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Para resolver este ejercicio de múltiples plantas, pueden observar que tenemos la función de demanda, la función de costos totales de la planta 1 y la función de costos totales de la planta 2. Y lo que hacemos es obtener la función inversa de la demanda, que quedaría: precio igual a 100 menos un medio de q.
Y vamos a obtener el ingreso total, que sabemos que es precio por cantidad. Y el ingreso total sería 100q menos un medio de q al cuadrado. Y ya que tenemos el ingreso total, vamos a obtener el ingreso marginal. El ingreso marginal, como ya lo sabemos, es la derivada del ingreso total, aquí me equivoqué, del ingreso total con respecto a la cantidad. Y me quedaría de la siguiente manera: ingreso marginal.
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Sería 100 menos q. Porque si se dan cuenta, el ingreso total que tenemos aquí arriba, derivada de 100q, derivada de un medio de q al cuadrado. Y una condición que tenemos es que la cantidad que se demanda es la cantidad que se vende en la empresa 1 más la cantidad que se vende en la empresa 2. Y si se dan cuenta, cuando yo sumo esto, me va a dar la cantidad total. Y es aquí en este paso en donde se sustituye, en donde en el ingreso marginal, no antes, no después, aquí en el ingreso marginal. Y entonces yo digo que mi ingreso marginal es 100 menos q. Pero cuánto vale q. Siempre en múltiples plantas lo vamos a cambiar por q1 más q2. Y entonces te da ingreso marginal es 100 menos q1 menos q2.
Y ya que tengo eso, me voy a regresar a los costos totales para obtener los costos marginales. Y si, y aquí está, miren, están en los datos. Y entonces el costo total 1 es 10q1. El costo marginal 1 va a ser 10. Porque, ¿por qué es la derivada? El costo total 2 es un cuarto de q2 al cuadrado. El costo marginal 2 va a ser un medio de q2.
La condición de equilibrio de múltiples plantas es ingreso marginal igual a costo marginal 1 igual a costo marginal 2. Igual y puede ser costo marginal 3, costo marginal 4. Pero como en este caso solo tenemos dos plantas, tenemos que hacerlo por separado: ingreso marginal igual a costo marginal 1, ingreso marginal igual a costo marginal 2.
Pongo los rangos de esta igualdad. El ingreso marginal ya lo habíamos obtenido y es 100 menos q1 menos q2 igual a 10. Y de este lado es 100 menos q1 menos q2 igual a un medio de q2. Ahora hay que acomodar esta ecuación. Y si se dan cuenta, quedaría así: 100. Este 10 pasa de este lado. Es igual a q1 más q2. Y al final, cuando es 100 menos 10, 90. 90 es igual a q1 más q2. Entonces, q1 más q2 es igual a 90. Esta va a ser mi ecuación 1.
Ahora, de este lado, sería 100 es igual a un medio de q2. Y estos pasan de este lado con el signo contrario, más q1 más q2. Y es igual a q1 más un medio de q2 más q2. Me va a dar q1 más tres medios de q2. Y esta es mi ecuación 2.
¿Y qué tengo que hacer cuando tengo dos ecuaciones y dos incógnitas? Pues tengo que hacer un sistema de ecuaciones. Aquí abajo voy a resolverlo de una manera sencilla. Hay muchos métodos de los que pueden utilizar, no importa cuál empleen, el resultado siempre es el mismo. Entonces, aquí les voy a decir haciendo sistema de ecuaciones con 1 y 2.
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Ok, con 1 y 2. Y entonces lo voy a escribir aquí abajo. q1 más q2 igual a 90. Y q1 más tres medios de q2 igual a 100. Y si se dan cuenta, si los resolvemos por el método de suma y resta o sustitución, si se dan cuenta, puedo despejar de aquí q1 y lo sustituyo. Entonces, aquí voy a hacer, voy a despejar a q1. Y como no, sería 90 menos q2. Y lo voy a sustituir y en esta. Y me quedaría en lugar de q1, ahora voy a escribir 90 menos q2. Más q2 es igual a 100. Y tres medios de q2. Es igual a 100 menos 90. Un medio de q2 es igual a 10. Entonces, q2 es igual a 10 por este. Pasa del otro lado de lo invertido. Así. Y quedaría que q2 es igual a 20. Esta es la producción de la empresa número 2.
Ahora vamos a sacar la producción de la empresa número 1. Como re, sustituyo aquí q2, lo sustituyo aquí. Y me quedaría q1 es igual a 90 menos q2. Y cuánto vale q2, 20. Entonces, q1 es 90 menos 20, 70. Y esta es la producción de la empresa 1.
Cuando yo quiera la producción total, entonces digo que es la producción total es q1 más q2. Sería cuánto vale q1, 70. Más q2, 20. Y entonces la producción total es de 90.
Para el precio, tenemos la función de demanda que dice precio es 100 menos un medio de q. El precio va a ser 100 menos la mitad de 90, que ya lo acabamos de obtener. Entonces, la mitad de la venta es 45. El precio al que se vende el producto, ya sea empresa 1 o en la empresa 2, 55.
Y el beneficio va a ser el beneficio total. El ingreso de la empresa va a ser el ingreso total menos el costo total de la empresa 1 menos el costo total de la empresa 2. Y si hubiera otra empresa, menos el costo total de la empresa 3. Y quedaría: beneficio es precio por cantidad menos el costo total 1, que sería 10q1, menos el costo total 2, que es un cuarto de q2 al cuadrado.
El beneficio sería 55 por 90 menos 10 por 70 menos un cuarto de 20 al cuadrado. El beneficio es 55 por 90, 4.950. Menos 10 por 70, 700. Menos un cuarto de 20 al cuadrado, 400.
Como pueden observar, los costos de la empresa 1 son mucho mayores que los costos de la empresa 2. Podemos decir que esta planta es más grande. Con su producción, por ejemplo, y si se dan cuenta, es de 70 y su producción es de 20.
Continuamos. Y quedaría 4.950 menos 700 menos 100. Y al finalizar, el beneficio total de la empresa es de 4.150.
Eso es todo. Si te gustó el video, dale like y suscríbete. Soy Mecha Mates.