa de la misma manera. El equilibrio de Nash, fruto de la estrategia no cooperativa de ambos jugadores, es ineficiente en el sentido de Pareto, pues el pago C es menor que el pago R, y ambos jugadores podrían mejorar, por tanto, su situación. En efecto, se podría producir una mejora paretiana si ambos individuos decidiesen variar su estrategia y cooperasen. Sin embargo, tratándose de un equilibrio de Nash, ninguno tiene incentivos individualmente, y esa es la palabra clave, individualmente, para realizar dicho cambio, puesto que C es mayor que P.
Otro juego muy conocido es el juego de la gallina. La historia que da nombre al juego de la gallina es la siguiente: dos muchachos participan en un juego bastante irresponsable, consistente en conducir un coche hacia un barranco, o uno hacia el otro, da igual. Quién gana es el último que desvía su dirección para evitar la catástrofe. El otro, es decir, el primero que decide dar el volantazo, es considerado un cobarde, un gallina. Obviamente, el peor pago resulta del hecho de que ninguno quiera ser considerado un gallina y ambos se caen por el barranco o chocan frontalmente. El mejor pago conjunto procede de que ambos desvíen su dirección simultáneamente y ninguno será considerado, en este caso, un cobarde.
En este juego, la mutua defección, es decir, la ausencia total de cooperación, proporciona peor pago que la cooperación unilateral. Podríamos interpretar este juego como una situación en la que cada individuo puede producir por separado una renta que beneficiará a ambos, incurriendo para ellos en un coste. Aunque la mutua cooperación es la meta clara, tanto para el dilema del prisionero como para el juego de coordinación, esto no necesariamente se cumple para el juego de la gallina. Si una persona puede producir ese beneficio común, no tiene ningún sentido que el otro duplique los esfuerzos. En efecto, los equilibrios de Nash en estrategias puras se producen en las situaciones en las que uno coopera y el otro no, llevando a una situación que no es la óptima desde el punto de vista de considerar los pagos de los dos jugadores en su conjunto.
Un ejemplo del juego de la gallina es este, donde entenderíamos por cooperar el hecho de desviar su dirección y, por no cooperar, el de no hacerlo. Los equilibrios de Nash de este juego de la gallina serían las combinaciones de estrategias NC; C, es decir, no cooperar, cooperar, y C; NC, cooperan, no cooperar, como podemos comprobar en la matriz de pagos. Además, existiría un equilibrio de Nash adicional en estrategias mixtas, que no vamos a calcular aquí por no resultar de especial interés, en el que ambos individuos repartirían su decisión en cooperar y no a cooperar conforme a una determinada probabilidad que viene dada por los pagos.
Otro juego bastante conocido es el de la batalla de los sexos. En este juego, se supone que los dos miembros de una pareja tienen gustos diferentes acerca de dónde irán a pasar las vacaciones: a la playa o a la montaña. O respecto a ir a disfrutar de una u otra forma de ocio: fútbol y cine, por ejemplo. Aunque cada uno de ellos prefiera que se lleve a cabo su actividad favorita, reciben mayor utilidad si están juntos (están ciegamente enamorados), aún cuando no sea conforme a su destino preferido, que si están separados. Añade, claro está, que los supuestos tengan que ser realistas; se trata sólo de un juego.
Un ejemplo de la batalla de los sexos es el de esta figura. Aquí no podríamos decir estrictamente que ambos jugadores tienen una estrategia cooperativa y otra que no lo es. La cooperación provendría realmente de que eligieran ambos la misma estrategia. Los equilibrios de Nash serían A; A y B; B, como podemos comprobar en la matriz de pagos. Además, existiría un equilibrio de Nash adicional en estrategias mixtas, cuyo cálculo dejamos en manos del oyente. Este tipo de juegos no es estrictamente competitivo, donde lo que es bueno para uno es malo para el otro; solo es parcialmente competitivo, y ambos individuos estarían mejor coordinando sus estrategias que si no lo hicieran.
Otro juego diferente es el de pares o nones. En este juego, ambos jugadores han de mostrar simultáneamente un número cualquiera de dedos. Si la suma de los dedos mostrados por los dos jugadores es un número par (lo que ocurrirá si ambos sacan un número par o ambos sacan un número impar), el jugador número dos ha de dar un euro al jugador número uno. Si la suma es impar (es decir, cuando la selección de uno y otro jugador difieren), es el jugador número uno quien le debe dar un euro al jugador número dos. Aunque lo hayamos formulado de esta manera, en la que el resultado depende de la suerte, la estructura de este juego podría definirse igualmente si las decisiones de uno y otro jugador fuesen concienzudamente meditadas.
La representación en forma matricial de este juego sería esta que vemos aquí. En este caso, como se puede apreciar, no surge ningún equilibrio de Nash en estrategias puras, aunque sí que hay un equilibrio de Nash en estrategias mixtas, en el que ambos jugadores sacan pares y nones con una probabilidad de un medio.
Finalmente, vamos a considerar el juego del seguro. En este juego, dos individuos tienen, por ejemplo, que remar un bote para poder llegar a tierra. Si ambos eligen remar, se reparte el esfuerzo y moverán con éxito el bote. Sin embargo, si uno no lo hace, el individuo que reme acumulará mayor peso y todo el esfuerzo recaerá únicamente sobre él. Por lo tanto, el juego del seguro presenta dos equilibrios de Nash: la cooperación mutua (C;C), que da lugar a un equilibrio óptimo, y la deserción mutua (D;D), que es un equilibrio ineficiente en el que ninguno rema.
Como fácilmente se puede calcular, este juego cuenta con dos equilibrios de Nash en estrategias puras: aquel en el que ambos cooperan y el resultante de que ninguno de ellos lo haga. En estrategias mixtas, además, surgiría otro equilibrio de Nash.