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[Musica] Ciao ragazzi, in questo video parleremo di derivate ed in particolare ci occuperemo della derivata prima di cui vedremo la definizione, il significato geometrico e soprattutto le principali applicazioni.
Cominciamo con il porci il seguente problema, ragazzi. Consideriamo una funzione che potete immaginare sia definita da un certo intervallo dei reali a valori nei reali e consideriamo un punto x con 0 appartenente al dominio della funzione. Quello che vogliamo fare è trovare un modo che ci consenta di calcolare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) nel punto di ascissa x 0, quindi questa retta qui.
Vediamo innanzitutto che cosa possiamo dire di questa retta. È chiaro che dovrà essere una retta passante per il punto di coordinate x 0 f(x) 0 e quindi l'equazione della tangente dovrà essere di questa forma qui: y - y del punto di tangenza uguale a m che moltiplica x - la x del punto di tangenza. Questa formulina, se vi ricordate, ragazzi, è quella della generica retta passante per un punto di cui sono note le coordinate. A questo punto è chiaro che il problema sarà determinare il valore del coefficiente angolare che ci interessa e per fare questo dovremmo trovare una strategia che ci consenta di trovarlo conoscendo solo la funzione f(x) e il punto x0 dove vogliamo che la retta sia tangente.
Per capire come fare a trovare il coefficiente angolare, procediamo per gradi e cerchiamo prima di risolvere un problema adesso collegato, però un pochino più semplice. Immaginiamo di introdurre un secondo punto sul grafico di f(x) la cui ascissa sia un pochino più grande dell'ascissa del punto che consideravamo prima. Quindi se l'ascissa del punto precedente era x 0, quella del punto che consideriamo adesso sarà x 0 più qualcosa. Io l'ho chiamato h in questo caso. Quindi h rappresenterebbe questa distanza. E naturalmente l'ordinata del punto, se la sua ascissa è x 0 + h e il punto si trova sulla funzione, sarà f(x)0 + h.
Quello che vogliamo fare adesso, ragazzi, è calcolare il coefficiente angolare di questa retta che è secante al grafico di f(x). Come facciamo a calcolare il coefficiente angolare? Beh, chiaramente sappiamo che passa per questo punto e che passa per questo punto e quindi, se vi ricordate come si faceva a calcolare il coefficiente angolare di una retta passante per due punti e vi ricordo bastava fare la differenza tra le ordinate dei due punti divisa per la differenza tra le ascisse dei due punti, si conclude che il coefficiente angolare della secante deve essere uguale a f(x)0 + h, che sarebbe l'ordinata del secondo punto, meno f(x)0, che sarebbe, vedete, l'ordinata del primo punto, diviso per che cosa? x0 + h, che è l'ascissa del secondo punto, meno x0, che è l'ascissa del primo punto. Se adesso fate il conto al denominatore, quindi semplificate x con 0, si ottiene come risultato questa quantità a cui diamo un nome, la chiamiamo rapporto incrementale. Naturalmente ragazzi, affinché la cosa abbia significato, h deve essere diverso da 0, il che significa che il punto di ascissa x 0 e il punto di ascissa x0 + h non devono coincidere.
E come facciamo adesso a collegare il discorso della secante al discorso sulla tangente che era il problema, no, che in partenza volevamo risolvere? Beh, l'idea fondamentalmente è questa. Più noi questo secondo punto lo avviciniamo al primo, più succede che la retta secante tende a diventare la retta tangente. Questa cosa si capisce molto bene dando un'occhiata a questa animazione, ragazzi. E vedete che man mano che il secondo punto si avvicina al primo, la retta secante tende sempre di più a diventare la retta tangente, finché idealmente le due coincidono quando i due punti vanno a sovrapporsi.
A questo punto tutto quello che dobbiamo fare è tradurre in termini matematici l'idea che il secondo punto si avvicini al primo. E se considerate la nostra figura di partenza, ragazzi, vedete che il secondo punto aveva ascissa x0 + h, mentre il primo punto ascissa x 0. Dunque, sarà sufficiente che riduciamo la distanza tra le ascisse di questi due punti e quindi se facciamo tendere h a 0 avremo che il secondo punto tenderà a coincidere con il primo e quindi il coefficiente angolare della secante si trasformerà nel coefficiente angolare della retta tangente.
Quindi avremo in formule che il coefficiente angolare della tangente sarà uguale al limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale, cioè se volete il limite per h che tende a 0 del coefficiente angolare della retta secante. Se questo limite esiste ed è finito, cioè nel senso che esiste e fa un numero reale come risultato, allora la funzione y = f(x), cioè la nostra funzione di partenza, si dice derivabile nel punto di ascissa x con 0 ed il valore che il limite assume prende il nome di derivata della funzione f(x0). Per indicarla, ragazzi, si possono utilizzare diverse notazioni. Vi ho riportato qui le tre che si incontrano forse più frequentemente, però sappiate che ce ne sono anche delle altre.
Quindi, ragazzi, capite che in un certo senso siamo riusciti a risolvere il problema di partenza, cioè abbiamo trovato un modo per determinare il coefficiente angolare della retta tangente. Infatti, ragazzi, il coefficiente angolare sarà dato dalla derivata prima della funzione calcolata in x con 0. Quello che ci resta da capire, ragazzi, è come fare concretamente a trovare la derivata prima e scopriremo che non sempre è necessario risolvere il limite del rapporto incrementale, che peraltro è in un certo senso la definizione, no, della derivata, ma vedremo che ci sono delle scorciatoie che ci consentono, non appena uno ha imparato a memoria le derivate di alcune funzioni fondamentali, di risparmiare un sacco di tempo nei calcoli.
Prima di salutarvi, ragazzi, volevo dirvi un po' come mai uno va a calcolare le derivate, cioè che cosa se ne fa fondamentalmente dei coefficienti angolari delle rette tangenti. Beh, l'idea è che conoscere l'andamento dei coefficienti angolari ci consente di capire dove la funzione che stiamo considerando è crescente e dove invece la funzione che stiamo considerando è decrescente e ci consente inoltre di stabilire e vedremo in che modo, le coordinate dei punti di massimo e di minimo della funzione che stiamo considerando. Di tutto questo parleremo diffusamente nei video successivi. Nel prossimo, in particolare, ci occuperemo di calcolare concretamente le derivate delle funzioni fondamentali.
Detto questo ragazzi, io vi saluto. Come sempre, se vi sono rimaste delle domande potete farmele nei commenti qui sotto. Se avete trovato utile questa video lezione, ricordatevi di mettere mi piace e date un'occhiata all'interno del canale dove troverete moltissimi altri [Musica]